Luận văn thạc sĩ khung gabor

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ THỊ THU HÀ KHUNG GABOR LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2012 1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ THỊ THU HÀ KHUNG GABOR Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. NGUYỄN QUỲNH NGA Thái Nguyên - Năm 2012 2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục LỜI CẢM ƠN 1 MỞ ĐẦU 2 1 Các khái niệm và kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Phép biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Phép biến đổi Fourier thời gian ngắn . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Khung trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 Định lý Balian-Low . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 Khung Gabor trong L 2 (R) 16 2.1 Khung Gabor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Điều kiện cần . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3 Điều kiện đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4 Không gian Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.5 Các hệ dời chỗ bất biến tổng quát . . . . . . . . . . . . . . 36 2.6 Các biểu diễn của toán tử khung Gabor . . . . . . . . . . . 44 2.7 Các đối ngẫu của khung Gabor . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.8 Biến đổi Zak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.9 Khung Gabor chặt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 KẾT LUẬN 66 TÀI LIỆU THAM KHẢO 67 3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình, nghiêm khắc của TS Nguyễn Quỳnh Nga. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc đến cô giáo. Tôi cũng xin kính gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy giáo, cô giáo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên cũng như các thầy cô giáo tham gia giảng dạy khóa học cao học 2010 - 2012, những người đã đem hết tâm huyết và sự nhiệt tình để giảng dạy và trang bị cho chúng tôi nhiều kiến thức cơ sở. Tôi xin cảm ơn tập thể giáo viên trường Đại học Hải Phòng nơi tôi công tác đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt khóa học cũng như quá trình làm luận văn. Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè, những người luôn động viên chia sẻ, giúp tôi trong quá trình học tập và làm luận văn. Thái Nguyên, tháng 10 năm 2012. Tác giả Vũ Thị Thu Hà 4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 MỞ ĐẦU Lý do chọn đề tài Trong khi nghiên cứu các không gian véctơ, một trong những khái niệm quan trọng nhất là khái niệm cơ sở, nhờ đó mỗi véctơ trong không gian có thể viết như tổ hợp tuyến tính của các phần tử trong cơ sở. Tuy nhiên, điều kiện để trở thành cơ sở là khá chặt: không có sự phụ thuộc tuyến tính giữa các phần tử trong cơ sở. Điều này làm cho khó tìm hoặc thậm chí là không tìm được các cơ sở thỏa mãn một số điều kiện bổ sung. Đây là lý do để chúng ta đi tìm một công cụ khác linh hoạt hơn và khung chính là một công cụ như vậy. Khung cho một không gian Hilbert cho phép ta biểu diễn mỗi phần tử trong không gian như một tổ hợp tuyến tính của các phần tử trong khung nhưng không đòi hỏi tính độc lập tuyến tính giữa các phần tử khung. Khung được giới thiệu vào năm 1952 bởi Duffin và Schaeffer [3] trong khi nghiên cứu chuỗi Fourier không điều hòa. Cộng đồng toán học đã không nhận ra tầm quan trọng của các khái niệm này, phải mất gần 30 năm trước khi công trình tiếp theo xuất hiện. Vào năm 1980, Young đã viết cuốn sách có những kết quả cơ bản về khung, lại trong ngữ cảnh của chuỗi Fourier không điều hòa. Năm 1986, khi bài báo của Daubechies, Grossmann và Meyer [2] ra đời, lý thuyết khung mới bắt đầu được quan tâm rộng rãi. Khung có nhiều ứng dụng trong xử lý tín hiệu, lý thuyết mật mã, nén dữ liệu [4] . Lý thuyết toán học của giải tích Gabor trong L 2 (R) dựa trên hai lớp toán tử trên L 2 (R) là: 5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 Phép tịnh tiến với a ∈ R, T a : L 2 (R) → L 2 (R) , (T a f) (x) = f (x − a) , Phép biến điệu với b ∈ R, E b : L 2 (R) → L 2 (R) , (E b f) (x) = e 2πibx f (x) . Giải tích Gabor nhằm biểu diễn các hàm f ∈ L 2 (R) như một chồng chất của các tịnh tiến và biến điệu của một hàm cố định g ∈ L 2 (R). Bài báo năm 1986 của Daubechies, Grossmann và Meyer lần đầu tiên đã kết hợp giải tích Gabor với lý thuyết khung. Các tác giả đã xây dựng khung trong L 2 (R) có dạng {E mb T na g} m,n∈Z . Từ sau bài báo đó có rất nhiều công trình nghiên cứu ra đời. Với mong muốn hiểu biết nhiều hơn về lý thuyết khung nói chung và khung Gabor nói riêng, tôi quyết định chọn " Khung Gabor " làm đề tài luận văn cao học. 6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 Chương 1 Các khái niệm và kiến thức chuẩn bị 1.1 Phép biến đổi Fourier Cho f ∈ L 1 (R), biến đổi Fourier ˆ f được định nghĩa bởi ˆ f (γ) := ∞  −∞ f (x) e −2πixγ dx, γ ∈ R Ta cũng thường ký hiệu biến đổi Fourier của f là Ff. Nếu  L 1 ∩ L 2  (R) được trang bị chuẩn L 2 (R), biến đổi Fourier là một phép đẳng cự từ  L 1 ∩ L 2  (R) đến L 2 (R). Nếu f ∈ L 2 (R) và {f k } ∞ k=1 là một dãy của các hàm trong  L 1 ∩ L 2  (R) và hội tụ đến f trong không gian L 2 , thì dãy  ˆ f k  ∞ k=1 cũng hội tụ trong L 2 (R), với một giới hạn độc lập với lựa chọn của {f k } ∞ k=1 . Định nghĩa ˆ f := lim k→∞ ˆ f k Ta có thể mở rộng biến đổi Fourier thành một ánh xạ unita từ L 2 (R) lên L 2 (R). Ta sẽ dùng ký hiệu tương tự để ký hiệu mở rộng này. Đặc biệt ta có đẳng thức Plancherel  ˆ f, ˆg  = f, g, ∀f, g ∈ L 2 (R) , và    ˆ f    = f. (1.1) Nếu f ∈ L 1 (R), thì ˆ f liên tục. Nếu hàm f cũng như ˆ f thuộc vào L 1 (R), công thức nghịch đảo mô tả cách có được hàm f từ các giá trị ˆ f (γ) : 7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 Định lý 1.1.1: Giả sử rằng f, ˆ f ∈ L 1 (R), khi đó f (x) = ∞  −∞ ˆ f (γ) e 2πixγ dγ, hầu khắp x ∈ R. (1.2) Công thức từng điểm (1.2) đúng ít nhất với mọi điểm Lebesgue của f. 1.2 Phép biến đổi Fourier thời gian ngắn Ta hãy bắt đầu bằng cách đưa ra động cơ thúc đẩy sự xuất hiện phép biến đổi Fourier thời gian ngắn. Cho tín hiệu f (x) , biến số x thường được giải thích như thời gian, và biến đổi Fourier ˆ f (γ) cung cấp thông tin về độ dao động với tần số γ. Trong thực tế xuất hiện vấn đề là thông tin thời gian bị mất trong biến đổi Fourier, nghĩa là, không có thông tin về tần số nào xuất hiện ở thời gian nào. Một cách để vượt qua khó khăn này là “xem xét tín hiệu ở khoảng thời gian ngắn và lấy biến đổi Fourier ở đây”. Phát biểu này có nghĩa toán học là ta nhân tín hiệu f với hàm cửa sổ g, là hằng số trên khoảng bé, và giảm nhanh, trơn và bằng 0 ngoài khoảng nhỏ này; bằng cách lấy biến đổi Fourier của tích số này, ta có được ý tưởng về tần số của f trong khoảng thời gian nhỏ. Để có thông tin về f trên toàn bộ trục thời gian ta lặp quá trình với phép tịnh tiến của hàm cửa sổ. Thảo luận này dẫn đến định nghĩa của biến đổi Fourier thời gian ngắn, cũng được gọi là biến đổi Gabor liên tục. Định nghĩa 1.2.1 ([1], [4]) Cố định hàm g ∈ L 2 (R) \{0}. Phép biến đổi Fourier thời gian ngắn của một hàm f ∈ L 2 (R) tương ứng với hàm cửa sổ g được tính bằng cách lấy Ψ g (f) (y, γ) = ∞  −∞ f (x) g (x −y)e −2πixγ dx, y, γ ∈ R. Chú ý nếu viết theo toán tử biến điệu và toán tử tịnh tiến thì 8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 Ψ g (f) (y, γ) = f, E γ T y g. Biến đổi Fourier thời gian ngắn là chìa khoá để có được phép biểu diễn kiểu : f (x) = ∞  −∞ ∞  −∞ c f (a, b) e 2πibx g (x −a) dbda. 1.3 Khung trong không gian Hilbert Đặc trưng chủ yếu của một cơ sở trong không gian Hilbert H là f ∈ H có thể