Một phong cách học Toán

Một phong cách học toán Phan duy nghĩa P. Hiệu Trởng Trờng Tiểu học Sơn Long, Hơng Sơn, Hà Tĩnh. Trong học toán, việc tạo đợc thói quen chủ động tìm tòi, khai thác, phát triển các bài toán sẽ giúp ngời học hiểu sâu sắc hơn kiến thức đã học, phát triển t duy sáng tạo và tiếp thu tốt những kiến thức mới. Tôi tin rằng đó là một phong cách học toán tốt, góp phần tìm kiếm cái mới trong toán học. Chúng ta sẽ bắt đầu từ bài toán sau: Bài toán: Từ 3 chữ số a, b, c khác nhau và khác 0, hãy lập tất cả các số có 3 chữ số khác nhau rồi tính nhanh tổng các số vừa lập đợc. Biết rằng: a + b + c = 15. (Thi giải toán qua th, TTT số 35) Bài giải: Từ ba chữ số khác nhau và khác 0 ta lập đợc tất cả 6 số mà mỗi số gồm 3 chữ số khác nhau, đó là: Trong 6 số trên mỗi chữ số xuất hiện ở mỗi hàng số lần là: 6 : 3 = 2 (lần) (lấy số các số lập đợc chia cho số chữ số), mà a + b + c = 15 nên tổng của 6 số đó là: + (a + b + c) x 2 x 1 = (a + b + c) x (200 + 20 + 2) = 222 x (a + b + c) = 222 x 15 =3330. Nhận xét: Nếu bài toán cho biết tổng của 3 chữ số thì ta tính đợc tổng của 6 số lập đợc. Ngợc lại nếu cho biết tổng 6 số vừa lập đợc ta sẽ tính đợc tổng của 3 chữ số a, b, c. Từ đó ta có bài toán ngợc sau (dành cho các bạn tự giải). Bài toán 1. Từ 3 chữ số a, b, c khác nhau và khác 0, hãy lập tất cả các số có 3 chữ số khác nhau rồi tính tổng ba chữ số đó, biết tổng của các số lập đợc là 3330. ở bài toán 1, nếu bổ sung thêm điều kiện cho a, b, c thì ta tính đợc giá trị của mỗi chữ số a, b, c. Đó chính là bài toán 2. Bài toán 2. Cho 3 chữ số a, b, c khác 0 và a > b > c. a) Với 3 chữ số đó có thể lập đợc bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau? b) Biết tổng tất cả các số lập đợc ở trên là 3330, hiệu của số lớn nhất và số bé nhất trong các số đó là 594. Hãy tìm 3 chữ số a, b, c. Bài giải: a) Có thể lập đợc 6 số có 3 chữ số khác nhau. b) Trong 6 số trên mỗi chữ số xuất hiện ở mỗi hàng số lần là: 6 : 3 = 2(lần) nên tổng của 6 số lập đợc là: (a + b + c) x 2 x 100 + (a + b + c) x 2 x 10 + (a + b + c) x 2 x 1 = (a + b + c) x 222. Theo bài ra ta có: (a + b + c) x 222 = 3330. Hay a + b + c = 3330 : 222 = 15 (1) Mặt khác, do a > b > c suy ra số lớn nhất là abc số bé nhất là cba . Theo bài ra ta có: abc - cba = 594. Từ đó ta tính đợc: (a - c) x 99 = 594 hay (a - c) = 6 (2). Từ (2) ta có: a = 6 + c. Vì a 9 nên c 3. - Nếu c = 3 thì a = 9 suy ra b = 15 - (9 + 3) = 3 (loại vì b = c). - Nếu c = 2 thì a = 8 suy ra b = 15 - (8 + 2) = 5 (thích hợp). - Nếu c = 1 thì a = 7 suy ra b = 15 - (7 + 1) = 7 (loại vì a = b). Vậy ta tìm đợc a = 8, b = 5, c = 2. Đặc biệt nếu ba chữ số a, b, c cách đều nhau thì ta có thêm một cách nữa tính tổng các số vừa lập đợc. Bài toán 3. Từ các chữ số 1; 2; 3; 4, lập đợc bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau từ các chữ số đó. Tính nhanh tổng các số vừa lập đợc. Bài giải: Ta sẽ lập đợc tất cả là: 4 x 3 x 2 x 1 = 24 (số). Cách 1. Trong 24 số đó, mỗi chữ số 1; 2; 3; 4 đều xuất hiện ở các hàng (nghìn, trăm, chục, đơn vị) với số lần nh nhau là: 24 : 4 = 6 (lần) nên tổng của 24 số đó là: (1 + 2 + 3 + 4) x 6 x 1000 + (1 + 2 + 3 + 4) x 6 x 100 + (1 + 2 + 3 + 4) x 6 x 10 + (1 + 2 + 3 + 4) x 6 x 1 = 60 x (1000 + 100 + 10 + 1) = 60 x 1111 = 66660. Cách 2. Tập hợp 24 số trên luôn nhóm đợc thành 12 cặp số mà mỗi cặp số đều có tổng các chữ số cùng hàng là 5 và tổng của mỗi cặp số đó luôn bằng nhau là 5555. Từ đó ta tính đợc tổng của 24 số trên là: 12 x 5555 = 66660. Nh vậy từ một bài toán chúng ta đã khai thác, phát triển ra các bài toán mới. Con đờng mở rộng này là một phong cách học toán mà các bạn cần rèn luyện. Chúc các bạn thành công! ___________________________________________________________________ k hi giải xong một bài toán nhiều bạn coi nh là xong việc. Thật là đáng tiếc vì các bạn đã bỏ lỡ một cơ hội rèn luyện và khám phá cho mình. Bao giờ các bạn cũng nên tự đặt ra câu hỏi: Còn cách giải nào không? Khi đó các bạn sẽ thấy nhiều điều thú vị. Chúng ta cùng tìm hiểu qua bài toán sau: Bài toán: Tính nhanh: 4 1 + 8 1 + 16 1 + 32 1 + 64 1 + 128 1 (Thi HSG lớp 5 tỉnh Bắc Giang, năm 2001) Bài giải: Cách 1. Ta cã: 4 1 = 2 1 - 4 1 ; 8 1 = 4 1 - 8 1 ; 16 1 = 8 1 - 16 1 ; 32 1 = 16 1 - 32 1 ; 64 1 = 32 1 - 64 1 ; 128 1 = 64 1 - 128 1 . Ta cã: 4 1 + 8 1 + 16 1 + 32 1 + 64 1 + 128 1 = ( 2 1 - 4 1 ) + ( 4 1 - 8 1 ) + ( 8 1 - 16 1 ) + ( 16 1 - 32 1 ) + ( 32 1 - 64 1 ) + ( 64 1 - 128 1 ) = 2 1 - 4 1 + 4 1 - 8 1 + 8 1 - 16 1 + 16 1 - 32 1 + 32 1 - 64 1 + 64 1 - 128 1 = 2 1 - 128 1 = 128 64 - 128 1 = 128 63 . C¸ch 2. §Æt: S = 4 1 + 8 1 + 16 1 + 32 1 + 64 1 + 128 1 (1) Khi ®ã ta cã: S x 2 = ( 4 1 + 8 1 + 16 1 + 32 1 + 64 1 + 128 1 ) x 2 = 4 2 + 8 2 + 16 2 + 32 2 + 64 2 + 128 2 = 2 1 + 4 1 + 8 1 + 16 1 + 32 1 + 64 1 (2) LÊy (2) trõ cho (1), ta ®îc: S x 2 - S = ( 2 1 + 4 1 + 8 1 + 16 1 + 32 1 + 64 1 ) - ( 4 1 + 8 1 + 16 1 + 32 1 + 64 1 + 128 1 ). S = 2 1 + 