Luận văn Thạc sĩ: Sư phạm Toán Định lý kiểu Hudson về tính dương của biến Wigner

Luận văn tốt nghiệp Sư phạm Toán Định lý kiểu Hudson về tính dương của biến Wigner Luận văn tốt nghiệp Sư phạm Toán Định lý kiểu Hudson về tính dương của biến Wigner Luận văn tốt nghiệp Sư phạm Toán Định lý kiểu Hudson về tính dương của biến Wigner Luận văn tốt nghiệp Sư phạm Toán Định lý kiểu Hudson về tính dương của biến Wigner

Mục lục Mở đầu iv Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Một số không gian hàm 1.1.1 Không gian hàm 1.1.2 Không gian hàm suy rộng 1.1.3 Không gian hàm giảm nhanh 1.1.4 Không gian hàm suy rộng tăng chậm 1.1.5 Biến đổi Fourier Giải tích thời gian–tần số 11 1.2.1 Nguyên lý không chắn 12 1.2.2 Ảnh phổ 22 1.2.3 Phân bố Wigner 22 1.2.4 Lớp phân bố Cohen 27 1.2.5 Phân bố τ -Wigner 30 Tính dương biến đổi τ -Wigner 44 2.1 Đặt vấn đề 44 2.2 Định lý kiểu Hudson tính dương biến đổi τ -Wigner 44 Kết luận 57 Tài liệu tham khảo 58 iii Mở đầu Lí chọn đề tài Biểu diễn thời gian tần số dạng toàn phương đặt tương ứng dấu hiệu f xác định Rd hàm suy rộng Qf (x, ω) xác định mặt phẳng Rd × Rd Qf (x, ω) biểu diễn phân bố lượng dấu hiệu biến thời gian x biến tần số ω tần số ω dấu hiệu f biểu diễn quanh thời điểm x Thông thường, Qf (x, ω) cần phải thỏa mãn số tính chất: - Tính dương: Qf (x, ω) ≥0 với (x, ω) ∈ Rn - Tính khơng giãn: Nếu suppf ⊂ I ⊂ Rd Πx Qf (x, ω) ⊂ I tương tự, suppf ⊂ J ⊂ Rd Πx Qf (x, ω) ⊂ J Qf (x, ω)dx = f (ω) - Tính chất lề: Rd Qf (x, ω)dx = |f (x)|2 Rd Nguyên lý không chắn rằng, tính chất nêu khơng tương thích loại biểu diễn thời gian- tần số, nghĩa khơng thể có loại biểu diễn thời gian- tần số thỏa mãn đồng thời yêu cầu Do đó, người ta phải tìm nhiều biểu diễn thời giantần số khác thỏa mãn u cầu Điển hình dạng biểu diễn thời gian - tần số: ảnh phổ, dạng Rihaczek dạng biểu diễn Wigner Biểu diễn phát minh năm 1932 E.Wigner bối cảnh học lượng tử xem hàm suy rộng tựa xác suất không gian pha sau giới thiệu giải tích tín hiệu J.Ville Hàm suy rộng Wigner thỏa mãn hầu hết tính chất iv v nêu bên Tuy nhiên, thông thường hàm suy rộng Wigner khơng đạt dương Chỉ có trường hợp đặc biệt, hàm f lựa chọn hàm Gauss định lý Hudson khẳng định tính dương biểu diễn Trong năm gần đây, biểu diễn Wigner có mở rộng tổng quát hơn, biểu diễn τ - Wigner, mà đó, biểu diễn Wigner trường hợp đặc biệt Câu hỏi đặt là, định lý kiểu Hudson có cịn trường hợp mở rộng hay khơng Với mong muốn hiểu biết sâu biến đổi τ -Wigner, đồng ý hướng dẫn Tiến sĩ Bùi Kiên Cường, lựa chọn đề tài nghiên cứu "Định lý kiểu Hudson tính dương biến đổi τ -Wigner" để thực luận văn tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu tính dương biến đổi τ - Wigner Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày biến đổi τ - Wigner Trình bày tính dương biến đổi τ -Wigner Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Biến đổi τ - Wigner