Sóng nhỏ Spline và một số ứng dụng

i Mục lục i Mở đầu iv Chƣơng Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Các khái niệm giải tích hàm 1.1.1 Không gian véctơ………………………………………… 1.1.2 Không gian định chuẩn…………………………………………… 1.1.3 Không gian Hilbert……………………………………… 1.2 Biến đổi Fourier 1.2.1 Định nghĩa phép biến đổi Fourier ………………………………… 1.2.2 Tính chất biến đổi Fourier …………………………………… Chƣơng Sóng nhỏ spline 2.1 Cơ sở sóng nhỏ Haar 2.1.1 Xấp xỉ hàm thang bậc ……………………………………… 2.1.2 Cơ sở sóng nhỏ Haar……………………………………………… 2.2 Phân tích đa phân giải 10 2.2.1 Định nghĩa phân tích đa phân giải………………………………… 10 2.2.2 Tính ổn định hàm thang bậc ………………………………… 11 2.2.3 Tính đầy đủ hàm thang bậc…………………………………… 11 2.3 Sóng nhỏ spline trực chuẩn 12 2.3.1 B-spline bản…………………………………………………… 12 2.3.2 Xây dựng sóng nhỏ spline trực chuẩn………………………… 14 2.4 Sóng nhỏ có giá compact 19 2.4.1 Tính chất mặt nạ……………………………………… 20 2.4.2 Biểu trưng hàm thang bậc trực giao……………………… 21 2.5 Hàm thang bậc Daubechies 23 2.5.1 Dạng tích vô hạn……………………………………………… 23 2.5.2 Chứng minh hàm thang bậc khả tích bình phương………………… 26 2.5.3 Tính trực giao hàm thang bậc………………………………… 27 2.6 Sóng nhỏ spline 30 ii 2.6.1 Một số ưu điểm sóng nhỏ spline……………………………… 30 2.6.1.1 Nghiệm hình thức đóng…………………………………… 30 2.6.1.2 Thao tác đơn giản……………………….…………………… 32 2.6.1.3 Tính đối xứng…………………….………………………… 32 2.6.1.4 Hàm thang bậc ngắn thứ tự L …………….……… 32 2.6.1.5 Tính lớn cho thứ tự L định…………….…… 33 2.6.1.6 Mối liên hệ m - thang……………………… ……….……… 33 2.6.1.7 Tính biến phân……………………… ……………….……… 34 2.6.1.8 Tính xấp xỉ tốt nhất…………….………………….………… 34 2.6.2 Sóng nhỏ spline tựa trực giao…………………………………… 35 ……………….……… 35 2.6.2.2 Cơ sở sóng nhỏ tựa trực giao khoảng hữu hạn……….… 39 2.6.3 Sóng nhỏ spline tựa nội suy……………………………….……… 45 2.6.2.1 Sóng nhỏ spline tựa trực giao 2.6.3.1 Cơ sở sóng nhỏ spline tựa nội suy ……………… … 45 2.6.3.2 Cơ sở sóng nhỏ spline tựa nội suy khoảng hữu hạn …… 46 Chƣơng Một số ứng dụng sóng nhỏ spline 50 3.1 Ứng dụng sóng nhỏ spline vào giải phƣơng trình đạo hàm riêng … 50 3.1.1 Xấp xỉ sóng nhỏ…………………………………………………… 50 3.1.2 Phương pháp sóng nhỏ Collcation giải xấp xỉ phương trình bậc 51 3.1.3 Phương pháp sóng nhỏ Collcation giải xấp xỉ phương trình bậc hai 54 3.2 Ứng dụng sóng nhỏ spline vào giải phƣơng trình tích phân tuyến tính 56 3.2.1.Hàm thang bậc B-spline có giá đoạn  0,1 …… …… 57 3.2.2 Phương trình đại số tương ứng với phương trình tích phân……… 59 3.2.3 Ví dụ kết số………………………………………… 61 Kết luận 64 Tài liệu tham khảo 65 iii BẢNG KÝ HIỆU Tập số tự nhiên  Tập số tự nhiên khác không Tập số thực Tập số phức Tập tất hàm số thực liên tục đoạn  a, b Ca ,b  Chuẩn  Tập rỗng   : z  C z   Tập hợp điểm đường tròn đơn vị