Ôi Hồc Quốc Gia H Nởi Trữớng Ôi Hồc Khoa Hồc Tỹ Nhiản Hữợng dăn ổn têp I Sẩ TUYN TNH Dnh cho cĂc lợp MT&KHTT v CLC MT&KHTT Xuyản suốt ton bở nởi dung mổn hồc Ôi số tuyán tẵnh l phữỡng phĂp bián ời sỡ cĐp theo hng cừa mởt ma no õ Ơy l sỹ mổ phọng quĂ trẳnh bián ời tữỡng ữỡng hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh  biát án nhiÃu nÃn vôn hõa cờ Ôi CĂc nởi dung  hồc mổn hồc Ôi số tuyán tẵnh: ã Hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh ã nh xÔ tuyán tẵnh ã Ma v nh thực ã Php bián ời tuyán tẵnh ã Khổng gian vc tỡ ã Trỹc giao hõa v ựng dửng Chữỡng Hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh Bi toĂn GiÊi hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh (a) Khỷ Gauss Xem: cĂc v½ dư 1.13, , 1.17 (b) Cỉng thùc nghi»m Cramer Xem: ành l½ 2.44 v v½ dư 2.45 (c) Khỷ Gauss-Jordan giÊi phữỡng trẳnh ma AX = B, khû Gauss-Jordan ma trªn h» số m rởng A B cừa phữỡng trẳnh trản ã Náu ma bêc thang rút gồn thu ữủc cõ dÔng cõ nghiằm nhĐt X = C I C (?) thẳ phữỡng trẳnh ma  cho ã Trong cĂc trữớng hủp khĂc, cƯn biằn luên tịy thc v o ma trªn bªc thang rót gån thu ữủc Phữỡng trẳnh (?) s ữủc à cêp án nhiÃu cĂc bi toĂn tiáp theo Bi têp: 1.1, , 1.10 Chữỡng Ma v nh thực Bi toĂn Tẵnh nh thực cừa ma vuæng (a) Khai triºn Laplace theo mët h ng ho°c cët phị hđp Xem v½ dư 2.29 V½ dư bê sung X²t ma trªn: −2 −3 A= −1 −3 T½nh ành thùc cõa A b¬ng c¡ch khai triºn Laplace theo h ng 1: 5 |A| = +(−2) − (−3) + (5) −3 −1 −1 −3 = +(−2)(2) − (−3)(5) + (5)(−13) = 54 Nhên xt rơng cởt thự cừa ma A chựa phƯn tỷ 0, õ õ, s " ỡn gi£n" hìn mët chót ta t½nh ành thùc cõa A b¬ng c¡ch khai triºn Laplace theo cët n y: −2 −3 −2 −3 − (0) |A| = +(5) −1 −3 + (1) −1 −3 = (5)(−13) + + (1)(11) = −54 (b) Khû Gauss Xem: v½ dư 2.34 V½ dư bờ sung Tẵnh nh thực cừa ma sau Ơy bơng phữỡng phĂp khỷ Gauss A = −1 Líi gi£i Sû dưng ph÷ìng ph¡p khû Gauss, ta ữa ma A và dÔng bêc thang 1 −1 −1 H2 +H1 7→H2 ,H3 −H1 7→H3 4H3 +7H2 7→H3 −1 − −−− −−−−−−−−−−−−−−→ −−−−−→ 0 −7 Do õ, nh thực cừa ma  cho l |A| = (1)(4)(26) = 26 4 26 Nhợ rơng nh thực cừa ma tam giĂc trản hoc tam giĂc dữợi l tẵch tĐt cÊ cĂc phƯn tỷ nơm trản ữớng cho Ngoi ra, ghi nhợ sỹ thay ời cừa nh thực sau mội php bián ờ sỡ cĐp sỷ dưng (c) Sû dưng cỉng thùc têng qu¡t (cỉng thùc Leibniz) CĂch ghi nhợ cổng thực ny trữớng hủp ma cù ì3 l quy tưc Sarrus Xem: vẵ dử 2.26 CƯn phÊi ghi nhợ cĂc tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa nh thực (khổng cƯn chựng minh): ã Thay ời cừa nh thực qua bián ời sỡ cĐp cĂc hng Mằnh à 2.32 ã nh thực cừa ma tẵch Mằnh à 2.40 ã nh thực cừa ma kh£ nghàch H» qu£ 2.41 • ành thùc cõa ma trªn chuyºn M»nh · 2.36 B i tªp: 2.1, 2.8, 2.15 Bi têp bờ sung Tẵnh nh thực cừa cĂc ma vuổng sau Ơy (a) −2 1 −2 1 (b) −1 −2 −1 −2 −1 −1 (c) −1 −2 −1 −1 (d) −2 1 3 −1 Bi toĂn Tẳm ma nghch Êo CƯn ghi nhợ cĂc tiảu chuân khĂc mởt ma l khÊ nghch ã Tiảu chuân liản quan án nh thực ã Tiảu chuân liản quan án hằ vc tỡ cởt ã Tiảu chuân liản quan án nghiằm cừa phữỡng trẳnh ma (a) Khỷ Gauss-Jordan Ma nghch Êo A1 (náu cõ) cừa mởt n ì n ma vuổng A ữủc xĂc nh bi iÃu kiằn AA1 = In Nhữ vêy, tẳm A1 , ta cƯn phÊi giÊi phữỡng trẳnh ma AX = In Nhữ  nõi trản, phữỡng trẳnh ny cõ th giÊi bơng cĂch khỷ Gauss-Jordan ma trªn h» sè mð rëng A In cõa nâ ã Náu ma bêc thang rút gồn thu ữủc cõ dÔng I C thẳ A1 = C ã Trong cĂc trữớng hủp khĂc, ma A khỉng kh£ nghàch Xem: v½ dư 2.34 V½ dư bê sung 1 T¼m nghàch £o cõa ma trªn A = −1 Lới giÊi tẵnh ma nghch Êo A , chóng ta khû Gauss-Jordan ma trªn A In Ta câ − 1 1 0 0 4 A In = −1 0 → · · · → 14 14 1 −1 0 0 −2 −1 Vªy ma A khÊ nghch vợi A1 = (b) 4 − 34 4 − 21 Sỷ dửng ma phƯn bũ Ôi số Xem: nh lẵ 2.42 v vẵ dử 2.43 Bi têp: 2.3, 2.9 Bi têp bờ sung Tẳm nghch Êo cừa cĂc ma vuổng sau Ơy bơng cÊ hai phữỡng phĂp: Khỷ Gauss-Jordan v Ma phƯn bũ Ôi số 1 −1 −2 (a) 2 (c) −1 −1 −2 −1 −1 −2 (d) (b) −2 −1 2 Bi têp bờ sung Tẳm nghch Êo cừa ma trªn 0 −1 −1 −1 −1 0 −1 −1 −1 Ch÷ìng Khỉng gian v²c tì B i to¡n H» v²c tì v , v , , v sinh? mët hằ ởc lêp tuyán tẵnh? k khổng gian vc tì Rn câ ph£i l mët cì sð? mët h» Thnh lêp ma nhên hằ vc tỡ  cho l m h» v²c tì cët A = v1 v2 · · · vk ∈ Mat(n × k, R) Khi â, h» v²ctì v1 , v2 , , vk l h» sinh cõa Rn n¸u v ch náu Rank(A) = n; ã mởt hằ ởc lêp tuyán tẵnh Rn náu v ch náu Rank(A) = k ; ã mởt hằ phử thuởc tuyán tẵnh Rn náu v ch náu Rank(A) < k ; ã mët cì sð cõa Rn n¸u v ch¿ n¸u Rank(A) = k = n tẵnh hÔng cừa ma trên, sỷ dửng phữỡng phĂp khỷ Gauss, ữa ma và dÔng bêc thang HÔng ã mởt cừa ma bơng số lữủng hằ số dăn Ưu cừa ma bêc thang n y Xem: V½ dư bê sung H» v²c tì sau ¥y cõa R câ ph£i 3 , , 3 l hằ sinh, hằ ởc lêp tuyán tẵnh, cỡ sð? −1 , −2 −2 Líi gi£i Ma trªn nhªn h» v²c tì ¢ cho l m h» v²c tì cët l 3 A = −1 −2 3 −2 Khû Gauss ma trªn A A → ··· → 0 −1 − 37 −3 -1 Do â, Rank(A) = Nhữ vêy, hằ vc tỡ  cho l mët h» sinh, nh÷ng