Phạm vi nghiên cứu: Các báo tài liệu nước liên quan đến biến đổi τ - Wigner vi Phương pháp nghiên cứu Sử dụng kiến thức phương pháp giải tích hàm để tiếp cận vấn đề Thu thập nghiên cứu tài liệu có liên quan, đặc biệt báo nước vấn đề mà luận văn đề cập tới Dự kiến đóng góp Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số không gian hàm 1.1.1 Không gian hàm Cho Ω tập mở Rn Định nghĩa 1.1.1 Khơng gian hàm kí hiệu D(Ω), không gian véctơ hàm ϕ ∈ C0∞ (Ω) với khái niệm hội tụ sau: dãy ∞ ∞ {ϕj }∞ j=1 hàm C0 (Ω) gọi hội tụ đến hàm ϕ0 ∈ C0 (Ω) i, Có tập compact K ⊂ Ω mà suppϕj ⊂ K, j = 0, 1, 2, ii, lim sup |Dα ϕj (x) − Dα ϕ0 (x)| = 0, ∀α ∈ Zn+ j→∞ x∈K Khi ta viết ϕ0 = D− lim ϕj j→∞ Ở α D ϕ0 = D1α1 D2α2 Dnαn ϕ0 ∂ α1 ∂ α2 ∂ αn n = (−i) α1 α2 αn ϕ0 , ∀α ∈ Z+ ∂x1 ∂x2 ∂xn |α| Định lí 1.1.1 Khơng gian D(Ω) đầy đủ 1.1.2 Không gian hàm suy rộng Định nghĩa 1.1.2 Ta nói f hàm suy rộng Ω f phiếm hàm tuyến tính liên tục D(Ω) Khơng gian véctơ hàm suy rộng Ω, kí hiệu D (Ω) Hàm suy rộng f ∈ D (Ω) tác động lên ϕ ∈ D(Ω) viết f, ϕ Chúng ta xét ví dụ sau: Ví dụ Cho f ∈ L1loc (Ω), ánh xạ Λf : ϕ → f, ϕ = f (x) ϕ (x)dx, ϕ ∈ D(Ω) Ω hàm suy rộng Do ánh xạ f −→ Λf đơn ánh nên ta đồng f với Λf f gọi hàm suy rộng quy Ví dụ Hàm Dirac δ : ϕ → δ, ϕ = ϕ (0), ϕ ∈ D(Ω) Định nghĩa 1.1.3 Cho f ∈ D (Ω), α = (α1 , α2 , , αn ) ∈ Zn+ Đạo hàm cấp α hàm suy rộng f Ω, kí hiệu Dα f , ánh xạ từ D (Ω) vào C xác định Dα f : ϕ → (−1)|α| f, Dα ϕ , ϕ ∈ D(Ω), |α| = α1 + α2 + + αn Nhận xét 1.1.2 Với định nghĩa đạo hàm hàm số thuộc C ∞ (Ω) theo nghĩa hàm suy rộng trùng với khái niệm đạo hàm thông thường Mọi hàm thuộc L1loc (Ω) có đạo hàm (theo nghĩa hàm suy rộng) cấp Định nghĩa 1.1.4 Cho fk , f ∈ D (Ω), k = 1, 2, Ta nói rằng, dãy {fk }∞ k=1 hội tụ đến f D (Ω) k tiến vô lim fk , ϕ = f, ϕ , ∀ϕ ∈ D (Ω) k→∞ Kí hiệu D _ lim fk = f k→∞ Định lí 1.1.3 Khơng gian hàm suy rộng D (Ω) đầy đủ 1.1.3 Không gian hàm giảm nhanh Định nghĩa 1.1.5 Không gian hàm giảm nhanh, kí hiệu S (Rn ) tập hợp S(Rn ) = ϕ ∈ C ∞ (Rn )\ sup xα Dβ ϕ(x)) < ∞, ∀α, β ∈ Zn+ x∈Rn Với khái niệm hội tụ định nghĩa sau n n Dãy {ϕk }∞ k=1 S (R ) gọi hội tụ đến ϕ ∈ S (R ) lim sup xα Dβ ϕk (x) − xα Dβ ϕ (x) = 0, ∀α, β ∈ Zn+ k→∞ x∈Rn Kí hiệu S_ lim ϕk = ϕ k→∞ Chú ý 1.1.4 Hàm ϕ ∈ C ∞ (Rn ) giảm nhanh, nghĩa với α, β ∈ Zn+ tồn cα,β > cho xα Dβ ϕ (x) ≤ cα,β , ∀x ∈ Rn a) với m ∈ Z+ , β ∈ Zn+ có + |x|2 m Dβ ϕ (x) ≤ cm,β , ∀x ∈ Rn hay b) Với m ∈ Z+ có + |x|2 m Dβ ϕ (x) ≤ cm , ∀x ∈ Rn |β|≤m Với λ, µ ∈ C , ϕk , ψk , ϕ, ψ ∈ S (Rn ) , k = 1, 2, S_ lim ϕk = ϕ, S_ lim ψk = ψ k→∞ k→∞ S_ lim (λϕk + µψk ) = λϕ + µψ k→∞ Với α ∈ Zn+ , phép toán đạo hàm Dα ánh xạ tuyến tính liên tục từ S (Rn ) vào S (Rn ) Tập C0∞ (Rn ) trù mật không gian S (Rn ) Định lí 1.1.5 Khơng gian S (Rn ) đầy đủ 1.1.4 Không gian hàm suy rộng tăng chậm Định nghĩa 1.1.6 Cho hàm suy rộng f ∈ D (Rn ) Hàm suy rộng f gọi hàm suy rộng tăng chậm tồn số tự nhiên m số dương C cho | f, ϕ | ≤ C sup + |x| x∈Rn m |Dα ϕ (x)|, ∀ϕ ∈ D (Rn ) |α|≤m Không gian hàm suy rộng tăng chậm không gian véctơ tất hàm suy rộng tăng chậm Kí hiệu S (Rn ) Định nghĩa 1.1.7 Cho hàm p(x) ∈ C ∞ (Rn ) Ta nói p(x) hàm tăng chậm với α ∈ Zn+ tồn c > a ∈ R (phụ thuộc vào p α) cho |Dα p(x)| ≤ c + |x|2 a , ∀x ∈ Rn Không gian hàm tăng chậm không gian véc tơ tất hàm tăng chậm Kí hiệu OM (Rn ) Chú ý 1.1.6 Khơng gian hàm suy rộng tăng chậm S (Rn ) khơng gian phiếm hàm tuyến tính liên tục S (Rn ) Chúng ta xét ví dụ sau: Ví dụ Cho ≤ p ≤ ∞, f ∈ Lp (Rn ), ánh xạ f (x) ϕ (x)dx, ϕ ∈ S(Rn ) Λf : ϕ → f, ϕ = Rn hàm suy rộng tăng chậm Do ánh xạ f −→ Λf đơn ánh nên ta đồng f với Λf Cũng hàm tăng chậm hàm suy rộng tăng chậm Ví dụ Hàm suy rộng δ đạo hàm hàm suy rộng tăng chậm Định nghĩa 1.1.8 Cho fk , f ∈ S (Rn ) , k = 1, 2, Dãy {fk }∞ k=1 gọi hội tụ S (Rn ) đến hàm f ∈ S (Rn ), kí hiệu S _ lim fk = f , k→∞ i) Có số tự nhiên m số dương C cho | fk , ϕ | ≤ C sup + |x| m x∈Rn |Dα ϕ (x)|, ∀ϕ ∈ C0∞ (Rn ) , k = 1, 2, |α|≤m n ii) Dãy {fk }∞ k=1 hội tụ D (R ) đến f Định lí 1.1.7 Khơng gian S (Rn ) đầy đủ 1.1.5 Biến đổi Fourier n xi ωi , ∀x, ω ∈ Rn tích vơ hướng Rn viết i=1 √ tắt x = xx, ∀x ∈ Rn , chuẩn Euclide |x| = xx Ta kí hiệu xω = Định nghĩa 1.1.9 (Biến đổi Fourier) Biến đổi Fourier hàm f ∈ L1 (Rn ), kí hiệu f F(f ), hàm xác định f (x) e−2πixω dx , ω ∈ Rn f (ω) = (1.1) Rn Nhận xét 1.1.8 Từ (1.1) ta suy f ∞ ≤ f Ta dùng kí hiệu F(f ) để nhấn mạnh phép biến đổi Fourier toán tử tuyến tính tác động khơng gian hàm f ∈ L1 (Rn ) Ngoài định nghĩa biến đổi Fourier ta cịn định nghĩa biến đổi Fourier theo cách khác sau n f (ω) = (2π)− f (x) e−ixω dx Rn f (x) e−ixω dx f (ω) = Rn Nếu f tín hiệu, kĩ sư ω tần số f (ω) hiểu biên độ tần số ω tín hiệu f Trong vật lý, ω biến 2 động lượng f (ω) / f −2 f mật độ xác suất động lượng Do f (ω) dω xác suất chất điểm trạng thái f có động I lượng miền I ⊂ Rn Bổ đề 1.1.1 (Riemann - Lebesgue) Nếu f ∈ L1 (Rn ) f liên tục lim f (ω) = |ω|→∞ Giả sử C0 (Rn ) không gian Banach hàm liên tục triệt tiêu vơ hạn, bổ đề Riemann - Lebesgue diễn đạt tính chất ánh xạ biến đổi Fourier sau F : L1 (Rn ) → C0 (Rn ) Nếu bỏ điều kiện mà biến đổi Fourier định nghĩa theo điểm công thức (1.1), thác triển lên khơng gian hàm khác Kết định lí Plancherel mà nghiên cứu sau Định lí 1.1.9 (Plancherel) Cho f ∈ L1 ∩ L2 (Rn ) Khi f = f 45 Chứng minh Bởi tính trù mật, ta cần chứng minh với f, g ∈ S(Rd ), f, g hàm suy rộng điều hòa Ta bắt đầu xét trường hợp κ = 0; φρ (x) = e−ρ(x) φ(x), ta có: τ e−2piitω e−ρ(x+τ t) f (x+τ t)e− 1−τ ρ(x−(1−τ )t) g(x − (1 − τ )t)dt; τ W igτ (fρ , g 1−τ ρ) = tính tốn đơn giản ta thu τ e−ρ(x+τ t) e− 1−τ ρ(x−(1−τ )t) = e 1−τ ρ(x)+τ ρ(t) Bằng phép đổi biến s = −t, ta có: − ρ(x) τ W igτ (fρ , g 1−τ ρ ) = e 1−τ e2πisω e−τ ρ(−s) f (x − τ s)g(x + (1 − τ )s)ds Ta thấy f (x − τ s)g(x + (1 − τ )s) = Fη→s W igτ (f, g)(x, η); sau ρ(−s) = ρ(s) nên ta có: − ρ(x) τ W igτ (fρ , g 1−τ ρ ) =e 1−τ e2πisω e−τ ρ(−s) Fη→s (W igτ (f, g)(x, η))ds =e− 1−τ ρ(x) e−τ ρ(Dω ) W igτ (f, g)(x, ω) (2.3) τ Bây ta xét W igτ (e− 1−τ κ(D) f, e−κ(D) g)(x, ω); từ (1.54), τ τ F(e− 1−τ κ(D) f ) = e− 1−τ κ(y) f (y) F(e−κ(D) g) = e−κ(y) g(y), nên ta có τ τ W igτ (e− 1−τ κ(D) f, e−κ(D) g)(x, ω) = W igτ (gκ , f 1−τ κ )(ω, x) Từ (2.3)và (1.54) ta thu τ W igτ (e− 1−τ κ(D) f, e−κ(D) g)(x, ω) =e− 1−τ κ(ω) e−τ κ(Dx ) W igτ (g, f )(ω, x) =e− 1−τ κ(ω) e−τ κ(Dx ) W igτ (f, g)(x, ω) (2.4) Sau (2.2) ta có (2.3) (2.4) Bổ đề 2.2.2 Ta xét tr ϕ(t) = e−t At+αt τ tr , ψ(t) = e− 1−τ t τ At+ 1−τ αt (2.5) 46 Ở A ma trận xác định dương d × d, α ∈ Rd Khi đó, tồn C ∈ GL(d, R) để W igτ (ϕ, ψ)(x, ω) = |detC| π d/2 e− 1−τ (x tr Ax)+ 1−τ αx −π (Cω)2 e Ở (Cω)2 có nghĩa tích vơ hướng Cω Đặc biệt biến đổi τ −Wigner W igτ (ϕ, ψ)(x, ω) dương với (x, ω) ∈ R2d Chứng minh Từ định nghĩa biến đổi τ −Wigner ta có: W ig τ (ϕ, ψ)(x, ω) = tr e−2πitω e−(x+τ t) = τ A(x+τ t) α(x+τ t) − 1−τ (x−(1−τ )t)tr A(x−(1−τ )t) e e τ e 1−τ α(x−(1−τ )t) dt; Rd τ (x+τ t)tr A(x+τ t)+ 1−τ (x−(1−τ )t)tr A(x−(1−τ )t) = α(x + τ t) + τ 1−τ α(x − (1 − τ )t) = W igτ (ϕ, ψ)(x, ω) = e 1−τ x tr 1−τ αx tr tr 1−τ x Ax+τ t At nên ta có: Ax+ 1−τ αx e−2πitω e−τ t tr At dt (2.6) Rd Vi A ma trận xác định dương nên chéo hóa được, A = V tr diag(λj )V với ma trận V ∈ GL(d, R), λj > giá trị riêng A Sau ta có A = (diag( λj )V )tr (diag(( λj )V )) Vì ttr At = (diag( λj )V t)tr (diag(( λj )V t)) √ Đổi biến s = τ diag( λj )V t tích phân (2.6); quy ước B = √ τ diag( λj )V ta có W igτ (ϕ, ψ)(x, ω) =e 1−τ x = tr Ax+ 1−τ αx |detB| e−2πiB −1 sω −s2 e Rd 1 tr −1 tr e 1−τ x Ax+ 1−τ αx π d/2 e−π ((B ) ω) |detB| Đặt C = (B −1 )tr ta thu kết luận ds 47 Định lí 2.2.1 Giả sử f, g ∈ L2 (Rd ) Khi với τ ∈ [0; 1], W igτ (f, g)) ∈ L2 (R2d ) Hơn nữa, với τ ∈ (0; 1), τ = ta có W igτ (f, g))(x, ω) > hầu khắp nơi R2d tồn ma trận xác định dương A ∈ GL(d, R), véctơ α, β số dương c, d, a ∈ R cho tr f (t) =e−t At+αt+iβt+c+ia τ Ở ttr At = t1 ; τ tr g(t) =e− 1−τ t At+ 1−τ αt+iβt+d+ia    a11 a1n t1      tn      an1 ann tn (2.7) Chứng minh Ta bắt đầu chứng minh biến đổi τ −Wigner dương f, g τ 2 có dạng (2.7) Ta có W igτ (e−πt e−π 1−τ t ) > 0, ta suy điều từ Bổ đề 2.2.2 với A = πI β = 0, I ∈ GL(d, R) đơn vị Hơn nữa, từ (1.50)với z = y ta có τ 2 τ 2 W igτ (e−π(t−y) e−π 1−τ (t−y) )(x, ω) = W igτ (e−πt e−π 1−τ t )(x − y, ω) > (2.8) Với y ∈ Rd , (x, ω) ∈ R2d Mặt khác, ta có τ 2 2 W igτ (e−π(t−y) e−π 1−τ (t−y) )(x, ω) = e−π 1−τ y W igτ (e−πt +2πty τ , e−π 1−τ t τ +2π 1−τ ty từ (2.8) ta có W igτ (e−πt +2πty τ , e−π 1−τ t τ +2π 1−τ ty )>0 với y ∈ Rd , (x, ω) ∈ R2d Từ (1.51) với β = γ := y ta thu W igτ (M−y (e−πt +2πty τ ), M−y (e−pi 1−τ t τ +2π 1−τ ty ) (2.9) dương với y, y , x, ω Để ý M−y (e−πt +2πty ) = e−πt −2πitz1 τ M−y e−π 1−τ t τ +2π 1−τ ty τ = e−π 1−τ t −2πitz2 với z1 , z2 ∈ Cd với hệ thức z1 = y + iy, z2 = y + i τ y 1−τ (2.10) ), 48 Ta viết lại (2.9) dạng: W igτ (e−πt −2πitz1 τ , e−π 1−τ t −2πitz2 )(x, ω) > (2.11) với (x, ω) ∈ R2d z1 , z2 ∈ Cd thỏa mãn (2.10) Vì ta giả thiết W igτ (f, g)(x, ω) > với (x, ω) ∈ R2d , từ (2.11) ta có W igτ (f, g)W igτ (e−πt −2πitz1 τ , e−π 1−τ t −2πitz2 )L2 (R2d ) > (2.12) Sau từ hệ thức trực giao (1.49) ta có (f, e−πt −2πitz1 τ )(g, e−π 1−τ t −2πitz )>0 (2.13) với z1 , z2 thỏa mãn (2.10) Bằng phép đổi biến đơn giản ta có −πt2 −2πitz1 e 2 L2 (Rdt ) = e −2πt2 +4πt z1 dt = e 2π( z1 )2 Rd −2πs2 e Rd e2π( z1 ) ds = 2d/2 Xét hàm G(z1 ) = (f, e−πt −2πitz1 ); ta có |G(z1 )| ≤ f L2 e −πt2 −2πitz1 L2 = f L2 eπ( z1 ) π|z1 | ≤ ce , 2d/4 với số c > Hơn nữa, G(z1 ) hàm nguyên không triệt tiêu, ta suy từ (2.13); ta thu G có dạng tr G(z1 ) = ez1 Az1 +bz1 +c (2.14) Ta lại viết z1 −πt2 +2πt z1 e2πit G(z1 ) = e f (t)dt Rd Vì F z1 →t (G(z1 ) | z1 =0 ) = e−πt f (t) ; đó, từ (2.14) ta có e−πt f (t) hàm Gauss suy rộng, tức hàm số mũ với mũ đa thức bậc 49 Hệ f (t) có dạng tương tự, nghĩa tồn ma trận phức d × d A , β ∈ Cd c ∈ C cho f (t) = e−t τ Tương tự với biểu thức (g, e−π 1−τ t tr A t+β t+c −2πitz2 (2.15) ) xem (2.13), ta thấy g(t) phải có dạng f (t), tức g(t) = e−t tr A”t+β”t+c (2.16) Với ma trận phức A , β ∈ Cd c ∈ C Bây ta tìm hệ thức liên hệ A , β , c, A , β , c Thứ ta thấy W igτ (f, g) = Ft→ω (f (x + τ t)g(x − (1 − τ )t)) ta giả thiết W igτ (f, g) > 0; đó, f g có dạng (2.15)(2.16)(đặc biệt chúng cịn liên tục) ta có hàm t −→ f (x + τ t)g(x − (1 − τ )t) xác định dương Do f (x + τ t)g(x − (1 − τ )t) = f (x − τ t)g(x + (1 − τ )t) Thế (2.15) vào (2.16) (2.17) ta thu    A +A =A +A       (1 − τ )A − τ A = τ A − (1 − τ )A       τ + (1 − τ )2 A = τ A + (1 − τ )2 A   β +β =β +β        τ β − (1 − τ )β = −τ β + (1 − τ )β      c + c = c + c + 2kπi, ∀k ∈ Z (2.17) 50 Những điều kiện tương đương với    A = A      τ  A = 1−τ A      τ  A” = ( 1−τ ) A   β = β      τ   β = 1−τ β      c = c (2.18) ta có 2kπi điều kiện c, c dạng đặc biệt f g Ta có kết luận khác phụ thuộc vào τ Nếu τ = A = ta phải có A” = từ (2.18) (2.15)-(2.16) suy f g dạng trình bày Định lý 2.2.1, ma trận (2.7) xác định dương f g L2 (Rd ) Nếu τ = β , c = điều kiện (2.18) trở thành A = A , β = c , ta có (ii) Định lý 2.2.1, điều kiện A xác định dương có f g L2 (Rd ) Bây ta chứng minh tiếp phần đảo: giả sử f g có dạng trong(2.7) phải chứng minh W igτ (f, g) dương (ta xét trường hợp τ = biến đổi Wigner biết) Ta xét hàm trong(2.5) có f (t) = ec eia M β ϕ(t), g(t) = ed eia M β ψ(t), 2π 2π với ký hiệu trong(2.19); đó, từ tính chất lệch-tuyến tính biến đổi τ −Wigner từ Mệnh đề 1.2.31 ta có W igτ (f, g)(x, ω) = ec+d W igτ (ϕ, ψ)(x, ω − β ); 2π đó, từ Bổ đề 2.2.2, W igτ (f, g)(x, ω) > với (x, ω) ∈ R2d Định lý chứng minh Để xây dựng định lý Hudson cho biến đổi τ -Wigner S’, 51 f ∈ S(Rd ), x, ω ∈ Rd B ∈ GL(d, R), Tx f (f ) = f (t − x) Mω f (t) = e2πiωt f (t) UB f (t) = |detB| f (Bt) (2.19) với mở rộng hiển nhiên S (Rd ) hàm suy rộng tăng chậm Chú ý 2.2.2 Chú ý f, g ∈ L2 (Rd ), f, g = τ ∈ (0; 1) ta có W igτ (f, g)(x, ω) > ⇔ W igτ (f, g)(x, ω) ≥ 0; Thực tế, W igτ (f, g)(x, ω) ≥ ta có bất đẳng thức nghiêm ngặt (2.12), ta chứng minh tương tự Định lý 2.2.1 trường hợp W igτ (f, g)(x, ω) ≥ Định lí 2.2.3 Giả sử f, g ∈ S (Rd ) Ta xét tách biến t = (t[1], t[2], t[3]) với t[1] = (t1 , , th ), t[2] = (th+1 , , tk ), t[3] = (tk+1 , , td ) với ≤ h ≤ k ≤ d (trường hợp h = 0, h = k k = d t[1], t[2], t[3] tương ứng rỗng) Khi ta có: Với τ ∈ (0; 1), τ = ta có W igτ (f, g))(x, ω) ∈ S (R2d ) hàm suy rộng dương tồn cf , cg , a ∈ R, θ, σ ∈ Rd , D ∈ GL(d, R) dạng tách biến biểu diễn dạng f (t) = ecf +ia UD Tθ Mσ (e−t[1] ⊗ δt[2] ⊗ 1t[3] ) (2.20) τ g(t) = ecg+ia UD Tθ Mσ (e− 1−τ t[1] ⊗ δt[2] ⊗ 1t[3] ) (2.21) Ở δt[2] hàm suy rộng Dirac biến t[2] 1t[3] thay cho hàm đồng biến t[3] W ig(f, g) = W ig 12 (f, g) hàm suy rộng dương tồn c, a ∈ R, θ, σ ∈ Rd , D ∈ GL(d, R), A ∈ GL(h, C) với A xác 52 định dương biến tách có dạng: tr f (t) = ec+ia UD Tθ Mσ (e−t[1] At[1] ⊗ δt[2] ⊗ 1t[3] ), g(t) = λf (t) (2.22) với số dương λ Chứng minh Với τ = 12 ; thứ ta giả sử W igτ (f, g) hàm suy rộng dương, ta phải chứng minh hàm suy rộng điều hòa f g thỏa mãn định lý Ta xét hai dạng toàn phương thực ρ(t) κ(t) Rd ρ(t) = ttr Bt, κ(t) = ttr Ct, (2.23) với ma trận thực B C cỡ d×d; ta giả sử ρ(t) κ(t) xác định d τ τ dương Chú ý fρ, 1−τ κ g 1−τ ρ,κ (2.1) thuộc L (R ) (chúng hàm C ∞ triệt tiêu vơ hạn); thật vậy, F −1 (e−κ(t) ) Gaussian, với φ ∈ S (Rd ) ta có e−κ(D) φ = F −1 (e−κ(t) )φ hàm tăng chậm C ∞ , đặc biệt trội vơ cực đa thức; với dạng tồn phương xác định dương ρ(t) ta có e−ρ(t) e−κ(D) φ = φρ,κ ∈ L2 (Rd ) Từ giả thiết W igτ (f, g)(x, ω) hàm suy rộng dương, từ Bổ đề 2.2.1 ta có τ τ W igτ (fρ, 1−τ ρ,κ (x, ω) > κ) , g 1−τ τ τ với (x, ω) ∈ R2d (chú ý W igτ (fρ, 1−τ ρ,κ (x, ω) hàm trơn κ) , g 1−τ τ τ với số mũ triệt tiêu vô cực, xem (2.2) ) Từ đó, fρ, 1−τ κ g 1−τ ρ,κ thuộc vào L2 (Rd ) sử dụng Định lý 2.2.1 ta suy tr At+αt+iβt+c+ia tr τ At+ 1−τ αt+iβt+d+ia −t τ fρ, 1−τ κ (t) = e τ − t τ g 1−τ ρ,κ (t) = e 1−τ (2.24) (2.25) A ma trận thực xác định dương d × d, α, β ∈ Rd c, d, a ∈ R Bây ta tính f g Với φ ∈ S (Rd ) với dạng toàn phương xác định thực dương ρ(t) κ(t) ta có φ = eκ(D) (eρ(t) φρ,κ (t)); 53 từ (2.24) ta thu τ tr f (t) =e 1−τ κ(D) (eρ(t)−t At+αt+iβt+c+ia τ −1 =ec+ia Fω→t (e 1−τ κ(ω) Fy→ω (e−y f ∈ S (Rd ) ta có e−y tr (A−B)y+αy+iβy ) tr (A−B)y+αy+iβy )) (2.26) τ = e−c−ia e 1−τ κ(D) f (y) hàm tăng chậm C ∞ ; A − B phải nửa xác định dương Vì ta chéo hoa nó, thu A − B = V tr diag(λj )V , λj ≥ giá trị riêng A − B Do từ việc đổi biến s = V y ta thu được: Fy→ω (e−y tr (A−B)y+αy+iβy tr e−2πiyω e(V y) )= = |detV | diag(λj )(V y)+αy+iβy tr e−2πis(V ω) e−s dy diag(λj )s+µs+iνs ds, (2.27) µ = αV −1 ν = βV −1 , với µ, ν ∈ Rd Ta lại có str diag(λj )s = λ1 s21 + + λd s2d ; khơng làm tính tổng qt ta giả sử λj = kéo theo λn = với n ≥ j, mặt khác đủ để đổi biến tích phân (2.27) Do tồn k ∈ N, ≤ k ≤ d cho λj > với j = 1, , k λk+1 = = λd = Vì vế trái (2.27) hàm suy rộng điều hòa nên phải có µk+1 = = µd = 0, ta có Fy→ω (e−y tr (A−B)y+αy+iβy |detV | )= ν 2 e−2πis(V ω− 2π ) e−(λ1 s1 + +λk sk )+µ1 s1 + +µk sk ds Rd Ta kí hiệu ω = (ω1 , , ωd ) ∈ Rd ta tách ω = (ω(1) , ω(2) ), ω(1) = (ω1 , , ωk ), ω(2) = (ωk+1 , , ωd ) Do đó, Rd e−2πitω e−t dt = π d/2 e−π ω2 (2.28) với kí hiệu (2.19) ta thu Fy→ω (e−y tr (A−B)y+αy+iβy ) = c1 UV T 2πν (F (ω(1) ) ⊗ δω(2) ) µ µ ω2 ω2 k −πi( λ1 ω1 + + λk ωk ) −π ( λ1 + + λk ) F (ω(1) ) = e k e , (2.29) 54 µ2 µ δω(2) hàm suy rộng Dirac với biến ω(2) c1 = k k/2 ( λ1 + + λk ) √π e 3/2 λ1 λk |detV | số thực dương Từ (2.26) (2.29) ta có τ f (t) = c2 Rd e2πitω e 1−τ κ(ω) UV T 2πν (F (ω(1) ) ⊗ δω(2) ) dω, ν c2 = c1 ec+ia Đổi biến V ω − 2π = ζ tích phân; F (ω).δω(2) = F (ω(1) , 0) ⊗ δω(2) với hàm F (ω) C ∞ ta thu tr e2πiV tζ e−ζ(1) Rζ(1) +˜µζ(1) e−2πi˜ν ζ(1) ⊗ δζ(2) dζ, f (t) = c3 e2πiγt (2.30) γ ∈ Rd , µ ˜, ν˜ ∈ Rk , c3 số có dạng c3 = c4 eia với c4 > 0, R ma trận phụ thuộc vào dạng toàn phương κ(ω) (2.26) Vì f ∈ S (Rd ), R (2.30) nửa xác định Do ta chéo hóa ˜ j )S với λ ˜ j , j = 1, , k giá trị riêng R, R, tìm R = S tr diag(λ ˜ j ≥ 0, ∀j = 1, , k Giả thiết λ ˜ , , λ ˜ h > 0, λ ˜ h+1 = = λ ˜ k = ta λ tách biến ζ(1) tương tự (2.28) Với t ∈ Rd ta tách t = (t[1] , t[2] , t[3] ), t[1] = (t1 , , th ), t[2] = (th+1 , , tk ), t[3] = (tk+1 , , td ), Từ (2.30) ta có f (t) = c5 UD Tθ e2πiσt (e−t[1] ⊗ δt[2] ⊗ 1t[3] ) (2.31) D ∈ GL(d, R), θ, σ ∈ Rd c5 = cf eia với cf ≥ a ∈ R; kí hiệu 1t[3] hàm đơn vị biến t[3] Do ta chứng minh f có dạng (2.20) Tương tự với hàm g, từ (2.25) tính toán tương tự ta thu (2.21) Cuối ta chứng minh f g có dạng (2.20) (2.21) biến đổi W igτ (f, g) hàm suy rộng dương Từ Mệnh đề 1.2.31 ta có τ 2 W igτ (ecf +ia e−t[1] ⊗ δt[2] ⊗ 1t[3] , ecg +ia e− 1−τ t[1] ⊗ δt[2] ⊗ 1t[3] ) (2.32) hàm suy rộng dương Ta có: τ 2 W igτ (ecf +ia e−t[1] ⊗ δt[2] ⊗ 1t[3] , ecg +ia e− 1−τ t[1] ⊗ δt[2] ⊗ 1t[3] ) = τ =ecf +cg W igτ (e−t[1] , e− 1−τ t[1] ) ⊗ W igτ (δt[2] , δt[2] ) ⊗ W igτ (1t[3] , 1t[3] ), 55 W igτ hàm suy rộng biến (x[j] , ω[j]), j = 1, 2, Ta có W igτ (1t[3] , 1t[3] ) = 1x[3] ⊗ δω[3] ; (2.33) nữa, từ Mệnh đề 1.2.32 (2.33) ta có W igτ (δt[2] , δt[2] )(x[2],ω[2] ) = W ig1−τ (1t[2] , 1t[2] )(−ω[2] , x[2] ) = δx[2] ⊗ 1ω[2] Từ Bổ đề 2.2.2 cuối ta có τ 2 W igτ (ecf +ia e−t[1] ⊗ δt[2] ⊗ 1t[3] , ecg +ia e− 1−τ t[1] ⊗ δt[2] ⊗ 1t[3] ) = =ecf +cg |detC| π h/2 e− 1−τ x[1] e−π (Cω[1] )2 ⊗ δx[2] ⊗ 1ω[2] ⊗ 1x[3] ⊗ δω[3] , (2.34) (2.32) hàm suy rộng dương Điều phải chứng minh Nhờ Mệnh đề 1.2.31 ta có W igτ (f, g) với f g xác định (2.20) (1.54) có biểu thức (2.34) phép