2 Khung Gabor trong L( R)
2.7 Các đối ngẫu của khung Gabor
Giả sử rằng {EmbTnag}m,n∈
Z là dãy Bessel với toán tử khung S. Khi đó:
SEmbTna = EmbTnaS, ∀m, n ∈ Z. Chứng minh: Giả sử f ∈ L2(R) . Dùng quan hệ hoán tử TaEbf (x) =e−2πibaEbTaf (x) = e2πib(x−a)f (x−a) ta thu được : SEmbTnaf = X m0,n0∈Z hEmbTnaf, Em0bTn0agiEm0bTn0ag = X m0,n0∈Z f, T−naE(m0−m)bTn0agEm0bTn0ag = X m0,n0∈Z D f, e2πina(m0−m)bE(m0−m)bT(n0−n)agEEm0bTn0ag.
Thực hiện đổi biến m0 → m0 +m, n0 →n0+n và lại sử dụng quan hệ hoán tử, SEmbTnaf = X m0,n0∈Z e−2πinam0bhf, Em0bTn0agiE(m0+m)bT(n0+n)ag = X m0,n0∈Z
e−2πinam0bhf, Em0bTn0agie2πinam0bEmbTnaEm0bTn0ag
= EmbTnaSf
Như là hệ quả của bổ đề 2.7.1, S−1 còn giao hoán với toán tử EmbTna. Từ S−1/2 là giới hạn của các đa thức trong S−1 trong tôpô toán tử mạnh,
toán tử này cũng giao hoán với EmbTna. Do đó, bổ đề 2.7.1 có hệ quả quan trọng sau:
Định lý 2.7.2 Cho g ∈ L2(R) và a, b > 0 cho trước, và giả sử rằng
{EmbTnag}m,n∈
Z là khung Gabor. Khi đó đối ngẫu chính tắc cũng có cấu trúc Gabor và được cho bởi EmbTnaS−1g m,n∈
Z . Khung chặt chính tắc liên kết với {EmbTnag}m,n∈
Z là EmbTnaS−1/2g m,n∈
Z .
Định lý 2.7.2 là rất quan trọng cho tính toán của khung ngược liên kết với khung Gabor: thay cho tính toán họ vô hạn kép S−1EmbTnag m,n∈
Z, chỉ cần tìm S−1g và sau đó ứng dụng các toán tử biến điệu và tịnh tiến. Đó cũng là lý do dù {EmbTnag}m,n∈
Z chứa cơ sở Riesz như một họ con, có thể sẽ không lợi gì nếu bỏ các phần tử ra khỏi {EmbTnag}m,n∈
Z: các lợi ích tính toán từ cấu trúc dàn của {(na, mb)}m,n∈
Z sẽ mất đi, các toán tử
EmbTna nói chung sẽ không còn giao hoán với toán tử khung, và khung đối ngẫu sẽ phức tạp nhiều hơn để tìm.
Hàm S−1g thường được gọi là hàm cửa sổ đối ngẫu, và định lý 2.7.2 là một lý do chính đáng để quan tâm đến khung nó tạo ra khi làm việc với khung Gabor. Bolcskei và Janssen đã chứng minh rằng đối ngẫu chính tắc có các tính chất tốt khác, mà bây giờ ta mô tả. Nó dựa trên kết quả cơ bản của Jaffard sau đây:
Bổ đề 2.7.3 Giả sử rằng {Ak,l}k,l∈
Z là một ma trận khả nghịch và tồn tại các hằng số C, λ >0 sao cho
|Ak,l| 6 Ce−λ|k−l|, ∀k, l ∈ N.
khi đó tồn tại các hằng số C0, λ0 > 0 sao cho
(A)−1k,l 6 C0e−λ0|k−l|, ∀k, l ∈ N.
Các hằng số C0, λ0 > 0 chỉ phụ thuộc vào infkxk=1kAxk và supkxk=1kAxk.
Ta nói rằng hàm g ∈ L2(R) giảm theo hàm mũ nếu tồn tại các hằng số C, λ >0 sao cho
Dựa vào bổ đề 2.7.3 có thể chứng minh rằng nếu g giảm theo hàm mũ và tạo ra khung Gabor thừa {EmbTnag}m,n∈
Z, thì tồn tại các hằng số
C0, λ0 > 0 sao cho
S−1g(x) 6 C0e−λ0|x|, hầu khắp x.
