Lời giải của bài toán từ mô hình động học của rừng ngập mặn

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN - ca TÊN ĐỂ TÀI: LỜI GIẢI CỦA BÀI TỐN TỪ MƠ HÌNH ĐỘNG HỌC CỦA RỪNG NGẬP MẶN M Ã SỐ : Q T -0 -0 C h ủ trì đé tài: GS T SK H N guyễn Văn Mậu C n th a m gia: ỉ TS L ê H u y C h u ẩ n P G S TS N g u y ễ n M in h Tuấn TS Đ in h C ô n g H n g TS L é H o n g T rí P G S TS L a Thị C a n g T h S B ù i Thị G ia n g Đ A I H Ọ C Q U Ọ C G IA H À N Ộ I TÍ?ƯNG TẨM T H Ị N G TIN THƯ VIÊN Ằ ỉ L 110 HÀ NỘI - 2007 M Ụ C LỤC Trang B áo cáo tóm tắt 03 M đầu 05 Các kết nhận từ v iệc nghiên cứu m hình (* ) 06 C h n g I H ệ đ ộ n g lực củ a m ô hình rừ n g 06 N gh iệm địa phương 07 N gh iệm toàn cục 09 H ệ đ ộ n g lực 09 C h n g I D n g điệu tiệm cận cù a n e h iệ m 10 H àm L y ap u n o v 10 C ác tập w - Ìó'i hạn 10 Sự ôn dịnh n ah iệm thuân n h ấ t 1] Đại lượn tỉ toán học đặc irưim cho sức k h o e cu a r n e 12 Kct luận 12 Tài liệu th am kiião 13 P hụ lục 14 BÁO CÁO TÓM TẮT ĐÈ TÀI Q T-07-09 Tên đề t i : Lời giải cùa toán từ mơ hình động học rừng ngập mặn Mã số: Q T - - Chủ trì đề tài: GS TSKH Nguyễn Văn Mậu Các cán tham gia: 1.TS Lê Huy Chuẩn PGS TS Nguyễn Minh Tuấn TS Đinh Công Hướng TS Lê Hồng Trí PGS TS La Thị Cang ThS Bùi Thị Giang Mục tiêu nội dung nghiên cứu Đe tài thành lập nhàm tập hợp số cán trẻ đơn vị ngồi ĐHQGHN tham eia nghiên cứu mơ hình toán cho rừng ngập mặn, giải số toán ứng dụng khoa học môi trường Các kết qua cùa đê tài phân làm nhóm chính: Nghiên cứu lý thuyết giải phương trình vi tích phân, phương trinh sai phân, biến đồi tích phân hàm • Nêu lời giải mơ hình rừng ngập mặn nhóm hợp tác aiữa ĐH Osaka (Nhật Ban) ĐHKHTX ĐIIQGIĨN Các kết đạt Kữr lỊitu k h o a h ọ c : - Vồ mặt lý thuvel có đóng góp thiêt thực, mant: tinh ihai có V imhĩa khoa học Nhữnti két qua cư ban dà dưực tỏna kẽt đưói dạnu hoán ch in h , x â y dụm” v th iết lập nu u yên K c a hàn củ a uiài tích - dại sỏ - Phương pháp aiai tích dại só rmàv cànu xây dựnQ hỗn chinh lĩnh vực Tốn học độc lập dã to có nhữnti hiệu lực to lởn trone nhiều chun nềnh khác cùa tốn học Dặc biệt, trone lý thuvèt aiãi lích đại số krợne mơ hình đưa dã q tai khônu đáp ứne cho nhừiit: ứnsi d ụ n s t r ự c t i ê p , m c h ì d i i e lại t r o m : c c k h u ô n k h ỏ t h u ã n l u % c u a l oi i ic h i n h i h i r c với cấu trúc nhừn2 thuật toán định tính như: tiêu chuãn eiai chuàn tính ổn định ước lượne số nchiệm ihì \'iệc hệ thồna hoá khái quat hoá thuật toán hữu hiệu đê eiai tốn có cùne cội neuồn nhu cẩu t h i ế t t r o n e c c h o t đ ộ n a t h ự c t i ề n C c p h n t i p h p n n h i ê n c u n v đ c h o n h i ề u ứ n c d ụ n e t r o n e A'iệc k h o sá