Các mã xyclic cục bộ trên các phân hoạch hỗn hợp (tt)

-1- -24thức mà bình thường khó xây dựng mã XCB tốt MỞ ĐẦU (ví dụ vành x + 1, x + ) • • Xây dựng phương pháp giải mã cho mã XCB hai vành đa thức Phương pháp giải mã dựa phương pháp giải mã ngưỡng có vài sửa đổi Mạch điện giải mã đơn giản có tốc độ giải mã nhanh Tìm lớp mã XCB tối ưu có khả trực giao xây dựng hai vành đa thức với tham số (n, k , d ) = (2m + m, m + 1, 2m −1 + 1) • Xây dựng mã XCB tối ưu đánh giá hiệu sửa sai mã XCB kênh AWGN chương trình mơ Các kết mơ cho thấy khả sửa lỗi mã tốt • Tính tốn phân bố trọng số từ mã mã XCB mới, kết cho thấy mã có phân bố bit “0” bit “1” tương đối từ mã Kiến nghị hướng phát triển tiếp theo: • Nghiên cứu phương pháp phân hoạch hỗn hợp hai vành chẵn, theo phần tử liên hợp vành chẵn • Đánh giá so sánh phương pháp giải mã cho mã XCB hai vành đa thức với phương pháp giải mã mã XCB hành • Xây dựng mã XCB đa phân hoạch ứng dụng kênh có liên hệ ngược • Nghiên cứu mạch điện mã hóa cho mã XCB nói chung mã XCB phân hoạch hỗn hợp nói riêng Tính cấp thiết đề tài Trong hệ thống thông tin số để tăng độ xác truyền tin khả chống nhiễu người ta dùng mã sửa sai Với phát triển mạnh mẽ kỹ thuật thông tin việc nâng cao hiệu hệ thống truyền tin yêu cầu chứa đựng tính cấp thiết Lý thuyết mã sửa sai phát triển từ năm 40 kỷ trước bất phải kể đến lớp mã xyclic Mã xyclic cục (XCB) lớp mã sửa sai nghiên cứu từ năm 1987, hình thành phát triển mã XCB có nhiều ưu điểm đáng quan tâm Ngoài đặc điểm tốt mã xyclic truyền thống, mã XCB cịn có nhiều ưu điểm trội: Số lượng mã XCB tìm nhiều, xây dựng mã nhiều vành đa thức khác nhau, kể số vành chẵn, vành đa thức có hai lớp kề xyclic…Về mặt kỹ thuật mã hóa giải mã XCB thực tương tự mã xyclic truyền thống Các nghiên cứu mã XCB dựa vào phân hoạch vành đa thức theo nhóm nhân Các nghiên cứu đưa số kiểu phân hoạch vành đa thức, cách xây dựng mã XCB phân hoạch Tuy nhiên, lớp mã XCB xây dựng theo phân hoạch định số hạn chế vành đa thức có mã XCB tối ưu, đặc biệt vành chẵn Việc tiếp tục phát triển thêm phương pháp xây dựng mã XCB đặc biệt tìm kiếm mã tối ưu vành đa thức, hoàn thiện thêm kết mã XCB vấn đề cần thiết Thực tốt nghiên cứu cho phép xây dựng nhiều mã sửa sai tối ưu với đa dạng độ dài từ mã khả chống nhiễu Đối tượng phạm vi nghiên cứu: Luận án thuộc phạm vi lý thuyết sở, tập trung nghiên cứu kiểu phân hoạch hỗn hợp vành đa thức phương pháp xây dựng mã XCB phân hoạch Mục tiêu nghiên cứu luận án: − Tìm điều kiện phương pháp thực phân hoạch hỗn hợp vành đa thức hai vành đa thức -23- -2− Đưa phương pháp xây dựng mã XCB phân hoạch hỗn hợp − Tìm lớp mã XCB tối ưu vành đa thức − Mô đánh giá khả sửa sai phân bố trọng số từ mã số mã XCB tìm Phương pháp nghiên cứu: đề tài nghiên cứu lý thuyết dựa vào cơng cụ tốn học, đặc biệt đại số đa thức, lý thuyết mã hóa, kết hợp với tổng hợp phân tích kết nghiên cứu có tác giả khác có liên quan đến đề tài, với hỗ trợ tính tốn máy tính chương trình phần mềm mơ Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài: Những kết luận án đóng góp nhỏ bé vào việc phát triển lý thuyết mã XCB nói riêng lý thuyết mã sửa sai nói chung Các kết luận án bao gồm: − Đưa điều kiện bước xây dựng mã XCB phân hoạch hỗn hợp vành đa thức − Điều kiện, bước xây dựng mã XCB phân hoạch hỗn hợp hai vành đa thức khác phương pháp giải mã cho mã − Xây dựng số mã XCB tối ưu lớp mã XCB tối ưu có khả trực giao kiểu phân hoạch hỗn hợp Nội dung luận án bao gồm: lời mở đầu, chương phần kết luận Chương 1:Tác giả tập trung vào khái quát trình phát triển mã sửa sai, đề cập nhiều đến mã xyclic Quan điểm xây dựng mã xyclic cục vành đa thức, kết nghiên cứu mã xyclic cục bộ, hướng phát triển vấn đề mở Chương 2: Đưa quan điểm phương pháp phân hoạch vành đa