Mặt khác giả sử là g tạo ra một khung thừa, người ta chứng minh được rằng tính giảm theo hàm mũ của gˆ suy ra tính giảm theo hàm mũ của
F S−1g.
Các kết quả tương tự đúng với S−1g thay bằng S−1/2g. Đặc biệt điều này dẫn đến phát biểu quan trọng sau về khung chính tắc chặt liên kết với
{EmbTnag}m,n∈
Z :
Bổ đề 2.7.4 Cho g ∈ L2(R) và giả sử rằng g cũng như ˆg giảm theo hàm mũ. Cho a, b > 0, ab < 1 và giả sử rằng {EmbTnag}m,n∈
Z là một khung; khi đó S−1/2g cũng như F S−1/2g giảm theo hàm mũ.
Mặc dù nhiều tính chất thú vị của đối ngẫu chính tắc, bây giờ ta thảo luận các đối ngẫu khác liên kết với khung{EmbTnag}m,n∈
Z đã cho. Có một vài lý do để làm điều này. Đầu tiên, người ta có thể quan tâm đến các đối ngẫu làm cực tiểu các chuẩn khác với chuẩn `2 của các hệ số trong khai triển khung. Thứ hai, có trường hợp trong đó hàm g tạo ra khung Gabor chặt là địa phương hóa không tốt; trong trường hợp này người ta muốn tìm một đối ngẫu địa phương hóa tốt hơn là đối ngẫu chính tắc.
Nếu{EmbTnag}m,n∈
Zlà một khung thừa, không phải tất cả các đối ngẫu đều có cấu trúc Gabor . Các đối ngẫu với cấu trúc Gabor được đặc trưng trong định lý nổi tiếng Wexler – Raz sau:
Định lý 2.7.5 Cho g, h ∈ L2(R) và a, b > 0 cho trước. Khi đó, nếu hai hệ Gabor {EmbTnag}m,n∈
Z và {EmbTnah}m,n∈
Z là các dãy Bessel, chúng là các khung đối ngẫu nếu và chỉ nếu
h, Em/aTn/bg = 0 với mọi (m, n) 6= (0,0) và hh, gi = ab. (2.44) Chứng minh: Các dãy Bessel {E T g} và {E T h} là các
khung đối ngẫu nếu và chỉ nếu các hệ dời chỗ bất biến {TnaEmbg}m,n∈
Z
và {TnaEmbh}m,n∈
Z là các khung đối ngẫu. Phần tử sinh cho hai hệ sau là
gm = Embg và hm = Embh ; theo định lý 2.5.2 chúng tạo ra các khung đối ngẫu nếu và chỉ nếu
X
m∈Z
ˆ
gm(υ)ˆhm(υ+ k/a) =aδk,0, k ∈ Z, hầu khắp υ
Theo các hàm g và h điều này tương đương với
X
m∈Z
ˆ
g(υ −m/b)ˆh(υ +k/a−mb) = aδk,0, k ∈ Z, hầu khắp υ (2.45) Chúng ta có thể biểu thị điều kiện này theo các hệ số trong khai triển Fourier đối với e2πinυ/b n∈
Z cho các hàm tuần hoàn chu kỳ b φk(υ) := X
m∈Z
ˆ
g(υ −mb)ˆh(υ +k/a−mb), k ∈ Z
Thật vậy, (2.45) là tương đương với tất cả các hệ số của φk, k 6= 0, bằng không và các hệ số của φ0 bằng không với k 6= 0 và bằng a với k = 0. Định lý Wexler – Raz bây giờ là một hệ quả của tính toán sau, sinh ra hệ số thứ n của hàm φk trong khai triển Fourier đối với e2πinυ/b n∈
Z : 1 b b Z 0 φk(υ)e−2πinυ/bdυ = 1 b b Z 0 X m∈Z ˆ
g(υ −m/b)ˆh(υ +k/a −mb)e−2πinυ/bdυ
= 1 b ∞ Z −∞ ˆ g(υ)ˆh(υ +k/a)e−2πinυ/bdυ = 1 b D T−k/ah, Eˆ n/bgˆE = 1 b D ˆ h, Tk/aEn/bˆgE
= 1 b Fh,FEk/aT−n/bg = 1 b h, Ek/aT−n/bg Mệnh đề 2.7.6 Cho {EmbTnag}m,n∈
Z là một khung với toán tử khung S. Khi đó S−1g là nghiệm có chuẩn cực tiểu duy nhất cho bài toán mômen
h, Em/aTn/bg = δm,0δn,0ab (2.46)
Ký hiệu S˜ là toán tử khung cho
Em/aTn/bg m,n∈
Z , ta có
S−1g = abS˜−1g.