t c c p h o n ẹ t r ì n h t í c h p h â n dnriLi c h ậ r k< dị - Đ ã c ó n h ữ n a ứ n s d ụ n a b a n đ â u ir oiìi i \ i ệ c p d ụ n e m h ì n h l o i i ì h ọ c tronu ntihièn cứu mơi trireme Neồi \ è mặt inm dụm: cũnt: có mội 50 kẽt quà qunn trọne tro nu phai kC' Jen \ iệc cai tiên eiao trình cho A'7 sau dại h ọ c N ó c h o p h é p v i m ộ t t h ò i Liian h ọ p K c ó (hị J > c h o c c h ọ c \ i ẻ n n ă m b ắ i dược nhicu tư tiròmii cua toan học dại mà truoc đàv thường phai \ c ỉc thành chiivẻn đè hẹp khác Nhĩnm luận vãn 1hạc s\ liên SV nhừnL; minh chửni: có lính thuvèt phục - Sừ dụng có hiệu kinh phí cấp Hàng tuần vào thứ Năm, có semina khoa học liên trường (ĐHQGHN, ĐHBKHN, Viện Toán học, Viện CNTT, Học viện Ngân hàng, ĐH Thuỷ lợi, Nhà XBGD, Đ H SPH N , ) hoạt động có hiệu quả, tham dự chủ trì hai hội nghị khoa học vê giải tích tốn học nghiên cứu mơi trường - Đã tổ chức topic riêng "Toán học nghiên cứu môi trường" Hội nghị quốc tế theo dự án nghiên cứu môi trường vùng đới duyên hải phê duyệt thành chương trình thành phân dự án JSPS Kết đào tạo Đẻ tài lạo điều kiện thuận lợi cho số học viên cao hoc nghiên cứu sinh dược lảm việc vả tham dự hội nghị khoa học _ _ Họ tên N ăm b Tên đề tải Cán HD TT HVCH Đặc trung nghiệm đa thức G S T S K H Lê Thị Thanh 2007 Nguvễn Văn Mậu níiuyên hàm ứng dụng Bình GSTSKH Đào Thu Hiên Một sơ lớp phương trình hàm 2007 Nguvễn Văn Mậu sinh dãv số Nguyễn Thị Thu Hằng Mai Văn Thi Một sơ lóp bât đăng thức hàm khơrm đơi xứng TS Neuyễn Thành Văn 2007 Côntz thức nội suy Hermite —írrm -w durm • it- GSTSKH N tíu\ễn Văn Mâu 2007 ỉ / ô i l l h i n v h ợ p t ú c i ị i i n c ũ' Dê tài dã tỏ chức hội hội ntihị khoa học Dà Nana (troriii chưưnu trinh hợp tác với JSPS Nhặl Ban) vá lỉa Nội - Vĩnh Phúc (iroiiLi chưoníi trinh Semina liên trườn” viện TP Hà Nội) Mathematics in environmental studies ốn 2,iài tích irone rmhièn cứu ÚTIÍI dụrte đào tạo Đè tài có mơi liên hộ mặi thièt \'ới chuyên cia vê tinh toan tronti mỏi trường: G S T S Y a e i T r u ô n g D I Ỉ T H O s a k a G S T S O n a k a P G S Ĩ S L a r h i C a n u DIỈQG TpHCM PGS TS Nsuvcn Q uanc Kim ĐIỈ Thủv Lọi Hà Nịi Tình hình kinh phí đề tài Dè tài nhận 25 triệu chi theo dự toán đirợc phê duvệt Khoa quán lý Chủ trì đề tài TRƯ ỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T Ị NHI í \ >^MÓ Hlfl ĩ Rưỏng M Ở ĐẦU Việt Nam có đường bờ biển kéo dài với hệ thống rừng ngập mặn phong phú đa dạng phân bố từ Bắc vào Nam Rừng ngập mặn hệ sinh thái đậc biệt vùng cửa sông, ven biển nhiệt đới, có giá trị ý nghĩa to lớn vê đa dạng sinh học việc bảo vệ môi trường phát triên kinh tê - xã hội Nghiên cứu bào tồn vả phát triển cùa rừng ngập