thức, sử dụng hai hạt nhân phân hoạch khác vành đa thức hai vành đa thức khác Chương 3: Khảo sát số mã XCB tối ưu xây dựng phân hoạch hỗn hợp Cùng với kết phân bố trọng số mã mô khả sửa sai mã Phần cuối bao gồm kết luận kết đạt luận án kiến nghị hướng phát triển 3.4 KẾT LUẬN CHƯƠNG Chương khảo sát số mã XCB tối ưu xây dựng phân hoạch hỗn hợp hai vành đa thức Các kết phân bố trọng số mã XCB cho thấy tính cân từ mã Từ lớp mã XCB có khả trực giao ta xây dựng mã XCB vành chẵn (bằng cách kết hợp với vành lẻ) Độ dài từ mã n khơng bội số k theo cách xây dựng mã XCB thơng thường, ví dụ mã XCB (11, 4) , mã XCB (37,6) hay mã XCB (135,8) … Các kết mô số mã kênh AWGN cho thấy khả sửa sai mã tốt, phương pháp giải mã ngưỡng theo đa số tổng kiểm tra cho kết tốt phương pháp giải mã ngưỡng đa số biểu KẾT LUẬN Các kết nghiên cứu luận án bao gồm nội dung sau đây: • Đề xuất điều kiện cần bước tiến hành phân hoạch hỗn hợp sử dụng hai hạt nhân vành đa thức Đồng thời đưa phương pháp xây dựng mã XCB phân hoạch hỗn hợp Số lượng mã XCB tối ưu tìm nhiều, ví dụ vành x + ta xây dựng vài trăm mã có thơng số (20,5) • Đề xuất điều kiện phân hoạch, phương pháp phân hoạch cách xây dựng mã XCB hai vành đa thức khác Ưu điểm lớn kiểu phân hoạch ta sử dụng cấp khác nhóm nhân vành đa thức lớn (mà vành nhỏ khơng có) để xây dựng nhiều mã XCB tối ưu với độ dài từ mã phong phú Với kiểu phân hoạch ta tìm mã vành đa -3- -22− − d = 2m −1 + m −1 m−2 Số sai phát được: e = ; Số sai sửa được: t = CHƯƠNG CÁC Mà XYCLIC CỤC BỘ TRÊN VÀNH ĐA THỨC Khoảng cách Hamming: 3.3.2 Mã xyclic cục (11, 4) Xét trường hợp m = , theo bảng 3.10 ta có mã XCB (11, 4) , xây dựng theo bước sau: Bước 1: Chọn a ( x) = x ∈ x + làm đa thức sinh thứ Chọn b( x) = x ∈ x + làm đa thức sinh thứ hai Bước 2: - Tính nhóm nhân xyclic A vành x + : CMG A = {a i ( x) mod h( x), i = 0,1, , 6} - Tính cấp số nhân B vành x + : CGP B = {q ( x)b j ( x), j = 0,1, 2,3} = {(01),(12),(23),(03)} Trong đó, q ( x) = + x phần tử đầu CGP B Bước 3: Ghép CMG A với CGP B mã XCB (11, 4) hình 3.17 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 b1 CGP A (7 bit) b3 b2 b4 CGP B (4 bit) Bảng 3.12 Phân bố trọng số mã XCB (11,4) Wi i 6 Nội dung phần đề cập đến lịch sử phát triển mã sửa sai, dựa móng nghiên cứu Shannon Khởi đầu mã Hamming, mã Golay lớp mã quan trọng mã xyclic bao gồm mã mã BCH, mã ReedSolomon, mã hình học Euclid Phần đề cập đến hướng nghiên cứu lý thuyết mã năm gần mã TCM, mã Turbo, mã LDPC, mã STBC Các quan điểm xây dựng mã như: Dựa cấu trúc đại số, lý thuyết dàn, hình học – đại số, lý thuyết tổ hợp, graph Các phương pháp giải mã bao gồm: + Phương pháp giải mã ngưỡng Messey + Phương pháp giải mã liên tiếp Zigalgirov + Phương pháp giải mã Viterbi + Phương pháp giải mã hợp lý tối đa + Phương pháp giải mã lặp giải mã có liên hệ ngược + Phương pháp giải mã đại số 1.2 Mà XYCLIC TRUYỀN THỐNG Hình 3.17 Cấu trúc từ mã mã XCB (11, 4) Theo kết phân bố trọng số mã XCB (11,4) bảng 3.12 ta thấy đa số từ mã có trọng số khoảng nửa chiều dài mã (khoảng 12/16 từ mã) 1.1 GIỚI THIỆU 10 11 Mục đề cập đến vấn đề: + Vành đa thức phép toán vành đa thức + Định nghĩa Ideal vành đa thức, khái niệm đa thức bất khả quy + Các định nghĩa mã xyclic + Các ma trận sinh ma trận kiểm tra mã xyclic 1.3 NHÓM NHÂN XYCLIC TRÊN VÀNH ĐA THỨC Nội dung mục bao gồm: + Khái niệm nhóm nhân xyclic vành đa thức + Các loại nhóm nhân xyclic: − Nhóm nhân xyclic đơn vị − Nhóm nhân với phần tử sinh a( x) − Đa thức đối xứng nhóm nhân đối xứng * Một vài nhận xét: + Khoảng cách Hamming d = + Theo giới hạn Griesmer mã XCB (11, 4) mã tối ưu Hình 3.20 Tỷ lệ lỗi bit mã XCB (11,4) kênh AWGN -21- -41.4 PHÂN HOẠCH VÀNH ĐA THỨC Nội dung mục bao gồm − Khái niệm phân hoạch vành đa thức − Định nghĩa cấp số nhân