tịnh tiến phép biến đổi tuyến tính Do đó, với hàm xác định (2.20), (2.21) (2.22) ta có thêm số hệ sau Định lý 2.2.3: Hệ 2.2.1 Giả sử f, g ∈ S (Rd ) Ta có W igτ (f, g) thuộc Lp (R2d ), p ∈ [1, ∞], thỏa mãn W igτ (f, g)(x, ω) ≥ R2d , f g Định lý 2.2.3 có h = k = d (nghĩa t[2] t[3] rỗng f, g Định lý 2.2.1) Kết luận đòi hỏi W igτ (f, g) thuộc L1loc (R2d ) thỏa mãn W igτ (f, g)(x, ω) ≥ Hệ 2.2.2 Nếu f, g ∈ Lp (Rd ), ≤ p < ∞, ta có W igτ (f, g) hàm suy rộng dương f g Định lý 2.2.3 với h = k = d d Hệ 2.2.3 Nếu f, g ∈ L∞(R ) f, g ∈ L1loc (Rd ) S (Rd ), ta có W igτ (f, g) hàm suy rộng dương f g Định lý 2.2.3 với h = k (nghĩa t[2] rỗng t[1] t[3] khác rỗng ) 56 Hệ 2.2.4 Ta lại xét f, g ∈ S (Rd ) Khi W igτ (f, g) hàm suy rộng dương chặt f g Định lý 2.2.3 với h = k = d Kết luận chương Nội dung chương trình bày nghiên cứu định lý kiểu Hudson tính dương biến đổi τ −Wigner hệ chúng Kết luận Nội dung luận văn trình bày tổng quan kết về: • Giải tích thời gian–tần số biểu diễn thời gian–tần số • Tính dương biến đổi τ −Wigner Với lực hạn chế thời gian có hạn, chắn luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Kính mong q thầy bạn học góp ý để luận văn hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! 57 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Hồng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Anh [2] P Boggiatto, G De Donno and A Oliaro (2010), "Time–frequency representations of Wigner type and pseudo-differential operators", Trans Am Math Soc, 362(9), 4955-4981 [3] Paolo Boggiatto, Giuseppe De Donno and Alessandro Oliaro (2010), "Hudson theorem for τ -Wigner transforms", Preprint, Turin University, Italy [4] P Boggiatto, Bui Kien Cuong, G De Donno and A Oliaro (2010), "Generalized spectrograms and τ -Wigner transforms", Cubo, 12(no 3), 171-185 [5] P Boggiatto, Bui Kien Cuong, G De Donno and A Oliaro (2010), "Weighted integrals of Wigner representations", J pseudo-Differ Oper Appl, (no 4), 401-405 [6] Gerd Grubb (2008), Distributions and Operators, Springer New York, USA Birkh Inc 58 59 [7] Karlheinz Grăochenig (2001), Foundation of Time-Frequency Analysis, Birkhăauser Boston, USA [8] L.Cohen (1995),Time-Frequency Analysis, Prentice Hall Signal Proc.Series, New Jersey ... đổi τ -Wigner 2.1 Đặt vấn đề Ở Chương ta biết phân bố τ -Wigner mở rộng phân bố Wigner thông thường phân bố Wigner không dương, có trường hợp đặc biệt, hàm f lựa chọn hàm Gauss định lý Hudson. .. "Định lý kiểu Hudson tính dương biến đổi τ -Wigner" để thực luận văn tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu tính dương biến đổi τ - Wigner Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày biến đổi τ - Wigner Trình... thời gian–tần số 1.2.3 Phân bố Wigner Phân bố Wigner phát minh vào năm 1932 E .Wigner ông nghiên cứu học lượng tử giới thiệu giải tích tín hiệu J.Ville Phân bố Wigner thoả mãn hầu hết tính chất