Chứng minh: Theo định lý 2.6.6 ta có Em/aTn/bg m,n∈
Z là dãy Riesz, nghĩa là, cơ sở Riesz cho H := spanEm/aTn/bg m,n∈
Z. Khi đó, bài toán mômen (2.46) có nghiệm duy nhất thuộc H. Nghiệm này là S−1g: thật vậy, S−1g là nghiệm theo định lý 2.7.5, và S−1g ∈ H theo hệ quả 2.6.4. Mặt khác, ký hiệu S˜ là toán tử khung cho
Em/aTn/bg m,n∈
Z, ta có
S−1g = ab X
m,n∈Z
δm,0δn,0S˜−1Em/aTn/bg = abS˜−1g (2.47) Toàn bộ các nghiệm khác của (2.46) đều đạt được bằng cách thêm phần tử f ∈ H⊥ vào nghiệm trong H. Do đó, lựa chọn đặc biệt (2.47) làm cực tiểu chuẩn trong số toàn bộ nghiệm của (2.46).
Ta cũng có thể biểu thị các phương trình trong (2.44) qua một phương trình toán tử. Giả sử
H : L2(R) → `2 Z2, Hf = f, Em/aTn/bg m,n∈
Z (2.48) Chú ý H là liên hợp của toán tử tổng hợp liên kết với hệ Gabor
Em/aTn/bg m,n∈
Z. Thông qua H, (2.44) tương đương với
Hh = ab{δm,0δn,0}m,n∈
Z (2.49)
Hệ quả 2.7.7 Cho g ∈ L2(R) và a, b > 0, giả sử rằng {EmbTnag}m,n∈
Z là một khung. Khi đó
Chứng minh:Ta lại sử dụngEm/aTn/bg m,n∈
Zlà một dãy Riesz . Khi đó toán tử H trong (2.48) là toàn ánh. Do đó, nghiệm có chuẩn cực tiểu của (2.49) có thể biểu thị qua giả - nghịch đảo của H và ta có (2.50).
Phương trình (2.50) được biết đến như biểu diễn Janssen của hàm tạo ra đối ngẫu chính tắc của {EmbTnag}m,n∈
Z.
Ta có thể đạt được biểu thức cụ thể hơn cho S−1g. Đầu tiên ta chú ý rằng với dãy bất kỳ {cm,n}m,n∈ Z ∈ `2 Z2 , HH∗{cm,n}m,n∈ Z = * X m0,n0∈Z cm0,n0Em0/aTn0/b, Em/aTn/bg + m,n∈Z Giả sử {em,n}m,n∈
Z là cơ sở chính tắc của `2 Z2; tức là, em,n là dãy trong `2 Z2 được cho bởi
em,n = {δm,m0δn,n0}m0,n0∈Z Bây giờ ta đánh lại chỉ số {em,n}m,n∈
Z là {ek}∞k=1 một cách tuỳ ý sao cho e1 tương ứng với e0,0; ký hiệu dãy được đánh số lại tương ứng của
Em/aTn/bg m,n∈
Z là {gk}∞k=1. Khi đó ta có thể biểu diễn HH∗ qua ma trận của nó đối với {ek}∞k=1, nghĩa là, ma trận vô hạn mà phần tử thứ jk
là hHH∗ek, eji, và (2.50) có dạng : S−1g = ab ∞ X j=1 (HH∗)−1j,1 gj (2.51) Nếu ej = em,n và ek = em0,n0, thì hHH∗ek, eji = Em0/aTn0/bg, Em/aTn/bg
là ma trận Gram cho Em/aTn/bg m,n∈
Z. Ta viết ngắn lại
(HH∗)m,n,m0,n0 = Em0/aTn0/bg, Em/aTn/bg, m, n, m0, n0 ∈ Z (2.52) Với ký hiệu này
S−1g = ab X
m,n∈Z
h
(HH∗)−1i
Vì mục đích thực hành, không chỉ quan trọng là mô tả các đối ngẫu của khung {EmbTnag}m,n∈
Z mà ta cũng cần biết cách tìm chúng. Cách xây dựng để tìm một vài đối ngẫu có cấu trúc Gabor được cho bởi Li như sau: Mệnh đề 2.7.8
Cho g ∈ L2(R) và a, b > 0, giả sử rằng {EmbTnag}m,n∈
Z là một khung trong L2(R). Khi đó, với f ∈ L2(R) bất kỳ theo đó {EmbTnaf}m,n∈
Z là một dãy Bessel, hàm h = S−1g +f − X m,n∈Z S−1g, EmbTnagEmbTnaf
tạo ra một khung đối ngẫu {EmbTnah}m,n∈
Z của {EmbTnag}m,n∈ Z . Chứng minh: Nếu{EmbTnaf}m,n∈ Z là dãy Bessel, thì {EmbTnag}m,n∈ Z có đối ngẫu {km,n}m,n∈
Z được cho bởi
km,n = S−1EmbTnag +EmbTnaf − X m0,n0∈Z S−1EmbTnag, Em0bTn0agEm0bTn0af = EmbTna S−1g+f− X m0,n0∈Z EmbTnaS−1g, Em0bTn0agEm0bTn0af
Tương tự như trong chứng minh bổ đề 2.7.1 ta thấy rằng
X m0,n0∈Z EmbTnaS−1g, Em0bTn0agEm0bTn0af = EmbTna X m0,n0∈Z S−1g, Em0bTn0agEm0bTn0af Do đó km,n = EmbTna S−1g +f − X m0,n0∈Z S−1g, Em0bTn0agEm0bTn0af .
Ta có thể nói rằng các hàmf ∈ L2(R)tạo ra dãy Bessel{EmbTnaf}m,n∈
Z
cho một tham số hoá của lớp các khung đối ngẫu của {EmbTnag}m,n∈
Z giữ cấu trúc Gabor.
trong L2(R).
Đầu tiên, ta sử dụng bổ đề 2.3.3 cho khung EmbTnaS−1/2g m,n∈
Z. Với một hàm f bị chặn và đo được tuỳ ý với giá trong khoảng độ dài 1/b ta được ∞ Z −∞ |f (x)|2dx = X m,n∈Z D f, EmbTnaS−1/2g E 2 = 1 b ∞ Z −∞ |f (x)|2X n∈Z S−1/2g(x−na) 2 dx ; Từ đây, X n∈Z S−1/2g(x−na) 2 = b với hầu khắp x ∈ R. Do đó S−1/2g 2 = ∞ Z −∞ S−1/2g(x) 2 dx = a Z 0 X n∈Z S−1/2g(x−na) 2 dx = ab.
Để chứng minh phần đầu của định lý 2.2.1 ta phải chứng minh ab 6 1
với khung{EmbTnag}m,n∈
Z đã cho tùy ý. Bây giờ, từEmbTnaS−1/2g m,n∈
Z
là một khung chặt với cận khung bằng 1, suy ra rằng S−1g 6 1. Kết hợp với S−1/2g
2
= ab ta được ab 6 1 như mong muốn.
Để chứng minh phần hai ta phải chứng minh khung {EmbTnag}m,n∈
Z là cơ sở Riesz nếu và chỉ nếuab = 1. Đầu tiên, giả sử rằng{EmbTnag}m,n∈
Z là cơ sở Riesz. Khi đó EmbTnaS−1/2g m,n∈
Z là cơ sở Riesz có các cận khung
A = B = 1; điều này hàm ý rằng S−1/2g = 1. Do ta đã chứng minh đẳng thức S−1/2g
2
= ab, ta có 1 = ab như mong muốn. Ngược lại, bây giờ ta giả sử rằng ab = 1 . Khi đó
S−1/2g
2
và do đó EmbTnaS−1/2g = 1 với mọi m, n ∈ Z. Ta kết luận rằng
EmbTnaS−1/2g m,n∈
Z là cơ sở trực chuẩn trong H, và do đó
{EmbTnag}m,n∈
Z = S−1/2EmbTnaS−1/2g m,n∈
Z
là cơ sở Riesz.