xyclic vành đa thức − Các kiểu phân hoạch vành đa thức theo nghiên cứu bao gồm: + Phân hoạch chuẩn + Phân hoạch cực đại + Phân hoạch cực tiểu + Phân hoạch thành cấp số nhân có trọng số + Phân hoạch vành thành cấp số nhân với phần tử có tính chẵn lẻ trọng số + Phân hoạch vành thành cấp số nhân theo modulo h( x) 1.5 Mà XYCLIC CỤC BỘ TRÊN VÀNH ĐA THỨC Phần trình bày nội dung: − Các định nghĩa mã xyclic cục (XCB) − Các cách biểu diễn mã XCB − Các phương pháp xây dựng mã XCB − Các lớp mã XCB (mã XCB tự trực giao mã XCB có khả trực giao) 1.6 PHƯƠNG PHÁP GIẢI Mà NGƯỠNG Phần trình bày phương pháp giải mã ngưỡng dựa hệ tổng kiểm tra trực giao, tập trung vào giải mã ngưỡng theo đa số 1.7 QUAN HỆ GIỮA Mà XYCLIC CỤC BỘ VÀ Mà XYCLIC TRUYỀN THỐNG Một ưu điểm mã XCB xây dựng mã vành đa thức ( n bất kỳ), với vành chẵn ta xây dựng mã XCB lớp phần tử liên hợp Có vành khơng thể xây dựng mã xyclic tốt ví dụ với vành có hai lớp kề xyclic, ta tìm nhiều mã XCB vành Việc xây dựng mã XCB phân hoạch vành đa thức cho nhiều mã sở có nhiều mã tốt với độ dài từ mã khác Hình 1.5 mơ tả dạng phân hoạch khác vành đa thức cách xây dựng mã dựa phân hoạch A = {xi mod h( x), i = 1, 2, , 2m − 1} (3.4) m +1 * Bước 2: Tìm lớp kề B vành đa thức Z [ x]/ x + , để thuận tiên giải mã ta nên chọn B có cấu trúc sau: (3.5) B = {(1 + x) x j , j = 0,1, 2, , m} * Bước 3: Ghép A B , ta có mã XCB có khả trực giao Cấu trúc từ mã sau: (3.6) U = A || B (3.7) Số TKT là: J = 2m −1 − + = 2m −1 + Vậy ta có thơng số lớp mã XCB sau: (n, k , d ) = (2m + m, m + 1, 2m−1 + 1) (3.8) Tốc độ mã lớp mã tính biểu thức (3.9): k m +1 (3.9) Tốc độ mã = = m n +m Khi m tăng tốc độ mã giảm nhanh, nhược điểm lớn lớp mã Bảng 3.10 trình bày số mã XCB có khả trực giao xây dựng hai vành đa thức với vài giá trị m khác Bảng 3.10 Lớp mã XCB có khả trực giao m Các mã XCB (n, k , d ) m (11, 4, 5) (20, 5, 9) (37, 6, 17) (70, 7, 33) (135, 8, 65) 10 11 Các mã XCB (n, k , d ) (264, 9, 129) (521, 10, 257) (1034, 11, 513) (2059, 12, 1025) Một vài nhận xét: − Lớp mã XCB có khả trực giao lớp mã tối ưu − Khi lập mã khơng thiết phải chọn cấp nhóm nhân sinh k bội số k , điều cho phép ta tạo mã (n, k ) với chiều dài n khác − Khi m tăng tốc độ mã giảm nhanh, lớp mã tốt giá trị m nhỏ -20- -5- * Bước 2: Tính CGP B vành x + với phần tử sinh b( x) = x phần tử đầu q ( x) = x + Các phân hoạch vành đa thức n lẻ j CGP B = {(1 + x) x , j = 0,1, ,5} = {(01),(12),(23),(34),(45),(05)} * Bước 3: Ghép A với B để có mã XCB a1 a2 a31 b1 b2 b3 b4 b5 b6 (37,6) CMG CGPBB(6 (6bit) bits) CMGAA(31 (31bits) bit) CGP * Một vài đánh giá: + 36 bit 37 bit Hình 3.12 Cấu trúc từ mã XCB (37,6) từ mã sử dụng để giải mã cho cặp dấu thông tin + Khoảng cách Hamming d = 17 , sửa lỗi + Mức ngưỡng giải mã là: M = + Nhịp giải mã ghi A B + Theo giới hạn Griesmer mã mã tối ưu Theo phân bố trọng số mã XCB (37,6) cho thấy mã có tính chất cân bit “0” bit “1” từ mã 3.3 LỚP Mà XYCLIC CỤC BỘ CÓ KHẢ NĂNG TRỰC GIAO XÂY DỰNG TRÊN HAI VÀNH ĐA THỨC 3.3.1 Cấu trúc lớp mã có khả trực giao Từ phương pháp phân hoạch hỗn hợp hai vành đa thức, ta xây dựng lớp mã XCB có khả trực giao Vành lớp đồng dư n tùy ý Vành cấp số nhân xyclic có cơng bội a( x) Phân hoạch cực tiểu a( x) = Phân hoạch chuẩn a( x) = x Mã tuyến tính ngẫu nhiên Shannon Mã xyclic Mã xyclic truyền thống n chẵn Vành lớp phần tử liên hợp Phân hoạch cực đại orda ( x ) = max Mã xyclic cục Hình 1.5 Các phân hoạch vành đa thức lớp mã tuyến tính Có thể hình dung mã xyclic chuỗi hạt có tốc độ xử lý khác hình 1.6 Mã xyclic truyền thống có nhịp dịch từ mã x (hình 1.6.a), mã xylic xây dựng từ mã XCB có nhịp dịch khác x (hình 1.6.b), cịn mã XCB chứa từ mã khác nhau, từ mã có nhịp dịch khác (hình 1.6.c) m * Bước 1: Xét vành đa thức Z [ x]/ x −1 + Trên vành đa thức ta tính nhóm nhân A dựa đa thức sinh nên chọn x , ord ( x) = 2m − , W ( x) = số lẻ Tất phần tử A tính theo modulo h( x) , dạng h( x) biểu thức (3.3) h( x) = (1 + x) g ( x) (3.3) Trong đó, g ( x) đa thức nguyên thủy có deg g ( x) = m 2m −1 g ( x) ước x +1 Theo biểu thức (3.3) ta thấy deg h( x) = m + , tất phần tử A phần tử lẻ thuộc vành Z [ x]/ x m +1 + Cấu trúc A (3.4) c ( x) Nhịp a ( x) = x a ( x) Nhịp a ( x) b ( x) a) Mã xyclic truyền thống b) Mã xyclic xây dựng từ mã xyclic cục c) Mã xyclic cục Hình 1.6 So sánh mã xyclic mã xyclic cục -19- -6Có thể thấy mã xyclic truyền thống xây dựng Ideal trường hợp đặc biệt mã XCB Có thể xem xét sau: Xét nhóm nhân xyclic: I = {xi mod h( x ), i = 0,1, 2, } với h( x) | x n + ; deg h( x) = k Nhóm nhân mã xyclic (n,k) có đa thức sinh g * ( x) : xn + g ( x) = g * ( x) = x deg g ( x ) g ( x −1 ) đa thức đối ngẫu h( x ) g ( x) Nhận xét: + Với mã xyclic truyền thống, ma trận sinh G mã xây dựng từ phương trình đồng dư sau: g ( x).x i mod x n + (1.20) + Với mã xyclic xây dựng từ mã XCB, ma trận sinh G mã xây dựng từ phương trình đồng dư sau: a i ( x).x i mod x k + (1.21) Chú ý: (1.20) phương trình tạo hàng G (1.21) phương trình tạo cột G 1.8 MỘT SỐ KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC CỦA Mà XYCLIC CỤC BỘ VÀ HƯỚNG NGHIÊN CỨU MỞ 1.8.1 Một số kết đạt - - Xây dựng dạng phân hoạch khác kiểu phân hoạch khác vành đa thức làm sở để xây dựng mã XCB [20], [35] Tìm tiêu chí lựa chọn lớp kề phân hoạch vành đa thức để xây dựng mã XCB Chứng minh mã xyclic truyền thống lớp mã XCB [17] Xây dựng số lớp mã XCB tự trực giao mã XCB có khả trực giao [13], [14] Xây dựng số mã XCB đối xứng tự đối xứng lớp kề (các cấp số nhân) đối xứng tự đối xứng [35] Để giải mã ta sử dụng phương pháp giải mã ngưỡng cho phương pháp Tuy nhiên mã trường hợp đặc biệt mã XCB trực giao, nên ta sử dụng phương pháp giải mã ngưỡng thông thường để giải mã Thanh ghi B Thanh ghi A a1 a2 a3 b1 b2 b3 M Các dấu thông tin giải mã Hình 3.11 Sơ đồ giải mã ngưỡng cho mã XCB (6, 3) * Đánh giá: Khoảng cách + Hamming d = , phát sai sửa sai Cấp ngưỡng giải mã là: M = + + Nhịp giải mã cho hai ghi + Theo giới hạn Griesmer mã mã tối ưu 3.2.2 Trường hợp hai vành đa thức khác Xét hai vành đa thức x31 + x + ( p = 31, k = ) Phân tích vành x31 + sau: x31 + = ∏ fi ( x) (3.2) i =1 Trong đó: f1 ( x) = + x ; f ( x) = + x3 + x5 f3 ( x) = + x + x5 ; f ( x) = + x + x3 + x + x5 f5 ( x) = + x + x3 + x + x5 f ( x) = + x + x + x + x5 f ( x) = + x + x + x3 + x5 ; Ta thấy vành có đa thức bất khả quy cấp đa thức cấp 1, ta có đa thức h( x) có deg h( x) = cách lấy tích f1 ( x) = + x với đa thức lại Trên sở ta xây dựng mã XCB (37,6) sau: * Bước 1: Chọn a ( x) = x h( x) = (1 + x + x3 + x + x5 + x ) để thực phân hoạch thứ nhất: CMG A = {xi mod h( x), i = 0,1, 2, ,30} -18- -7- có cấu trúc từ mã hình 3.5 Khi giải mã cho cặp dấu thông tin, ghi CMG A dịch 51 nhịp (hoặc dịch 12 nhịp theo chiều ngược lại), ghi chứa dấu CGP B dịch nhịp Sau bước ta giải mã cặp dấu thông tin lưu vào ghi C Ở cấp ngưỡng thứ hai, ta thực giải mã cho dấu (0), sau kết hợp với cặp dấu C để giải mã dấu thơng tin cịn lại - - Thanh ghi A Tốc độ dịch 12 lần tốc độ dịch ghi B Thanh ghi A a1 a18 a1 Dịch nhịp a14 a63 (01) (12) (23) (34) (45) (56) Thanh ghi B a63 b1 b2 b7 TKT1 33 TKT TKT1 = a1 + a18 a26 Thanh ghi C M 33 TKT TKT33 = ∑ bt t =2 M - TKT33 Thiết bị ngưỡng (0) - Thiết bị ngưỡng (01) (12) (23) (34) (45) (56) Thanh ghi C Các bit thông tin giải mã (0) (1) (2) (3) (4) (5) (6) Chốt liệu Hình 3.6 Sơ đồ giải mã ngưỡng cấp mã XCB (70,7) - 1.8.2 Một số hướng nghiên cứu mở - Khoảng cách Hamming mã XCB d = 33 , mã tối ưu Mô mã XCB (70,7) kênh AWGN sử dụng điều chế BPSK, kết hình 3.8 Xét hai trường hợp giải mã M = 17 M = 18 3.2.1.2 Mã xyclic cục (6,3) Hình 3.8 Tỷ lệ lỗi bit mã Xét trường hợp k = XCB (70,7) kênh AWGN m = số chẵn, ta có p = m.k = Hoàn toàn tương tự ta xây dựng mã XCB (6,3) hai vành này, mã mã hệ thống Xây dựng số mã XCB mã xyclic phần tử liên hợp luỹ đẳng nuốt phần tử liên hợp zero [30],[34] Xây dựng mã XCB phân hoạch vành chẵn theo lớp phần tử liên hợp [36] Xây dựng mã XCB vành đa thức có hai lớp kề xyclic [3], [23], [24], [30] Xây dựng hệ mật đa biểu trường hợp riêng hệ mật luân hoàn số loại vành đặc biệt [28], [29] + Vành đa thức có n = 2k + Vành đa thức có lớp kề xyclic Ứng dụng mã XCB việc xây dựng hệ mật McEliece Ứng dụng mã XCB việc tạo M-dãy [1] Ứng dụng mã XCB việc tìm kiếm cell hệ thống WCDMA [27] Ứng dụng mã XCB việc giảm PAPR hệ thống OFDM Ứng dụng công nghệ CPLD/FPGA xây dựng mã XCB vành đa thức Z2n [2] - - Tạo tính đa dạng việc xây dựng mã XCB cách tìm dạng phân hoạch khác ngồi dạng biết Xây dựng mã XCB nhiều kiểu phân hoạch (các mã XCB hỗn hợp) Xây dựng tiêu chí chọn lớp kề để tạo mã tốt giảm thời gian tìm kiếm Khảo sát kỹ cấu trúc nhóm nhân xyclic cấp số nhân xyclic vành Tìm tiêu chuẩn nhận biết cho đa thức có cấp cực đại vành Nghiên cứu mã ghép xây dựng từ mã XCB Nghiên cứu mã turbo xây dựng từ mã XCB Xây dựng ma trận kiểm tra mã XCB Nghiên cứu mã XCB miền tần số Nghiên cứu phổ trọng số mã XCB Nghiên cứu mã XCB trường mở rộng GF (2m) Nghiên cứu mã đối ngẫu mã XCB -8- Nghiên cứu phương pháp giải mã: giải mã ngưỡng phương pháp giải mã khác Nghiên cứu mã XCB theo quan điểm lý thuyết hệ thống 1.9 KẾT LUẬN CHƯƠNG Chương đề cập đến số khái niệm mã sửa sai, có lớp mã quan trọng mã xyclic Các khái niệm nhóm nhân, cấp số nhân vành đa thức phương pháp xây dựng mã XCB phân hoạch vành đa thức trình bày chương Phần đánh giá khả tạo mã số so sánh mã XCB với mã xyclic truyền thống Cuối tổng hợp số kết nghiên cứu mã XCB hướng nghiên cứu mở -17- * Kết mô Thực mô mã XCB (20,5,9) kênh AWGN, khảo sát với tỷ số SNR từ 1dB đến 7dB Kết mơ hình 3.3 Xét hai trường hợp giải mã giãi mã ngưỡng theo đa số ( M = ), giải mã ngưỡng đa số biểu ( M = ), nhận thấy với trường hợp M = mã cho kết Hình 3.3 Tỷ lệ lỗi bit mã XCB (20,5) kênh AWGN sửa sai tốt Phân bố trọng số mã XCB (20,5) bảng 3.2 CHƯƠNG CÁC PHÂN HOẠCH HỖN HỢP VÀNH ĐA THỨC Bảng 3.2 Phân bố trọng số từ mã mã XCB (20, 5) 2.1 MỘT VÀI NHẬN XÉT VỀ CÁC KIỂU PHÂN HOẠCH HIỆN TẠI 10 10 5 i i tổng số từ mã có trọng số W W − Khi phân hoạch vành đa thức hạt nhân phân hoạch cho kiểu phân hoạch khác nhau, nhiên kiểu phân hoạch vành đa thức chia phần tử vành thành hai phần phần tử có trọng số chẵn phần tử có trọng số lẻ − Các kiểu phân hoạch vành đa thức sử dụng hạt nhân phân hoạch đa thức sinh a( x) thuộc vành Các phần tử vành chia thành lớp kề có độ dài orda( x) ước orda ( x) Cho nên thơng số liên quan đến việc phân hoạch vành đa thức orda ( x) − Để có mã XCB (n, k ) thuận tiện cho việc mã hóa giải mã, đa thức sinh thông thường cấp k bội số k Theo cách xây dựng mã XCB dựa phân hoạch có hạn chế sau: − Không phải vành đa thức xây dựng mã XCB tối ưu, đặc biệt vành chẵn ] [x]/ x n + với n = 2m 10 11 12 15 3.2 Mà XYCLIC CỤC BỘ TRÊN HAI VÀNH ĐA THỨC 3.2.1 Trường hợp có vành Xét hai vành đa thức x p + x k + với x k + vành x p + Ta khảo sát số mã XCB xây dựng theo phương pháp phân hoạch trình bày mục 2.3.2 3.2.1.1 Mã xyclic cục (70,7) Xét trường hợp k = m = số lẻ, ta có p = m.k = 21 Chọn a ( x) = + x + x h( x) = + x + x + x5 + x + x thuộc vành x 21 + để thực phân hoạch thứ { } CMG A = a i ( x) mod h( x), i = 63 Chọn b( x) = x ∈ x + làm hạt nhân phân hoạch thứ hai { } CMG B = q( x).b j ( x), j = 0, = {(01), (12), (23), (34), (45), (56), (06)} Ghép A B ta mã XCB (70,7) a1 a2 a63 b1 b2 b3 b4 b5 b6 b7 CMG CMGAA(63 (63 bits) bit) CGP