Giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất và một số ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TẠ VĂN HOÀN GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Mã số: PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CẤP 60.46.40 TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Ngun – 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Cơng trình hồn thành Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Người hướng dẫn khoa học: PGS TS ĐÀM VĂN NHỈ Phản biện 1: PGS.TS LÊ THỊ THANH NHÀN Phản biện 2: TS NGUYỄN MINH KHOA Luận văn bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại: Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên Ngày 22 tháng 11 năm 2011 Có thể tìm hiểu luận văn thư viện Đại học Thái Nguyên Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn ●Ý❛ trÞ ❧í♥ ♥❤✃t✱ ❣✐➳ trÞ ♥❤á ♥❤✃t ✈➭ ▼ét sè ø♥❣ ❞ơ♥❣ ❚➵ ❱➝♥ ❍♦➭♥ ❑❤♦❛ ❚♦➳♥ ➜❍❑❍ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥ ❊✲♠❛✐❧✿t✈❤♦❛♥❜s❅❣♠❛✐❧✳❝♦♠ ◆❣➭② ✶ t❤➳♥❣ ✾ ♥➝♠ ✷✵✶✶ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ▼ô❝ ❧ô❝ ✶ ✷ ✸ P❤➬♥ ❝❤✉➮♥ ❜Þ ✹ ✶✳✶ ❑❤➳✐ ♥✐Ư♠ ✈➭ ♠ét ✈➭✐ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝ñ❛ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹ ✶✳✷ ▼ét ✈➭✐ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ➤➡♥ ❣✐➯♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✽ ✶✳✸ ❍➭♠ ❧å✐ ✈➭ ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❏❡♥s❡♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ột số tì trị ❧í♥ ♥❤✃t✲♥❤á ♥❤✃t ✸✶ ✷✳✶ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✶ ✷✳✷ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ➤❛ t❤ø❝ ❤❛✐ ❜✐Õ♥ ❜❐❝ ❤❛✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✼ ✷✳✸ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ➤➵♦ ❤➭♠ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✵ ✷✳✸✳✶ ❍➭♠ ♠ét ❜✐Õ♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✵ ✷✳✸✳✷ ❍➭♠ ❧å✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✷ ✷✳✸✳✸ ❍➭♠ ♥❤✐Ò✉ ❜✐Õ♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✺ ✷✳✹ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❤×♥❤ ❤ä❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✼ ✷✳✺ ▼ét sè ❜➭✐ ❝ù❝ trÞ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐➳❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✵ ✷✳✺✳✶ ❙ư ❞ơ♥❣ ❤➭♠ ❧➢ỵ♥❣ ❣✐➳❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✵ ✷✳✺✳✷ ❙ư ❞ơ♥❣ ♥❣❤✐Ư♠ ➤❛ t❤ø❝ ❜❐❝ ❜❛ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✷ ▼ét sè ø♥❣ ❞ô♥❣ ✈➭♦ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❧✐➟♥ q✉❛♥ ✻✻ ✸✳✶ ❳➞② ❞ù♥❣ ❧➵✐ ♠ét sè ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❝ỉ ➤✐Ĩ♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✻ ✸✳✷ ●✐➯✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈➭ ❜✃t ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✶ ✶ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✷ ♠ë t tì trị t ỏ t tì ự trị ột ể tứ ó tõ ❧➞✉✱ ♥❤➢♥❣ ❧✉➠♥ ①✉✃t ❤✐Ö♥ tr♦♥❣ ♠ä✐ ❧Ü♥❤ ✈ù❝ ❝đ❛ t♦➳♥ ❤ä❝✳ ❚r♦♥❣ ❝❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t♦➳♥ ♣❤ỉ t❤➠♥❣✱ ❜➭✐ t tì trị t ỏ t tr ❞➭✐ ë ❤➬✉ ❤Õt ❝➳❝ ❝✃♣ ❤ä❝✱ ❝ã ♠➷t ë t✃t ❝➯ ❝➳❝ ❜é ♠➠♥ ❙è ❤ä❝✱ ➜➵✐ sè✱ ●✐➯✐ tí ì ọ ợ ệt tr ỳ t❤✐ ➜➵✐ ❤ä❝✱ ❍ä❝ s✐♥❤ ❣✐á✐ q✉è❝ ❣✐❛ ✈➭ q✉è❝ tÕ t❤➢ê♥❣ ❝ã ❜➭✐ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❝ù❝ trÞ ♠ét ❜✐Ĩ✉ tứ ó t tì trị ❧í♥ ♥❤✃t ❤♦➷❝ ♥❤á ♥❤✃t ❧➭ ♠ét tr♦♥❣ sè ♥❤÷♥❣ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➢ỵ❝ r✃t ♥❤✐Ị✉ ♥❣➢ê✐ t❤✉é❝ ♥❤✐Ị✉ ❧Ü♥❤ ✈ù❝ q t ế t tì trị ♥❤✃t ❤❛② ♥❤á ♥❤✃t ♠ét ❜✐Ĩ✉ t❤ø❝ r✃t ♣❤♦♥❣ ♣❤ó✱ ➤❛ ❞➵♥❣✱ ➤ß✐ ❤á✐ ✈❐♥ ❞ơ♥❣ ♥❤✐Ị✉ ❦✐Õ♥ t❤ø❝ ✈➭ ✈❐♥ ❞ơ♥❣ s❛♦ ❝❤♦ ❤ỵ♣ ❧ý✱ ➤➠✐ ❦❤✐ r✃t ➤é❝ ữ t ị trị ♥❤✃t ❤♦➷❝ ♥❤á ♥❤✃t ❝ß♥ ❧✐➟♥ q✉❛♥ ➤Õ♥ sù ➤➳♥❤ ❣✐➳✱ t×♠ ❝➳✐ ❝❤➷♥ ❤♦➷❝ ①Ðt ①❡♠ ❜✐Ĩ✉ t❤ø❝ sÏ ó tí t ì ó t ự trị í ì tế ị trị t ❤❛② ♥❤á ♥❤✃t ♠ét ❜✐Ó✉ t❤ø❝ sÏ r✃t t❤✐Õt t❤ù❝ ố ữ ố tì ể s ề t s➡ ❝✃♣✳ ➜Ó ➤➳♣ ø♥❣ ♥❤✉ ❝➬✉ ❤ä❝ t❐♣ ✈➭ ❣✐➯♥❣ ❞➵② ♠➠♥ t♦➳♥ ë ❜❐❝ ♣❤æ t❤➠♥❣✱ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ➤➲ ➤➷t ✈✃♥ ➤Ị✿ ❚r×♥❤ ❜➭② ♠ét sè ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ tì trị t ỏ t ột ể t❤ø❝✳ ◗✉❛ ➤ã ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❝ị♥❣ ➤➢❛ r❛ ✈✐Ư❝ ✈❐♥ ❞ơ♥❣ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ➤➵t ➤➢ỵ❝ ➤Ĩ ❣✐➯✐ q✉②Õt ♠ét sè ❜➭✐ t♦➳♥ ❧✐➟♥ q✉❛♥✳ ◆é✐ ❞✉♥❣ ❝ñ❛ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ➤➢ỵ❝ ❝❤✐❛ r❛ ❧➭♠ ❜❛ ❝❤➢➡♥❣✳ ❈❤➢➡♥❣ ■ ❞➭♥❤ ➤Ĩ ❣✐í✐ t❤✐Ư✉ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ✈➭ ♠ét ✈➭✐ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ✈í✐ ❝➳❝ ✈Ý ❞ơ t➢➡♥❣ t❤Ý❝❤✳ ể trì ề trị t ✈➭ ♥❤á ♥❤✃t✳ ➜➞② ❧➭ ❝❤➢➡♥❣ trä♥❣ t➞♠ ❣✐í✐ t❤✐Ư✉ ề tì trị t ♥❤á ♥❤✃t✳ ❈ơ t❤Ĩ ♠ơ❝ ✷✳✶ t❐♣ tr✉♥❣ ❣✐í✐ t❤✐Ư✉ ột số t ọ ọ tì trị ♥❤✃t ✈➭ ♥❤á ♥❤✃t ❜➺♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝✳ ▼ơ❝ ✷✳✷ ❣✐í✐ t❤✐Ư✉ ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ➤➵t ❝ù❝ trÞ ❝đ❛ ❤➭♠ ➤❛ t❤ø❝ ❤❛✐ ❜✐Õ♥ ❜❐❝ ❤❛✐ ✈➭ ❝➳❝ ✈Ý ❞ơ ❧✐➟♥ q✉❛♥✳ ▼ơ❝ ✷✳✸ ❣✐í✐ t❤✐Ư✉ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ➤➵♦ tì trị t ỏ t ố ✈í✐ ❤➭♠ ♠ét ❜✐Õ♥✱ ❤➭♠ ❧å✐✱ ❤➭♠ ♥❤✐Ị✉ ❜✐Õ♥ ✈➭ ❝➳❝ s➳♥❣ t➳❝ ❜➭✐ t❐♣ t➢➡♥❣ ø♥❣✳ ▼ơ❝ ✷✳✹ ❣✐í✐ tệ ột số t tì ự trị ♣❤➳♣ tä❛ ➤é ➤✐Ó♠✱ tä❛ ➤é ✈Ð❝ t➡ ❤♦➷❝ ❞ù❛ ✈➭♦ tÝ♥❤ ➤➷❝ ❜✐Ưt ❝đ❛ ❤×♥❤ ❤ä❝✳ ▼ơ❝ ✷✳✺ ❣✐í✐ tệ ột số t tì trị t ✈➭ ♥❤á ♥❤✃t q✉❛ ✈❐♥ ❞ơ♥❣ ❝➳❝ ❤➭♠ ❧➢ỵ♥❣ ❣✐➳❝ ✈➭ tr×♥❤ ❜➭② ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ s➳♥❣ t➳❝ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✸ ♠ét sè ❜➭✐ t♦➳♥ ❝ù❝ trÞ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐➳❝ q✉❛ ➤❛ t❤ø❝ ❜❐❝ ❜❛✳ ❈❤➢➡♥❣ ■■■ t❐♣ tr✉♥❣ tr×♥❤ ❜➭② ♠ét ✈➭✐ ø♥❣ ❞ơ♥❣ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ ➤➵t ➤➢ỵ❝✳ ◆❤➢ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❧➵✐ ❝➳❝ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❝ỉ ➤✐Ĩ♥ q✉❛ ✈✐Ư❝ ✈❐♥ ❞ơ♥❣ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ❝ù❝ trÞ t✐Õ♣ t❤❡♦ ❣✐í✐ t❤✐Ư✉ ❝➳❝ ø♥❣ ❞ơ♥❣ ❜➭✐ t♦➳♥ ❝ù❝ trÞ tr♦♥❣ ✈✐Ư❝ ❣✐➯✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤✱ ❜✃t ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤✱ ❤Ư ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈➭ ❤Ư ❜✃t ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤✳ ❉ï ➤➲ r✃t ❝è ❣➽♥❣✱ ộ ợ trì tr tr ỏ ữ tế ót t ị ❡♠ r✃t ♠♦♥❣ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ sù ❣ã♣ ý ❝đ❛ ❝➳❝ t❤➬② ❝➠ ❣✐➳♦ ✈➭ ❝➳❝ ❜➵♥✳ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ➤➲ ➤➢ỵ❝ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❞➢í✐ sù ❤➢í♥❣ ❞➱♥ ❝đ❛ P●❙✳❚s✳ ➜➭♠ ❱➝♥ ◆❤Ø✳ ❊♠ ①✐♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ❝➳♠ ➡♥ t❤➬② ✈Ò sù ❣✐ó♣ ➤ì ♥❤✐Ưt t×♥❤ tõ ❦❤✐ ①➞② ❞ù♥❣ ➤Ị ❝➢➡♥❣✱ ✈✐Õt ✈➭ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ ❧✉❐♥ ✈➝♥✳ ❊♠ ①✐♥ ❝➯♠ ➡♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ tí✐ ❚r➢ê♥❣ ➜➵✐ ❤ä❝ ❑❤♦❛ ❍ä❝ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ♥➡✐ ❡♠ ➤➲ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ ♠ét ❤ä❝ ✈✃♥ s❛✉ ➤➵✐ ❤ä❝ ❝➝♥ ❜➯♥✳ ❚✐Õ♣ t❤❡♦✱ ❡♠ ①✐♥ ❝❤➞♥ t❤➭♥❤ ❝➯♠ ➡♥ ❝➳❝ t❤➬② ❝➠ ♣❤➯♥ ❜✐Ö♥ ➤➲ ➤ä❝ ✈➭ ❣ã♣ ý ❦✐Õ♥ ❝❤♦ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ➤Ĩ ❡♠ ❤♦➭♥ t❤✐Ư♥ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ❝đ❛ ♠×♥❤✳ ▲ê✐ ❝✉è✐ ①✐♥ ❝❤ó❝ sø❝ ❦❤á❡ t✃t ❝➯ ❝➳❝ t❤➬② ❝➳❝ ❝➠✱ ❝❤ó❝ t❤➬② ❝➠ ❧✉➠♥ ❤♦➭♥ t❤➭♥❤ tèt ♥❤✐Ư♠ ✈ơ ➤➢ỵ❝ ❣✐❛♦✳ ❈❤➞♥ t❤➭♥❤ ❝➯♠ ➡♥✦ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ◆❣➭② ✶ t❤➳♥❣ ✵✾ ♥➝♠ ✷✵✶✶✳ ◆❣➢ê✐ t❤ù❝ ❤✐Ư♥ ❚➵ ❱➝♥ ❍♦➭♥ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❈❤➢➡♥❣ ✶ P❤➬♥ ❝❤✉➮♥ ❜Þ ✶✳✶ ❑❤➳✐ ♥✐Ư♠ ✈➭ ♠ét ✈➭✐ tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝đ❛ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ b a ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❧í♥ ❤➡♥ b, ❦ý ❤✐Ö✉ a > b, ♥Õ✉ ❤✐Ö✉ a − b ❧➭ ♠ét sè ❞➢➡♥❣❀ a ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ❧í♥ ❤➡♥ ❤♦➷❝ ❜➺♥❣ b, ❦ý ❤✐Ư✉ a b, ♥Õ✉ ❤✐Ö✉ a − b ❧➭ ♠ét sè ❦❤➠♥❣ ➞♠❀ a ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♥❤á ❤➡♥ b, ❦ý ❤✐Ư✉ a < b, ♥Õ✉ ❤✐Ö✉ a − b ❧➭ ♠ét sè ➞♠❀ a ➤➢ỵ❝ ❣ä✐ ❧➭ ♥❤á ❤➡♥ ❤♦➷❝ ❜➺♥❣ b✱ ❦ý ❤✐Ö✉ a b, ♥Õ✉ ❤✐Ö✉ a − b ❧➭ ♠ét sè ❦❤➠♥❣ ❞➢➡♥❣✳ a ❦❤✐ a ●✐➳ trÞ t✉②Ưt ➤è✐ ❝ñ❛ a ❧➭ |a| = −a ❦❤✐ a < ➜Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛ ❚Ý♥❤ ❝❤✃t ✶✳✶✳✶✳ ❈❤♦ ❤❛✐ sè t❤ù❝ ✶✳✶✳✷✳ ❱í✐ ❝➳❝ sè t❤ù❝ a b a > b, c > c b, b > c |a| ✈➭ a, b, c ✈➭ sè tù ♥❤✐➟♥ n ❧✉➠♥ ❝ã tÝ♥❤ ❝❤✃t✿ a>b a>b a>b |a| > |b| ❱í✐ a ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ ⇐⇒ a−b>0 a+c>b+c a2n+1 > a2n+1 a2n > a2n a=b ⇐⇒ a>b ⇐⇒ ac > bc ⇐⇒ ac < bc =⇒ a > c α ⇐⇒ α −α a α ❑❤✐ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❜✃t tứ ữ t tứ tờ ợ sử ụ ✹ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.lrc-tnu.edu.vn ✺ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✶✳✶✳✸✳ ❱í✐ ❝➳❝ sè t❤ù❝ a, b, c, x, y, z ✈➭ d = ❝ã ❝➳❝ ➤å♥❣ ♥❤✃t t❤ø❝ s❛✉ ➤➞②✿ ✭✐✮ ✭✐✐✮ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ✈➭ (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) ✭✐✐✐✮ (a + b)3 = a3 + 3ab(a + b) + b3 ✭✐✈✮ a2 − b2 = (a − b)(a + b) ✭✈✮ ✭✈✐✮ ✭✈✐✐✮ ✭✈✐✐✐✮ ✈➭ (a − b)3 = a3 − 3ab(a − b) − b3 a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2 ) ✈➭ a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2 ) (a2 + b2 )(x2 + y ) = (ax + by)2 + (ay − bx)2 (a2 + b2 + c2 )(x2 + y + z ) = (ax + by + cz)2 + (ay − bx)2 + (bz − cy)2 + (cx − az)2 a |a| |ab| = |a||b|, | | = d |d| ✈➭ |a| = |b| ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ a = ±b ❇❛ ❜ỉ ➤Ị ❞➢í✐ ➤➞② tr×♥❤ ❜➭② ❝➳❝ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ t❤➢ê♥❣ ➤➢ỵ❝ sư ❞ơ♥❣ s❛✉ ♥➭②✳ ❇ỉ ➤Ị ✭✐✮ ✭✐✐✮ ✶✳✶✳✹✳ ❱í✐ ❝➳❝ sè t❤ù❝ a2 + b2 a, b, c, x, y, z d = ❝ã ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ s❛✉✿ 2ab (a2 + b2 )(x2 + y ) (ax + by)2 ✭✐✐✐✮ (a2 + b2 + c2 )(x2 + y + z ) ✭✐✈✮ ||a| − |b|| |a + b| ❇➭✐ ❣✐➯✐✿ ✭✐✮ ❇ë✐ ✈× ❦❤✐ ✈➭ (a − b)2 (ax + by + cz)2 |a| + |b| ♥➟♥ a2 + b2 2ab ❉✃✉ ❂ ①➮② r❛ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø a = b (ax + by)2 ♥➟♥ b a (a2 + b2 )(x2 + y ) (ax + by)2 ❉✃✉ ❂ ①➮② r❛ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ = x y 2 2 2 2 ✭✐✐✐✮ ❉♦ (a +b +c )(x +y +z ) = (ax+by+cz) +(ay−bx) +(bz−cy) + (cx−az)2 (ax+by+cz)2 ♥➟♥ (a2 +b2 +c2 )(x2 +y +z ) (ax+by+cz)2 a b c ❉✃✉ ❂ ①➮② r❛ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ = = x y z ✭✐✈✮ ❚❛ ❧✉➠♥ ❝ã |a| ±a, |b| ±b ❑❤✐ a+b t❤× |a+b| = a+b |a|+|b|; ò a+b < tì |a+b| = −a−b |a|+|b| ❚ã♠ ❧➵✐ |a+b| |a|+|b| ❇ë✐ ✭✐✐✮ ❉♦ ❜ë✐ (a2 + b2 )(x2 + y ) = (ax + by)2 + (ay − bx)2 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✻ |a| = |a + b + (−b)| |a + b| + | − b| = |a + b| + |b| ♥➟♥ |a| − |b| |a + b| ❚➢➡♥❣ tù |b| = |a + b + (−a)| |a + b| + | − a| = |a + b| + |a| ♥➟♥ |b| − |a| |a + b| ❚ã♠ ❧➵✐ ||a| − |b|| |a + b| |a| + |b| ✈× a, b, c, x, y, z, u, v, t ❧✉➠♥ ❝ã ❝➳❝ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ s❛✉✿ √ ✭✐✮ a + b + c 3 abc √ √ 3 ✭✐✐✮ (a + x)(b + y)(c + z) abc + xyz √ √ √ 3 ✭✐✐✐✮ (a + x + u)(b + y + v)(c + z + t) abc + xyz + uvt √ √ √ √ 3 ❇➭✐ ❣✐➯✐✿ ✭✐✮ ❱× a + b + c + abc ab + c abc abc abc ♥➟♥ √ √ √ 3 a + b + c + abc abc ❤❛② a + b + c abc ✭✐✐✮ ◆Õ✉ ♠ét tr♦♥❣ ❜❛ sè a + x, b + y, c + z ❜➺♥❣ ✵✱ ❝❤➻♥❣ ❤➵♥ a + x = 0, t❤× a = x = ✈➭ ❜✃t  ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❤✐Ĩ♥ ♥❤✐➟♥ ➤ó♥❣✳ ❳Ðt a + x, b + y, c + z = : a b c abc   + + 33  a+x b+y c+z (a + x)(b + y)(c + z) ❚❤❡♦ ✭✐✮ t❛ ❝ã ✈➭ x y z xyz   + +  a+x b+y c+z (a + x)(b + y)(c + z) √ √ abc + xyz ❝é♥❣ ✈Õ t❤❡♦ ✈Õ ➤➢ỵ❝ 33 ❚õ ➤➞② s✉② r❛ ✭✐✐✮✳ (a + x)(b + y)(c + z) 3 ✭✐✐✐✮ ❱× (a + x + u)(b + y + v)(c + z + t) (a + x)(b + y)(c + z)+ √ √ √ √ 3 uvt ♥➟♥ (a + x + u)(b + y + v)(c + z + t) abc+ xyz+ uvt ❇ỉ ➤Ị ✶✳✶✳✺✳ ❱í✐ ❇ỉ ➤Ị ✶✳✶✳✻✳ ❈❤♦ ❜❛ sè t❤ù❝ ✭✐✮ ✭✐✐✮ ✭✐✐✐✮ ✭✐✈✮ ✭✈✮ a, b, c ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❝➳❝ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ s❛✉✿ 1 + ❦❤✐ ab 1 + a2 + b2 + ab 1 + + ❦❤✐ a, b, c + a2 + b2 + c2 + abc 1 + (1 + a)2 (1 + b)2 + ab 1 + (1 + a)2 (1 + b)2 + ab ❦❤✐ 1 + + (1 + a)2 (1 + b)2 (1 + c)2 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ab 1 + abc ❦❤✐ a, b, c http://www.lrc-tnu.edu.vn ✼ ✭✈✐✮ √ √ 1 + √ + a2 + b2 1 + c2 1+ a+b 1+ a+b+c ❦❤✐ a, b, c ✈➭ √ 1 + √ + + a2 + b2 √ ❇➭✐ ❣✐➯✐✿ ✭✐✮ ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ (ab − 1)(a − b)2 + ❦❤✐ ab 1 + a2 + b2  + ab 1 2  +    + b2 + ab + abc 1 + a 1 2 ✭✐✐✮ ❱× a, b, c ♥➟♥ tõ t❛ s✉② r❛ +  + b + c2 + bc + abc   2   + 1 + c + a2 + ca + abc 1 + + + a2 + b2 + c2 + abc 2 ✭✐✐✐✮ ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ (ab − 1) + ab(a − b) 1 ❱❐② + (1 + a)2 (1 + b)2 + ab ❱❐② ✭✐✈✮ ❧➭ ❤✐Ó♥ ♥❤✐➟♥ q✉❛ q✉② ➤å♥❣ ❤❛✐ ✈Õ✳  1 2   +  2  (1 + b) + ab + abc   (1 +1 a) 2 + ✭✈✮ ❱× a, b, c ♥➟♥ tõ t❛ 2 (1 + b) (1 + c) + bc + abc    1 2    + (1 + c)2 (1 + a)2 + ca + abc 1 s✉② r❛ + + (1 + a)2 (1 + b)2 (1 + c)2 + abc −3/2 ✈í✐ x > ❝ã y = −x(1 + x ) < ❱❐② y ➤➡♥ ✭✈✐✮ ❍➭♠ sè y = √ 1+x 2x2 − 2 −5/2 −3/2 ➤✐Ö✉ ❣✐➯♠✳ ❚❛ ❧➵✐ ❝ã y” = 3x (1 + x ) − (1 + x ) = (1 + x2 )5 1 √ ✈➭ ♥❤➢ ✈❐② y ❧➭ ❤➭♠ ❧å✐✳ ❱❐② √ ❦❤✐ x + √ + a2 + b2 1 ✈➭ √ +√ +√ + a2 + b2 + c2 a+b a+b+c 1+ 