Thông tin tài liệu
1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TẬP ĐOÀN BƯU CHÍNH VIỄN THƠNG VIỆT NAM HỌC VIỆN CƠNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THƠNG - TÊN HỌC VIÊN: TRẦN ĐỨC QUYỀN TÊN LUẬN VĂN: CÁC MÃ XYXLIC XÂY DỰNG TRÊN CÁC NHÓM NHÂN XYCLIC THEO MODULO CHUYÊN NGÀNH: KỸ THUẬT ĐIỆN TỬ MÃ SỐ: 60.52.70 LUẬN VĂN THẠC SỸ KỸ THUẬT Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Nguyễn Bình ĐÀ LẠT - Năm 2009 Luận văn hoàn thành tại: Học viện Cơng nghệ Bưu Viễn thơng Tập đồn Bưu Viễn thơng Việt Nam Người hướng dẫn khoa học: GS.TS Nguyễn Bình Phản biện 1: …………………………………………………… …………………………………………………… Phản biện 2: …………………………………………………… …………………………………………………… Phản biện 3: …………………………………………………… …………………………………………………… Luận văn bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn Học viện Cơng nghệ Bưu Viễn thơng Vào lúc: ngày tháng năm 2009 Có thể tìm hiểu luận văn tại: Thư viện Học viện Cơng nghệ Bưu Viễn thơng LỜI NĨI ĐẦU Theo nghĩa khái quát mã hóa ánh xạ 1-1 từ tập tin rời rạc lên tập từ mã thuộc tập hợp đó, tập hợp không thiết tập phần tử có cấu trúc Tuy nhiên để thuận tiện cho việc mã hóa đặc biệt việc giải mã người ta thường chọn tập hợp cấu trúc đại số ( nhóm, vành, trường, khơng gian tuyến tính… ) Thành tựu lớn lý thuyết mã hóa việc xây dựng mã xyclic truyền thống ideal vành đa thức Về chất mã xyclic phần tử đơn vị phép cộng ( phần tử zero ) vành đồng dư xây dựng vành đa thức Tuy nhiên cách lựa chọn nhóm nhân xyclic ( cấp số nhân xyclic phân họach vành đa thức theo nhóm nhân xyclic ) ta xay dựng mã xyclic khác với mã truyền thống trường hợp lựa chọn đặc biệt chọn nhóm nhân xyclic đơn vị theo modulo Hiển nhiên cách mã hóa cho ta khả lựa chọn phong phú xây dựng mã vành đa thức cụ thể Cho dù khả lựa chọn xa so với khả lựa chọn theo quan điểm mã hóa tuyến tính ngẫu nhiên Shanmon bù lại lại có đặc tính xyclic thuận lới cho việc mã hóa giải mã Đây đặc tíh ứng dụng đơn giản trội mã xyclic truyền thống Trên sở nghiêm cứu gần mã xyclic cục xây dựng cán phân họach mã vành, theo quan điểm luận văn trọng tới việc xây dựng mã từ nhóm nhân xyclic có so sánh với mã xyclic truyền thống Bảng luận văn chia làm chương với nội dung chủ yếu sau: - Chương I: Vành đa thức nhóm nhân xyclic Chương trình bày tổng quan lý thuyết nhóm nhân xyclic vành đa thức - Chương II: Phân họach vành đa thức Chương trình bày phương pháp phân họach vành đa thức theo nhóm nhân xyclic khác Đây sở để xây dựng mã xyclic cục - Chương III: Các mã xyclic xây dựng nhóm nhân xyclic Chương mô tả cách xây dựng mã xyclic xây dựng nhóm nhân xyclic bao gồm thuật tóan mã hóa thiết bị mã hóa, thuật tóan giải mã ngưỡng thiết bị giải mã ngưỡng Mối quan hệ giải mã xyclic truyền thống xây dựng ideal mã xyclic xây dựng nhóm nhân xyclic theo modulo xem xét Được giúp đỡ tận tình thầy GS.TS Nguyễn Bình nổ lực thân luận văn hòan thành Tuy nhiên thời gian hạn hẹp trình