CGP B B (7 (7 bits) bit) Hình 3.5 Cấu trúc mã XCB (70,7) xây dựng từ hai vành đa thức -16- -9- { } CGP2 = B = b( x), b( x).q2 ( x), b( x)q22 ( x), , b( x)q24 ( x) Trong đó: a ( x) = ; q1 ( x) = + x + x ; b( x) = + x ; q2 ( x) = x + Bước 3: Kết hợp hai CGP A B ta tạo mã XCB (20,5) có cấu trúc từ mã hình 3.1 a15 a14 a13 a12 a11 a10 a9 a8 a7 a6 a5 a4 a3 a2 a1 b1 b2 b3 b4 b5 CGP A (15 bit) CGP B (5 bit) Hình 3.1 Cấu trúc từ mã mã XCB (20,5) B b5 b4 b3 b2 b1 A a15 a14 a13 a12 a11 a10 a9 a8 a7 a6 a5 a4 a3 a2 a1 M=5 RA M=5 C (01) (12) (23) (34) (04) Hình 3.2 Sơ đồ giải mã ngưỡng cho mã XCB (20, 5, 9) vành đa thức * Đánh giá Tổng cộng có 19 dấu mã 20 dấu mã dùng để + giải mã cho cặp dấu thông tin + Khoảng cách Hamming d = Mã phát bit sai sửa bit sai + Cấp ngưỡng giải mã là: M = + + Tốc độ nhịp ghi A nhanh gấp lần tốc độ nhịp ghi B + Theo giới hạn Griesmer mã mã tối ưu − Độ dài từ mã nhận vài giá trị cụ thể ( n bội số k ) Để tăng khả tạo mã tìm thêm mã tối ưu mới, tác giả nghiên cứu hướng mở tìm kiểu phân hoạch phân hoạch hỗn hợp Các kiểu phân hoạch hỗn hợp thực theo nhiều nhóm nhân sinh vành đa thức hai vành đa thức 2.2 PHÂN HOẠCH HỖN HỢP TRÊN MỘT VÀNH ĐA THỨC Như biết phân hoạch vành đa thức sử dụng đa thức sinh cho tất phần tử vành, với phân hoạch khơng suy biến phần tử vành chia làm hai phần nhau, phần tử có trọng số chẵn trọng số lẻ Từ nhận xét ta thấy ta sử dụng hai hạt nhân để phân hoạch, hạt nhân dùng để phân hoạch phần tử lẻ vành hạt nhân lại dùng để phân hoạch phần tử chẵn vành kết hợp hai phân hoạch lại với ta kiểu phân hoạch phân hoạch hỗn hợp Dựa vào phân hoạch ta xây dựng mã XCB có độ dài khác với mã XCB tìm Xét vành đa thức Z [ x]/ x n + , giả sử D1 D2 hai phân hoạch không suy biến vành tương ứng với hai hạt nhân phân hoạch q1 ( x) q2 ( x) Khi ta kết hợp toàn phần tử lẻ D1 với toàn phần tử chẵn D2 (hoặc ngược lại) ta kiểu phân hoạch hỗn hợp Chú ý: Để thuận lợi cho việc giải mã ord( q1 ( x)) ord(q2 ( x)) nên bội Với vành Z [ x]/ x n + , ta chọn ord(q1 ( x)) = n (hoặc ord(q2 ( x)) = n ) lúc ord(q2 ( x)) (hoặc ord(q1 ( x)) bội n Có thể khái quát bước thực phân hoạch hỗn hợp theo hai nhóm nhân vành đa thức Z [ x]/ x n + sau: ƒ Bước 1: Xác định max ord(a ( x)) phần tử vành, tính số ước số max ord(a ( x)) , số ước số M (số kiểu phân hoạch không suy biến vành) -15- -10ƒ Bước 2: Phân hoạch vành theo hai hạt nhân phải có hạt nhân có trọng số lẻ Chọn hạt nhân phân hoạch q1 ( x) cho ord(q1 ( x)) = n , hạt nhân phân hoạch thứ hai q2 ( x) với ord(q2 ( x)) bội n Một hạt nhân có trọng số lẻ dùng để phân hoạch phần tử có trọng số lẻ vành, hạt nhân lại dùng để phân hoạch phần tử có trọng số chẵn vành ƒ Bước 3: Kết hợp cấp số nhân hai phân hoạch bước với để phân hoạch Căn vào phân hoạch ta xây dựng mã XCB Một vài nhận xét - Do sử dụng hạt nhân cho phần tử lẻ hạt nhân cho phần tử chẵn vành, mà hạt nhân cho phân hoạch khơng suy biến, phương pháp phân hoạch hỗn hợp phân hoạch khơng suy biến - Do sử dụng hai nhóm nhân khác cho phân hoạch, nhóm nhân lại có cấp khác giải mã nhịp giải mã cho cấp số nhân khác Thông thường ord(q2 ( x)) bội n giải mã, ghi chứa cấp số nhân D2 dịch với nhịp nhanh - Các mã XCB xây dựng phân hoạch hỗn hợp có tính xyclic dấu mã, việc giải mã tương tự với mã XCB thường sử dụng phương pháp giải mã ngưỡng theo thủ tục - Lớp mã xây dựng phân hoạch hỗn hợp kiểu mã XCBCKNTG phải sử dụng hai cấp ngưỡng giải mã Với phương pháp phân hoạch này, ta nên chọn vành lẻ để dễ thực 2.3 PHÂN HOẠCH HỖN HỢP CỦA HAI VÀNH ĐA THỨC KHÁC NHAU Trong kiểu phân hoạch nay, kiểu phân hoạch vành đa thức Z [ x]/ x p + theo modulo đa thức h( x) kiểu phân hoạch suy biến Nếu sử dụng kiểu phân hoạch sau phân hoạch phần tử thuộc vành nhỏ hơn, cụ thể phần tử thuộc vành x k + với k = deg h( x) < p 2.4 KẾT LUẬN CHƯƠNG Chương luận án đưa số kiểu phân hoạch hỗn hợp Kiểu phân hoạch hỗn hợp vành đa thức kiểu phân hoạch không suy biến, sử dụng hạt nhân phân hoạch cho tồn phần tử có trọng số lẻ hạt nhân phân hoạch cho phần tử có trọng số chẵn vành Các mã XCB xây dựng phân hoạch hỗn hợp đảm bảo tính xyclic dấu mã, nên dùng phương pháp giải mã ngưỡng thông thường để giải mã Kiểu phân hoạch hỗn hợp hai vành đa thức thực theo kiểu lấy modulo đa thức h( x) , mã XCB xây dựng phân hoạch hỗn hợp khơng có tính xyclic dấu mã Tuy nhiên, ta sử dụng phần tính xyclic phương pháp giải mã ngưỡng với vài thay đổi CHƯƠNG CÁC Mà XYCLIC CỤC BỘ XÂY DỰNG TRÊN CÁC PHÂN HOẠCH HỖN HỢP CỦA VÀNH ĐA THỨC 3.1 Mà XYCLIC CỤC BỘ TRÊN PHÂN HOẠCH HỖN HỢP CỦA MỘT VÀNH ĐATHỨC Phần xây dựng mã phân hoạch hỗn hợp vành đa thức Xét vành đa thức Z [ x]/ x + Phân tích vành sau: x5 + = (1 + x)(1 + x + x + x3 + x ) = f1 ( x) f ( x) (3.1) Đây vành có hai lớp kề xyclic nên ta không xây dựng mã xyclic truyền thống tốt vành Với phương pháp xây dựng mã XCB nghiên cứu tìm nhiều mã XCB tốt vành này, mã XCB (15,5) Thực bước phân hoạch mục 2.2, ta xây dựng mã XCB (20,5) theo bước sau đây: + Bước 1: Cấp cực đại phần tử vành x5 + xác định theo định lý 1.3: max ord(a( x)) = 2ms − = 24 − = 15 + Bước : Phân hoạch vành thành CGP theo hạt nhân khác nhau: CGP1 = A = a ( x), a ( x)q1 ( x), a ( x)q12 ( x), , a ( x)q114 ( x) { } -11- -14Độ dài lớp kề A m = ord a( x) , độ dài lớp kề B cấp đa thức sinh b( x) Các mã XCB hai vành đa thức thường mã có khả trực giao, ta sử dụng phương pháp giải mã ngưỡng phải thơng qua hai cấp giải mã Theo cách giải mã ngưỡng thơng thường cấp ngưỡng thứ ta giải mã cho k cặp dấu thông tin, bao gồm cặp dấu: {(01),(12), ,(k − 2, k − 1),(0, k − 1)} Do vành x p + phân hoạch theo modulo h( x) nên giải mã, sử dụng tính xyclic để giải mã cho cặp dấu (01),(12), ,( k − 2, k − 1) mà giải mã cho cặp dấu cuối (0, k − 1) Tuy Thanh ghi chứa lớp kề A Thanh ghi chứa lớp kề B nhiên, sử a1 a2 am b1 b2 bk dụng phương pháp giải mã ngưỡng có vài thay đổi Mạch tổ hợp tính tổng kiểm tra sau: Hệ tổng kiểm tra Ở cấp ngưỡng thứ sử dụng tính xyclic M để giải mã cho k − cặp Thiết bị ngưỡng dấu thông tin: (k − 2, k − 1) (01) (12) (01),(12), ,(k − 2, k − 1) Thanh ghi C chứa k-1 cặp dấu thông tin Ở cấp ngưỡng thứ Hình 2.2 Sơ đồ giải mã ngưỡng cấp hai, giải mã cho dấu thông tin (0) , sau Thanh ghi chứa lớp kề A Thanh ghi C chứa cặp dấu thông tin ( k − 2, k − 1) a a a (01) (12) kết hợp dấu (0) với cặp dấu giải mã cấp ngưỡng thứ để giải mã cho dấu Mạch tổ hợp tính tổng kiểm tra thơng tin cịn lại, Hệ tổng kiểm tra mơ tả hình 2.2 cho dấu (0) hình 2.3 m M Thiết bị ngưỡng (0) (1) (2) (k-2) (0) (1) (2) (k − 1) Hình 2.3 Sơ đồ giải mã ngưỡng cấp Vậy ta kết hợp phân hoạch vành x p + với p > k theo modulo h( x) , phân hoạch vành x k + ta kiểu phân hoạch thực hai vành, kiểu phân hoạch hỗn hợp Các phần tử sau phân hoạch thuộc vành x k + Để phần tử sau phân hoạch không bị trùng ta nên chọn phân hoạch cho phần tử lẻ vành x k + , phân hoạch lại cho phần tử chẵn vành Ưu điểm phương pháp phân hoạch lợi dụng nhóm nhân vành lớn để tạo mã XCB với độ dài khác mà vành đa thức nhỏ tạo 2.3.1 Điều kiện thực phân hoạch hỗn hợp hai vành đa thức Xét hai vành đa thức x p + = Π fi ( x) x k + = Π g j ( x) j∈J i∈I với p > k , fi ( x) g j ( x) đa thức bất khả quy Điều kiện để thực phân hoạch hỗn hợp từ hai vành đa thức là: Tồn đa thức h( x) ∈ x p + với h( x) = Π ft ( x) , T ⊂ I t∈T có bậc thỏa mãn deg(h( x)) = k 2.3.2 Phân hoạch hỗn hợp hai vành đa thức có vành Xét hai vành đa thức x p + x k + với p > k , x k + vành x p + Tức là: p = m.k ; m = 2,3, 2.3.2.1 Vành vành chẵn Xét trường hợp vành x k + vành chẵn, tức k = 2.t Nếu t số chẵn t = 