khỉng ph£i l mët h» ëc lêp tuyán tẵnh, v õ, nõ khổng phÊi l mët cì sð M»nh · sau l k¸t qu£ quan trång v· sè l÷đng v²c tì mët cì sð, mởt hằ sinh v mởt hằ ởc lêp tuyán tẵnh M»nh · Cho V l mët khỉng gian v²c tì n chi·u Khi â • • • Méi cì sð cõa V câ óng n v²c tì Méi h» sinh cừa V cõ ẵt nhĐt n vc tỡ, hỡn nỳa, sè v²c tì b¬ng óng n v ch¿ h» sinh n y l mët cì sð Méi h» ëc lêp tuyán tẵnh cừa V cõ nhiÃu nhĐt n vc tì, hìn núa, sè v²c tì b¬ng óng n v ch hằ ởc lêp tuyán tẵnh ny l mët cì sð B i tªp: 3.4, 3.5, 3.7, 3.10, 3.11, 3.12 B i to¡n (Ma trªn chuyºn cì sð) Cho B = {v , v , , v } v B = {w1 , w2 , , wn } l c¡c cì sð cõa khổng gian vctỡ R Tẳm ma chuyn cỡ sð M ∈ Mat(n, R) tø cì sð B sang cì sð B n n Tứ nh nghắa, ta thĐy chuyn cỡ s M ∈ Mat(3, R) ÷đc x¡c ành bði ¯ng thùc ma trªn v1 v2 M = w1 w2 wn Nhữ vêy, tẳm ma chuyn cỡ s M , sû dưng ph÷ìng ph¡p khû Gauss-Jordan v1 v2 w1 w2 wn → · · · → In M V½ dư bê sung Cho hai h» v²c tì B = {v , v , v } v B = {w1 , w2 , w3 } cõa R3 â 3 −2 v1 = , v2 = , v3 = , w1 = , w2 = −2 , w3 = −2 −1 −5 1 Biát rơng B v B l c¡c cì sð cõa R3 T¼m ma trªn chuyºn cì sð tø B sang B Lới giÊi v1 tẳm ma chuyn cì sð v2 v3 w1 w2 w3 Ta câ v2 v3 w1 w2 w3 = −2 M tø cì sð B sang cì sð B , chóng ta khû Gauss-Jordan ma −2 v1 −1 −5 Do â, ma trªn chuyºn cì sð cƯn tẳm l M = 0 1 0 −2 → · · · → 0 0 1 −1 Bi têp: 3.8, 3.13 Chữỡng nh xÔ tuyán tẵnh Bi toĂn (Ma cừa Ănh xÔ tuyán t½nh) Cho f : R → Rm l mët ¡nh xÔ tuyán tẵnh Tẳm ma cừa f cp cì sð B = {v1 , v2 , , } cõa Rn v B = {w1 , w2 , , wm } cừa Rm Thữớng thữớng, Ănh xÔ f ữủc cho bơng cĂch: n ã cho cổng thực cử th; hoc • cho ma trªn cõa f mët c°p cì sð C cõa Rn v C cõa Rm Tr÷íng hđp f ÷đc cho bði cỉng thùc cư th Trong trữớng hủp ny, hÂy tẵnh f (v1 ), f (v2 ), , f (vn ) Ma cừa Ănh xÔ f cp cỡ s B v B l ma trªn M ∈ Mat(m × n, R) thäa m¢n i·u ki»n w1 w2 wm M = f (v1 ) f (v2 ) f (vn ) Nhữ vêy, tẳm ma chuyn cỡ sð M , sû dưng ph÷ìng ph¡p khû Gauss-Jordan w1 w2 wm f (v1 ) f (v2 ) f (vn ) → · · · → Im M Xem: Vẵ dử bờ sung Cho Ănh xÔ tuyán tẵnh f : R2 → R3 , −2 x − y x 3y 7→ y 2x 3y Tẳm ma cừa f cỡ sð B = {v1 , v2 } cõa R2 v cì sð B = {w1 w2 w3 } cõa R3 â −2 −1 −1 v1 = , v2 = , w1 = , w2 = , w3 = −1 −3 −2 4 Líi gi£i Ta th§y f (v1 ) = −3 , f (v2 ) = Nhữ vêy, tẳm ma cừa f 11 c°p cì sð B v B , khû Gauss-Jordan ma trªn w1 w2 w3 f (v1 ) f (v2 ) Ta câ −2 −1 4 0 − 94 − 43 w1 w2 w3 f (v1 ) f (v2 ) = 1 −3 −9 → · · · → − 11 − 33 4 −2 11 0 −4 − − 43 33 − Vªy, ma trªn cõa f c°p cì sð ¢ cho l − 11 4 − 34 Tr÷íng hđp f ÷đc cho bði ma trªn A cõa f mët c°p cì sð C cõa R n v C cõa Rm Khi â, ma trªn B cõa f c°p cì sð B v B ÷đc cho bði cæng thùc C AC â C l ma trªn chuyºn cì sð tø C sang B v C l ma trªn chuyºn cì sð tø B sang C Vẵ dử bờ sung Biát rơng B = {v , v , v } v C = {w , w , w } l c¡c cì sð cõa R , â 3 2 −2 v1 = , v2 = , v3 = −1 , w1 = −4 , w2 = , w3 = −3 −1 −2 Cho f : R3 → R3 l tỹ ỗng cĐu tuyán tẵnh cõ ma cỡ sð B l 0 2 Tẳm ma cõa f cì sð C Líi gi£i Ma trªn cõa f cì sð C l B = C −1 AC â C l ma trªn chuyºn cì sð tø cì sð B sang cì sð C tẳm C , khỷ Gauss-Jordan ma v1 v2 v3 w1 w2 w3 Ta câ 2 −2 0 −1 v1 v2 v3 w1 w2 w3 = 2 −1 −4 −3 → · · · → −3 1 −1 −2 0 −1 −1 Ta câ thº t¼m nghàch Êo C bơng phữỡng phĂp khỷ Gauss-Jordan, ta Do â C = −3 −1 1 −1 câ C = Nhữ vêy, ma B cƯn tẳm l 1 17 −11 12 B = C −1 AC = 42 −28 32 17 −10 B i tªp: 4.1, 4.2, 4.3, 4.4 B i to¡n Cho f : R n → Rm l mởt Ănh xÔ tuyán tẵnh XĂc nh: (a) Số chiÃu v mởt cỡ s cừa hÔt nhƠn Ker(f ) (b) Sè chi·u v mët cì sð cõa £nh Im(f ) Tẳm ma cừa f mởt cp cỡ sð (B, B ) â B l mët cì sð cõa Rn v B l mët cì sð cõa Rm (a) Trong cì sð B , hÔt nhƠn Ker(f ) l khổng gian nghiằm cừa phữỡng trẳnh tuyán tẵnh thuƯn nhĐt Ax = (b) Trong cì sð B , £nh Im(f ) l khỉng gian cởt cừa ma A Vẵ dử bờ sung GiÊ sỷ Ănh xÔ tuyán tẵnh f : R R4 câ ma trªn cì sð B cõa R5 v B cõa R4 −10 −1 −7 −4 −4 −5 A= −3 −6 −3 −1 −8 −2 l (a) T¼m sè chi·u v mởt cỡ s cừa hÔt nhƠn Ker(f ) cỡ sð B (b) T¼m sè chi·u v mët cì sð cõa Im(f ) cì sð B (a) Trong cỡ s B cừa R5 , hÔt nhƠn Ker(f ) l khổng gian ghiằm cừa phữỡng trẳnh tuyán tẵnh thuƯn nhĐt Ax = Lới giÊi Khỷ Gauss ma A, ta thu ữủc ma bêc thang −10 −1 -66 −11 B= 0 0 0 38 58 30 29 Nhữ vêy Ax = ⇔ Bx = ⇔ x1 x x3 x4 x = − 23 t − 31 s = − 16 t + 16 s =t = − 12 s =s ⇔ 2 1 −3 −3 − 6 x = t + s 01 − â t, s R bĐt kẳ Nhữ vêy, hÔt nhƠn Ker(f ) l mởt khổng gian v²c tì chi·u vỵi mët cì −3 −3 − 6 sð l h» v²c tì , 01 cì sð B − (b) Trong cì sð B , £nh Im(f ) l khổng gian cởt cừa ma A Dữợi Ơy l hai c¡ch t¼m cì sð cõa khỉng gian cët cõa A C¡ch Trong kh¯ng ành tr¶n, chóng ta  khỷ Gauss ma A Ma bêc thang thu ữủc cõ cĂc hằ số dăn Ưu nơm trản c¡c cët 1, v Do â, c¡c cët thự thự nhĐt, thự hai, v thự tữ cừa ma trªn A l mët cìsð cõa khỉng gian cởt cừaA Nhữ vêy, mởt cỡ s cừa Ênh Im(f ) −10 −7 −4 cì sð B l h» v²c tì −3 , −6 , −1 −8 