4 1 + 8 1 + 16 1 + 32 1 + 64 1 - 4 1 - 8 1 - 16 1 - 32 1 - 64 1 - 128 1 . S = 2 1 - 128 1 = 128 64 - 128 1 = 128 63 . C¸ch 3. §Æt: S = 4 1 + 8 1 + 16 1 + 32 1 + 64 1 + 128 1 (1) Khi ®ã ta cã: S = 2 1 x ( 2 1 + 4 1 + 8 1 + 16 1 + 32 1 + 64 1 ). Hay: S = 2 1 x ( 2 1 + S - 128 1 ) = 2 1 x (S + 128 63 ). Suy ra: 2 x S = S + 128 63 . VËy S = 128 63 C¸ch 4. §Æt: S = 4 1 + 8 1 + 16 1 + 32 1 + 64 1 + 128 1 (1) S x 2 1 = ( 4 1 + 8 1 + 16 1 + 32 1 + 64 1 + 128 1 ) x 2 1 = 8 1 + 16 1 + 32 1 + 64 1 + 128 1 + 256 1 (2) LÊy (1) trõ cho (2) ta ®îc: S - 2 S = ( 4 1 + 8 1 + 16 1 + 32 1 + 64 1 + 128 1 ) - ( 8 1 + 16 1 + 32 1 + 64 1 + 128 1 + 256 1 ). 2 S = 4 1 + 8 1 + 16 1 + 32 1 + 64 1 + 128 1 - 8 1 - 16 1 - 32 1 - 64 1 - 128 1 - 256 1 = 4 1 - 256 1 . 2 S = 256 64 - 256 1 = 256 63 . VËy: S = 256 63 x 2 = 128 63 . Cách 5. Ta có: 4 1 + 8 1 + 16 1 + 32 1 + 64 1 + 128 1 = 128 32 + 128 16 + 128 8 + 128 4 + 128 2 + 128 1 = 128 12481632 +++++ = 128 63 . Cách 6. Cộng thêm 2 1 vào biểu thức đã cho, ta có: S + 2 1 = 2 1 + 4 1 + 8 1 + 16 1 + 32 1 + 64 1 + 128 1 . Nhận xét: 2 1 + 4 1 = 4 3 ; 4 3 = 1 - 4 1 . Do đó: 2 1 + 4 1 = 1 - 4 1 . 2 1 + 4 1 + 8 1 = 8 7 ; 8 7 = 1 - 8 1 . Do đó: 2 1 + 4 1 + 8 1 = 1 - 8 1 . 2 1 + 4 1 + 8 1 + 16 1 = 16 15 ; 16 15 = 1 - 16 1 . Do đó: 2 1 + 4 1 + 8 1 + 16 1 = 1 - 16 1 . Theo quy luật đó thì có: S + 2 1 = 2 1 + 4 1 + 8 1 + 16 1 + 32 1 + 64 1 + 128 1 = 1 - 128 1 . Vậy S = 128 127 - 2 1 = 128 64127 = 128 63 . Cách 7. Ta có: 4 1 = 2 x 8 1 ; 8 1 = 2 x 16 1 ; 16 1 = 2 x 32 1 ; 32 1 = 2 x 64 1 ; 64 1 = 2 x 128 1 ; 128 1 = 1 x 128 1 .Vậy S = 1 x 128 1 + 2 x 128 1 + 4 x 128 1 + 8 x 128 1 + 16 x 128 1 + 32 x 128 1 = (32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1) x 128 1 = 63 x 128 1 = 128 63 . Cách 8. Đặt: S = 4 1 + 8 1 + 16 1 + 32 1 + 64 1 + 128 1 Khi đó ta có: S = 4 1 + 2 1 x ( 4 1 + 8 1 + 16 1 + 32 1 + 64 1 ) = 4 1 + 2 1 x (S - 128 1 ) Hay: S = 4 1 + 2 1 x (S - 128 1 ). Suy ra: S - 2 S = 4 1 - 256 1 . Vậy S = 256 63 x 2 = 128 63 . Bây giờ các bạn hãy thử sức mình với bài toán sau nhé: Tính nhanh biểu thức sau: A = 3 1 + 6 1 + 12 1 + 24 1 + 48 1 + 96 1 . (Thi HSG lớp 5 tỉnh Quảng Ngãi, năm 2001) . Một phong cách học toán Phan duy nghĩa P. Hiệu Trởng Trờng Tiểu học Sơn Long, Hơng Sơn, Hà Tĩnh. Trong học toán, việc tạo đợc thói. 5555 = 66660. Nh vậy từ một bài toán chúng ta đã khai thác, phát triển ra các bài toán mới. Con đờng mở rộng này là một phong cách học toán mà các bạn cần