mặn vấn đề quan trọng Như ta biết, để theo dõi phát triển rừng nói chung rừng ngập mặn nói riêng địi hỏi thời gian dài chi phi lcm Chính mà việc nghiên cứu hệ động lực rừng bầng cách tính tốn dựa sờ mơ hình tốn học lả phương pháp quan trọng để dự báo tồn phát triẻn cua rừng Sức mạnh mơ hình tốn học chỗ ta có thề mơ phịng biểu diễn nhiêu thành phần có tác động qua lại lẫn nhau, đồng thời kết q tính tốn có thê kiểm tra đối chiếu với quan sát thực tế v ấ n đề quan trọnc đật việc xây dựng mơ hình tốn học hợp !v dể mơ phịng phát triển cùa rừne Năm 1981, Antonovsky đưa mơ hình cấu trúc tuồi cua báo [ 1] Họ xét mô hình rừng đơn giàn chi u.ồm có hai thành phân câv non câv già Sau vào năm 1994, Kuznetsov (xem [5]) mờ rộns mỏ hình bàng cách đưa thêm thành phân "hạt" vào đê mô tả tái tạo cùa rừntỉ thơntí qua hinh thành phát triển hạt Họ đưa mô hình động học rừng sau: ut - Ịìỗv - y(v)u - f u n + Troim I in Q x ( x ) cịy) đ ộ c a o c u a đ ã i l ã n e d ọ n t i ; / in Q x ( O x ) = [ ( L - I ) (1 - p u - (Ị\ )] \ I đ ò n ” nước rừ ng tạo bới sụ khác đô cao cua đ ii: p \ a Lị hộ số ma s.ii CĨK1 cà> n o n \ cà> c i , u( i) la ti lệ l n e d ọ n i : a i a d ắ t p h u s a : t h n h p h ầ n /UV -{WX} vã uV ■\^x) mô tả thay đổi hạt đất lắng đọng dòng nước tạo v ề mặt giải tích tốn học (**) hệ phương trình vi phân đạo hàm riêng parabolic phức tạp nên để nghiên cứu câu trúc nghiệm rât khó khăn Do chung tơi bắt đầu bàng việc nghiên cứu mơ hình động lực rừng (*) đơn giản hóa cùa mơ hình (**) CÁC KÉT QUẢ CHÍNH NHẬN ĐƯỢC TỪ VIỆC NGHIÊN c ứ u iMƠ HÌNH (*) Lý thuyết: Chọn khơng gian nền: X - Ữ ( Q ) X ữ { Q ) X Z r( Q ) Tập giá trị ban đầu: K = {(«, V, w) e X ; u > V > ơ.ii' > o} Chứng minh tồn nhắt nghiệm toàn cục với giá trị ban đâu (m0,v wữ) K , đồng thời xây dune hệ độne [ực ( S ( t ) , K X ) Tức ta có thề mơ tả phát triên cùa rime trình tiến hóa cùa hệ động lực ( S ( t ) K X ), sư dụne để nghiên cứu dáng điệu tiệm cận cùa nghiệm thời gian đù lớn Tìm hàm Lvapunov cho hệ (*) I làm Lyapunov biêu chưng cho energy cùa hệ độn2 lực có thê thấy rãne phát triển rừrm theo chiêu hướne làm liiàm energy Xét ơn định cua tmhiộm dừní> Đưa đại lượni: toán học dặc chinm chí) "sức khoe" cua r'UT.^: f ìaổ , Ị f t /, I c > ( a b c J , h ,a , ỗ ) = - ub t r o n e đ ó a h c f h a ỗ c c t h a m s ố c ù a h ệ í * ) Các phát biêu chimn minh chi tiết có thơ xem bai hao [ 1.2.3], Tính tốn: Lập chươne trình ma\ linh đẽ tinh tốn nshiộm hệ (* ): Kiẻni tra mội >ô kõt CỊ l\ thii\êt: Sir tơn lại cua niihiẻm tồn cục aiảm enereN íự lịn cùa nehiệm khơna liên tục Chi mịi quan hệ eiCra đại lirựng ít> kha nãns tái tạo cua runs C h u o n g I H ệ độn" lực cúa m hình rừ n g Xét mơ hình J \ du \ c pli.il tricn rìrnii dirọc K.uznei>0\ I\em [5]) dua vào nãm 1994 nhu sau: Q x (0 ,o o ), Q x (0 ,o o ), Q x (0 ,o o ), (*) ổ Q x (0 ,o o ), w (x ,0 ) = w0(x ) n Trong Q ỉà miền hai chiều bị chặn Các hàm u ( í x ) v ( t , x ) mật độ câv non già; w( t , x ) mật độ hạt khơng khí Phương trình thứ thứ hai mô tả phát triển cây, cịn phương trình thứ ba mơ tả động học hạt ỏ tỉ lệ mâm cùa hạt; f tôc độ phát triên cùa non; h tỉ lệ chêt cùa già; a p tốc độ tạo hạt cùa già tì lệ lẳng đọng cùa hạt; d hàng số khuêch tán cùa hạt Y( v) lả ti lệ chết non xác định bời công thức: y(v) = a ( v - b ) + c Các giá trị ban đầu w0(.í), v0(,v) vv0( x ) cho trước không âm Q Nghiệm địa phương: Xét hệ phươnti trình (*) ưén khơna «ian nên X khôiiL: liian tiiá trị han đâu K xác định sau: X = {[j - (u V u ) : II.V e ữ ( Q ) 11' e L2( Q) \ ; K = { =.(z/,1.v,).u-0 ) € X : un > v„ > > 0Ị Gọi A toán từ sinh toan từ Laplace -CỈÁ + /ỉ trone khỏníi eian l } {Q) với điêu kiện biên Neumann Khi đo A lã toán tử xác đinh dưonu tụ liên hợp ircn cn Với > toán tử mũ V' cũn Si xác đinh dưorno tự liên hợp khôna sian L2( Q) vỏd miền xác địnli H 2"(Cì ) D(A") = < Gọi A toán tu đưọc định n^hĩa sau < < — Nghiệm toàn cục Nghiệm toàn cục hệ phương trình (*) xây dựng cách thác triên nghiệm địa phương lên toàn miền < í < 0 Đầu tiên, ta cần đánh giá tiên nghiệm sau: M ệnh đề Giả sừ U Q = (w0,v 0,w 0) e K u - ( u , v , w ) nghiệm địa phương cùa hệ phương trình (*) ứng với giá trị ban đầu ƯQ trẽn đoạn [0, Tị j ) cho < s u, V € C ( [0 , Tu ); £ " ( « ) ) n c ' ( ( 0, Tu ); c ( n » , < w € C ([0,7'ơ );Z,2( Q ) ) n C l ((0 ,7 ’í );Z-2( Q ) ) n C ( ( , 7^ ) ; / / y (Q )) Khi đó, tồi số dương c p phụ thuộc vào | 0| cho ị U ( t ) \ \ < C { e ^ \ \ Ư 0\ị+ \}, 0/' w ( )£/5 , \\ịf) = t’~/An + a f )Av(s)ds u ịs )d s < t < cc < t < X, < ỉ < X ( 'hứng minh: T h eo Đ ịnh K p h n g trình (*) có m ộ t n a h i ệ m địa p h o n e i r è n đ o n [ 57, - M ệ n h đ è Ị | ( r o )Ị| đ ợ c đ n h s i c h i b i c ó thị t h a c iriòn n tih i ộ m L Ư L'cý D o đ ó ta l ê n đ o n [ , T + r ] t r o n e đ ó T > đ ợ c x c đ ị n h bvTĨ ị | ( r )Ịi t ứ c c h ỉ p h u i h u ộ c v o Ị | || T i ế p t ụ c q u t r i n h đ ó ta t h u đ ợ c n ^ h i Ọ n i t o n c ụ c c u a p l n r r m t r ì n h ( * ì t r ê n m i c n [0 2C ) Hệ độ ng lực: T h e o n ịn h ụ \ i mồi gia irị ban Jau i ' () e K hộ phư oim trinh { ' ) ln có d u y nhâl m ột nehiộin toàn cục l \ t U 0) = (i< ụ ).v ụ ).w \t)) \;i c h n e m in h đ u o c V ràng nghiệm biến đổi liên tục theo giá trị ban đầu Do đó, ta định nghĩa nửa nhóm { ( /) } />0 xác định K bời S(t)ƯQ = ( t , U ) ánh xạ ( / , ) -> S ( t ) U liên tục từ [0,co)xẢT vào K Chứng tỏ ( S ( t ) , K , X ) hệ động lực sinh hệ phương trình (*) C hương II D điệu tiệm cận nghiệm Trong phẩn nay, nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm cùa hệ phưcmg trình (*) thời gian đù lớn Đe việc đó, ta đưa ba loại tập cogiới hạn, nghiên cứu tính chất chúng sừ dụng hàm Lyapunov tìm tư hệ động lực Hàm Lvapunov Băng cách biến đổi, ta chứng rằng: d £ dt | ( / m - M + h a ĩ(v ) + ^ - w -ự a fiỗ )v w dx = - ị ị a { y ( v ) + f + h } ( ^ ) + J J Ì Ỏ ( ^ - ) dx d x là hàm Lyapunov cùa hệ độnii lực ( S ( í ) K , X ) 4>( ) = ( dx I Sư dụnu ham I.vapunov ta chứnti minh dược kết quà sau: Đinh lý Với đườns cons nsihiệm S ụ ) U nu = U ( t ) đao • hàm —^ dĩ ( ln tụ YC theo lơ pị cua L / —> 0c Các tập Cư-Ịíiói hạn: Các lập (ư-eiói hạn định nehĩa sau: • r - í i i i h n ( t h ị n c thrriìi): = 1^1 \ S ( t ) í 0; í < T < oc} (bao donii lấ\ ilico lõ pò cùa X) I W e a k * (0 -Lĩiói h a n : • \\ - 10 (L, ) = P i [ S { t ) L : t < T < oc} ( b a o d ó n u lắ> t h e o W e a k * l õ p ó c u a X) C0 10 • ứ - Cú-giới hạn: L2 - co( U ) = f ' l { S ( t ) q ; / < r < 00} (bao đóng lấy theo 1'} tơ pơ cùa X) t>ò Ta chứng minh két sau: Định lý Với U q g K cư(ưữ) d ữ Đinh lý Giả sử h > củ( U q ) cz w - co( U q ) Khi c + f c o ( ) = L - O J(Ư ) = w * - c o ( U ) = { ( , ) ; với U0 g K Đ ịn h lý G i ả s r n g a b < 3(c + f ) K h i đ ó ữ - co( q ) = U’ - új ( U q ) v i m ọ i U0 g K Định lý Với ƯQ € K , mối phần từ ữ —co(Uq) đểu nghiệm càn hăng hệ S ự ốn đ ịn h nghiệm thuân nhât: Trong phân ta nahiẽn cứu tính ơn định cua ntihiệm thuân nhât cùa hộ phưcme trinh (*) Tuy thuộc váo tham sô ban dâu hệ (*) có nghiệm t h u â n nhâl s a u : Khi < h < a P+ = ' ÍA - (*) có lị[b+yfD}.b + ^ ị [ b + y Í D ] Ư p+ Ổn định cịn o khơnu ơn N hai r m h i ẽ m i h u n nhài O - (0.0.0) •; n _ fo.ỏ-(c- f ) h T VỚI D - - — - Trona dó ah p định Mọi nsihiệm cùa phươrm trinh (*) xuất phát từ uiá trị han đầu L'0 = o tiến đen p_ thời eian t —> oc Khi faỗ ủb + c - f faổ be anyright initial operator for V corresponding to W'l Wy (i) A s t a t e X\ € ker V is said to be F ^ - r e a c h a b le from an initial s ta te lo G ker V if there exists a control u € u such that Xi € F,(rlG(io, u) The state I i is then called a finite state (li) The system (LS)o is sajd to be Fịr)- controllable if for every initial state Tq ker V, we have F,(r)f R a n g r IoG) - ker V (3.16) (iii) The svstem {LS)o is said to be F\T - controllable to Xị € ker V if l i e F ;r>(Rangr i 0G) (3.17) for every initial state Xo £ kerV' L em m a 3.3 Suppose that the svstem (IS ")0 is F\r - controllable to zero and that F r ' T i ' k e r V ) * k e r(/ - IVA;] = kc-2 V IS) T h e n ev e ry final s t a t e Xi € ker V IS f Ị rl- r e a c h a b le from zero T h e o re m 3.3 Suppose that all assumptions of Lemma V3.3 are satisfied Then the linear system (LS'o is F\ - controllable P roof B v o u r a s s u m p tio n , th e r e exist Uo £ L a n d Co € ker.J — u 4! such that r r [ r ( U 'j B u o - r Jo) - =0: = 3.21) By Lemma 3.3 for every X; krr V there exist Ug c I and C; £ kcr I - u A) such that ^"■’( r i r s u ó + ri)] =X ! 13.22) Now (3.2 ) and (3.22) imply Fir)[T{W 5(uo - u0 - x0 - «.-0 i.e X] is F ị r)- reachable from Jo which was to be proved C orollary 3.4 If the system (LS )0 is F ^ - controllable to zero and Fịrìr(ker V ) kerV, then it is F ị - controllable T h e o re m 3.4 Let a linear system (LS )0 of the form (31)-(3.2) and an initial operator Fjr> for V be given Let T be defined by (3.8) and let B € L0(U -» X , X ' — [/'), V of V if and only if -controllable for a right initial operator FÍr)(Rangơ,IoG) = ker (PD) It is easy to check that ker(PD) consists all even differentiable functions defined on [-1 ,1] References Ịl| Przeworska-Rolewicz D 1988 Algcbrair Analysis Amsterdam- W arsaw Í2] P rz e w o rsk a -R o le w ic z D Equations mth transformed aryumtr.t al­ gebraic approach A m s te r d a m - W a rs a w , 1973 (3j Nguyen Van Mau On the generalized, convolution for Ị- transform Acta- Mat Vietnamica- 18(2003), 135- 145 Nguyen Van Mau Departm ent of Analysis Faculty of Math Mech and Informatics University of Hanoi 334, Nguven Trai S tr., Hanoi, Vietnam E-mail address: maunv@vnu.edu.v n 84 vảdào tạo m ã ằô S' ã I H NI-VNH YN 28 - 29/11/2007 Nguyễn Đức Hiền Về số dạng phương trình h m .95 Nguyễn Thị Thanh Hoa Một số phương pháp logic thực hành diễn giải 106 Hoàng Đức Hùng Nhận xét mọt số bất đẳng thức hàm 113 Nguyễn Thi T hanh Hương Một số nhận xét hàm lồi, lõm tựa lồi, tựa lõm 124 Nguyền Văn Mậu Về lớp h m số đ n đ iệu liên tiếp b ậ c ( , ) 130 Nguyền Văn Ngọc Một số toán liên quan đến bất đẳng thức B ernoully n ti P hạm Thị N hàn M ô t vài cách c h ứ n g m in h b ắ t đ ẳ n g th ứ c d a n g k h ô n g đui x ứ n g iron ự r.i:r gi.ir N2 N guyễn Đ ãng P h ấ t Bài toán điểm "cực tiểu" Fermat hệ điểm ứng dung vào Vãt !ý hoc 157 Phạm Vãn Thuản Vo Quoc Ba Can Le ViSymmetric Cyclic Inequalities R ev isited 130 N ^ u v ề n V ăn T iế n Về n g h iệ m bội c ủ a đ a th ứ c ứ ng đ u n g 211 Vê lớp hàm số đơn điêu liên tiếp bậc (1,2) N g u y ễn Văn Mậu, Trường Đ ại Học Khoa Học Tự Nhiên, Đ HQG HN Ta s d ụ n g k ý h iệ u I { a, b) c R n h ằ m n g ẩ m đ ịn h m ột tTong bốn tâp h op (a , b ), \a,b), (ữ, b} ịa, b) với a < b Trước hêt, nhắc lại đinh