được biểu diễn như là một tổ hợp tuyến tính (vô hạn) các phần tử f k trong cơ sở: f = ∞  k=1 c k (f)f k (1.3) Hệ số c k (f) là duy nhất. Bây giờ chúng tôi giới thiệu khái niệm khung [1]. Khung là một dãy các phần tử {f k } ∞ k=1 trong H, mà cho phép mỗi f ∈ H được viết như công thức ở (1.3). Tuy nhiên, hệ số tương ứng không nhất thiết duy nhất. Vì vậy một khung có thể không phải là cơ sở. Sự xuất hiện của khung là một ví dụ về sự phát triển toán học. Khung được giới thiệu vào năm 1952 bởi Duffin và Schaeffer trong bài báo quan trọng của họ [3]; họ đã sử dụng khung như một công cụ trong việc nghiên cứu chuỗi Fourier không điều hòa, tức là, chuỗi thiết lập từ  e iλ n x  n∈Z , ở đây {λ n } n∈Z là một họ của các số thực hoặc số phức. Rõ ràng là, cộng đồng toán học đã không nhận ra tầm quan trọng của khái niệm này; phải mất gần 30 năm trước khi công trình tiếp theo xuất hiện. Vào năm 1980, Young đã viết cuốn sách có những kết quả cơ bản về khung. Khung được giới thiệu một cách trừu tượng, và lại sử dụng trong ngữ cảnh của chuỗi Fourier không điều hòa. Sau đó vào năm 1986 khi bắt đầu kỷ nguyên sóng nhỏ, Daubechies, Grossmann, Meyer [2] đã quan sát thấy rằng các khung 9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 có thể được sử dụng để tìm ra khai triển chuỗi của các hàm trong L 2 (R) tương tự như việc khai triển sử dụng cơ sở trực chuẩn. Đây là thời điểm khi nhiều nhà toán học đã bắt đầu nhận thấy tiềm năng của khung. Điều này trở nên rõ ràng hơn qua bài báo quan trọng của Daubechies, cuốn sách của bà và bài báo trình bày tổng quan và nghiên cứu của Heil và Walnut [5]. Kể từ đó, số lượng bài báo liên quan tới khung đã gia tăng đáng kể. Định nghĩa 1.3.1 Một dãy {f k } ∞ k=1 của các phần tử trong H là một khung cho H nếu tồn tại các hằng số A, B > 0 sao cho: Af 2  ∞  k=1 |f, f k | 2  Bf 2 , ∀f ∈ H. (1.4) Các số A, B là các cận khung. Chúng không phải là duy nhất. Cận khung trên tối ưu là cận dưới đúng trên tất cả các cận khung trên, và cận khung dưới tối ưu là cận trên đúng trên tất cả các cận khung dưới, lưu ý rằng các cận tối ưu là các cận khung. Chúng ta tập trung vào một vài định nghĩa nữa như sau: Định nghĩa 1.3.2 (i) Một khung là chặt nếu chúng ta có thể chọn A = B như các cận khung. (ii) Nếu một khung sẽ không còn là một khung nữa khi một phần tử tùy ý bị lấy đi thì nó được gọi là khung đúng. Khi chúng ta nói về cận khung cho một khung chặt thì điều đó có nghĩa là giá trị đúng A vừa là cận trên vừa là cận dưới. Lưu ý rằng điều này hơi khác với thuật ngữ khung tổng quát, ví dụ, cận trên chỉ là một số thỏa mãn điều kiện Bessel. Trong trường hợp không gian Hilbert H là hữu hạn chiều thì dãy {f k } m k=1 là khung cho H khi và chỉ khi span {f k } m k=1 = H. Thật vậy, giả sử {f k } m k=1 là khung cho H, tức là tồn tại các hằng số A, B > 0 sao cho: 10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... tiến hay là tham số biến điệu trong khung Gabor bằng 1 Cho khung Gabor tuỳ ý {Emb Tna g}m,n∈Z điều này có thể được đạt được bằng cách thay g bằng hàm có dạng Dc g (x) = 1 g (x/c) c1/2 Mệnh đề 2.1.4 Giả sử g ∈ L2 (R) và cho a, b, c > 0 ; cho {Emb Tna g}m,n∈Z là khung Gabor Khi đó, với gc := Dc g, họ Gabor Emb/c Tnac gc m,n∈Z là khung với các cận khung giống như các cận khung của {Emb Tna g}m,n∈Z Chứng... 