GIÁO ÁN DẠY BỒI DƯỠNG HSG 11 NĂM HỌC 2019-2020(b)

CHUYÊN ĐỀ 01: CÁC BÀI TOÁN VỀ VÉC TƠ SỐ TIẾT DẠY: 06 TIẾT SỐ TIẾT TỰ ÔN: TIẾT NGÀY SOẠN: 01/08/2019 VEC TƠ TRONG KHÔNG GIAN CHUYÊN ĐỀ PHÂN TÍCH VÉC TƠ THEO BA VÉC TƠ KHƠNG ĐỒNG PHẲNG I.Lý thuyết r r r a , b, c r u Trong không gian cho ba véc tơ không đồng phẳng Khi với véc tơ ta tìm r r r r u = ma + nb + pc m, n, p m, n, p ba số cho Ngoài ba số II.Bài tập áp dụng ABCD M G BCD AB Ví dụ Cho tứ diện , trung điểm cạnh trộng tâm cảu tam giác uuur r uuur r uuur ur AB = b, AC = c, AD = d Đặt Phân tích véc tơ uuuu r MG ur r r d , b, c theo Lời giải uuuu r uuur uuuu r uuuu r 1 uuur uuur uuur uuur uuur MG = MB + MC + MD = AB + MA + AC + MA + AD 3 3 ( = ) ( ) ( ) uuur uuur uuur uuur uuur  uuur  uuur uuur AB + MA + AC + AD = AB +  − AB ÷+ AC + AD 3   uuur uuur uuur r r ur = − AB + AC + AD = − b + c + d 3 3 uuur uuu r S ABC M N KC = −2 KB AB K Ví dụ 2: Cho hình chóp , trung điểm , điểm thỏa mãn trung uur uur uuu r uuuu r SA, SB, SC SK MN điểm Hãy phân tích theo ba véc tơ Lời giải uuur uuur uuu r uuu r uur uuu r uuu r uur uuu r KC = −2 KB ⇔ SC − SK = −2 SB − SK ⇔ SK = SB + SC 3 ( Từ ) uuu r uuu r uur uuu r uuur uur uur SN = SK = SB + SC SM = SB + SA Hơn , ( Suy uuuu r uuu r uuur r uur uur uuu MN = SN − SM = − SA − SB + SC 6 ) ABC A′B′C ′ M Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ , trung điểm r r r uuuu r a, b , c AM phân tích véc tơ theo ba véc tơ Lời giải BB′ Đặt r r uuu r r uuu CA = a CB = b , , uuur r AA′ = c Hãy Ta phân tích sau: uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r uuur r r uuur r r 1r AM = AB + BM = CB − CA + BB′ = b − a + AA′ = −a + b + c 2 Ví dụ 4: Cho hình hộp ABCD A′B′C ′D′ Hãy phân tích véc tơ uuuu r MN uuuu r uuuu r uuuu r uuur uuu r r uuur r uuur r MA′ = k MC NC ′ = l.ND AB = a AD = b AA′ = c Biết , Đặt , , r r r a, b , c theo ba véc tơ Lời giải uuu r r uuur r uuur r AB = a AD = b AA′ = c Đặt , , r r r uuur uuur uuuu r AA′ − k AC − k a + b + c u u u r u u u u r u u u r u u u u r uuuu r uuuu r ⇒ AM = = ′ MA′ = k MC ⇒ AA − AM = k AC − AM 1− k 1− k ( Từ ) uuuu r uuur r r uuur AC ′ − l AD ar + b + cr − lb uuuu r uuur uuur uuur uuuu r uuur ⇔ AN = = ′ NC ′ = l.ND ⇒ AC − AN = l AD − AN 1− l 1− l ( ( ) Vậy uuuu r uuuu r uuur = MN = AM − AN ) r r r −k a + b + c ( ) 1− k Ví dụ 5: Cho hình hộp ( MDC ') phẳng cắt BC ' I Gọi r r r r a + b + c − lb − 1− l r  k r  k r  = − − a + − − − ÷  ÷b +  ÷c  1− k 1− l   1− k   1− k 1− l  ABCD A′B′C ′D′ O DA ' OB ' ABB ' A ' M tâm mặt bên điểm Mặt J uuuur uuu r uuur DM , DI , DJ Hãy phân tích véc tơ theo ba véc uuur r uuur r uuu r r BC = a, BB ' = b, BA = c tơ I, J, M chứng minh ba điểm thẳng hàng Lời giải ( MD ' C ) Mặt phẳng cắt A' B ' BB ' F K , DA’ J E EF AA’ kéo dài cắt kéo dài uuuu r uuuu r uuuur uuur uuuu r uuur uuuur uuuu r uuur OM = kOB ' ⇔ DM − DO = k DB ' − DO ⇔ DM = k DB ' + ( − k ) DO ( ) Đặt uuuur uuur uuur uuuur r uuur uuur uuuur r uuur   uuur uuuu  uuur uuu DM = k DA + DC + DD ' + ( − k )  DA + AB ' ÷ = k DA + DC + DD ' + ( − k )  DA + AB + AA ' ÷ 2     ( ) ( ) uuuur uuur uuu r uuur r uuur  uuuur r  k +1 r  k +1 r  uuur uuu DM = k − BC − BA + BB ' + ( − k )  − BC − BA + BB ' ÷ ⇒ DM = −a +  ÷b −  ÷c ( 1) 2       ( Ta có uuu r uuuu r uuuu r r r uuuu r DJ = DA ' + A ' J = b − a + A ' J Mặt khác Lại có ) uuur r r uuur b − a JA ' A ' K BE OM JA ' r = k ⇒ DJ = = = = ⇒ uuu JD DD ' BB ' OB ' 1− k JD uuu r uuur uur DI = DB + BI uur uur BI BE BE OM BI k k r r r= = = = ⇒ uuuu ⇒ BI = b+a IC ' CC ' BB ' OB ' k +1 BC ' k + ( mà uuu r r r k r r −1 r k r r DI = −a − c + b+a = a+ b−c k +1 k +1 k +1 ( Do ) ) I, J,M Điều kiện cần đủ để ba điểm thẳng hàng tồn số m cho uuuur uuu r uuu r r m r  m −1 m  r  ( 1− m) k DM = mDJ + ( − m ) DI =  − + ÷b + ( m − 1) c ÷a +  1− k   k +1 1− k   k +1 ( 1) , ( ) So sánh ( 2)  m −1 m  k + − − k = −1  m k +1 −k +  ( − m) k + = ⇒m=  1− k 2  k +1 k +1  m − = −  ta có uuuur uuu r uuu r DM = mDJ + − m DI ( ) I, J, M m Vậy tồn để nên ba điểm thẳng hàng ABCD A1B1C1 D1 M AD Ví dụ Cho hình hộp điểm cạnh cho uuuu r uuur AM = AD N điểm uuuu r MN uuur NP BD1 P CC1 M , N, P đường thẳng điểm đường thẳng cho thẳng hàng Tính Lời giải uuur r uuur r uuur r AB = a, AD = b, AA1 = c Đặt uuur uuuu r uuu r uuuu r r BN = xBD1 ; CP = yCC1 = yc M , N, P Ba điểm thẳng hàng nên uuuu r uuur uuur uuur MN = MA + AB + BN Ta có: uuuu r uuur MN = α NP ( 1) uuuu r uuu r uuur uuur 1r r 1r r = − b + a + xBD1 = − b + a + x BA + BC + BB1 3 r r r r  1r r 1r r = − b + a + x −a + b + c = ( − x ) a +  x − ÷b + xc ( ) 3  ( ( ) ) Ta lại có: uuur uuur uuur uuu r uuuu r r r r r r r r NP = NB + BC + CP = − xBD1 + b + yc = − x b − a + c + b + yc uuur r r r ⇒ NP = xa + ( − x ) b + ( y − x ) c ( 3) ( ( ) , ( 3) Thay ) ( 1) vào 1 − x = α x   x − = α ( 1− x)   x = α ( y − x ) ta được: Giải hệ ta 3 α = ,x = ,y = uuuu r MN uuur = NP Vậy M,N a ABCD A ' B ' C ' D ' Ví dụ 7: Cho hình lập phương cạnh Lấy hai điểm cho uuur uuuu r a CN = tCD ' t.k ≠ MN MN B'D với Tính độ dài theo song song với Lời giải A' D' B' C' M N z A x B D C y uuu r r uuur u r uuur r BA = x, BC = y, BB ' = z Đặt Vì ABCD A ' B ' C ' D ' hình lập phương cạnh a r u r u r r r r x y = 0, y z = 0, z x = nên uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r uuur uuur uuu r BM = BA + AM = BA + k AC ' = BA + k BC ' − BA = BA + k BC + BB ' − BA ( ) ( ) uuuur uuuur AM = k AC ', r u r r = ( 1− k ) x + k y + k z uuur uuur uuur uuur uuuu r uuur uuur uuuu r r u r r BN = BC + CN = BC + tCD ' = BC + t CD + CC ' = t x + y + t z ( ) uuuu r uuur uuuu r r u r r r u r r r u r r ⇒ MN = BN − BM = t x + y + t z − ( − k ) x + k y + k z  = ( t + k − 1) x + ( − k ) y + ( t − k ) z uuuur uuur uuur uuu r uuur uuur r u r r B ' D = BD − BB ' = BA + BC − BB ' = x + y − z Vì MN / / B ' D nên  t = t + k − = m   uuuu r uuuur   MN = mB ' D ⇔ 1 − k = m ⇔ k = t − k = − m    m =  uuuu r 1r 1u r 1r r u r r ⇒ MN = x + y − z = x + y − z 4 4 ( uuuu r2 r u r r ⇒ MN = MN = x+ y−z 16 ( = ) ) ) ( r2 r2 r u r u r r r r r2 u 3a x + y + z + x y − y z − z x = ( a + a + a ) = 16 16 16 MN = Vậy a SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA BA VECTƠ (BỐN ĐIỂM ĐỒNG PHẲNG) ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TỐN HÌNH KHƠNG GIAN TĨM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa Trong không gian ba vectơ gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng r r r r r a b c a b Trong không gian cho hai vectơ , khơng phương vectơ Khi ba vectơ , r r r r c m n m n c = ma + nb , đồng phẳng có cặp số , cho Ngoài cặp số , Cho tam giác ABC` A, B, C , D , bốn điểm đồng phẳng AD = m AB + n AC ABC S D Định lý: Cho tam giác điểm Điều kiện cần đủ để điểm thuộc mặt uuu r uur uur uuu r ( ABC ) SD = xSA + ySB + zSC x + y + z =1 phẳng , Chứng minh uuur uuu r AC AB D Điều kiện cần: Vì hai véc- tơ không phương nên điểm thuộc mặt phẳng u u u r u u r u u r u ur uuu r uur uuur uuu r uuur ⇔ SD − SA = m SB − SA + n SC − SA ( ABC ) AD = m AB + n AC uuu r uur uur uuu r ⇔ SD = ( − m − n ) SA + mSB + nSC uuu r uur uur uuu r SD = xSA + ySB + zSC x + y + z =1 x = 1− m − n y = m z = n Đặt , , , ( ) ( Điều kiện đủ: uuu r uur uur uuu r uuu r uur uur uuu r SD = xSA + ySB + zSC ⇔ SD = ( − y − z ) SA + ySB + zSC uuu r uur uur uur uuu r uur uuur uuu r uuur ⇔ SD − SA = y