C¡ch Khû Gauss h» v²c tì cët cõa ma trªn A, tùc l , ta khû Gauss ma trªn chuyºn A T câ A = T −10 −1 −7 −3 −1 −6 −8 −4 −3 −2 → · · · → C = −4 −5 4 Khi â, c¡c cët kh¡c khỉng cõa ma trªn chuyºn C T Vªy, mët cì sð cõa Im(f ) l −7 −66 −3 , −36 , −1 −18 −7 -66 0 Ta −3 −1 −36 −18 58 18 0 0 l mët khæng gian cët cõa ma trªn A 0 58 18 Bi têp: 3.9, 4.6, 4.7, 4.8, 4.9, 4.10, 4.16 Chữỡng Php bián ời tuyán tẵnh Bi toĂn (Cho hâa ma trªn) Cho A ∈ Mat(n, R) Ma trªn A câ ch²o hâa ÷đc khỉng? Trong tr÷íng hđp ma A cho hõa ữủc, hÂy cho hõa nõ, tực l hÂy tẳm mởt ma khÊ nghch S v mët ma trªn ch²o D cho A = SDS −1 B i to¡n n y câ vai trá quan trång lẵ thuyát ma Nõi chung, Ôi số tuyán tẵnh, ta xem hai ma ỗng dÔng vợi l nhữ nhau, vẳ chúng biu diạn mởt Ănh xÔ tuyán tẵnh Nõi cĂch khĂc, chúng cĂc ma ỗng dÔng vợi l kát quÊ cừa viằc nhẳn mởt ối tữủng (Ănh xÔ tuyán tẵnh) tứ c¡c mưc ti¶u kh¡c (c¡c cì sð) m thỉi (a) Tẳm cĂc giĂ tr riảng cừa A v cĂc Ôi số cừa nõ Mằnh à ã Náu tờng cĂc Ôi số cừa A nhọ hỡn n thẳ A khổng cho hõa ữủc Náu tờng cĂc Ôi số cừa A bơng n v mội Ôi số bơng thẳ A cho hõa ữủc ã (b) Vợi mội giĂ tr riảng, tẳm hẳnh hồc cừa nõ nh lẵ Ma A cho hõa ữủc náu v ch náu tờng cĂc Ôi số cừa A bơng n v méi gi¡ trà ri¶ng cõa A câ bëi Ôi số bơng hẳnh hồc (c) Trong trữớng hủp A ch²o hâa ÷đc, A = SDS −1 â ã ma cho D cõ cĂc hằ số trản ữớng cho l cĂc giĂ tr riảng cừa A vợi số lƯn xuĐt hiằn bơng úng cừa nõ; ã ma khÊ nghch S thu ữủc bơng cĂch ghp lÔi mởt cĂch thẵch hủp cỡ s cừa cĂc khổng gian riảng cừa A Xem: vẵ dử 5.17 Vẵ dử bờ sung Ma sau Ơy cõ cho hõa ữủc khổng? Trong trữớng hủp ma cho hõa ữủc, h¢y ch²o hâa nâ Líi gi£i −2 −1 −2 ∈ Mat(3, R) A= −1 2 (a) a thực c trững cừa ma A l −2 − X −1 1−X −2 PA (X) = −1 −2 −2 − X = −X − X + X + 27 V¼ PA (X) = − (X − 3) (X + 3)2 n¶n c¡c gi¡ tr riảng cừa A l v vợi Ôi số lƯn lữủt l v Ghi chú: TÔi thới im ny, ta chữa biát ma  cho câ ch²o hâa ÷đc hay khỉng (b) Khỉng gian riảng V3 ựng vợi giĂ tr riảng = cừa A l khổng trẳnh tuyán tẵnh thuƯn nhĐt x1 −1 −2 (A + 3E3 ) x2 = ⇔ x3 −1 −2 gian nghi»m cõa h» ph÷ìng x1 x2 = x3 H» phữỡng trẳnh ny tữỡng ữỡng vợi x1 + 2x2 x3 = Nhữ vêy, khổng gian vctỡ V3 cõ chi·u vỵi mët cì sð l h» v²ctì v1 = (−2, 1, 0), v2 = (1, 0, 1) Khæng gian riảng V3 ựng vợi giĂ tr riảng = cõa A l khỉng gian nghi»m cõa h» ph÷ìng trẳnh tuyán tẵnh thuƯn nhĐt x1 −5 −1 x1 (A − 3E3 ) x2 = ⇔ −2 −2 x2 = x3 −1 −2 −5 x3 Sỷ dửng phữỡng phĂp khỷ Gauss, hằ phữỡng trẳnh ny tữỡng ữỡng vợi x1 −1 x2 = 0 x3 Nhữ vêy, khổng gian vctỡ V3 cõ chiÃu vợi mët cì sð l v²ctì v3 = (−1, −2, 1) (c) Vẳ ì ma A cõ tờng cĂc Ôi số cừa cĂc giĂ tr riảng v mội giĂ tr riảng cõ Ôi số bơng hẳnh hồc nản A cho hõa ữủc Hon núa, A = SDS −1 â ma trªn kh£ nghch S v ma cho D lƯn lữủt l −3 0 −2 −1 D = −3 0 , Q = −2 0 1 Vẵ dử bờ sung Cho ma vuổng 12 −2 −4 A = −4 ∈ Mat(3, R) 16 −4 −4 Ma trªn A câ ch²o hâa ÷đc khỉng? Trong tr÷íng hđp A ch²o hâa ữủc, tẳm ma khÊ nghch S v ma ch²o D cho A = SDS −1 Líi giÊi ã a thực c trững cừa ma A l 12 − X −2 −4 2−X −4 PA (X) = |A − XI3 | = 16 −4 −4 − X = −X + 10 X − 32 X + 32 • Vẳ PA (X) = (X 2)(X 4)2 nản cĂc giĂ tr riảng cừa ma A l v vợi Ôi số lƯn lữủt l v ã GiĂ tr riảng = cõ bëi h¼nh håc l v mët cì sð cõa khỉng gian ri¶ng V2 l v²ctì v1 = (1, 1, 2) ã GiĂ tr riảng = cõ bëi h¼nh håc l v mët cì sð cõa khỉng gian ri¶ng V4 l h» v²ctì v2 = (1, 4, 0), v3 = (1, 0, 2) ã Vẳ tờng cĂc Ôi số cừa cĂc giĂ tr riảng cừa ì ma A bơng v mội giĂ tr riảng cừa A cõ hẳnh hồc bơng Ôi số, nản ma A cho hõa ÷đc Hìn núa, A = SDS −1 â ma cho D v ma khÊ nghch S lƯn l÷đt l 0 1 D = , S = v1 v2 v3 = 0 2 B i tªp: 5.1, 5.2, 5.3, 5.5, 5.6, 5.7, 5.18, 5.19, 5.20 Ch÷ìng Trüc giao hâa v ùng dưng B i to¡n Trüc giao hâa Gram-Schmidt v trüc chu©n hâa Gram-Schmidt (a) Trüc giao hâa Gram-Schmidt l qu¡ tr¼nh câ Ưu vo l mởt hằ vc tỡ ( ởc lêp tuyán tẵnh) v Ưu l mởt hằ vc tỡ trỹc giao ( ởc lêp tuyán tẵnh) e1 = v1 ; hv2 , e1 i e1 ; |e1 |2 hv3 , e1 i e1 − e3 = v3 − |e1 |2 hv4 , e1 i e4 = v4 − e1 − |e1 |2 e2 = v2 − hv3 , e2 i e2 ; |e2 |2 hv4 , e2 i hv4 , e3 i e3 ; e2 − |e2 | |e3 |2 (b) QuĂ trẳnh trỹc chuân hõa Gram-Schmidt: Sau trüc giao hâa Gram-Schmidt, chu©n hâa h» trüc giao thu ữủc bơng cĂch chia mội vc tỡ cho ở di cõa nâ Xem: v½ dư 6.7 V½ dư bê sung Trỹc chuân hõa Gram-Schmidt hằ vc tỡ sau Ơy cừa R −2 −1 −1 v1 = , v2 = 2 , v3 = −2 −2 Líi gi£i Trüc giao hõa Gram-Schmidt hằ vc tỡ  cho ta ữủc h» v²c tì trüc giao = e1 = v1 e2 = v2 − hv2 , e1 i e1 |e1 |2 = e3 = v3 − hv3 , e2 i hv3 , e1 i e1 − e2 = |e1 | |e2 | −1 −2 − 12 5 − 65 , , Chu©n hâa h» v²c tì trüc giao ny, ta thu ữủc hằ vc tỡ trỹc chuân −2 −1 e1 , e2 = e2 = √1 , e03 = e3 = 5e3 = √ −12 e0 = = √ = |e1 | |e2 | |e3 | |5e3 | 5 200 −6 B i tªp: 6.1, 6.2, 6.3 B i to¡n 10 (Ch²o hâa trüc giao ma trªn èi xùng) Cho A ∈ Mat(n, R) l mởt ma ối xựng Tẳm mởt ma trªn trüc giao Q v mët ma trªn ch²o D cho A = QDQT (a) T¼m c¡c gi¡ tr riảng cừa A vợi Ôi số cừa chúng (b) Vợi mội giĂ tr riảng cừa A, tẳm mởt cỡ s trỹc chuân cừa khổng gian riảng V (c) Ma A cõ phƠn tẵch A = QDQT õ ã ma cho D cõ cĂc hằ số trản ữớng cho l cĂc giĂ tr riảng cừa A vợi số lƯn xuĐt hiằn bơng úng cừa nõ; ã ma trỹc gioa Q thu ữủc bơng cĂch ghp lÔi mởt cĂch thẵch hủp cỡ s trỹc chuân cừa cĂc khổng gian riảng cõa A Xem: c¡c v½ dư 6.16 v 6.17 V½ dư bê sung Ch²o hâa trüc giao ma trªn èi xùng h» sè thüc −2 −1 −2 A= −1 −2 −2 Líi gi£i (a) a thực c trững cừa ma A l −2 − X −1 1−X −2 PA (X) = −1 −2 −2 − X = −X − X + X + 27 V¼ PA (X) = − (X − 3) (X + 3)2 n¶n c¡c gi¡ trà ri¶ng cừa A l v vợi Ôi số lƯn lữủt l v (b) Khổng gian riảng V3 ựng vợi giĂ tr riảng = cừa A l khổng trẳnh tuyán tẵnh thuƯn nhĐt x1 −1 −2 (A + 3E3 ) x2 = ⇔ x3 −1 −2 gian nghi»m cõa h» ph÷ìng x1 x2 = x3 H» ph÷ìng trẳnh ny tữỡng ữỡng vợi x1 + 2x2 x3 = Nhữ vêy, khổng gian vctỡ V3 cõ chiÃu vỵi mët cì sð l h» v²ctì v1 = (−2, 1, 0), v2 = (1, 0, 1) Trüc giao hâa Gram-Schmidt h» v²ctì n y, ta thu ÷đc cì sð trüc giao hv2 , w1 i w1 = v1 = (−2, 1, 0), w2 = v2 − = , ,1 5 |w1 |2 cõa V−3 Chu©n hâa cì sð trüc giao n y, ta thu ữủc mởt cỡ s trỹc chuân cừa V3 l e1 = w1 = √ (−2, 1, 0), |w1 | e2 = w2 = √ (1, 2, 5) |w2 | 30 Khổng gian riảng V3 ựng vợi giĂ trà ri¶ng λ = cõa A l khỉng gian nghiằm cừa hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh thuƯn nhĐt x1 −5 −1 x1 (A − 3E3 ) x2 = ⇔ −2 −2 x2 = x3 −1 −2 −5 x3 Sû dưng ph÷ìng ph¡p khû Gauss, hằ phữỡng trẳnh ny tữỡng ữỡng vợi x1 −5 −1 x2 = 0 x3 Nhữ vêy, khổng gian vctỡ V3 câ chi·u vỵi mët cì sð l v²ctì v3 = (−1, −2, 1) Chu©n hâa cì sð n y, ta thu ữủc mởt cỡ s trỹc chuân cừa V3 l e3 = √ (−1, −2, 1) (c) Nh÷ vªy A = QDQT â ma trªn trüc giao Q v ma trªn ch²o D l √ √1 √1 − − −3 0 30 D = −3 0 , Q = √15 √230 − √26 √5 √1 0 30 B i têp: 6.7, 6.8, 6.9, 6.10 Bi toĂn 11 (Nhên dÔng v v hẳnh) Nhên dÔng (gồi tản, ch ró cĂc bián ời tồa ở sỷ dửng, nảu phữỡng trẳnh chẵnh tưc) v v phĂc thÊo ữớng cong bêc hai cho bi phữỡng trẳnh ax2 + bxy + cy + dx + ey + f = Trø c¡c tr÷íng hủp suy bián, mởt ữớng cong bêc hai bĐt kẳ l mởt ữớng conic ã Phữỡng trẳnh chẵnh tưc cừa ellipse l x2 y + = a2 b ã Phữỡng trẳnh chẵnh tưc cừa hyperbola l x2 y = a2 b ã Phữỡng trẳnh chẵnh tưc cừa parabola l y = ax2 hoc x = ay (∗) (a) Vi¸t ma ối xựng liản kát vợi phữỡng trẳnh cừa ữớng cong bêc hai  cho a 2b A= b ∈ Mat(2, R) c