2.1.1 Một khung Gabor là khung trong L2 (R) có dạng {Emb Tna g}m,n∈Z , khi a, b > 0 và g ∈ L2 (R) là một hàm cố định Khung có dạng này còn được gọi là khung Weyl-Heisenberg Hàm g được 20Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 18 gọi là hàm cửa sổ hay là phần tử sinh Ta có thể viết lại như sau: Emb Tna g (x) = e2πimbx g (x − na) (2.3) Chú ý khi nói về khung Gabor, ... luận về cận dưới tối ưu là tương tự Khung S −1 fk ∞ k=1 được gọi là đối ngẫu chính tắc của {fk }∞ vì nó k=1 đóng cùng vai trò trong lý thuyết khung như đối ngẫu của một cơ sở; Chúng ta thường xuyên bỏ qua từ “chính tắc” và chỉ nói về khung đối ngẫu” Sự khai triển khung được phát biểu ở bên dưới, là kết quả khung quan trọng nhất Nó chỉ ra rằng nếu {fk }∞ là một khung trong H, thì mỗi k=1 phần tử trong... nhanh: phần trong định nghĩa của một cơ sở ˆ phải bỏ đi là tính duy nhất của khai triển đó Điều này đưa ta từ cơ sở đến khung 18Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 16 Chương 2 Khung Gabor trong L2 (R) 2.1 Khung Gabor Lý thuyết toán học của giải tích Gabor trong L2 (R) được dựa trên 2 lớp toán tử trên L2 (R), đó là: Phép tịnh tiến với a ∈ R , Ta : L2 (R) → L2 (R)... thành khung trong H, nhưng chúng có thể hình thành khung cho bao tuyến tính đóng của các phần tử: Định nghĩa 1.3.3 Cho {fk }∞ là một dãy trong H Chúng ta nói rằng k=1 {fk }∞ là một dãy khung nếu nó là khung cho span {fk }∞ k=1 k=1 Sau đây là một vài ví dụ về khung Chúng có thể xuất hiện khá là “thô sơ”, nhưng chúng có ích cho việc tìm hiểu lý thuyết khung Ví dụ 1.3.4 Cho {ek }∞ là một cơ sở trực chuẩn... diễn như là một tổ hợp tuyến tính vô hạn của các phần tử khung Do đó một cách tự nhiên ta có thể coi khung như là một dạng “cơ sở suy rộng” Định lý 1.3.7 Cho {fk }∞ là một khung với toán tử khung S Khi đó: k=1 ∞ f, S −1 fk fk , ∀f ∈ H f= (1.9) k=1 Chuỗi hội tụ không điều kiện với mọi f ∈ H Chứng minh: Cho f ∈ H, sử dụng các tính chất của toán tử khung trong bổ đề 1.3.6, ∞ ∞ −1 −1 f = SS f = f, S −1... k=1 1 f, √ ek k 2 = f 2 Do đó {fk }∞ là khung chặt trong H với cận khung A = 1 k=1 (iii) Nếu I ⊂ N là tập hợp con thực sự, thì {ek }k∈I là không đầy đủ trong H, và không thể là một khung trong H Tuy nhiên, {ek }k∈I là một khung trong span{ek }k∈I , nghĩa là nó là một dãy khung Định nghĩa 1.3.5 Nếu một dãy {fk } vừa là cơ sở vừa là khung cho H thì 12Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên... vài tính chất quan trọng của S : Bổ đề 1.3.6 Cho {fk }∞ là một khung với toán tử khung S và các cận k=1 khung A, B Khi đó ta có : (i) S là bị chặn, khả nghịch, tự liên hợp, và dương (ii) S −1 fk ∞ k=1 là một khung với các cận B −1 , A−1 ; nếu A, B là các cận tối ưu của {fk }∞ , khi đó các cận B −1 , A−1 là tối ưu của S −1 fk k=1 Toán tử khung của S −1 fk ∞ k=1 ∞ k=1 là S −1 Chứng minh: (i) S là bị... (2.3) Chú ý khi nói về khung Gabor, nghĩa là khung cho toàn bộ L2 (R), nghĩa là, ta sẽ không làm việc với các khung cho các không gian con Hệ Gabor {Emb Tna g}m,n∈Z chỉ bao gồm các tịnh tiến với các tham số na, n ∈ Z và các biến điệu với tham số mb, m ∈ Z Điểm {(na, mb)}m,n∈Z tạo thành một dàn trong L2 (R) , và vì lý do này thường gọi {Emb Tna g}m,n∈Z là khung Gabor đều Người ta đã chứng minh được rằng... đó S −1 fk ∞ k=1 là một khung với các cận khung B −1 , A−1 Để chứng minh tính cực trị của các cận khung, giả sử A là cận dưới tối ưu cho {fk }∞ k=1 và giả sử cận trên tối ưu cho S −1 fk 14Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ∞ k=1 là C < 1 A Bằng việc áp dụng http://www.lrc-tnu.edu.vn 12 những điều chúng ta đã chứng minh cho khung S −1 {fk }∞ có toán tử k=1 khung S −1 , chúng ta thấy . tử khung Gabor . . . . . . . . . . . 44 2.7 Các đối ngẫu của khung Gabor . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.8 Biến đổi Zak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.9 Khung Gabor. mong muốn hiểu biết nhiều hơn về lý thuyết khung nói chung và khung Gabor nói riêng, tôi quyết định chọn " Khung Gabor " làm đề tài luận văn cao học. 6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu. cơ sở đến khung. 18Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 16 Chương 2 Khung Gabor trong L 2 ( R) 2.1 Khung Gabor Lý thuyết toán học của giải tích Gabor trong