Tài liệu bất đẳng thức Phương pháp pqr/uvw Tác giả phoenixfire Biên dịch tthnew §1 Giới thiệu “If there is a 50-50 chance that something can go wrong, then times out of ten it will.” Paul Harvey §1.1 Cơ phương pháp Phương pháp pqr/uvw kỹ thuật hữu ích để chứng minh bất đẳng thức liên quan đến đa thức đối xứng với ba biến không âm Phương pháp liên quan nhiều đến bất đẳng thức Schur Các vấn đề loại thường gặp kỳ thi toán học Ý tưởng dựa thay đổi biến thích hợp để đưa bất đẳng thức dạng đơn giản so với bất đẳng thức ban đầu Cụ thể bất đẳng thức có biến a, b, c đối xứng ta đặt a + b + c = p = 3u, ab + bc + ca = q = 3v , abc = r = w Sức mạnh thực phương pháp chủ yếu đến từ định lý Tejs Định lý cho biết trường hợp định, cực đại/cực tiểu biểu thức đối xứng với biến không âm xảy biến biến không Trên thực tế, phương pháp sử dụng trường hợp phức tạp (xem phần Cảnh báo) §1.2 Lịch sử phương pháp Theo biết, phương pháp pqr xuất phát từ Việt Nam Nó cịn biết đến Phương pháp abc.(abstract-concreteness method) Phương pháp phổ biến Michael Rozenberg (arqady) Phương thức abc trở thành Phương thức uvw, sửa đổi Michale Rozenberg §2 Lý thuyết §2.1 Khơng tính tổng qt Đây cụm từ thường sử dụng giới bất đẳng thức Tuy nhiên, phải sử dụng cẩn thận Ví dụ Giả sử muốn chứng minh a 2 b + b c + c a − ≥ a, b, c > 0; abc = Tại ý tưởng tồi đầu " Không tính tổng quát, giả sử a ≥ b ≥ c " ? (2.1) Giả định ta giả sử a ≥ b ≥ c Quan sát, ta thấy biểu thức hốn vị, khơng phải đối xứng Do đó, xếp thứ tự theo cặp a, b, c Nhưng ta giả sử số a, b, c nhỏ hay lớn §2.2 Đối xứng Định nghĩa Chúng ta gọi f (a , a , ⋯ , a ) ≥ đối xứng, giá trị khơng thay đổi sau hốn đổi biến n (2.2) §2.3 Hai biến Định lý Ta đặt p = a + b, q = ab cho tiện Khi hiển nhiên a, b nghiệm phương trình bậc hai x − px + q = (2.3) Nếu p, q số thực a, b số thực b "liên hợp phức" a §2.4 Luyện tập Điều kiện (đặc biệt bất đẳng thức) phải thỏa mãn p q để a b thực? Chứng minh p q số thực không âm thỏa mãn điều kiện tốn trước a b số thực khơng âm §3 Phương pháp §3.1 Bất đẳng thức Schur Tôi bắt đầu cách đề cập đến kết sau, điểm khởi đầu điều này: Bất đẳng thức Schur bất đẳng thức đối xứng đặc biệt quan trọng Định lý Nếu x, y, z ≥ 0; t ≥ Ta có: t ∑ x (x − y)(x − z) ≥ với đẳng thức xảy x = y = z x = y, z = hốn vị (3.1) Chứng minh Do tính đối xứng, giả sử x ≥ y ≥ z t t t t ∑ x (x − y)(x − z) = (x − y)[x (x − z) − y (y − z)] + z (z − x)(z − y) Do giả sử nên hạng từ không âm, ta thu đpcm Ví dụ Cho a, b, c ≥ thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: 4(a + b + c + 6abc) ≥ (3.1.1) Lời giải Sau nhất, ta cần chứng minh: a + b + c + 6abc ≥ ∑ a(b + c) Do a + b + c + 6abc ≥ a + b + c + 3abc Nên cần chứng minh a + b + c + 3abc ≥ ∑ a(b + c) Nhưng định lý (3.1) t = Đẳng thức xảy (a, b, c) = ( , , 0) hốn vị §3.2 Phương pháp pqr Phương pháp cơng cụ mạnh mẽ sử dụng để chứng minh bất đẳng thức có độ khó khác mà khơng thể chứng minh phương pháp kỹ thuật khác Cần lưu ý