Sau â, h¢y ch²o hâa trüc giao ma trªn èi xùng h» sè thüc A, tực l phƠn tẵch A = QDQT vợi D l mët ma trªn ch²o v Q l mët ma trªn trüc giao Gi£ sû λ1 q q2 D= , Q= λ2 q3 q4 (b) Sû dưng ph²p êi bi¸n 0 x x =Q y y ( x = q x0 + q y y = q3 x + q4 y ⇔ ÷a phữỡng trẳnh () và dÔng (x0 )2 + (y )2 + (dq1 + eq3 )x0 + (dq2 + eq4 )y + f = (c) Cuèi cũng, nhõm phữỡng trẳnh trản thnh tờng cĂc bẳnh phữỡng, rỗi ời bián mởt lƯn nỳa, ta thu ữủc phữỡng trẳnh chẵnh tưc cừa ữớng cong bêc hai  cho Xem: c¡c v½ dư 6.26, 6.27 v 6.28 V½ dư bờ sung HÂy nhên dÔng v v phĂc thÊo ữớng cong bªc hai √ x2 − 2xy + y + 2x − = Líi gi£i ÷a ữớng cong bêc hai và dÔng chẵnh tưc Ma ối xựng kát hủp vợi ữớng cong bêc hai  cho l −1 A= ∈ Mat(2, R) −1 Ch²o hâa trüc giao ma trªn èi xùng n y, ta ÷đc A = QDQT , # " √1 √1 − 0 â D = , Q = √12 √1 2 Sû dưng ph²p êi bi¸n 0 x x =Q y y ( x= ⇔ y= √1 x0 √1 x0 − + √1 y y phữỡng trẳnh ữớng cong trð th nh 2 √ 0(x ) + 2(y ) + 1 √ x − √ y − = 2 Rút gồn phữỡng trẳnh ny ta ữủc 2(y )2 + 4x0 − 4y − = y y'' x'' y' x' I x O -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 Hẳnh 3.8: ữớng cong bªc hai x2 − 2xy + y + 2x − = Nhâm v¸ tr¡i th nh tờng cĂc bẳnh phữỡng + 2(y − 1)2 − = x − êi bi¸n ( x00 = x0 − 32 y 00 = y − ⇔ ( x0 = x00 + 32 y = y 00 + Khi õ, ữớng cong  cho cõ phữỡng trẳnh 4x00 + 2(y 00 )2 = Phữỡng trẳnh ny tữỡng ữỡng vợi x00 = (y 00 )2 Ơy l phữỡng trẳnh chẵnh tưc cừa mởt parabola thu ữủc phữỡng trẳnh chẵnh tưc ny, Â: ã Quay hằ trửc Oxy mởt gõc quanh gốc º ÷đc h» trưc Ox0 y ; 3 0 ã Tnh tián hằ trửc Ox y theo vctỡ tron tåa ë n y º ÷đc h» trưc Ix00 y 00 V³ h¼nh π º v³ phĂc thÊo ữớng parabol cƯn xĂc nh cĂc trưc Ox0 y v Ix00 y 00 • v²ctì ìn cõa hai trưc Ox0 v Oy lƯn lữủt l cĂc cởt cừa ma trỹc giao Q (Chúng ta  sỷ dửng ma ny ch²o hâa trüc giao ma trªn A.) 3 00 00 0 • H» trưc tåa ë Ix y thu ữủc tứ Ox y sau tnh tián theo vctỡ ( ¥y l tåa ë cõa v²ctì 0 h» tåa ë Ox y ) • º v parabol, hÂy xĂc nh nh cừa nõ, vợi mởt vi im trản parabol, vẵ dử giao cừa parabol vợi cĂc trửc tồa ở Bi têp: 6.11, 6.12 ... khỷ Gauss, ta ữa ma A và dÔng bêc thang 1 −1 −1 H2 +H1 7→H2 ,H3 −H1 7→H3 4H3 +7H2 7→H3 −1 − −−− −−−−−−−−−−−−−−→ −−−−−→ 0 −7 Do â, nh thực cừa ma  cho l |A| = (1)(4)(26) = 26... Nhợ rơng nh thực cừa ma tam giĂc trản hoc tam giĂc dữợi l tẵch tĐt cÊ cĂc phƯn tỷ nơm trản ữớng cho Ngoi ra, ghi nhỵ sü thay êi cõa ành thùc sau méi php bián ờ sỡ cĐp sỷ dửng (c) Sỷ dửng cỉng