1+ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❈❤➢➡♥❣ ✸ ▼ét sè ø♥❣ ❞ô♥❣ ✈➭♦ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ ❧✐➟♥ q✉❛♥ ✸✳✶ ❳➞② ❞ù♥❣ ❧➵✐ ♠ét sè ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❝æ ➤✐Ó♥ ❳➞② ❞ù♥❣ ❧➵✐ ♠ét sè ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ q✉❛ ❤➭♠ ♠ét ❜✐Õ♥ ▼ét ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ r✃t t❤➠♥❣ ❞ô♥❣ ❝ã t❤Ĩ ①➞② ❞ù♥❣ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❧➭ t×♠ ❝ù❝ f (x) ♥➭♦ ➤ã ❜➺♥❣ ❝➳❝❤ ❦❤➯♦ s➳t ❞✃✉ f (x) ➤Ó ❜✐Õt fnn ❤♦➷❝ fln ❙❛✉ ➤ã ❝❤ä♥ ❣✐➳ trÞ ➤➷❝ ❜✐Ưt ❝❤♦ x α ❇➽t ➤➬✉ ❜➺♥❣ ✈✐Ư❝ ①Ðt ❤➭♠ f (x) = x − αx ✈í✐ x ✈➭ < α < ❚õ f (x) = αxα−1 − α = ❝ã x = ✈➭ ❦❤➯♦ s➳t ❞✃✉ f (x) s✉② r❛ f (x) fln = p f (1) = − α ❤❛② f (x) = xα − αx − α ❱í✐ x = , p, q > 0, t❛ ➤➢ỵ❝ q α 1−α p q αp + (1 − α)q ➜➷t a = α, b = − α ❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ã ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝✿ trÞ ❝đ❛ ♠ét ❤➭♠ p, q > ✈➭ a, b 0, a + b = t❛ ❝ã pa q b ap + bq a2 a3 p1 = p, a1 = a ✈➭ q = p2b p3b ✈í✐ < a2 < b ✈➭ a2 + a3 = b ▲➵✐ ❝ã✿ ▼Ư♥❤ ➤Ị ➜➷t pa11 pa22 pa33 ✈í✐ ✸✳✶✳✶✳ ❱í✐ a2 a3 a1 p1 + bp b p b a1 p + b a2 a3 p + p = a1 p + a2 p + a3 p b b a1 + a2 + a3 = ❚✐Õ♣ tô❝ ♥❤➢ ✈❐②✱ ❜➺♥❣ q✉② ♥➵♣ s✉② a1 , a2 , a3 > ✈➭ r❛ ➤➢ỵ❝ ❦Õt q✉➯ s❛✉ ➤➞②✿ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✸✳✶✳✷✳ ●✐➯ t❤✐Õt pk > ak ✈➭ n a1 + a2 + · · · + an = ❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ã k=1 pakk ✈í✐ k n = 1, 2, , n t❤á❛ ♠➲♥ ak p k k=1 ✻✻ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✻✼ n ❑❤✐ ❧✃② ak = k = 1, 2, , n t❛ ➤➢ỵ❝ ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❈❛✉❝❤② ❞➢í✐ ➤➞②✿ ❍Ư q✉➯ ✸✳✶✳✸✳ ❬❈❛✉❝❤②❪ ◆Õ✉ ✈í✐ n p1 , p2 , , pn t❤× n n pk n k=1 ❚✐Õ♣ tơ❝ ✈❐♥ ❞ơ♥❣ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✸✳✶✳✶✱ ➤➷t 1 a1 p1a1 + b1 q1b1 pk k=1 a1 = a, b1 = b ✈➭ p1 = pa , q1 = q b t❛ ❝ã a1 , b1 > ✈➭ a1 + b1 = ❚➢➡♥❣ tù✱ ♥Õ✉ pk , qk 1 ✈➭ ak , bk > 0, ak +bk = 1, ✈í✐ k = 1, 2, , n ❧✉➠♥ ❝ã pk qk ak pkak +bk qkbk ❈é♥❣ n ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ♥➭② ❧➵✐ ➤➢ỵ❝ ❤Ư q✉➯ s❛✉ ➤➞②✿ p1 q1 ❍Ư q✉➯ ✸✳✶✳✹✳ ◆Õ✉ ✈í✐ pk , qk n pk q k t❤× t❛ ❧✉➠♥ ❝ã k=1 ▼Ư♥❤ ➤Ị ✈➭ ak , bk > 0, ak + bk = 1, ✈í✐ k = 1, 2, , n 1 n n ak pkak + bk qkbk k=1 k=1 n ✈í✐ a, b > 0, a+b = 1, ✈➭ ❝➳❝ Ak , Bk b a n n Ak Bk Bkb Aka ✸✳✶✳✺✳ ❬❈❛✉❝❤②✲❍♦❧❞❡r❪ ◆Õ✉ k = 1, 2, , n t❤× t❛ ❝ã k=1 ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿ ❱í✐ k=1 k=1 Ak ak = a, bk = b ✈➭ pk = n Aa a Ba n k k=1 Bk , qk = k=1 a k ➤❡♠ t❤❛② ✈➭♦ ❜✃t ❞➻♥❣ t❤ø❝ tr♦♥❣ ❍Ư q✉➯ ✸✳✶✳✹ t❛ ♥❤❐♥ ➤➢ỵ❝ ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ n Ak Bk ❈❛✉❝❤②✲❍♦❧❞❡r✿ k=1 ❱í✐ a=b= n Aa k=1 a k n Bb k=1 n pk qk ✸✳✶✳✻✳ ❬❇✉♥❤✐❛❦♦♣✇s❦✐❪ ❚❛ ❝ã k=1 ♠ä✐ sè t❤ù❝ t❛ ❝ã ➤➢ỵ❝ ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❇✉♥❤✐❛❦♦♣✇s❦✐✿ n ❍Ư q✉➯ k b k=1 p2k n k=1 qk2 pk , qk Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✈í✐ ✻✽ f (x) = xα −αx ✈í✐ x ✈➭ α > ❚õ f (x) = αxα−1 − α = ❝ã x = ✈➭ ❦❤➯♦ s➳t ❞✃✉ f (x) s✉② r❛ f (x) fnn = f (1) = − α α ❤❛② x − αx − α ➜➷t x = + y, y −1 ❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ã ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝✿ ❚✐Õ♣ t❤❡♦✱ ①Ðt ❤➭♠ ▼Ư♥❤ ➤Ị ❱Ý ❞ơ ✸✳✶✳✼✳ ❬❇❡r♥♦✉❧❧✐❪ ❱í✐ −1 t❛ ❝ã (y + 1)α ≥ αy + α > ✈➭ y ak ∈ (0; 1] ✈í✐ k = 1, 2, , n 1 a2 + a2 a3 · · · + an a1 2n ✸✳✶✳✽✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣✱ ♥Õ✉ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝✿ + a1 t❤× t❛ ❝ã ❇➭✐ ❣✐➯✐✿ ❚❤❡♦ ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❇❡r♥♦✉❧❧✐ ✈➭ ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❈❛✉❝❤② t❛ ❝ã ♥❣❛② + a1 1 a2 + a2 a3 · · · + an a1 1 a2 + a2 a3 · · · + an a1 + a1 ❱❐② 1+ a1 a2 1+ a2 an ··· 1+ a3 a1 2n ✸✳✶✳✾✳ ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣✱ ♥Õ✉ ak > ✈í✐ k = 1, 2, , n t❤× t❛ ❝ã ❜✃t a a a ➤➻♥❣ t❤ø❝✿ T = ak + ak + · · · + ak n > n − ➜➷❝ k=1 k=2 k=n a b c ❜✐Ưt✱ ♥Õ✉ a, b, c > t❤× (b + c) + (c + a) + (a + b) > ❱Ý ❞ô ❇➭✐ ❣✐➯✐✿ ◆Õ✉ ♠ä✐ ❤➵♥ a1 1, ak T > n − ◆Õ✉ tå♥ t➵✐ k ➤Ó ak a ak i > ✈➭ T > n tì ỗ k=i>1 ❧➭ ①Ðt tr➢ê♥❣ ❤ỵ♣ < ak < ✈í✐ ♠ä✐ ak < b < t❛ ❝ã T > k=1 n k ❙ư ❞ơ♥❣ ❦Õt q✉➯ ak + k=2 n ak k=1 1, t❤× ab > ❈✉è✐ ❝ï♥❣ a a+b k=n n ak = n − ak k=1 k=1 ❳Ðt t❤➟♠ ❜❛ ❤➭♠ s❛✉ ➤➞②✿ ❍➭♠ t❤ø ♥❤✃t f (x) = ex − x ❱× f (x) = ex − ♥➟♥ ❝ã ♥❣❛② ❜➯♥❣ ①Ðt ❞✃✉ ◆❤➢ ✈❐② f (x) ❦❤✐ x>0 ❦❤✐ x=0 x < ❦❤✐ fnn = f (0) = ✈➭ s✉② r❛ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❞➢í✐ ➤➞②✿ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ❦❤✐ ak + ··· +   > f (x) =   ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤ r➺♥❣ + a1 + a2 +· · ·+an−1 +an < ea1 ❚õ ➤➞② s✉② r❛✱ ♥Õ✉ 1+a1 +a2 +· · ·+an−1 +an ea1 t❤× f (x) ❦❤➠♥❣ t❤Ĩ ❝ã n ♥❣❤✐Ư♠ ➤Ị✉ t❤ù❝✳ ❱Ý ❞ơ ✸✳✶✳✶✶✳ ●✐➯ t❤✐Õt ➤❛ t❤ø❝ ❇➭✐ ❣✐➯✐✿ ●✐➯ sö t❤✃② α1 , α2 , , αn α1 , , α n < ✈➭ ♥❣❤✐Ư♠ t❤ù❝ ❝đ❛ f (x) = (1 − αk ) ❱× (x − αk ) f (x) = ❱❐② −α1 , , −αn > ex > + x ✈➭ n ❦❤✐ x>0 ♥➟♥ f (1) = k=1 (1 − αk ) < k=1 e−α1 e−α2 e−αn = ea1 ❳Ðt ❤➭♠ t❤ø ❤❛✐ ❉Ô ❞➭♥❣ n k=1 n f (1) = n ❧➭ g(x) = xe−x ✈í✐ x ❱× g (x) = e−x − xe−x ♥➟♥ ❝ã ♥❣❛② ❜➯♥❣ ①Ðt ❞✃✉   > g (x) =   2x ❦❤✐ < x < ABC ♥❤ä♥ ✈í✐ ❝➳❝ ❣ã❝ ➤➢ỵ❝ ➤♦ ❜➺♥❣ r❛➤✐❛♥✳ sin A + sin B + sin C + tan A tan B tan C > 2π ✸✳✶✳✶✺✳ ●✐➯ sư t❛♠ ❣✐➳❝ ❑❤✐ ➤ã π Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✼✵ ❇➭✐ ❣✐➯✐✿ ❚❤❡♦ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✸✳✶✳✶✸ t❛ ❝ã ❝➳❝ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❞➢í✐ ➤➞②✿ sin A + tan A > 2A sin B + tan B > 2B sin C + tan C > 2C tan A+tan B +tan C = tan A tan B tan C ♥➟♥ s❛✉ ❦❤✐ ❝é♥❣ ❜❛ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ tr➟♥ t❛ ➤➢ỵ❝ sin A + sin B + sin C + tan A tan B tan C > 2π ❱× ❳➞② ❞ù♥❣ ❧➵✐ ♠ét sè ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ q✉❛ ❤➭♠ ♥❤✐Ò✉ ❜✐Õ♥ ❇➞② ❣✐ê t❛ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❧➵✐ ♠ét ✈➭✐ ❦Õt q✉➯ q✉❛ ➤➵♦ ❤➭♠ ❝đ❛ ❤➭♠ ♥❤✐Ị✉ ❜✐Õ♥✳ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✸✳✶✳✶✻✳ ❉✐Ư♥ tÝ❝❤ ➤➢ê♥❣ trß♥ t➞♠ O ❜➳♥ ❦Ý♥❤ Sn+1 R n + ❝➵♥❤ ♥é✐ t✐Õ♣ tr♦♥❣ (n + 1)R2 2π sin ❤❛② ♥ã✐ n+1 ❝ñ❛ ➤❛ ❣✐➳❝ ❧å✐ ợt q ột r số ữ ộ tế tr ù ột trò tì ➤❛ ❣✐➳❝ ➤Ị✉ ❝ã ❞✐Ư♥ tÝ❝❤ ❧í♥ ♥❤✃t✳ xk = ∠A k OAk+1 ✈í✐ q✉② ➢í❝ An+2 ≡ A1 ❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ã  x1 + x2 + · · · + xn + xn+1 = 2π n+1 = R2 sin xk ❳Ðt f = sin x1 + sin x2 + · · · + sin xn + sin xn+1  k=1  < xk < 2π, k = 1, 2, , n + ❈❤ø♥❣ ♠✐♥❤✿ ➜➷t 2Sn+1 ❚õ ❤Ö ♥➭② s✉② r❛ ❤Ö   xn+1 = 2π − (x1 + x2 + · · · + xn ) f = sin x1 + sin x2 + · · · + sin xn − sin(x1 + x2 + · · · + xn )   < xk < 2π, k = 1, 2, , n +   cos x1 − cos(x1 + · · · + xn ) =      cos x2 − cos(x1 + · · · + xn ) =     ❳➳❝ ị ể q ệ trì cos xn − cos(x1 + · · · + xn ) =      x1 + x2 + · · · + xn + xn+1 = 2π    0 x 2π, k = 1, 2, , n + k 2π 2π 2π ◆❤➢ ✈❐② ➤➢ỵ❝ ➤✐Ĩ♠ ❞õ♥❣ M ( , , ) ✈➭ f (M ) = (n+1) sin n+1 n+1 n+1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✼✶ n ✈➭ s♦ s➳♥❤ ✈í✐ ❣✐➳ trÞ ❝đ❛ ❤➭♠ ①Ðt tr➟♥ ❜✐➟♥ ✈í✐ ♣❤➢➡♥❣ (n + 1)R2 2π xk = t❛ ❞Ô ❞➭♥❣ ❝❤Ø r❛ ➤➢ỵ❝ Sn+1 sin n+1 ❇➺♥❣ q✉② ♥➵♣ t trì t t tự t ò ó ết q✉➯ s❛✉ ➤➞②✿ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✸✳✶✳✶✼✳ ❚r♦♥❣ sè ♥❤÷♥❣ ➤❛ ộ tế tr ù ột trò tì ➤❛ ❣✐➳❝ ➤Ị✉ ❝ã ❝❤✉ ✈✐ ❧í♥ ♥❤✃t✳ ❱Ý ❞ơ ✸✳✶✳✶✽✳ ❚r♦♥❣ sè ♥❤÷♥❣ t❛♠ ❣✐➳❝ ✭tø ❣✐➳❝ ❧å✐✮ ♥é✐ tế tr ù ột trò tì t ề ✭❤×♥❤ ✈✉➠♥❣✮ ❝ã ❞✐Ư♥ tÝ❝❤ ✈➭ ❝❤✉ ✈✐ ❧í♥ ♥❤✃t✳ ❈❤ó ý r➺♥❣✱ ♥❤✐Ị✉ ❦❤✐ sư ❞ơ♥❣ ➤➵♦ ❤➭♠ ❧ê✐ ❣✐➯✐ ❜➭✐ t♦➳♥ sÏ trë ❧➟♥ ❞➭✐ ❞ß♥❣ ✈➭ ♣❤ø❝ t➵♣✳ ❚r➢í❝ ❦❤✐ ❝❤✉②Ĩ♥ s❛♥❣ ♣❤➬♥ t✐Õ♣ t❤❡♦ t❛ ①Ðt t❤➟♠ ♠ét ✈Ý ❞ơ s❛✉ ➤➞② ➤Ĩ t❤✃② r➺♥❣✱ ♥❤✐Ị✉ ❜➭✐ t♦➳♥ sÏ ❝ã ❧ê✐ ❣✐➯✐ ♥❣➽♥ ❣ä♥ ❦❤✐ t❛ ❦❤Ð♦ ❜✐Õ♥ ➤æ✐✿ M (α; β; γ) tr♦♥❣ ❦❤➠♥❣ ❣✐❛♥ ✈í✐ ❤Ư tä❛ ➤é trù❝ ❝❤✉➮♥ (Oxyz), ë ➤ã a, b, c > ❍➲② ①➳❝ ➤Þ♥❤ ♠➷t ♣❤➻♥❣ q✉❛ M ❝➽t Ox, Oy, Oz t➵✐ A, B, C s❛♦ ❝❤♦ t❤Ĩ tÝ❝❤ tø ❞✐Ư♥ OABC ♥❤á ♥❤✃t✳ ❱Ý ❞ơ ✸✳✶✳✶✾✳ ●✐➯ sö OA = a, OB = b, OC = c ✈í✐ a, b, c > ❑❤✐ ➤ã ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ x y z α β γ ♠➷t ♣❤➻♥❣ (ABC) ❧➭ + + = ❱× (ABC) ➤✐ q✉❛ M ♥➟♥ + + = a b c a b c ❤❛② abc = αbc + βca + γab ❚õ abc = αbc + βca + γab 3 αβγ(abc)2 , 9αβγ t❤❡♦ ❇✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❈❛✉❝❤②✱ t❛ s✉② r❛ abc 27αβγ ❱❐② (VOABC )nn = x y z ❦❤✐ a = 3α, b = 3β, c = 3γ ✈➭ ❦❤✐ ➤ã (ABC) : + + = α β γ ❇➭✐ ❣✐➯✐✿ ➜➷t ✸✳✷ ●✐➯✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈➭ ❜✃t ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❱✃♥ ➤Ị tå♥ t➵✐ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❤Ư ❝ã ➤✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ❤♦➷❝ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❣✐➳ trÞ t❤❛♠ sè ➤Ĩ ❤Ư ❝ã ♥❣❤✐Ư♠ t❤➢ê♥❣ ❧✐➟♥ q✉❛♥ ❝❤➷t ❝❤Ï ế ệ tì ự trị ủ ột số ột ✈➭✐ ♠è✐ ❧✐➟♥ ❤Ư ➤➢ỵ❝ ❜✐Ĩ✉ ❤✐Ư♥ q✉❛ ❝➳❝ ❦Õt q✉➯ s❛✉ ➤➞②✿ ▼Ư♥❤ ➤Ị ✸✳✷✳✶✳ ●✐➯ sư ❤➭♠ sè y = f (x) ①➳❝ ➤Þ♥❤ ✈➭ ❧✐➟♥ tơ❝ tr➟♥ [a; b] ✈í✐ m = fnn , M = fln ❑❤✐ ➤ã ✭✐✮ ✭✐✐✮ f (x) = u ❝ã ♥❣❤✐Ö♠ t❤✉é❝ [a; b] ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ m f (x) u [a; b] ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ m [a; b] ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ u < m ❝ã ♥❣❤✐Ö♠ t❤✉é❝ ❦❤➠♥❣ ❝ã ♥❣❤✐Ư♠ t❤✉é❝ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên u M u ✈➭ f (x) http://www.lrc-tnu.edu.vn u ✼✷ ✭✐✐✐✮ f (x) u ❦❤➠♥❣ ❝ã ♥❣❤✐Ư♠ t❤✉é❝ ▼Ư♥❤ ➤Ị [a; b] ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ u [a; b] ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ u > M ❝ã ♥❣❤✐Ư♠ t❤✉é❝ ✸✳✷✳✷✳ ●✐➯ sư ❤➭♠ sè y = f (x) M ✈➭ f (x) ①➳❝ ➤Þ♥❤ ✈➭ ❧✐➟♥ tơ❝ tr➟♥ [a; b] u ✈í✐ m = fnn , M = fln ❑❤✐ ➤ã ✭✐✮ ▼ä✐ x ∈ [a; b] ➤Ị✉ ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ f (x) u ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ u M x ∈ [a; b] ➤Ị✉ ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ f (x) u ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ u m √ √ ❱Ý ❞ô ✸✳✷✳✸✳ ●✐➯✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ 9x2 − + 6x − = √ √ √ ❇➭✐ ❣✐➯✐✿ ➜✐Ị✉ ❦✐Ư♥ x ❱❐② = 9x2 − + 6x − 6x − 1 − = ❉♦ ➤ã ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝ã ➤ó♥❣ ♠ét ♥❣❤✐Ư♠ x = 3 √ √ √ x − + 14 − y = √ ❱Ý ❞ơ ✸✳✷✳✹✳ ●✐➯✐ ❤Ư ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ √ √ y − + 14 − x = ✭✐✐✮ ▼ä✐ x, y 14 ❈é♥❣ ❤❛✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤✱ ✈Õ ✈í✐ ✈Õ✱ ➤➢ỵ❝ √ √ x − + 14 − x + y − + 14 − y = √ √ ❳Ðt ❤➭♠ f (t) = t√− + 14 − t tr➟♥ [2; 14] ❍➭♠ ❧✐➟♥ tô❝ ♥➭② ♥❤❐♥ ❣✐➳ trÞ ❧í♥ ♥❤✃t fln = t➵✐ t = ❱❐② ❤Ư ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝ã ➤ó♥❣ ♠ét ♥❣❤✐Ö♠ x = y = √ √ √  x − + 13 − y = √ √ √ ❱Ý ❞ơ ✸✳✷✳✺✳ ●✐➯✐ ❤Ư ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ y − + 13 − z =  √ √ √ z − + 13 − x = ❇➭✐ ❣✐➯✐✿ ➜✐Ị✉ ❦✐Ư♥ 13 ộ trì ế ế ợ √ √ √ √ √ x − + 13 − x + y − + 13 − y + z − + 13 − z = √ √ ❳Ðt ❤➭♠ f (t) = t√− + 13 − t tr➟♥ [3; 13] ❍➭♠ ❧✐➟♥ tô❝ ♥➭② ♥❤❐♥ ❣✐➳ trÞ ❧í♥ ♥❤✃t fln = t➵✐ t = ❱❐② ❤Ư ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝ã ➤ó♥❣ ♠ét ♥❣❤✐Ö♠ x = y = z =   3y x ❱Ý ❞ơ ✸✳✷✳✻✳ ●✐➯✐ ❤Ư ❜✃t ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ 4x − y   2x + 3y = 2349 ❇➭✐ ❣✐➯✐✿ ➜✐Ị✉ ❦✐Ư♥ x, y, z Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✼✸ x2 ❇➭✐ ❣✐➯✐✿ ❚❛ ❝ã 4x − y ❱❐② x2 − 12x + 27 ❤❛② x 2 ❚õ ➤➞② s✉② r❛ y > ✈➭ 2349 = 2x + 3y 2x2 + 3(4x − 9)2 = f (x) ❑❤➯♦ s➳t ❤➭♠ f (x) = 50x − 216x + 243 ✈í✐ x ❱× f (x) ➤å♥❣ ❜✐Õ♥ tr➟♥ [3; 9] ♥➟♥ fln = f (9) = 2349 ◆❤➢ ✈❐② x = 9, y = 27 ❱Ý ❞ơ ❇➭✐ ❣✐➯✐✿ ❱í✐ ✈❐② t2 3(6 − t) ❚õ ➤➞② s✉② r❛ x= √ cos t, y = = 2(x3 − y ) − 3(x − y) = ◆❤➢ ✈❐② ❞✃✉ ❂ ♣❤➯✐ ①➮② r❛ ❤❛② ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❤Ư ➤➲ ❝❤♦✳ ❱Ý ❞ơ x2 + y = 2(x3 − y ) − 3(x − y) = √ sin t ✈í✐ t ∈ [0; 2π] ❑❤✐ ➤ã t❛ ❝ã √ π 2(cos 3t + sin 3t) = cos(3t − ) π 3t = + 2kπ ✈í✐ k = 0, 1, ❚õ ➤➞② s✉② r❛ √ m ➤Ó x+3 = m x2 + ❝ã ♥❣❤✐Ư♠✳ √ = m ❉Ơ ❞➭♥❣ ❝ã −1 < y 10 ❱❐② ✸✳✷✳✾✳ ❳➳❝ ➤Þ♥❤ ❣✐➳ trÞ ❝đ❛ t❤❛♠ sè x+3 y = √ x2√+ x + = m x2 + ❇➭✐ ❣✐➯✐✿ ❚❛ ❝ã ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ √ 2 3(x  +y +z ) = ◆❤➢  x + y + z = t = ❚ã♠ ❧➵✐ xy + yz + zx =   x + y + z = x = y = z = ✸✳✷✳✽✳ ●✐➯✐ ❤Ư ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❇➭✐ ❣✐➯✐✿ ➜➷t t2 t = x+y+z ❝ã 3(xy+yz+zx) ❉Ô ❞➭♥❣ s✉② r❛ ❱Ý ❞ô x + y + z + xy + yz + zx = x2 + y + z = ✸✳✷✳✼✳ ●✐➯✐ ❤Ư ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝ã ♥❣❤✐Ư♠ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐ −1 < m 10 √ ✸✳✷✳✶✵✳ ●✐➯✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✿ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1−x+ √ √ 1−x=3   − x2 ≥ ❇➭✐ ❣✐➯✐✿ ➜✐Ị✉ ❦✐Ư♥ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ + x ≥ ❤❛② −1 ≤ x ≤ 1✳  1−x≥0 √ √ √ ➜➷t f (x) = − x + + x + − x✳ ❚❤❡♦ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❈❛✉❝❤② t❛ ❝ã✿ ❱Ý ❞ô 1+x+ http://www.lrc-tnu.edu.vn ✼✹ √ √ √ − x + + x + 1+x − x2 = (1 − x)(1 + x) ≤ ; 41+x≤ ; 2 √ √ √ √ √ 1+ 1−x 4 ✳ ❉♦ ➤ã f (x) = 1−x ≤ 1−x + 41+x + 41−x ≤ √ √ + (1 + x) + + (1 − x) = 3✳ 1+ 1+x+ 1−x≤1+ ❙✉② r❛ f (x) ≤ ✈í✐ ♠ä✐ −1 ≤ x ≤ 1✳ ❉✃✉ ❜➺♥❣ ①➯② r❛ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐✿ √ √ −x= 1+x  1√ ⇔ x = √1 − x =  1+x=1 √ √ ❱❐② ♣❤➢➡♥❣ tr✐♥❤ ❝ã ♥❣❤✐Ö♠ ❞✉② ♥❤✃t ❧➭ ❱Ý ❞ô x = 0✳ ✸✳✷✳✶✶✳ ●✐➯✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ s❛✉✿ sin x + ❇➭✐ ❣✐➯✐✿ ➜➷t − sin2 x + sin x f (x) = sin x + − sin2 x = − sin2 x + sin x − sin2 x✳ ❚❤❡♦ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❇✉♥❤✐❛❝♦✇s❦✐ t❛ ❝ã✿ 2 (sin x + − sin x) ≤ sin x + (2 − sin2 x) (1 + 1)✳ ❙✉② r❛✿ sin x + − sin2 x ≤ 2✳ sin2 x + (2 − sin2 x) ❚❤❡♦ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❈❛✉❝❤② t❛ ❧➵✐ ❝ã✿ |sin x| − sin x ≤ ✳ ❙✉② r❛✿ sin x − sin2 x ≤ 1✱ ❞♦ ➤ã f (x) ≤ 3✳ ❉✃✉ ❜➺♥❣ ①➯② r❛ ❦❤✐ ✈➭ ❝❤Ø ❦❤✐✿ sin x = − sin2 x |sin x| = − sin2 x ⇔ sin x = − sin2 x sin x ≥ ⇔ sin x = − sin2 x ⇔ sin x = π ⇔ x = + k2π, k ∈ Z π + k2π, (k ∈ Z) ❱❐② ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝ã ♥❣❤✐Ư♠ ❧➭ x = ❱Ý ❞ơ ✸✳✷✳✶✷✳ ●✐➯✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤✿ 3x2 + 6x + + 5x2 + 10x + 14 = − 2x − x2 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✼✺ ❇➭✐ ❣✐➯✐✿ ➜➷t f (x) = √ √ 3x2 + 6x + 7+ 5x2 + 10x + 14= 3(x − 1)2 + 4+ 5(x + 1)2 + 9✱ ❞♦ ➤ã f (x) ≥ 5✱ ∀x ∈ D = {x : − 2x − x2 ≥ 0}✳ 2 ➜➷t g(x) = − 2x − x = −(x + 1) + 5✱ ❞♦ ➤ã g(x) ≤ 5✳ f (x) = ❑❤✐ ➤ã ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➲ ❝❤♦ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ ❤Ư ⇔ x = −1 g(x) = ❱❐② x = −1 ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❞✉② ♥❤✃t ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤✳ ❱Ý ❞ơ ì trị ủ t số ể tr×♥❤ s❛✉ ❝ã ♥❣❤✐Ư♠✿ √ √ x − + m x + = x2 − ❇➭✐ ❣✐➯✐✿ ➜✐Ị✉ ❦✐Ư♥ x ≥ 1✳ x−1 x−1 +24 = m✱✭✶✮ x+1 x+1 x−1 x−1 x−1 +24 ✱ ➤➷t t = ✱ ✈í✐ x ≥ s✉② r❛ ❳Ðt f (x) = −3 x+1 x+1 x+1 ≤ t < 1✳ ❑❤✐ ➤ã f (x) ✈í✐ x ≥ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ g(t) = −3t2 + 2t ✈í✐ ≤ t < 1✳ ❚❛ ❦❤➯♦ s➳t g(t) ✈í✐ ≤ t ≤ t❤✉ ➤➢ỵ❝ gnn = g(1) = −1 ✈➭ 1 gln = ✱ s✉② r❛ fln = ✈➭ f (x) > −1✳ 3 ❱❐② ➤Ĩ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝ã ♥❣❤✐Ư♠ t❤× −1 < m ≤ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➲ ❝❤♦ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ❱Ý ụ ị ể trì s ❝ã ♥❣❤✐Ö♠✿ m( − x2 − − x2 + 2) = − x4 + + x2 − − x2 ❇➭✐ ❣✐➯✐✿ ➜✐Ị✉ ❦✐Ư♥ −1 ≤ x ≤ √ √ + x2 − − x2 ✈í✐ −1 ➜➷t t = √ ≤ x ≤ t❤× ≤ t ≤ √ P❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ➤➲ ❝❤♦ trë t❤➭♥❤ m(t + 2) = −t + t + 2✱ ✈× ≤ t ≤ ♥➟♥ −t + t + ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ =m t+2 √ −t2 + t + ➜➷t f (t) = ✳ ❉♦ f (t) ❧✐➟♥ tơ❝ ✈í✐ ≤ t ≤ 2✳ ❇➺♥❣ ♣❤➢➡♥❣ t+2 √ √ ♣❤➳♣ ❦❤➯♦ s➳t ❤➭♠ sè t❛ t❤✉ ➤➢ỵ❝ fln = f (0) = 1; fnn = f ( 2) = − 1✳ √ ❱❐② ➤Ĩ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝ã ♥❣❤✐Ư♠ t❤× 2−1≤m≤1 ❱Ý ❞ơ ✸✳✷✳✶✺✳ ❚×♠ ❛ ➤Ĩ ❜✃t ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ s❛✉ (a + 2)x − a = |x + 1| ❈ã ♥❣✐Ư♠ ➤ó♥❣ ✈í✐ ♠ä✐ ≤ x ≤ 2✳ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✼✻ ❇➭✐ ❣✐➯✐✿ ❇×♥❤ ♣❤➢➡♥❣ ❤❛✐ ✈Õ t❛ ➤➢❛ ❜✃t ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✈Ị ❞➵♥❣ t✉➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ s❛✉✿ x2 + ≤ a(x − 1), (1) ❚❛ t❤✃② x = ❦❤➠♥❣ ♣❤➯✐ ❧➭ ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ✭✶✮ ❞♦ ➤ã ✭✶✮ t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ ❤Ư✿  x +1  x − ≥ a, ≤ x < 1(I)  x2 + ≤ a, < x ≤ 2(II) x−1 x2 + x2 − 2x − ❳Ðt ❤➭♠ sè f (x) = ✈í✐ ≤ x ≤ 2✳ ➜➵♦ ❤➭♠ f (x) = ✳ x−1 (x − 1) √ ❈❤♦ f (x) = ⇔ x − 2x − = ⇔ x = ± ▲❐♣ ❜➯♥❣ ❜✐Õ♥ t❤✐➟♥ t❛ t❤✉ ➤➢ỵ❝✿ ≤ x < t❛ ➤➢ỵ❝✿ fln = f (0) = −1 ✈➭ fnn = −∞✱ s✉② r❛ a ≤ −1 ❱í✐ < x ≤ t❛ ➤➢ỵ❝✿ fnn = f (2) = ✈➭ fln = +∞✱ s✉② r❛ a ≥ ❱❐② ❜✃t ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝ã ♥❣❤✐Ư♠ ✈í✐ ♠ä✐ ≤ x ≤ t❤× a ≤ −1 ❤♦➷❝ a ≥ 5✳  2x2   =y     + 2x 2y ❱Ý ❞ơ ✸✳✷✳✶✻ ✳ ●✐➯✐ ❤Ư ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ =z  + y2      2z = x + z2 ❱í✐ x = y = z = 0✳ x, y, z ♥❤❐♥ ❣✐➳ trÞ ❦❤➳❝ t❤× ❇➭✐ ❣✐➯✐✿ ❉Ơ t❤✃② ♥❣❤✐Ư♠ ❝đ❛ ❤Ư ❧➭ ◆Õ✉ ♠ét tr♦♥❣ ❜❛ ➮♥ sè ❣✐➳ trÞ ❦❤➳❝ ❤❛✐ ➮♥ ❦✐❛ ❝ị♥❣ ♥❤❐♥ 0✳ ◆❤➞♥ ❝➳❝ ✈Õ ❝đ❛ ❤Ư t❛ ➤➢ỵ❝✿ 8x2 y z = xyz (1 + x2 )(1 + y )(1 + z ) 8xyz ⇔ =1 (1 + x )(1 + y )(1 + z ) ⇔ (1 + x2 )(1 + y )(1 + z ) = 8xyz 1 ⇔ (x + )(y + )(z + ) = x y z ➜➷t 1 P = (x + )(y + )(z + ) = 8✱ t❛ ❝ã max P = 8✳ ❉✃✉ ❜➺♥❣ ①➯② x=0,y=0,z=0 x y z Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✼✼ r❛ ❦❤✐ x = y = z = 1✳ ❱❐② ❤Ö ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝ã ♥❣❤✐Ư♠ ❧➭✿ ❱Ý ❞ơ 2x (x, y, z) = (0, 0, 0); (1, 1, 1) ✸✳✷✳✶✼✳ ❚×♠ ♠ ➤Ĩ ❤Ư ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ s❛✉ ❝ã ♥❣❤✐Ư♠✿ − (y + 2)x2 + xy = m ✈í✐ (x, y) ∈ R x + x − y = − 2m ❇➭✐ ❣✐➯✐✿ ❚õ ❤Ư ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ 2x3 − (y + 2)x2 + xy = m, (1) x2 + x − y = − 2m, (2) ◆❤➞♥ ❤❛✐ ✈Õ ❝đ❛ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✭✶✮ ✈í✐ ✷ rå✐ ❝➠♥❣ ✈í✐ ✭✶✮t❛ ➤➢ỵ❝✿ 2 4x − (2y + 4)x + 2xy + x + x − y = ⇔ 4x3 + 4x2 + x2 + x − = y(2x2 − 2x + 1) 4x3 − 3x2 + x − ⇔y= 2x2 − 2x + 1 ⇔ y = 2x + − 2(2x2 − 2x + 1) 1 − = − (2x2 − ❚❤❛② ✈➭♦ ✭✷✮ t❛ ❝ã✿ 2m = −x + x + 2 2(2x − 2x + 1) 2x + 1) − 2(2x2 − 2x + 1) 2 ✱ ➤➷t t = 2x − 2x + 1✱ ❳Ðt f (x) = − (2x − 2x + 1) − 2 2(2x − 2x + 1) 1 ✈í✐ t ≥ ✳ ❑❤✐ ➤ã f (x) t➢➡♥❣ ➤➢➡♥❣ ✈í✐ g(t) = − (t + )✱ ✈í✐ t ≥ ✳ 2√ t ❇➺♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❦❤➯♦ s➳t t❛ t×♠ ➤➢ỵ❝ gln = − 3; gnn = −∞ ❤❛② √ fln = − 3; fnn = −∞✳ √ √ 1− ❱❐② ➤Ĩ ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❝ã ♥❣❤✐Ư♠ t❤× 2m ≤ − ❤❛② m ≤ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❑Õt ❧✉❐♥ ❚r♦♥❣ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥➭②✱ ❝❤ó♥❣ t➠✐ trì ợ ữ ề s ✭✶✮ ◆❤➽❝ ❧➵✐ ➤Þ♥❤ ♥❣❤Ü❛✱ ♠ét sè tÝ♥❤ ❝❤✃t ❝đ❛ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝✳ ❚r×♥❤ ❜➭② ❧➵✐ ♠ét sè ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝➡ ❜➯♥ ➤Ó ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❝ï♥❣ ♠ét sè ✈Ý ❞ô t➢➡♥❣ t❤Ý❝❤ tõ♥❣ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣✳ ✭✷✮ ◆❤➽❝ ❧➵✐ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ❣✐➳ trÞ ❧í♥ ♥❤✃t ❤♦➷❝ ♥❤á ♥❤✃t ột số ết q q rì ợ ♠ét sè ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝➡ ❜➯♥ ➤Ĩ ①➳❝ ➤Þ♥❤ ❣✐➳ trÞ ❧í♥ ♥❤✃t ❤♦➷❝ ♥❤á ♥❤✃t ♠ét ❜✐Ĩ✉ t❤ø❝ ❤❛② ♠ét ❤➭♠ sè✳ ❈❤ä♥ ❧ä❝ ✈➭ s➳♥❣ t➳❝ ➤➢ỵ❝ ♠ét sè ❜➭✐ t♦➳♥ t➢➡♥❣ ø♥❣✳ ✭✸✮ ❚r×♥❤ ❜➭② ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ s➳♥❣ t➳❝ ♠ét sè ❜➭✐ t♦➳♥ ❝ù❝ trÞ tr♦♥❣ t❛♠ ❣✐➳❝ q✉❛ ➤❛ t❤ø❝ ❜❐❝ ❜❛✳ ✭✹✮ ❱❐♥ ❞ô♥❣ ❦❤➳✐ ♥✐Ư♠ ❝ù❝ trÞ ✈➭♦ ✈✐Ư❝ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❧➵✐ ♠ét sè ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❝ỉ ➤✐Ĩ♥ ✈➭ ❣✐➯✐ ❤Ư ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ❤❛② ❜✃t ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤✳ ❚✉② ➤➲ ❤Õt sø❝ ❝è ❣➽♥❣ ♥❤➢♥❣ ❞♦ t❤ê✐ ❣✐❛♥ ❝ã ❤➵♥ ♥➟♥ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ✈➱♥ ❦❤➠♥❣ t❤Ĩ tr➳♥❤ ❦❤á✐ ♥❤÷♥❣ s❛✐ ①ãt ✈➭ ❤➵♥ ❝❤Õ t ị rt ợ ó ó ý ế ❝đ❛ q✉ý t❤➬② ❝➠ ✈➭ ❝➳❝ ❜➵♥ ➤Ĩ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ➤➢ỵ❝ ❤♦➭♥ t❤✐Ư♥ ❤➡♥✳ ✼✽ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ❚➭✐ ❧✐Ö✉ t❤❛♠ ❦❤➯♦ ❬✶❪ ❉♦➲♥ ▼✐♥❤ ❈➢➡♥❣ ✭❝❤ñ ❜✐➟♥✮✱ ❚♦➳♥ ➠♥ t❤✐ ➤➵✐ ❤ä❝✱ ❍➭ ◆é✐ ✷✵✵✸✳ ❬✷❪ ◆❣✉②Ơ♥ ➜Ơ ✭❝❤đ ❜✐➟♥✮✱ ❈➳❝ ❜➭✐ t♦➳♥ ➤➵✐ sè ❤❛② ✈➭ ❦❤ã ✱ ◆❳❇ ●✐➳♦ ❉ô❝ ✶✾✾✻✳ ❬✸❪ ▲➟ ❍å♥❣ ➜ø❝ ❝ï♥❣ t❐♣ t❤Ó ❣✐➳♦ ✈✐➟♥ tr➢ê♥❣ ❚❍P❚ ◗✉è❝ ❚Õ ◆❊❲❚❖◆✲ ❍➭ ◆é✐✱ P❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ❝❤ø♥❣ ♠✐♥❤ ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ✈➭ t×♠ ❣✐➳ trÞ ❧í♥ ♥❤✃t ♥❤á ♥❤✃t ❝đ❛ ❤➭♠ sè✱ ❍➭ ◆é✐ ✶✾✾✺✳ ❬✹❪ ❚r➬♥ ❱➝♥ ❍➵♦ ✭❝❤đ ❜✐➟♥✮✱ ❈❤✉②➟♥ ➤Ị ❜✃t ➤➻♥❣ t❤ø❝ ❧✉②Ư♥ t❤✐ ➤➵✐ ❤ä❝ ✱ ◆❳❇ ●✐➳♦ ❉ơ❝ ✷✵✵✺✳ ❬✺❪ P❤❛♥ ❍✉② ❑❤➯✐✱ ❈➳❝ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ t×♠ ❣✐➳ trÞ ❧í♥ ♥❤✃t✱ ❣✐➳ trÞ ♥❤á ♥❤✃t ✱ ❍➭ ◆é✐ ✶✾✾✺✳ ❬✻❪ P❤❛♥ ❍✉② ❑❤➯✐✱ ❚♦➳♥ ♥➞♥❣ ❝❛♦ ❧➢ỵ♥❣ ❣✐➳❝ ❧í♣ ✶✶ ✱ ❍➭ ◆é✐ ✶✾✾✾✳ ❬✼❪ ❱â ➜➵✐ ▼❛✉✲ ❱â ➜➵✐ ❍♦➭✐ ➜ø❝ ✭❝❤ñ ❜✐➟♥✮✱ ❈➳❝ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ➤➷❝ ệt tì trị t ỏ t ủ sè ✱ ◆❳❇ ●✐➳♦ ❉ơ❝ ✷✵✵✵✳ ✼✾ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✽✵ ▲✉❐♥ ✈➝♥ ➤➲ ➤➢ỵ❝ ❜➯♦ ✈Ư tr➢í❝ ❤é✐ ➤å♥❣ ❝❤✃♠ ❧✉❐♥ ✈➝♥ ♥❣➭② ✷✷ t❤➳♥❣ ✶✶ ♥➝♠ ✷✵✶✶ ✈➭ ➤➲ ❝❤Ø♥❤ sư❛ ✈í✐ ❝➳❝ ý ❦✐Õ♥ ➤ã♥❣ ❣ã♣ ❝đ❛ ❝➳❝ t❤➬②✱ ❝➠ tr♦♥❣ ❤é✐ ➤å♥❣✳ ❚❤➳✐ ◆❣✉②➟♥✱ ♥❣➭② ✷✹ t❤➳♥❣ ✶✶ ♥➝♠ ✷✵✶✶ ❳➳❝ ♥❤❐♥ ❝đ❛ ❝➳♥ ❜é ❤➢í♥❣ ❞➱♥ ❦❤♦❛ ❤ä❝ P●❙✳❚❙ ➜➭♠ ❱➝♥ ◆❤Ø Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ... t➢➡♥❣ t❤Ý❝❤✳ ❈❤➢➡♥❣■■ ể trì ề trị t ♥❤á ♥❤✃t✳ ➜➞② ❧➭ ❝❤➢➡♥❣ trä♥❣ t➞♠ ❣✐í✐ t❤✐Ư✉ ✈Ị tì trị t ỏ ♥❤✃t✳ ❈ơ t❤Ĩ ♠ơ❝ ✷✳✶ t❐♣ tr✉♥❣ ❣✐í✐ t❤✐Ư✉ ♠ét số t ọ ọ tì trị t ✈➭ ♥❤á ♥❤✃t ❜➺♥❣ ♣❤➢➡♥❣... ♣❤➢➡♥❣ tr×♥❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼✶ ✶ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ✷ ♠ë ➤➬✉ t tì trị t ỏ t tì ự trị ột ể tứ ó từ ❧➞✉✱ ♥❤➢♥❣ ❧✉➠♥ ①✉✃t ❤✐Ư♥... ✷✳✸ ❣✐í✐ t❤✐Ư✉ ♣❤➢➡♥❣ ♣❤➳♣ ➤➵♦ ❤➭♠ tì trị t ỏ t ố ❤➭♠ ♠ét ❜✐Õ♥✱ ❤➭♠ ❧å✐✱ ❤➭♠ ♥❤✐Ò✉ ❜✐Õ♥ ✈➭ ❝➳❝ s➳♥❣ t➳❝ ❜➭✐ t❐♣ t➢➡♥❣ ø♥❣✳ ▼ơ❝ ✷✳✹ ❣✐í✐ t❤✐Ư✉ ột số t tì ự trị tä❛ ➤é ➤✐Ó♠✱ tä❛ ➤é ✈Ð❝ t➡ ❤♦➷❝