phương pháp phù hợp với tất bất đẳng thức đối xứng Như giới thiệu phần (1.1) ta đặt p = a + b + c, q = ab + bc + ca, r = abc Như a, b, c nghiệm phương trình bậc ba x − px + qx − r = (3.2) Bạn đọc thử tự chứng minh đa thức đối xứng a, b, c biểu diễn dạng đa thức ba biến p, q, r Định lý Chứng minh với a, b, c, p, q, r ∈ R thỏa mãn p = a + b + c, q = ab + bc + ca, r = abc p 9pq − 2p −−−−−−−− − 2√ (p2 − 3q)3 r ∈ [ 9pq − 2p −−−−−−−− + 2√ (p2 − 3q)3 , 27 ≥ 3q ] 27 (3.2.1) (3.2.1) Hãy thử tự chứng minh nó, bạn cần: 2 T (p, q, r) = (a − b) (b − c) (c − a) = −4 p r + p q + 18 pqr − q − 27 r (3.2.2) Định lý Nếu p, q, r ≥ T (p, q, r) ≥ a, b, c số thực khơng âm Do ta nói với a, b, c không âm p = a + b + c, q = ab + bc + ca, r = abc − − q p ≥ √ ≥ √r ↔ p ≥ 27q ≥ (27r) với đẳng thức xảy a = b = c hai ba số a, b, c không (3.2.3) Định lý đưa điều kiện cần đủ để giá trị p, q, r tương ứng với giá trị thực a, b, c Liệu bạn thấy mối liên hệ với Schur chưa? Gợi ý: Sử dụng phương pháp phản chứng: Nếu a, b, c tất khơng âm ta nhận gì? Mà khơng tính tổng quát giả sử a ≤ Đối với trường hợp ngược lại ta làm gì? Ví dụ Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x + y + z + 9xyz = 4(xy + yz + zx) Chứng minh x + y + z ≥ (3.2.4) Đặt p = a + b + c, q = ab + bc + ca, r = abc ta phải chứng minh p ≥ Sử dụng bổ đề (3.1) với t = ta có: p + 9r ≥ 4pq = p ⇒ (p − 1)(p + 9pr − 9r) ≥ Nếu x + y + z < p > p ≥ 27r > 9r mâu thuẫn Vậy x + y + z ≥ (đpcm) §3.3 Phương pháp uvw Phương pháp sử dụng 3u = a + b + c, 3v = ab + bc + ca, w 3 = abc thay p = a + b + c, q = ab + bc + ca, r = abc Trong hầu hết lần, u = a + b + c, v = ab + bc + ca, w sử dụng Do tương tự phương pháp pqr Ở 3u = p, 3v = q, w = r lưu ý 3v số âm! 2 3 = abc Nếu a, b, c số thực khơng âm u ≥ v ≥ w, với đẳng thức xảy a = b = c (với v ≥ w) hai ba số a, b, c khơng §3.4 Phương pháp abc Phương pháp abc sử dụng a = x + y + z, b = xy + yz + zx, c = xyz, tương tự phương pháp pqr, phổ biến Do chủ yếu gắn bó với phương pháp pqr/uvw §3.5 Luyện tập Bài Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b ≥ c, b + c ≥ a c + a ≥ b Chứng minh rằng: 2 2a (b + c) + 2b (c + a) + 2c (a + b) ≥ a + b + c + 9abc (3.5.1) Bài Cho s k = a k + b k k + c Biểu diễn s với k ∈ [1, 6] dạng pqr k (3.5.2) Bài Cho a, b, c ∈ R thỏa mãn a + b + c = 9, ab + bc + ca = 24 Chứng minh 16 ≤ abc ≤ 20 Hơn nữa, bạn đọc thử chứng minh với r ∈ [16, 20] tồn số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c = 9, ab + bc + ca = 24, abc = r (3.5.3) Bài Cho a, b, c > thỏa mãn abc = ⎧ ⎨ 1 ⎩ + + = = a b c + ab + bc ca Tìm giá trị nhỏ (a + 1)(b + 1)(c + 1) (3.5.4) §4 Những điều cần lưu ý §4.1 Đa thức đối xứng Cả ba phương pháp (pqr, uvw, abc ) tốt đa thức đối xứng với bậc thấp Tuy nhiên đơi u cầu lượng tính tốn lớn sau sử dụng định lý Tejs (sẽ thảo luận sau) §4.2 Khi khơng sử dụng? Ngồi ra, chúng khơng phải lúc lựa chọn tốt xử lý bất đẳng thức với bậc hai, bất đẳng thức có mức độ cao đơn giản khơng đối