2l , trường hợp khơng thể tìm đa thức h( x) thỏa mãn điều kiện Xét trường hợp t số lẻ: t = 2l + tức k = 2(2l + 1) Lúc vành x p + với p = 2m(2l + 1) vành chẵn Ta xét thêm trường hợp m khác * Trường hợp 1: m = s ; s = 1, 2,3, Với trường hợp khơng tìm đa thức h( x) thỏa mãn điều kiện phân hoạch hỗn hợp * Trường hợp 2: m ≠ s ; s = 1, 2,3, -12- -13- Trường hợp tồn đa thức h( x) thỏa mãn điều kiện phân hoạch hỗn hợp Tóm lại: Trong trường hợp sử dụng hai vành đa thức x p + x k + làm phân hoạch hỗn hợp, với p = m.k ( x k + vành con), k số chẵn có dạng k = 2(2l + 1) , ta tìm đa thức h( x) thỏa mãn điều kiện phân hoạch hỗn hợp Xét hai vành đa thức x p + x k + , với p > k Sau tìm giá trị p, k đa thức h( x) thỏa mãn điều kiện phân hoạch, h( x) tích vài đa thức bất khả quy deg h( x) = k , ta thực bước phân hoạch sau đây: + Bước 1: Chọn a( x) ∈ x p + b( x) ∈ x k + làm hai phần tử sinh để phân hoạch cho hai vành đa thức, a( x) b( x) phải thỏa mãn điều kiện sau: - Ít đa thức có trọng số lẻ dùng để phân hoạch phần tử có trọng số lẻ vành, đa thức lại dùng để phân hoạch phần tử có trọng số chẵn vành - Cấp a( x) cấp b( x) nên k bội số k để thuận lợi cho việc giải mã - Để đảm bảo phân hoạch không bị suy biến bị trùng lặp orda( x) ≤ 2k −1 , tức cấp a ( x) phải nhỏ m ≠ s , s = 1, 2,3, 2.3.2.2 Vành vành lẻ Xét trường hợp vành x k + vành lẻ, k = 2.t + Vành lớn x p + có p = m.k với m = 2,3, 4, Xét với hai trường hợp m chẵn m lẻ tìm đa thức h( x) thỏa mãn điều kiện phân hoạch 2.3.3 Phân hoạch hỗn hợp hai vành đa thức Từ phương pháp phân hoạch hỗn hợp hai vành đa thức có vành con, ta thấy có hạn chế là: vành ( x k + ) vành chẵn có số trường hợp cụ thể ta tìm đa thức h( x) thỏa mãn điều kiện Để phát triển thêm khả thực phân hoạch hỗn hợp, ta tiến hành hai vành Xét vành x p + x k + với p > k vành x p + ta tìm đa thức h( x) thỏa mãn điều kiện h( x) tích vài đa thức bất khả quy deg h( x) = k ta thực phân hoạch hỗn hợp vành Để dễ dàng tìm đa thức h( x) ta nên chọn vành vành lẻ Nếu sử dụng phân hoạch hỗn hợp để tạo mã XCB (n, k ) khơng thiết ta phải chọn nhóm có cấp bội số k Do ta tạo mã XCB với độ dài khác nhau, điều làm tăng tính đa dạng mã XCB, sở để ta tìm thêm mã XCB tối ưu 2.3.4 Cách xây dựng mã xyclic cục hai vành đa thức Từ hai phương pháp phân hoạch hỗn hợp hai vành đa thức mục 2.2.2 2.2.3, tổng quát hóa bước xây dựng mã XCB vành đa thức sau + nửa số phần tử vành x k + Bước 2: Thực phân hoạch vành x p + thành lớp kề theo modulo h( x) với phần tử sinh a( x) , phân hoạch vành đa thức x k + thành lớp kề với phần tử sinh b( x) Sau bước ta hai tập lớp kề bao gồm phần tử thuộc vành x k + , tập lớp kề bao gồm phần tử có trọng số chẵn, tập lớp kề bao gồm phần tử có trọng số lẻ + Bước 3: Lựa chọn lớp kề từ hai phân hoạch bước ta xây dựng mã XCB 2.3.5 Giải mã cho mã xyclic cục hai vành đa thức Để giải mã cho mã XCB xây dựng hai vành đa thức sử dụng phương pháp giải mã ngưỡng, nhiên có vài sửa đổi Gọi A lớp kề Dấu mã A ( m bit) Dấu mã B ( k bit) phân hoạch x p + B lớp kề phân Từ mã n bit hoạch x k + Cấu trúc từ Hình 2.1 Cấu trúc từ mã xyclic mã XCB hai vành đa thức cục (n, k) hai vành đa thức hình 2.1  ... TRÊN CÁC PHÂN HOẠCH HỖN HỢP CỦA VÀNH ĐA THỨC 3.1 Mà XYCLIC CỤC BỘ TRÊN PHÂN HOẠCH HỖN HỢP CỦA MỘT VÀNH ĐATHỨC Phần xây dựng mã phân hoạch hỗn hợp vành đa thức Xét vành đa thức Z [ x]/ x + Phân tích... tìm kiểu phân hoạch phân hoạch hỗn hợp Các kiểu phân hoạch hỗn hợp thực theo nhiều nhóm nhân sinh vành đa thức hai vành đa thức 2.2 PHÂN HOẠCH HỖN HỢP TRÊN MỘT VÀNH ĐA THỨC Như biết phân hoạch vành... a) Mã xyclic truyền thống b) Mã xyclic xây dựng từ mã xyclic cục c) Mã xyclic cục Hình 1.6 So sánh mã xyclic mã xyclic cục -19- -6Có thể thấy mã xyclic truyền thống xây dựng Ideal trường hợp