nghĩa sau đảv Đ ịnh ngh ĩa Ta nói hàm số f ( x ) xác định đơn điệu tăng thưc sư trẽn I(a, b) ứng với moi X1'*2 £ I(a,b), ta đểu có f { x i) < f { x 2) « ! ] < x2, ngược lại, /( * ) > / ( * ) * < *2; Vxi,x2 € I(a,b), f ( x ) hàm đơn điệu giảm thực trẽn I(a, b) N hững hàm sốđơn điêu tăng thưc sư ỉ(a,b ) goi hàm đồng biến trẽn I[a,b) hàm số đơn điêu giàm thực tTẻn I(a, b) đươc gọi hàm nghịch biến tảp Trong chương trinh giải tích, bíẽt đẽn tiêu chuẩn đê nhãn biết thi môt hàm số khà vi cho trước khoảng (a, b) hám đơn điêu khống dó Đ inh lí Cho hàm số f(x) cỏ đạo hàm trẽn khoảng (a,b ) (i) N ếu f ' ( x ) > vói mọ: X € i c rb) thi hàm số f i x ) đơng bicn trãi khoảng (i) N ếu f ' ( x ) < với nọ: X € [a b) thị hàn: 50 nghick Her irâr khoảng ẩó Các định Lí sau đãv cho ta số đặc trưng đơn giàn khác hàm đon điệu Mót và] đảc trưng quan lóp hàm, vừa có tính đon điệu vừa có tính chất lói tính lõm Đ ị n h lí H àm f (x ) địr.h trẽr môi hàrr 50 đen: âiệii tảng chì vói mọ; cặp >(? dương a-[,a2, ■■ ,a„ Xi,x- xr ta đêu có ị a-jixk) ^ ( V k=: *=] / L (T1 K=ì Đ ịn h lí Đ ẽ bất đ ẳn v thức Ẻ ^/( Ị **)' t=ì thoả mãn với moi bó số dVỉiỊ X] (2Ì Â'= , x„, điều kiện đù hầm g(x) := — - đen ẩìệu tảng trẽn K + Hệ q uà Giả sủ g(x) — ftx) , - hàm đcm đỉẽu tàng Ịo, +ocj Khi vói dãy só dương g i ả m X ị , X , ■■■, x n, ta đâu có n —1 /C-Vl - x„) ^ V Jt= f\Xy - f i x Nhận xét rằng, ta thấy hàm số g(x) = + sin x , X e R +, thoả mãn đieu kiện Tuy nhiên, hàm g(x) không hàm đơn điệu tăng R+ Nếu bổ sung thêm điều kiện: £ (i) := hàm đồng biến R+ X\, xn, li bọ so gom sô lớn 1, thi ta thu bất đẳng thức thực SỊ£ Lf(*k) k= l < / vk=i ( Ề 4' Tương tự, ta phát biểu đặc trưng hàm đơn điệu giảm Hàm đơn điêu bâc hai (lồi, lõm) Ta nhắc lại tiêu chuẩn đơn giản để nhận biết tính lồi (lõm) hàm số Giả sử f ( x ) có đạo hàm cấp hai khoảng (a, b) Khi (i) Điều kiện cần đủ để hàm số f ( x ) lồi (a, b) f" (x) 0, Vx e (a,b) (ii) Điêu kiện cân đủ đê hàm số f(x) lõm trẽn ( a,b) f"(x) ^ 0, Vx G ( a, b) Tuy nhiên, ứng dune, ta nhận thấv, có thê coi hàm lôi (lõm) lớp hàm đỏng biến (nghịch biến) bậc hai, ứng vói nó, đạo hàm bậc nhát (trong lớp hám hàm lồi khả vi) m ôt hàm đơn đ iệ u táng (giảm ) Chú ý rằng, đơi ta chì nói tinh lồi hàm số mà khơng nói tới hàm lơi tãp I(a, b) m ột cách cu thê’ nêu trẽn N h ãn xét rằng, ti < Xz X — a.X) + j3*2 vói m ọi cãp số dương; a, (3 có tổng a ~ ị3 = 1, đ ề u t h u ộ c (.Ti, X2 ) v sau, ta thường q u an tâm \"à nói nhiều đến únh chát ham lôi I(a,b) T ính chất Nếu f ( x ) lồi (lõm) irẽn I{a,b ) := cf{x) hàm lõm (lồi) ỉ(a,b) khĩ c < (c > ) T ính chất Tổng hữu han hàm lồi I(a,b ) hằm lồi trẽn I(a,b) T ín h chất Nếu f ( x ) hàm