xứng bất đẳng thức có nhiều biến Bạn muốn xem xét sử dụng kỹ thuật khác điều xảy ra, giải pháp §4.3 Ước lượng Có thể thực tẻ nhạt viết thứ dạng u, v , w Vì điều này, thực hữu ích biết số "ước lượng" Chúng ta có số ước lượng cho r tức w định lý (3.2.1) khơng đẹp Nếu bạn để ý, nhiều bất đẳng thức có đẳng thức xảy a = b = c a = b, c = số lại xảy a = b = kc Thật đẳng thức xảy a = 3, b = 2, c = xảy Có lý đáng cho điều này, bạn biết lý định lý Tejs thảo luận phần tới §5 Kết Dưới số công cụ tiện dụng hữu ích (nhưng lưu ý bạn phải chứng minh chúng trước sử dụng không giống số định lý/tính chất) để giảm bớt gánh nặng bạn sử dụng phương pháp Với a, b, c ≥ kí hiệu p = a + b + c, q = ab + bc + ca, r = abc Ta có: p p ≥ 3q ≥ 27r pq ≥ 9r q ≥ 3pr p q + 3pr ≥ 4q pq p q 2 ≥ 2p r + 3qr + 12r q 3 p ≥ 4p r + pqr ≥ 27r p r ≥ q p + 9r ≥ 4pq + 4q 2 + 6pr ≥ 5p q Đẳng thức xảy a = b = c §5.1 Luyện tập Hãy chứng minh bất đẳng thức §6 Định lý Tejs §6.1 Bổ đề p Cố định số giá trị q = q , r = r > tồn giá trị p mà (p, q , r ) tồn a, b, c Khi p có giá trị lớn nhỏ b ố b bằ h 0 0 ba số a, b, c − Nếu r = p ∈ [2√− q , ∞] §6.2 Bổ đề q Cố định số giá trị p = p , r = r tồn giá trị q mà (p , q, r ) tồn a, b, c Khi q có giá trị lớn nhỏ ba số a, b, c §6.3 Bổ đề r Cố định số giá trị p = p , q = q cho (p , q , r) tồn a, b, c Khi đó: 0 0 0 0 0 nhận giá trị lớn ba số a, b, c r nhận giá trị nhỏ ba số a, b, c ba số a, b, c khơng r §6.4 Chứng minh (bổ đề p) Điều kiện để (p, q, r) tồn a, b, c T (p, q, r) ≥ Tức là: −4 p r + p q + 18 pqr − q − 27 r ≥ Khi p, q cố định, tam thức bậc r Đồ thị f parabol hướng xuống Nếu S tập rỗng khơng có để chứng minh Giả sử S có nghiệm Sau đó, tìm kiếm tập hợp r không âm mà f (r) ≥ Tập hợp điểm x mà f (x) ≥ khoảng [x , x ] Lưu ý x ≥ khơng khơng có r ≥ mà f (r) ≥ S rỗng Có hai trường hợp: p,q p,q 1 p,q Ví dụ Cho số thực khơng âm a, b, c thỏa mãn a + b + c = ab + bc + ca Chứng minh (a + b 2 + c ) ≥ (a + b + c)(a b 2 + b c 2 + c a ) Lời giải Sau đưa bất đẳng thức dạng pqr, ta cần chứng minh: 2p r − p q 2 + q(p − 2q) ≥ Rõ ràng hàm bậc r nên đạt cực trị r đạt cực trị Tóm lại, ta cần chứng minh a = b c = (6.1.1) §6.5 Exercise Cho a, b, c ≥ thỏa mãn a + b + c = Chứng minh: + 12abc ≥ 4(ab + bc + ca) Bạn chứng minh tương tự với bổ đề q bổ đề r khơng? §7 Hệ quan trọng (Đang cập nhật ) §8 Các toán áp dụng (Đang cập nhật ) ... (3.1) t = Đẳng thức xảy (a, b, c) = ( , , 0) hốn vị §3.2 Phương pháp pqr Phương pháp cơng cụ mạnh mẽ sử dụng để chứng minh bất đẳng thức có độ khó khác mà khơng thể chứng minh phương pháp kỹ thuật... tốn trước a b số thực khơng âm §3 Phương pháp §3.1 Bất đẳng thức Schur Tơi bắt đầu cách đề cập đến kết sau, điểm khởi đầu điều này: Bất đẳng thức Schur bất đẳng thức đối xứng đặc biệt quan trọng... chọn tốt xử lý bất đẳng thức với bậc hai, bất đẳng thức có mức độ cao đơn giản không đối xứng bất đẳng thức có nhiều biến Bạn muốn xem xét sử dụng kỹ thuật khác điều xảy ra, giải pháp §4.3 Ước