mặt phẳng phức L2a ,b tập tất hàm bình phương khả tích đoạn  a, b  iv LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong khoa học tự nhiên, kĩ thuật, kinh tế, lĩnh vực khác sống nhiều vần đề, nhiều toán đưa tới nghiên cứu phương trình vi phân, phương trình tích phân phương trình đạo hàm riêng…Việc tìm nghiệm phương trình thường gặp khó khăn, nghiệm tìm áp dụng vào thực tiễn tính toán lại phải lấy giá trị gần Vì để tìm nghiệm phương trình ta thường áp dụng phương pháp giải gần khác Trong năm gần nhà toán học nước quan tâm nhiều đến việc ứng dụng sóng nhỏ spline vào giải gần phương trình đạo hàm riêng, phương trình vi phân tích phân Sở dĩ ứng dụng sóng nhỏ spline có số ưu điểm sau: - Sóng nhỏ spline sử dụng giải gần phương trình có nhiều ứng dụng thực tế lập trình đưa lên máy tính tính toán thuận lợi hiệu - Trong nhiều trường hợp, sóng nhỏ spline thường có độ chích xác nghiệm gần tốt - Có thể nghiệm xấp xỉ hàm thang bậc Daubechies hàm sóng nhỏ B-spline Do với hướng dẫn TS Nguyễn Văn Tuấn, chọn đề tài: “Sóng nhỏ spline số ứng dụng” Mục đích nghiên cứu - Tổng hợp kiến thức sở sóng nhỏ spline, như: Cơ sở sóng nhỏ Haar, sở sóng nhỏ trực chuẩn, sở sóng nhỏ spline tựa trực giao, sở sóng nhỏ tựa nội suy… v - Ứng dụng sóng nhỏ spline để giải gần số phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng Nhiệm vụ nghiên cứu - Hệ thống kiến thức liên quan đến sóng nhỏ spline - Nghiên cứu sử dụng sóng nhỏ spline vào giải gần số phương trình vi phân phương trình đạo hàm riêng Đối tƣợng nghiên cứu Cơ sở sóng nhỏ spline, hàm spline, hàm sóng nhỏ spline ứng dụng sóng nhỏ spline Phƣơng pháp nghiên cứu - Sử dụng phương pháp phân tích, tổng hợp - Tham khảo ý kiến chuyên gia Dự kiến đóng góp - Luận văn trình bầy sở lý thuyết sóng nhỏ spline rõ ràng, minh họa qua ví dụ đơn giản - Đưa lớp toán số phương trình giải phương pháp sóng nhỏ spline có ứng dụng thực tế vi NỘI DUNG Chƣơng Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bầy hệ thống kiến thức sở cần thiết sử dụng luận văn Chƣơng Sóng nhỏ spline Trong chương này, trình bầy có hệ thống sở sóng nhỏ Haar, sóng nhỏ spline trực chuẩn, sở sóng nhỏ trực giao, hàm thang bậc Daubechies, sóng nhỏ tựa trực giao sóng nhỏ spline tựa nội suy Chƣơng Một số ứng dụng sóng nhỏ spline Trong chương này, trình bầy ứng dụng sóng nhỏ spline vào giải gần số phương phương trình đạo hàm riêng phương trình tích phân CHƢƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số kiến thức giải tích hàm 1.1.1 Không gian véctơ Định nghĩa 1.1.1 Cho tập hợp E mà phần tử kí hiệu :  ,  ,  , trường K mà phần tử kí hiệu : x, y, z, Giả sử E có hai phép toán: 1) Phép toán cộng, kí hiệu  : E  E  E  ,     2) Phép toán nhân kí hiệu là: : K  E  E  x,  x. thỏa mãn tiên đề sau: a)        ,  ,   E;     b)            ,  ,  ,   E; c) Tồn   E cho          ,  , E; d) Với  tồn  '  E cho :  '      '   ; e)  x  y   x  y , a  E x, y  K ;   f) x     x  x  ,  ,   E x  K ;   g) x y   xy  ,   E x, y  K ; h) 1.   ,   E đơn vị trường K Khi E với hai phép toán gọi không gian véc tơ trường K , hay K -không gian véc tơ, hay không gian tuyến tính Khi K  gọi không gian véc tơ thực E Khi K  E gọi không gian véc tơ phức Ví dụ 1.1.1 Dễ dàng kiểm tra C  a, b không gian véc tơ   Định nghĩa 1.1.2 Hệ véc tơ  i , i  1,2,3, , n gọi độc lập tuyến tính n x i 1 i i  kéo theo xi  0, i  1,2, , n   Hệ véc tơ  i , i  1,2,3, , n gọi phụ thuộc tuyến tính không độc lập tuyến tính Định nghĩa 1.1.3 Giả sử E không gian véc tơ Một hệ véc tơ E gọi hệ sinh E véc tơ E biểu thị tuyến tính qua hệ Khi E có hệ sinh gồm hữu hạn phần tử E gọi không gian véc tơ hữu hạn sinh Một hệ véc tơ E gọi sở E hệ sinh độc lập tuyến tính Định nghĩa 1.1.4 Cho E không gian véc tơ có sở gồm hữu hạn phần tử số phần tử sở gọi số chiều không gian véc tơ Khi E K - không gian véc tơ có số chiều n ta kí hiệu dim E  n  hay dim K E  n  Định nghĩa 1.1.5 Tập W   K - không gian véc tơ E gọi không gian véc tơ E , nghĩa thỏa mãn điều kiện sau 1)  ,   W,     W; 2)   W x  K x  W 1.1.2 Không gian định chuẩn Cho X không gian véc tơ trường P ( P  Định nghĩa 1.1.6 Một chuẩn, kí hiệu )  , X ánh xạ từ X vào thỏa mãn điều kiện 1) x  0, x  X ; 2) x  x   (  kí hiệu phần tử không ); 3)  x   x ,   P, x  X ; 4) x  y  x  y , x, y  X Số x gọi chuẩn ( hay độ dài) véc tơ x  X Một không gian véc tơ X với chuẩn xác định không gian ấy, gọi không gian định chuẩn ( thực phức, tùy theo P thực hay phức) Định lý 1.1.1 Giả X không gian định chuẩn Với x, y  X , đặt d  x, y   x  y Khi d metric X Định nghĩa 1.1.7 Dãy  xn  không gian định chuẩn X gọi hội xn  x0  tụ đến x0  X lim n Khi đó, ta kí hiệu lim x  x0 xn n  n x0 n  Định nghĩa 1.1.8 Dãy  xn  không gian định chuẩn X gọi dãy lim xm  xn  m , n  Định nghĩa 1.1.9 Giả sử không gian định chuẩn X không gian metric đầy đủ (với khoảng cách d  x, y   x  y ) Khi X gọi không gian định chuẩn đầy đủ, hay gọi không gian Banach Định nghĩa 1.1.10 Cho hai không gian tuyến tính X Y trường P Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y gọi ánh xạ tuyến tính hay toán tử tuyến tính A thỏa mãn: 1) A x  y   Ax  Ay, x, y  X ; 2) A x    Ax, x  X ,   P - Nếu A thỏa mãn 1) A gọi toán tử cộng tính - Nếu A thỏa mãn 2) A gọi toán tử - Khi Y  P toán tử tuyến tính A gọi phiếm hàm tuyến tính Định nghĩa 1.1.11 Cho hai không gian định chuẩn X Y Kí hiệu L  X , Y  tập tất toán tử tuyến bị chặn từ tính không gian X vào không gian Y Ta đưa vào L  X , Y  hai phép toán: 1) Tổng hai toán tử A, B  L  X ,Y  toán tử , kí hiệu A  B, xác định biểu thức  A  B  x   Ax  Bx, x  X ; 2) Tích vô hướng   P ( P  P  ) với toán tử A  L  X ,Y  toán tử , kí hiệu  A , xác định biểu thức  A x     Ax  Dễ kiểm tra A  B  L  X , Y  ,  A  L  X , Y  hai phép toán thỏa mãn tiên đề tuyến tính Khi đó, L  X ,Y  trở thành không gian tuyến tính trường P Định lý 1.1.2 Nếu Y không gian Banach L  X ,Y  không gian Banach 1.1.3 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.12 Cho không gian tuyến tính X trường P (P P  ) Ta gọi tích vô hướng không gian X ánh xạ từ tích Descartes X  X vào trường P , kí hiệu  ,  , thỏa mãn tiên đề 1)  y, x    x, y , x, y  X ; 51 Nhận xét 3.1.1 Tập khả thi   J  có cấu trúc Nếu hàm f có điểm kỳ dị định x0  I , cấp j , điểm S j , mà gần x0 , khả thi tập   J  Do đó,   J  cho thấy điểm kỳ dị f Hơn nữa, sử dụng sóng nhỏ tương ứng với tất   J  để xấp xỉ hàm f , có xấp xỉ Xấp xỉ tiết kiệm nhiều thời gian cho việc tìm kiếm tất điểm tập khả thi 3.1.2 Phương pháp sóng nhỏ collcation giải xấp xỉ phương trình bậc Chúng ta sử dụng phương pháp sóng nhỏ collcation để giải thời gian phụ thuộc phương trình đạo hàm riêng Cho u  u  x, t  nghiệm ban đầu toán biên ut       x  0, N , t   f x  u   u xx  g  u  , u  0, t   g  t   3.1 u  N , t   g1 t  u  x,0   f  x  Ở có điều kiện biên Dirichlet xét Tuy nhiên, phương pháp sửa đổi xử lý Von Neuman loại Robin loại điều kiện biên Chúng ta sử dụng khối B-spline b4 để tạo phân tích đa phân giải Các nghiệm số uJ  x, t  biểu diễn phân hoạch V0  W0   WJ 1 , J   0, J 1 J 1   uJ  x, t    u k  t k  x      u d  t  d  x   : u1  x    u j  x , kS j   kS j 0  j j  3.2  j Ở số I bỏ qua tất ký hiệu Bây xác định uJ  x, t  nghiệm số giá trị điểm tất điểm collocation Chúng ta đặt tất giá trị vector u=u  t  , 52 Chẳng hạn   u  u  t   u  1 ,u 0 , ,u  J 1 T Để giải điều chưa biết véctơ u  t  , xắp xếp phương trình đạo hàm riêng (24) tất điểm collocation có phương pháp sóng nhỏ collocation tựa rời rạc sau phƣơng pháp sóng nhỏ collocation tựa rời rạc u  f  u   R  u   g  u  x J J J  J  u J  0, t   g  t    u J  L, t   g  t     j  j   u J xk ,0  f xk t j x  xk  xx    , 1  j  J   Với mức trung bình toán tử R đạo hàm bậc sử dụng để lợi dụng siêu hội tụ hàm splines điểm nút Tuy nhiên, R nên sử dụng lưới đồng địa phương Phương trình bao gồm có tổng cộng  J  1 N  ẩn số u , hai số xác định điều kiện biên phần lại nghiệm hệ phương trình vi phân thường với điều kiện ban đầu Để thực việc biểu diễn thời gian cho hệ phương trình vi phân thường (ví dụ Runge-Kutta kiểu thời gian tích hợp), phải tính toán đạo hàm phương trình Chúng ta rời rạc hóa thời gian đạo hàm phương trình trên, có phương pháp sóng nhỏ collocation rời rạc hoàn toàn Phƣơng pháp sóng nhỏ co ocation rời rạc hoàn toàn u n 1  u n  t   f  u n   R  u n J J  x J  J u n  g t n   J  0  n n u J  L   g  t    j  j  u J xk  f xk xx     g u  n J j x  xk    Ở t n  nt trạm thời gian t bước thời gian , 1  j  J  53 Chọn điểm thích nghi collocation Ta biết hầu hết mở rộng hệ số sóng nhỏ u d j lớn bỏ j qua dung sai định Vì điều chỉnh số lượng vị trí điểm collocation sử dụng mở rộng sóng nhỏ,có nghĩa giảm thiểu chi phí chương trình đồng thời đảm bảo đủ độ phân giải miền mà cách nghiệm thay đổi đáng kể Chúng ta đạt khả thích nghi theo cách sau Cho  dung sai theo bước sau Bƣớc Đầu tiên xác định vị trí phạm vi cho số  j, k  cho u j , k  cJ để thu tập khả thi  cho u ban đầu (ví dụ, trạm thời điểm 0) Bƣớc Chúng ta xác định uJ0  x  sau uJ0  x  :   j , k 0 u j ,k j ,k  x  Ở  tập khả thi cho nghiệm u trạm thời gian Bƣớc Chúng xác định tập tiền khả thi cho nghiệm u trạm thời gian t cách đặt 01  J 1 j 0 01j Ở   01j  d ; dist  d , 0j   2 j Bƣớc Chúng ta rút gọn u1J  x  sau uJ01  x  :   j , k 01 u j ,k j ,k  x  01 54   01 giải phương trình u j ,k  j , k 01 Bƣớc Chúng ta sử dụng 01 u j , k  cJ để có tập khả thi cho nghiệm u thời gian t thì,   cho nghiệm u trạm thời gian n lặp lại bước để có u j ,k t n , n  1,2, 3.1.3 Phƣơng pháp sóng nhỏ collocation giải xấp xỉ phƣơng trình bậc Xét nghiệm số phương trình bậc hai phổ biến sau u    c  u  u , t    x, y  , 3.3  Ở   0, N  hình vuông Chúng giả định thời gian ban đầu t0  , bước thời gian t   , nghiệm rời rạc un trạm thời gian tn không gian VJ • Rời rạc hóa toàn phần loại Rời rạc hóa sau phương trình (3.3) un1  un   c N  N  cS  S  cE  E  cW W un Ở khác biệt toán tử  N ,  S ,  E ,  W xác định (lưu ý rằng, un S J , vi phân rời rạc x y x  y  u  x  x, y   u  x, y   x  S u  x, y   u  x  x, y   u  x, y   x  N u  x, y   ) 2J 55 u  x, y  y   u  x, y   y  W u  x, y   u  x, y  y   u  x, y   y  E u  x, y   Và    x, y   c   u  x , y   ,   x, y   c    u  x, y   cN  x, y   c  N u  x, y  , cS  x, y   c  S u  x, y  cE E cW W Dùng lợi biểu diễn spline nghiệm, áp dụng rời rạc loại hai khác cho phương trình (3.3) • Rời rạc toàn phần loại Phương trình (3.3) rời rạc cách tự nhiên       un1  un    N c  un  N un   E c  un  Eun     Ở un  un     E un  N • Tựa rời rạc Trong trường hợp này, có thang bậc t rời rạc   un1  un   I J c  un  un  c  un   un  3.4 Ở I J toán tử nội suy VJ Chúng ta sử dụng phương pháp collocation thích nghi tương tự mục trước để giảm không gian nghiệm Giả định hàm f VJ có hệ số sóng nhỏ a ,d , ,d J 1, d j  d j ,h ,d j ,v ,d j ,d  Đối với dung sai  định, giảm hệ số sóng nhỏ d , ,d J 1 đến d , ,d j J 1  Gọi T ánh xạ mà ánh xạ tập hợp hệ số d đến số thiết lập sóng nhỏ 56     j, k,l ; T d j ,i  j ,i d k ,l  i h, v, d  Viết S 2j D  S j  S j , S hj ,2 D  S j  S j , S