độ hạn chế việc hiểu trình bày vấn đề nêu khơng thể tránh khỏi cịn nhiều thiếu sót Rất mong góp ý thầy bạn có quan tâm CHƯƠNG I CÁC NHÓM NHÂN XYCLIC TRÊN VÀNH ĐA THỨC 1.1 Mã cyclic truyền thống mã tuyến tính ngẫu nhiên Shannon Mã cyclic gồm từ mã bội đa thức sinh g(x) với g(x) ước x n Từ mã hay đa thức mã a(x) mã cyclic phần tử ideal g ( x) thoả mãn điều kiện a( x ) : g ( x) [5, 6] Một tính chất quan trọng thuận lợi cho việc mã hoá giải mã cho mã cyclic dịch vòng đa thức mã đa thức mã Ký hiệu V _(n, k ) mã cyclic (tuyến tính) có độ dài từ mã n số dấu thông tin k sinh đa thức sinh g(x) với deg g ( x) r n k Khi ta có: Nếu a( x ) V _(n, k ) a( x ) : g ( x) , Ta có: + Dịch vòng trái: xa( x) : g ( x) , + Dịch vòng phải: a( x) : g ( x) x Các mã cyclic ứng dụng rộng rãi thực tế Rất nhiều đa thức sinh cụ thể sử dụng chuẩn truyền tin [5] 1.2 Các mã cyclic cục (LCC: Local cyclic codes) Để khắc phục hạn chế mã cyclic vào năm 1987, GS Nguyễn Bình giáo sư Nguyễn Xuân Quỳnh thảo luận đưa quan điểm mã hoá dựa việc phân hoạch vành số Z 2k 1 thành lớp kề nhóm nhân cyclic đơn vị I 2k , i 0, k 1 (1-1) Mã xây dựng phân hoạch (1-1) gọi mã cyclic cục định nghĩa sau : Định nghĩa 1.1: Mã cyclic cục hệ thống (n, k) mã hệ thống tuyến tính đó: - k dấu thơng tin k phần tử nhóm nhân cyclic đơn vị - n-k = r dấu kiểm tra tập khơng trống tuỳ ý lớp kề nhóm nhân + Mã cyclic truyền thống xem lớp kề đặc biệt phân hoạch + Mã tuyến tính ngẫu nhiên Shannon xem mã LCC xây dựng phân hoạch vành đa thức có hạt nhân phân hoạch phần tử đơn vị e( x) Để xây dựng mã tốt vấn đề quan trọng phải có tiêu chí để lựa chọn lớp kề tạo mã Các nghiên cứu tìm tiêu chí lựa chọn lớp kề khác để tạo mã Quan hệ mã LCC với mã cyclic truyền thống mã tuyến tính ngẫu nhiên mơ tả hình 1.1 Phân hoạch vành đa thức theo nhóm nhân xyclic Phân hoạch không suy biến Phân hoạch cực tiểu Phân hoạch cực đại Phần tử sinh n Phần tử sinh a(x) o r d a x m Phân hoạch suy biến Phân hoạch chuẩn a x o rd x 1 Mã tuyến tính ngẫu nhiên Shannon x b Phần tử sinh x Mã cyclic cục Mã xyclic Hình 1.1: Quan hệ lớp mã khác Với vành chẵn, tác giả đưa phương pháp phân hoạch để tạo mã Trong trường hợp vành phân hoạch thành lớp chứa phần tử liên hợp bậc thặng dư bậc hai vành [8] Ta xây dựng mã LCC lớp đặc biệt bậc lũy đẳng nuốt bậc Zero.(Hình 1.2) Các phân hoạch vành đa thức n tùy ý Theo nhóm nhân xyclic n = 2k + Theo Ideal n = 2k Theo lớp phần tử liên hợp Các mã xyclic Các mã cyclic cục Hình 1.2: Các dạng phân hoạch khác vành đa thức 1.3 Các nhóm nhân cyclic vành đa thức 1.3.1 Nhóm nhân vành đa thức theo modulo xn + Theo lý thuyết mã cổ điển, Ideal tương ứng vành đa thức xây dựng mã xyclic Trong vành đa thức, Ideal I gồm đa thức bội đa thức g(x), g(x) ước đa thức xn+ 1: (g(x)) | xn+1 hay x n 1: g x Vành Z2[x]/ xn + Đa thức sinh Ideal g(x) Hình 1.3: Phân hoạch vành theo Ideal Theo phương pháp cổ điển rõ ràng số mã bị hạn chế (do số đa thức sinh ít) Theo quan điểm xây dựng mã cyclic nghiên cứu nhóm nhân vành đa thức Dựa nhóm nhân để xây dựng mã có đặc tính khác 11 Như vậy, a(x) tạo nên nhóm cyclic cấp m nhóm nhân vành Định nghĩa 1.4: Nếu a(x) phần tử nhóm nhân Cấp cực đại a(x) xác định sau: + Nếu n lẻ (n = 2k + 1) ; xn +1 = fi(x); fi(x) đa thức bất khả quy Khi max ord(a(x)) = 2m – Trong m = max deg fi(x) + Nếu n chẵn n = 2s(2k + 1); x2k+1 +1 = fi(x); fi(x) đa thức bất khả quy Khi max ord(a(x)) = 2s(2m +1) Trong m = max deg fi(x) 1.3.2.2 Đa thức lũy đẳng Định nghĩa 1.5: Trong vành đa thức Z2[x] /xn + 1, tồn đa thức mà bình phương lại cho giá trị chưa bình phương gọi đa thức lũy đẳng ký hiệu e(x) e(x) = e2(x) = e(x2) (1-4) Các phần tử cấp vành Z2[x] /xn +1 lũy đẳng e(x) xác định sở phân tích chu trình Cs; 12 Định nghĩa 1.6: Lũy đẳng “nuốt” Trong vành đa thức Z2[x]/ xn + tồn lũy n 1 đẳng e0(x) = xi , lũy đẳng gọi lũy đẳng “nuốt” i0 (Swallowing Idempotent) Trong vành bất kỳ, với n lẻ tồn lớp kề chứa lũy đẳng “nuốt” e0(x) 1.3.2.4 Nhóm nhân cyclic với phần tử sinh a(x) Định nghĩa 1.8: Nhóm nhân cyclic với phần tử sinh đa thức a(x) bao gồm phần tử lũy thừa phần tử sinh viết dạng: A = {a(x), (a(x))2, (a(x))3, } (1-8) Tương tự với nhóm nhân cyclic đơn vị, ta thấy nhóm cyclic với phần tử sinh đa thức a(x) xây dựng dựa cấp số nhân có số hạng đầu cơng bội a(x) 1.3.2.5 Đa thức đối xứng nhóm nhân cyclic đối xứng Định nghĩa 1.9: Đa thức đối xứng 13 Đa thức a( x) gọi đa thức đối xứng với đa thức a( x ) nếu: a( x ) a i x i a( x) a j x j iI jJ (1-9) Với: I J = ; I J S 0,1, , n 1 Bổ đề 1.2: Nếu a(x) phần tử cấp k cấp a ( x) k Tức là, A nhóm nhân cyclic cấp k có phần tử sinh a(x) A nhóm nhân cyclic cấp k với phần tử sinh a ( x) Khi ta có: A = {a(x), a2(x), a3(x), , ak-1(x)} A = { a ( x) , ( a ( x) )2, ( a ( x) )3, , ( a ( x) )k-1} Như vậy, với phần tử a(x) nhóm nhân cyclic A ta có tương ứng phần tử a ( x) nhóm nhân cyclic A Từ nhóm nhân cyclic A ta dễ dàng thiết lập nhóm nhân cyclic A Hai nhóm nhân A A gọi hai nhóm nhân cyclic đối xứng vành đa thức 14 2.1.2 Cấp số nhân cyclic vành đa thức Xét vành đa thức Z2[x]/ xn + với n lẻ, giả sử a(x) số hạng cấp số nhân cyclic q(x) công bội cấp số nhân Định nghĩa 2.1: Cấp số nhân cyclic (CGP - Cyclic Geometic Progressions) Cấp số nhân cyclic vành đa thức tập hợp có dạng sau: A(a,q) = {a(x), a(x).q(x), a(x).q2(x), , a(x).qm -1(x)} (2-1) Trong đó: m số số hạng cấp số nhân a(x) số hạng đầu cấp số nhân q(x) công bội a(x).qm(x) a(x) mod xn + Giá trị m xác định cấp nhóm nhân xyclic Định nghĩa 2.2: Phân hoạch vành đa thức gọi không suy biến phân hoạch bao gồm tất phần tử khác vành đa thức Ngược lại, phân hoạch phân hoạch suy biến 15 2.2.2 Phân hoạch cực đại Định nghĩa 2.3: Phân hoạch gọi cực đại nhóm nhân cyclic sinh có phần tử sinh với cấp lớn nhất, ord(a(x)) = max ord(b(x)), b(x) Zn 2.2.3 Phân hoạch cực tiểu 2.2.4 Phân hoạch vành thành cấp