SB − SA + z SC − SA ⇔ AD = y AB + z AC ( Mà hai véc- tơ uuu r AB Dạng 1: Tính tỉ số ) ( uuur AC ) không phương nên điểm D ( ABC ) thuộc mặt phẳng ) Câu 1: (Đề HSG Thanh Hóa 2018) Cho tứ diện SABC (α ) thay G SA SB SC A′ B′ C ′ đổi qua trọng tâm tứ diện cắt cạnh , , , , T= Chứng minh biểu thức có SA = SB = SC = Một mặt phẳng 1 + + SA′ SB′ SC ′ có giá trị khơng đổi Lời giải S C' G A' H A C B' S' M B uuuu r uuur uuur uuur uuuu r MG = MS + MA + MB + MC ( ) Vì G trọng tâm tứ diện SABC nên ta có tính chất: , với M điểm tùy ý uuu r uur uur uur uuu r r uur uur uuu SG = SS + SA + SB + SC = SA + SB + SC M ≡S 4 Áp dụng tính chất cho điểm ta có: uur SA uuur uur SB uuur uuu r SC uuur SA = SA ', SB = SB ', SC = SC ' SA ' SB ' SC ' Lại có uuu r uuur uuur uuur SG = SA ' + SB ' + SC ' SA ' SB ' SC ' Do 1 + + =1⇒ T = A′, B′, C ′, G SA′ SB′ SC ′ Vì bốn điểm đồng phẳng nên phải có ( Câu 2: Cho hình chóp S ABCD có đáy ( AB′D′) SB, SD cạnh ABCD Mặt phẳng ) ( ) B′, D′ hình bình hành Gọi SC cắt Lời giải C′ Tính SC ′ SC trungđiểm r r uur r uur r uuu a = SA, b = SA, c = SD Đặt m= SC ′ SC uuur r uuur r SB′ = b , SD′ = c 2 Ta có uuur uuu r uur uuur r r r SC ′ = mSC = m SB + BC = m b − a + c ( ) ( ) uuur uuur uur uuur ⇒ SC ′ = 2mSB′ − mSA + 2mSD′ 2m + ( − m ) + 2m = ⇔ m = A, B′, C ′, D′ Do đồng phẳng nên Vậy Câu 3: SC ′ = SC S ABCD Cho hình chóp SC Mặt phẳng qua AK có đáy ABCD hình bình hành Gọi SB, SD cắt cạnh r r uur r uur r uuu a = SA, b = SA, c = SD Đặt Ta có SB SD = m, =n SM SN Chứng minh uuu r uuu r uuu r uuur r uuu r uuu r uur uur uuu SK = SC = SD + DC = SD + AB = SD + SB − SA 2 2 ) ( ) trung điểm cạnh M,N Lời giải uuur SM uur uur uuu r SN uuu r uuu r SM = SB = SB; SN = SD = SD SB m SD n ( K ( ) SB SD + =3 SM SN ... suy mặt phẳng qua điểm CÁC BÀI TOÁN KHÁC LIÊN QUAN ĐẾN VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN Với việc nắm vững kiến thức véc tơ khơng gian, ta thực giải hàng loạt tốn hình học khơng gian tính tỉ số đoạn thẳng,... MN = Vậy a SỬ DỤNG ĐIỀU KIỆN ĐỒNG PHẲNG CỦA BA VECTƠ (BỐN ĐIỂM ĐỒNG PHẲNG) ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH KHƠNG GIAN TĨM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa Trong không gian ba vectơ gọi đồng phẳng giá chúng... Dạng 1: Tính tỉ số ) ( uuur AC ) không phương nên điểm D ( ABC ) thuộc mặt phẳng ) Câu 1: (Đề HSG Thanh Hóa 2018) Cho tứ diện SABC (α ) thay G SA SB SC A′ B′ C ′ đổi qua trọng tâm tứ diện cắt