vj ,2 D  S j  S j , S jd ,2 D  S j  S j 2D S j  S hj ,2 D S vj ,2 D S dj ,2 D Bây định nghĩa tập hợp khả thi cho Sóng nhỏ j -cấp 2D  2j D  S j Thì 2 D  S02 D 02 D   supp  kj,,li     ih ,v , d   j , k ,l T d     ji 2J D1 tập khả thi f Các bước để giải phương trình rời rạc tương tự phần trước Một điều khác từ phương trình (3.1) Các điểm kỳ dị nghiệm phương trình (3.3) độc lập với thời gian t Do đó, sau vài bước, thay đổi tập hợp khả thi cho tất trạm thời gian thì, tiết kiệm thời gian cho việc tìm kiếm tính khả thi cho trạm thời gian khác 3.2 Ứng dụng sóng nhỏ spline vào giải phƣơng trình tích phân tuyến tính Chúng ta giải với câu hỏi: làm người ta nâng cao tốc độ xấp xỉ số phương trình tích phân phi tuyến Để giải tốt cho mục tiêu tựa trực giao hàm thang bậc -spline đối ngẫu chúng Chúng ta tính toán với hàm thang bậc -spline bậc đối ngẫu chúng, thấy rằng, cách sử dụng chúng, người ta có kết xấp xỉ tốt cho nghiệm phương trình tích phân Lý thuyết ứng dụng phương trình tích phân vấn đề quan trọng nhiều lĩnh vực kỹ thuật, xử lý tín hiệu, vật lý toán học 57 ứng dụng Trong phần này, cố gắng giải lớp phương trình gọi phương trình tích phân Fredholm Trong phần này, áp dụng -spline sóng nhỏ tựa trực giao có giá compact, xây dựng đặc biệt cho khoảng [0, 1] để giải loại thứ hai phương trình tích phân tuyến tính Fredholm có dạng y  x   f  x    k  x, t  y  t  dt ,  x  3.5  f k hàm liên tục y hàm chưa xác định Bây trình bày -spline hàm số tính chất giúp tìm thấy đối ngẫu 3.2.1 -spline c c h thang bậc có gi t ng đ ạn Khi làm việc với B-spline hàm thang bậc tựa trực giao toàn đường thẳng thực, xây dựng -spline hàm có giá compact đoạn [0, 1] Điều kiện J  n phải điền kiện đầy đủ cho -spline hàm thang bậc thứ tự n Ở sử dụng B-spline cấp (bậc 4), B-spline mức thấp nhất, có số nguyên, J  Nó bao hàm tất cấp octave từ J  Các hàm B-spline cấp n xác định công thức Bn  Bn1 * B1 B1  x   0,1 * biểu thị tích chập hàm Hệ thức  jk  x     j x  k  mô tả tất B-spline hàng thang bậc tính chất quan trọng Bây giới thiệu -spline hàm tính từ hàm đặc trưng tích chập đề cập trên, áp dụng điều kiện biên 58 1  24 x   1 x  x  x  x  6 6 24  15 35 75  x  x  x  x  155 6 22   x   B5  x     1 15 55 195 655 x  x  x  x  6 24 6 625  25 125  24 x  x  x  x  22  0  x 1 1 x  2 x3 3 x  4 x5 x   0,5 Vì vậy, hàm thang bậc tương ứng là:    jk  1/ 24  j x  k  k ,k 1 I    1/  j x  k   /  j x  k   /  j x  k   /  j x  k   / 24  k 1,k  2 II    1/  j x  k   15 /  j x  k   35 /  j x  k   75 /  j x  k   155 / 22 k  2,k 3 III    1/  j x  k   15 /  j x  k   55 /  j x  k   195 /  j x  k   655 / 24 k 3,k  4 IV 1/ 24  x  k   /  x  k   25 /  x  k  125 /  x  k   6255 / 22  j j j j  k  4, k  5 V ,k  0,1, 2, , j  Nếu chúng Điều kiện biên bên trái bên phải chúng đưa Trong công thức sau đây, để thuận tiện, sử dụng số Hy Lạp I, II, III, IV, V giới thiệu Lưu ý biểu thị j x 59 V  x  k  4 :  jk  x    x  0,1 , 0 IV k   x j  k   k  3 :  jk  x   V k   xj  k 5  x   k  3, k   , 0 III k   x j  k   k   xj  k  IV k  2 :  jk  x    k   xj  k  V 0 x   k  2, k   ,  II k   x j  k   III k   x j  k   k  1:  jk  x   IV k   xj  k   k   xj  k  V 0 x   k  1, k   ,  IV  III  k  j  :  jk  x   II  I 0  III  II j k   :  jk  x    I 0  II  k  j  :  jk  x   I  0 I k  j  :  jk  x    0 k   xj  k  k   xj  k  k 1  x j  k  k  x j  k 1 x  k, k   , k   xj  k  k 1  x j  k  k  x j  k 1 x   k , k  3 , k 1  xj  k  k  x j  k 1 x k, k  2 , k  xj  k 1 x   k , k  1 , 3.2.2 Phương t ình đại số tương ứng với phương trình tích phân Xét B-spline hàm thang bậc với giá compact đoạn [0, 1], 60 tập hợp tựa trực giao, hàm f  x  xác định [0, 1] trình bày sau: f  x  2L 1 a k 4 k Lk 3.6   A L Trong 3.7  A  a4 , a3 , , a2 1  L Và  3.8 T  L  L ,4 ,L ,3 , ,L ,2 1  L L số nguyên tùy ý cho L  J Chúng ta thấy đối nhẫu  L với ma trận  L , T  L   L ,4 ,  L ,3 , ,  L ,2 1  L Nếu  L ,k hàm đối ngẫu, từ điều kiện tựa trực giao   L T L dx  I L  3.9  3 Chúng ta có ak   f  x   L ,k  x dx, k  3, ,2 L  3.10  Cho PL    L LT dx  3.11 Trong  PL ij   LiLjT dx bảng dòng i cột j ma trận PL Từ (3.9) (3.11) có  L   PL   L , 1 Sử dụng cho việc tìm kiếm hàm đối ngẫu ây tìm 61 phương trình đại số Xét phương trình tích phân Fredholm (3.5), mở rộng y với hàm thang bậc, tức y  x   Ay  L  x   3.12 Trong  L đưa (3 ) Ay ma trận1 2L1 hệ số chưa biết, tương tự A Ngoài ra, mô tả f  x  k  x, t  -spline hàm đối ngẫu f  x   Af  L , k  x, t    L t   L  x  3.13  Trong 1   ij     k  x, t  i  t  dt  j  x  dx 00  3.14  Bằng cách thay (3.12) (3.13), có 1 0  k  x, t  y  t  dt    L  t   L  x  Ay L t  dt  Ay L  x  T Vì vậy, cách áp dụng tất phương trình vào (3.5), phương trình tích phân tương ứng biến thành Ay  L  x   Ay  L  x   Af  L  x  Bây giờ, nhân  L  x  với phương trình tích phân x , Ay PL  Ay   Af Hoặc Ay  Af  PL    1 Phương trình cuối cung cấp cho phương trình đại số để giải y  x   Ay  L  x  3.2.3 Ví dụ kết số: Trong phần này, cách sử dụng phương pháp trên, xấp xỉ nghiệm phương trình tích phân Fredholm số Đầu tiên, xét L  Từ (3.11), có ma trận sau 62  0.000   0.0004  0.0005   0.0001  0.0000   P3            0.0004 0.0079 0.0152 0.0045 0.0002 0.0000 0 0 0 0.0005 0.0152 0.0459 0.0300 0.0050 0.0002 0.0000 0 0 0.0001 0.0045 0.0300 0.0538 0.0304 0.0050 0.0002 0.0000 0 0 0.0000 0.0002 0.0050 0.0304 0.0538 0.0304 0.0050 0.0002 0.0000 0 0 0.0000 0.0002 0.0050 0.0304 0.0538 0.0304 0.0050 0.0002 0.0000 0 0 0.0000 0.0002 0.0050 0.0304 0.0538 0.0304 0.0050 0.0002 0.0000 0 0 0.0000 0.0002 0.0050 0.0304 0.0538 0.0304 0.0050 0.0002 0.0000 0 0 0.0000 0.0002 0.0050 0.0304 0.0538 0.0300 0.0045 0.0001 0 0 0.0000 0.0002 0.0050 0.0300 0.0459 0.0152 0.0005 0 0 0 0.0000 0.0002 0.0045 0.0152 0.0079 0.0004           0.0000   0.0001  0.0005   0.0004  0.0000  Từ (3.7) (3.14), tính Af  , có Ay Cuối y  x   Ay  L  x  Kết số tính toán cho số phương trình tích phân thông qua ví dụ sau sai số tuyệt đối điểm khác với L  3,4 đưa bảng Bảng kết số x VD 3.2.1,L=3 VD 3.2.1,L=4 VD 3.2.2,L=3 VD 3.2.2,L=4 0.0 0.113  10-15 0.1475  10-17 0.0022  10-8 000.0073  10-9 0.1 0.113  10-15 0.1585  10-17 0.0022  10-8 00.00870  10-9 0.2 0.091  10-15 0.3162  10-17 0.0015  10-8 000.0131  10-9 0.3 0.101  10-15 0.2131  10-17 0.0020  10-8 0.003615  10-9 0.4 0.149  10-15 0.2346  10-17 0.0025  10-8 0.001770  10-9 0.5 0.231  10-15 0.0072  10-17 0.0044  10-8 00.01821  10-9 0.6 0.233  10-15 0.0736  10-17 0.0045  10-8 00.02212  10-9 0.7 0.400  10-15 0.3166  10-17 0.0070  10-8 00.05097  10-9 0.8 0.732  10-15 0.2108  10-17 0.0137  10-8 00.01287  10-9 0.9 0.732  10-15 0.1354  10-17 0.0312  10-8 0000.188  10-9 1.0 6.617  10-15 0.0289  10-17 0.1213  10-8 0000.245  10-9 63 Ví dụ 3.2.1 Trong ví dụ cho phương trình tích phân xác định 1 x 53t y  x   e y  t dt  e x 1/3 với nghiệm xác y  x   e2 x Các sai số tương ứng tìm thấy với phương pháp nhì thấy hai cột bảng bảng Ví dụ 3.2.2 Xét phương trình e x 1  1 2t y  x  e    e y  t dt , x 1 x  t  Với nghiệm xác y  x   e x Các sai số tương ứng tìm thấy với phương pháp ta nhìn thấy hai cột cuối bảng 64 KẾT LUẬN Luận văn trình bầy cách hệ thống kiến thức sóng nhỏ spline, hàm spline sở sóng nhỏ spline Trên sở nghiên cứu sóng nhỏ spline, luận văn trình bầy việc sử dụng phương pháp sóng nhỏ spline vào giải phương trình vi phân đạo hàm riêng có nhiều ứng dụng thực tế Với phạm vi luận văn thời gian khả nghiên cứu hạn chế thân, việc ứng dụng phương pháp sóng nhỏ spline để giải toán đặt thực tế khoa học tính toán cần phải nghiên cứu sâu để đạt kết mong muốn 65 TÀI LIỆU THAM KHẢO [A] Tài liệu tiếng việt [1] Nguyễn Minh Chương (chủ biên), Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tường, (2001) Giải tích số NXB Giáo dục [ B] Tài liệu tiếng Anh [2] Michael Unser,(1997) Ten good reasons for using spline wavelets, Proc SPIE Vol.3169, wavelets applications in Signal and image Processing V, pp 422-431 [3] Jianzhong Wang,(1998).Spline wavelets in numerical reolution of partial differential equations, this paper is supported by SHSU FRC [4] D Hong, J Wang, R Garner,(2005) Real Analysis with an Introduction to Wavelets and Applications, Elsevier( Academic Press) [5] A.Askari- Hemmat * and Z Rahbani,(2011) Pantic B-spline wavelets and their application for solving linear intergral equations, 2011