số nhân có trọng số 2.2.5 Phân hoạch vành đa thức thành cấp số nhân với phần tử có tính chẵn lẻ trọng số 2.2.6 Phân hoạch vành đa thức thành cấp số nhân theo modulo h(x) Vành đa thức Z2[x]/ xn + phân hoạch thành cấp số nhân theo modulo h(x) với h(x) | xn + m Từ phân tích nhị thức xn+ = f i ( x) f1 ( x) f ( x ) f t ( x) i 1 Trong đó, fi(x) đa thức bất khả quy Như vậy, h(x) tổ hợp fi(x) cho deg h(x) = k < n, vành đa thức Z2[x]/ xn +1 Tuỳ theo giá trị n mà có số đa 16 thức bất khả quy khác nhau, nên có số h(x) khác Khi đó, vành có nhiều phân hoạch ứng với h(x) khác 2.3 Các vành đa thức có hai lớp kề xyclic 2.3.1 Vành đa thức có hai lớp kề xyclic Định nghĩa 2.4: Vành đa thức theo modulo xn+1 gọi vành đa thức có hai lớp kề cyclic phân tích xn+1 thành tích đa thức bất khả quy trường GF(2) có dạng sau: xn + = (x + 1) n 1 x i i 0 (2-9) n 1 Trong (1+x) o(x) = x i 0 i đa thức bất khả quy 17 CHƯƠNG III CÁC MÃ XYCLIC XÂY DỰNG TRÊN NHÓM NHÂN XYCLIC 3.1 Hai thủ tục giải mã: 3.1.1 Hai thủ tuc giải mã: Mọi phương pháp giải mã tiến hành theo hai thủ tục giải mã sau: - Phương pháp ( thủ tục) 1: Dẫn tin từ dấu nhận - Thủ tục 2: Dẫn vec tơ sai dãy dấu nhận 3.1.2 Hệ tổng kiểm tra trực giao có khả trực giao: Định nghĩa 3.1: Hệ J tổng kiểm tra gọi trực giao với ui nếu: - Mỗi tổng kiểm tra hệ chứa uj - Dấu mã uj (j≠ i) nằm tối đa tổng kiểm tra Định nghĩa 3.2: Hệ tổng kiểm tra gọi có khả trực giao hệ tổng kiểm tra trực giao với tổ hợp tuyến tính dấu mã 3.2 18 Các mã Xyclic xây dựng nhóm nhân xyclic 3.2.1 Mơ tả mã: Cho vành đa thức: Z2[x]/xn + Xét a(x) Z2[x]/xn + Ta xây dựng nhóm nhân xyclic A = {ai(x), i = 1, 2, ……} Giả sử: Xn + = ∏fi(x) m = max deg fi(x) Khi cấp a(x) thỏa mãn điều kiện sau: max ord a(x) = 2m - Xét a (x) đa thức đối xứng a(x) Bổ đề 3.1: Nếu A mã xyclic (n, k, d0) Thì A mã xyclic (n, k-1, d0+1) Ví dụ 17 : n = ; X5 + = (1 + x)(1 + x + x2 + x3 + x4) A = {(024)i, i = 1, 2, ….} A = {(13)i, i = 1, 2, …} A = {(024), (034), (1), (013), (014), (2), (124), (012), (3), (023), (123), (4), (134), (234), (0)} A = {(13), (12), (0234), (24), (23), (0134), (03), (34), (0124), (14), (04), (0123), (02), (01), (1234)} 19 Khi đó: A mã (15, 5, 7) A mã (15, 4,8) A, A mã tối ưu thỏa mãn giới hạn Griesmer 3.2.2 Thiết bị mã hóa: X4 X3 X2 X1 3i i = 0, 1, 2, 3, X0 3i - 3i - 3i i = 1, 2, 3, 4, Hình 3.4: Thiết bị mã hóa A 20 234 134 123 023 012 124 014 013 034 024 M=4 01 12 23 34 04 M=4 R Hình 3.5: Thiết bị giải mã cấp ngưỡng cho A 3.3 Xây dựng mã cylic vành mở rộng vành đa thức có lớp kề cyclic 3.3.1 Vành mở rộng vành đa thức có lớp kề cyclic 21 Xét vành vành đa thức đa thức Z [ x] / x n , Z [ x]/ x n vành mở rộng n số nguyên tố n thỏa mãn: Chúng ta biết Z2[x]/(x2)n +1 đẳng cấu với Z2[x]/xn+1 Tât phần tử vành thặng dư bậc Z2[x]/x2n+1 Trong trường hợp Z2[x]/x2n+1được phân hoạch thành lớp phần tử liên hợp thặng dư bậc Nếu f(x) thặng dư bậc Tập 2n phần tử bậc có dạng sau: g ( x) (1 x n ) x i (3-1) f ( x) iU Ở đây, f ( x) bậc f(x) U S = { 0, 1, 2,…, n-1} n 1 biết rằng, có lũy đẳng e0 ( x) x i vành đa i 0 n thức có lớp kề cyclic Z2[x]/x +1, e0(x) gọi lũy đẳng nuốt Do vậy, vành Z2[x]/x2n + 1, tương ứng có lũy n 1 đẳng e0 ( x ) x i i0 Ta chứng minh phần tử liên hợp e0(x2) nhóm nhân xây dựng mã XCB mã xyclic dựa phần tử 22 3.3.2 Các mã cyclic gần tối ưu dựa phần tử liên hợp e0(x2) 3.3.3 Mã xyclic cục xây dựng phân hoạch cực đại vành Z2[x]/x10+1 Đối với phân hoạch cực đại mã XCB xây dựng cấp số nhân CGP với cơng bội a(x) Ở đây, ta có: ord (a ( x)) max ord ( f ( x)) (3-3) f ( x ) Z [ x ] / x n Trong vành đa thức Z [ x ]/ x n , ta nhớ bậc nhóm nhân cyclic tạo đa thức a( x ) 2.ord (a( x)) 3.4 Các mã xyclic xây dựng nhóm nhân xyclic theo modulo 3.4.1 Các mã xyclic xây dựng nhóm nhân xyclic theo modulo h(x): Xét nhóm nhân xyclic đơn vị: I = {xi, i = 1, 2, … , n = 1} Ta có bổ đề sau: Bổ đề 8: 23 Nhóm nhân xyclic đơn vị theo modulo h(x) với h(x) /xn+1 mã xyclic truyền thống có đa thức sinh g(x) thỏa X n 1 g x h x mãn: * 3.4.2 Mã tạo xyclic Xây dựng nhóm nhân xyclic theo modulo vành đa thức có lớp bề xyclic: Xét vành đa thức có lớp kề xyclic: n 1 Xn + = (1 + x) x2 io Bổ đề 9: Mã tạo xyclic (2n-1 - 2, n - 1, 2n-2 - 1) Được xây dựng từ nhóm nhân xyclic theo modulo sau: A = {ai(x) mod h(x), i = 1, 2, … } Với a(x) thỏa W(a(x)) - lẻ Ord a(x) = 2n-1 - h(x): W(h(x)) - lẻ nhỏ n deg h(x) = n - Z2[x]/x2n+1 - vành đa thức có lớp kề xyclic Số mã đựơc xác định theo công thức sau: N = N1(N2 - 1) (n-1) 24 N1 = (2n-1-1), N2 = C2in-1 , (p) hàm i o PhiEuler KẾT LUẬN: Với mục đích tìm hiểu việc xây dựng mã cyclic nhóm nhân xyclic, nội dung trình bày luận văn bao gồm vấn đề sau: - Tóm lược nhóm nhân xyclic vành đa thức - Tổng hợp kết phương pháp phân họach khác vành đa thức Đây sở quan trọng để xây dựng mã xyclic cục mà mã xyclic trường hợp riêng - Trình bày số kết xây dựng mã xyclic nhóm nhân xyclic nhóm nhân xyclic theo modulo - Mơ tả phương pháp giải mã cho mã - So sánh mã với mã xyclic truyền thống Do thời gian có hạn mục tiêu hạn hẹp luận văn thạc sĩ, vấn đề lựa chọn trình bày luận văn chưa thực đầy đủ, logic sâu sắc Còn nhiều vấn đề mà tác giả phải tiếp tục tìm hiểu nghiên cứu sâu sắc thêm thời gian tới 25 ... Đây sở để xây dựng mã xyclic cục - Chương III: Các mã xyclic xây dựng nhóm nhân xyclic Chương mơ tả cách xây dựng mã xyclic xây dựng nhóm nhân xyclic bao gồm thuật tóan mã hóa thiết bị mã hóa,... thức a( x ) 2.ord (a( x)) 3.4 Các mã xyclic xây dựng nhóm nhân xyclic theo modulo 3.4.1 Các mã xyclic xây dựng nhóm nhân xyclic theo modulo h(x): Xét nhóm nhân xyclic đơn vị: I = {xi, i = 1,... thiết bị mã hóa, thuật tóan giải mã ngưỡng thiết bị giải mã ngưỡng Mối quan hệ giải mã xyclic truyền thống xây dựng ideal mã xyclic xây dựng nhóm nhân xyclic theo modulo xem xét 3 Được giúp
Ngày đăng: 19/03/2021, 17:43
Xem thêm:
