Phát triển tư duy cho học sinh thông qua dạy học chương phép nhân và phép chia các đa thức lớp 8 trung học cơ sở

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC NGUYỄN THỊ THUỶ PHÁT TRIỂN TƢ DUY CHO HỌC SINH THÔNG QUA DẠY HỌC CHƢƠNG “PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC” LỚP TRUNG HỌC CƠ SỞ LUẬN VĂN THẠC SĨ SƢ PHẠM TOÁN Chuyên ngành : LÍ LUẬN VÀ PHƢƠNG PHÁP DẠY HỌC (BỘ MƠN TỐN) Mã số : 60 14 10 Người hướng dẫn khoa học: PGS TS NGUYỄN VŨ LƢƠNG HÀ NỘI – 2012 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu Trƣờng Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội thầy giáo, cô giáo công tác giảng dạy trƣờng nhiệt tình giảng dạy hết lịng giúp đỡ tác giả trình học tập nghiên cứu đề tài Đặc biệt tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS.TS Nguyễn Vũ Lƣơng – ngƣời trực tiếp hƣớng dẫn nhiệt tình bảo tác giả trình nghiên cứu, thực đề tài Tác giả xin chân thành cảm ơn tới thầy giáo PGS.TS Nguyễn Nhụy, thầy giáo PGS.TS Bùi Văn Nghị chỉnh sửa, góp ý giúp tác giả hồn thiện luận văn Đòng thời tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, thầy cô giáo em học sinh trƣờng: THCS Lƣơng Chí, THCS Hải Thanh, THCS Hải Nhân, THCS Hải Hòa, THCS Hải Thƣợng , huyện Tĩnh Gia, tỉnh Thanh Hóa giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành luận văn Lời cảm ơn chân thành tác giả xin đƣợc dành cho ngƣời thân, gia đình bạn bè đồng nghiệp, đặc biệt lớp Cao học Toán K5 trƣờng Đại học Giáo dục – Đại học Quốc gia Hà Nội, suốt thời gian qua cổ vũ động viên, tiếp thêm sức mạnh cho tác giả hoàn thành nhiệm vụ Mặc dù có nhiều cố gắng nhƣng chắn luận văn tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong đƣợc lƣợng thứ mong nhận đƣợc ý kiến đóng góp quý báu thầy cô giáo bạn Hà Nội, ngày 30 tháng năm 2012 Tác giả Nguyễn Thị Thuỷ DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN CHỮ VIẾT TẮT VIẾT ĐẦY ĐỦ GS Giáo sƣ GV Giáo viên HĐ Hoạt động HPT Hệ phƣơng trình HS Học sinh SGK Sách giáo khoa THCS Trung học sở MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lịch sử nghiên cứu Mục tiêu nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu Mẫu khảo sát 6.Vấn đề nghiên cứu Giả thuyết khoa học Phƣơng pháp nghiên cứu Dự kiến luận 10 Cấu trúc luận văn Chƣơng 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN 1.1.Đại cƣơng tƣ 1.1.1.Tƣ gì? 1.1.2 Đặc điểm tƣ 1.2 Tƣ toán học 1.2.1 Các thao tác tƣ toán học 1.2.2 Một số loại hình tƣ tốn học 11 1.3 Mục tiêu dạy học môn Tốn nhà trƣờng phổ thơng 19 1.3.1 Rèn luyện tƣ logic ngơn ngữ xác 20 1.3.2 Phát triển khả suy đoán tƣởng tƣợng 20 1.3.3 Rèn luyện hoạt động trí tuệ 21 1.3.4 Hình thành phẩm chất trí tuệ 21 Chƣơng 2: XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TOÁN VÀ ĐỀ XUẤT NHỮNG BIỆN PHÁP TỔ CHỨC THỰC HÀNH GIẢNG DẠY CHƢƠNG “PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC” LỚP TRUNG HỌC CƠ SỞ CÓ TÁC DỤNG PHÁT TRIỂN TƢ DUY CHO HỌC SINH 23 2.1 Những để phát triển tƣ cho học sinh thông qua dạy học chƣơng “Phép nhân phép chia đa thức” lớp trung học sở 23 2.1.1 Dạy tƣ 23 2.1.2 Nội dung chƣơng “Phép nhân phép chia đa thức” lớp THCS với vấn đề phát triển tƣ cho học sinh 24 2.2 Rèn luyện thao tác tƣ : phân tích- tổng hợp, so sánhtƣơng tự hóa, khái quát hóa- đặc biệt hóa 25 2.2.1 Phân tích Tổng hợp 25 2.2.2 So sánh - Tƣơng tự hóa 29 2.3 Phát triển dạng tƣ duy: Tƣ thuật toán,Tƣ sáng tạo 30 2.3.1 Tƣ thuật toán 39 2.3.2 Tƣ sáng tạo 32 2.4 Kết luận 40 2.5 Thiết kế số giáo án chuyên đề có liên quan đến chƣơng “Phép nhân phép chia đa thức” lớp THCS có tác dụng phát triển tƣ cho học sinh 42 Chƣơng 3: THỰC NGHỆM SƢ PHẠM 89 3.1 Mục đích thực nghiệm sƣ phạm 89 3.1.1 Mục đích 89 3.1.2 Nhiệm vụ thực nghiệm 89 3.2 Nội dung thực nghiệm 99 3.3.Tổ chức thực nghiệm 99 3.3.1 Kế hoạch đối tƣợng thực nghiệm 99 3.3.2 Phƣơng pháp tiến trình thực nghiệm 100 3.4 Đánh giá kết thực nghiệm 108 3.4.1 Cơ sở để đánh giá kết thực nghiệm 108 3.4.2 Phân tích kết thực nghiệm 108 3.4.3 Thực nghiệm thức 108 3.4.4 Xử lý số liệu 108 3.5 Kết thực nghiệm thu đƣợc 110 3.6 Kết luận chung thực nghiệm 117 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 119 Kết luận 119 Khuyến nghị 120 TÀI LIỆU THAM KHẢO 122 PHỤ LỤC MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Năng lực tƣ điều kiện cần đủ để khám phá lĩnh hội tri thức Ngày nay, kinh tế tri thức tác động mạnh mẽ phát triển lực lƣợng sản xuất việc rèn luyện tƣ ngƣời lại cần thiết Trong kinh tế ấy, tri thức trở thành quyền lực, trở thành chìa khố mở cửa tƣơng lai Khơng có lực, phẩm chất tƣ duy, ngƣời khơng có khả nắm bắt tri thức, lĩnh hội tri thức khơng có khả vận dụng tri thức Làm để phát triển tƣ cho ngƣời học cách hiệu quả? Đó câu hỏi đặt khơng cho ngành Giáo dục mà cho tồn xã hội.Trong thực tế, phát triển tƣ cho ngƣời học mục tiêu quan trọng chƣơng trình dạy học Để đạt đƣợc mục tiêu đó, chƣơng trình dạy học phƣơng pháp dạy học cần có thay đổi phù hợp SGK đƣợc thay đổi nhƣng tài liệu chung cho tất đối tƣợng học sinh, tất vùng miền nƣớc Mỗi đối tƣợng học sinh khác nhau, vùng miền khác phải có xây dựng dạy phù hợp để phát triển đƣợc tƣ cho học sinh Đại hội XI Đảng (1-2011) xác định “Phát triển giáo dục quốc sách hàng đầu Đổi bản, toàn diện giáo dục Việt Nam theo hƣớng chuẩn hóa, đại hóa, xã hội hóa, dân chủ hóa hội nhập quốc tế…”Thực tế đòi hỏi ngành Giáo dục phải đổi cách toàn diện mục tiêu, nội dung, phƣơng pháp hình thức tổ chức thực Đặc biệt cần ý đổi mạnh mẽ phƣơng pháp dạy học theo hƣớng phát huy tính tích cực, chủ động, tƣ sáng tạo ngƣời học nhằm đáp ứng nhu cầu đào tạo nguồn nhân lực nay.Định hƣớng đổi phƣơng pháp dạy học đƣợc xác định Nghị Trung ƣơng khoá VII (1-1993), Nghị Trung ƣơng khoá VIII(12-1996) đƣợc thể chế hoá luật giáo dục (2005).Luật giáo dục, điều 24.2 có ghi: "Phƣơng pháp giáo dục phổ thơng phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo học sinh; phù hợp với đặc điểm lớp học, môn học; bồi dƣỡng phƣơng pháp tự học, rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh" Trong trình hình thành phát triển tƣ học sinh Tốn học có vai trị đặc biệt quan trọng Toán học sở nhiều ngành khoa học quan trọng, phát triển Toán học gắn bó chặt chẽ có tác động qua lại, trực tiếp với tiến nghành khoa học khác Vì vậy, tƣ Tốn học có giá trị lớn đời sống, nghiên cứu khoa học, sản xuất, đặc biệt công công nghiệp hóa, đại hóa đất nƣớc Nhƣ trình dạy học với lƣợng kiến thức thời gian đƣợc phân phối cho mơn Tốn bậc THCS, giáo viên phải xây dựng đƣợc tập, giảng phƣơng pháp giảng dạy phù hợp để phát triển đƣợc tƣ cho học sinh Trong chƣơng trình Tốn bậc THCS kiến thức chƣơng “Phép nhân phép chia đa thức” quan trọng có ứng dụng hầu hết dạng toán nhƣng tài liệu có tính hệ thống cho nội dung cịn đơn giản, thiếu thách thức để phát triển đƣợc tƣ cho học sinh Từ lí trên, đề tài đƣợc chọn là: Phát triển tư cho học sinh thông qua dạy học chương “Phép nhân phép chia đa thức” lớp trung học sở Lịch sử nghiên cứu Gần có nhiều cơng trình nghiên cứu việc phát triển tƣ cho học sinh dạy học mơn Tốn nhƣ: - Nguyễn Bá Kim, Vƣơng Dƣơng Minh, Tơn Thân [8] với Khuyến khích số hoạt động trí tuệ học sinh qua mơn Tốn trường THCS ( 2006) - Phan Thị Hƣơng Thảo với Rèn luyện tư sáng tạo dạy hình học không gian Luận văn thạc sĩ , trƣờng ĐHSP Thái Nguyên (2007) - Phan Thị Luyến với Rèn luyện tư phê phán học sinh trung học phổ thông qua dạy học chủ đề Phương trình Bất phương trình Luận án Tiến sĩ Giáo dục học( 2008) - Nguyễn Thu Hƣơng với Phát triển tư cho học sinh thông qua dạy học chương “Tứ giác” lớp trung học sở , luận văn thạc sĩ, trƣờng ĐH Giáo dục, ĐHQG Hà Nội ( 2010) Có thể thấy vấn đề phát triển tƣ dạy học mơn Tốn thu hút đƣợc quan tâm ý nhiều tác giả Tuy nhiên, qua tìm hiểu chúng tơi chƣa thấy có cơng trình khoa học xây dựng phƣơng pháp thực hành giảng dạy chƣơng “Phép nhân phép chia đa thức” lớp trung học sở nhằm phát triển tƣ cho học sinh Mục tiêu nghiên cứu - Xây dựng hệ thống tốn có tiềm bồi dƣỡng phát triển tƣ cho học sinh, đƣợc số phƣơng thức khai thác toán nhằm phát triển tƣ cho học sinh - Đề xuất số biện pháp tổ chức thực hành giảng dạy chƣơng “Phép nhân phép chia đa thức” theo hƣớng phát triển tƣ cho học sinh - Thiết kế số giảng chuyên đề liên quan đến nội dung chƣơng “Phép nhân phép chia đa thức” vận dụng biện pháp Phạm vi nghiên cứu - Chƣơng đại số lớp THCS, luận văn tập trung vào dạng tốn “ Phân tích đa thức thành nhân tử ứng dụng nó” - Thời gian nghiên cứu : năm (năm học 2010-2011, năm học 2011-2012) Mẫu khảo sát - Học sinh lớp trƣờng THCS Lƣơng Chí- Tĩnh Gia- Thanh Hóa (năm học 2010-2011,năm học 2011-2012) - Học sinh lớp trƣờng THCS Hải Nhân- Tĩnh Gia- Thanh Hóa (năm học 2010-2011, năm học 2011-2012) -Học sinh lớp trƣờng THCS Hải Thanh- Tĩnh Gia- Thanh Hóa (năm học 2010-2011,năm học 2011-2012) -Học sinh lớp trƣờng THCS Hải Thƣợng- Tĩnh Gia- Thanh Hóa (năm học 2010-2011,năm học 2011-2012) -Học sinh lớp trƣờng THCS Hải Hòa- Tĩnh Gia- Thanh Hóa (năm học 2010-2011,năm học 2011-2012) ( Mỗi trƣờng chọn hai lớp học tốt khối 8) 6.Vấn đề nghiên cứu -Cơ sở lí luận tƣ gi? Quá trình rèn luyện phát triển tƣ học sinh bậc trung học sở nhƣ nào? - Để phát triển tƣ cho học sinh, giáo viên cần rèn luyện cho học sinh thao tác tƣ phẩm chất tƣ nào? - Xây dựng toán, tổ chức hoạt động thực hành giảng dạy chƣơng “Phép nhân phép chia đa thức” lớp THCS nhƣ để phát triển tƣ cho học sinh? Giả thuyết khoa học Nếu giáo viên xây dựng đƣợc hệ thống toán đề xuất đƣợc biện pháp tổ chức thực hành giảng dạy nội dung liên quan đến chƣơng “Phép nhân phép chia đa thức” lớp THCS có tác dụng phát triển tƣ cho học sinh Phƣơng pháp nghiên cứu Trong luận văn sử dụng phƣơng pháp nghiên cứu sau: 8.1 Phương pháp nghiên cứu dựa tài liệu - Nghiên cứu lý thuyết có phát triển tƣ qua tài liệu nƣớc liên quan đến đề tài - Nghiên cứu tài liệu liên quan đến nội dung chƣơng “Phép nhân phép chia đa thức” lớp THCS, chƣơng trình sách giáo khoa, sách tham khảo, mục tiêu dạy học, phƣơng pháp dạy học phục vụ chuyên môn giảng dạy nội dung 8.2 Phương pháp điều tra, quan sát - Dự trao đổi với đồng nghiệp chuyên môn trƣờng thực nghiệm - Quan sát hoạt động GV HS số dạy để rút nhận xét phát triển tƣ thông qua dạy học chƣơng “Phép nhân phép chia đa thức” lớp THCS - Điều tra hoạt động dạy GV, hoạt động học HS trao đổi, hỏi, vấn nhằm đánh giá hiệu việc vận dụng biện pháp KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ Kết luận Qua trình nghiên cứu, luận văn thu đƣợc kết sau: Luận văn trình bày khái niệm tính chất vấn đề tƣ duy, thao tác tƣ duy, hình thức tƣ thƣờng gặp Tốn học Lí luận cho thấy việc phát triển tƣ cho học sinh nhà trƣờng phổ thơng có vị trí quan trọng mục tiêu giáo dục phổ thông, đặc biệt giai đoạn đổi phƣơng pháp dạy học Xây dựng đƣợc hệ thống gồm 76 tốn có tiềm bồi dƣỡng phát triển tƣ cho học sinh, đƣợc số phƣơng thức khai thác toán nhằm phát triển tƣ cho học sinh Từ kết nghiên cứu trên, luận văn đề xuất, xây dựng số biện pháp tổ chức thực hành để phát triển tƣ choHS dạy học chƣơng “Phép nhân phép chia đa thức” lớp THCS, biện pháp nêu rõ cách thức thực hành kèm theo ví dụ minh hoạ Thiết kế giảng chuyên đề liên quan đến nội dung chƣơng “ Phép nhân phép chia đa thức” vận dụng biện pháp Các tiết chuyên đề vận dụng biện pháp đề xuất luận văn nhằm rèn luyện cho học sinh thao tác tƣ duy: phân tích , tổng hợp, so sánh ,tƣơng tự hóa, khái quát hóa… Qua phát triển tƣ cho học sinh Luận văn trƣớc hết có ý nghĩa tác giả, nội dung quan trọng chƣơng trình dạy Mong luận văn đóng góp phần nhỏ bé công đổi phƣơng pháp dạy học nhằm nâng cao chất lƣợng giáo dục, đồng thời tài liệu tham khảo cho đồng nghiệp Luận văn thể việc thực nghiệm sƣ phạm vấn đề với đối tƣợng HS đại trà (gồm HS trung bình, khá, giỏi) cho thấy kết tƣơng đối khả quan Qua kết kiểm tra, tập nhóm, qua dự giờ, quan sát, vấn cho thấy cách dạy học nhƣ đợt thực 119 nghiệm bƣớc đầu giúp HS mạnh dạn, tự tin trình bày quan điểm trƣớc nhóm, trƣớc lớp, tạo thói quen phân tích tốn, nhận dạng tốn, tạo thói quen lắng nghe, mạnh dạn nhận xét đánh giá lời giải toán, tập sáng tạo tốn Điều phản ánh chất lƣợng đề tài nghiên cứu Những kết thu đƣợc cho phép kết luận rằng: Giả thuyết khoa học luận văn chấp nhận đƣợc, mục đích nghiên cứu đƣợc thực hiện, nhiệm vụ luận văn hoàn thành Về thực chất, điều có nghĩa là: Xây dựng đƣợc hệ thống toán đề xuất đƣợc biện pháp tổ chức thực hành giảng dạy thích hợp dạy học chƣơng “Phép nhân phép chia đa thức” lớp THCS nhằm phát triển tƣ cho học sinh, từ góp phần nâng cao chất lƣợng dạy học nội dung Do điều kiện thời gian, luận văn hạn chế nhƣ: Chƣa xây dựng đƣợc hết giảng chuyên đề nội dung: Tính chia hết đa thức, ứng dụng đẳng thức, ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử Đó vấn đề cần tiếp tục hồn thiện Khuyến nghị Sau nghiên cứu lí luận tổng kết thực nghiệm sƣ phạm, chúng tơi có số đề xuất sau đây: - Với đối tƣợng HS cấp THCS, khối lƣợng kiến thƣc toán học đƣợc tiếp cận cịn nên khoảng cách chênh lệch kiến thức HS giỏi HS trung bình chƣa nhiều Việc rèn luyện cho HS đại trà thao tác tƣ duy: phân tích, tổng hợp, so sánh, tƣơng tự hóa cần thiết hồn tồn thực đƣợc Các tiết tăng cƣờng, tự chọn thời gian thuận lợi để GV có nhiều hội rèn luyện cho HS thao tác này, qua phát triển tƣ cho học sinh - Với đối tƣợng HS giỏi toán cấp THCS ta hồn tồn rèn luyện cho học sinh nghiên cứu kỹ lời giải toán để khai thác, phát triển toán tƣơng tự toán mới, qua phát triển tƣ sáng tạo cho học sinh 120 - Các GV áp dụng biện pháp đề xuất luận văn tuỳ thuộc vào đối tƣợng HS cụ thể để thiết kế giảng phù hợp - Tác giả luận văn soạn đƣợc hai chuyên đề giảng hay ứng dụng kiến thức học chƣơng “Phép nhân phép chia đa thức” biện pháp sƣ phạm đề xuất vào giảng dạy hai nội dung quan trọng chƣơng trình tốn THCS là: Bất đẳng thức hệ phƣơng trình nhƣng chƣa có thời gian thực nghiệm, nên hƣớng nghiên cứu tiếp tục nghiên cứu để hoàn thiện 121 TÀI LIỆU THAM KHẢO Vũ Hữu Bình, Nâng cao phát triển tốn (2 tập) Nhà xuất Giáo dục 2007 Phan Đức Chính (Tổng chủ biên), Toán Nhà xuất giáo dục Việt Nam, 2009 Đảng Cộng sản Việt Nam, Văn kiện Hội nghị lần thứ Ban Chấp hành Trung ương Khóa VIII, Nxb Chính trị quốc gia, Hà Nội, 1997 Đảng Cộng sản Việt Nam, Văn kiện Đại hội Đại biểu toàn quốc lần thứ IX, Nhà xuất Chính trị quốc gia, Hà Nội, 2001 Đảng Cộng sản Việt Nam, Văn kiện Đại hội Đại biểu toàn quốc lần thứ XI, Nguồn Website , Hà Nội, 2011 Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Gia Cốc, Trần Thúc Trình Giáo dục học mơn tốn Nhà xuất Giáo dục,1987 Nguyễn Thu Hƣơng, Phát triển tư cho học sinh thông qua dạy học chương “Tứ giác” lớp trung học sở , luận văn thạc sĩ, trƣờng ĐH Giáo dục, ĐHQG Hà Nội ( 2010) Nguyễn Bá Kim Phương pháp dạy học mơn Tốn Nhà xuất Đại học Sƣ phạm, 2009 Nguyễn Bá Kim, Về định hướng đổi phương pháp dạy học, NCGD số 332 - 1999 10 Nguyễn Bá Kim, Vƣơng Dƣơng Minh, Tơn Thân, Khuyến khích số hoạt động trí tuệ học sinh qua mơn Tốn trường THCS Nhà xuất Giáo dục Hà Nội, 2006 11 Luật giáo dục, Nhà xuất Chính trị quốc gia, Hà Nội, 2005 12 Phan Thị Luyến, Rèn luyện tư phê phán học sinh trung học phổ thơng qua dạy học chủ đề Phương trình Bất phương trình Luận án Tiến sĩ Giáo dục học, Hà Nội , 2008 122 13 Nguyễn Vũ Lƣơng, Phạm Văn Quốc, Phạm Văn Hùng, Đỗ Thanh Sơn, Nguyễn Thị Thùy Linh, Trần Quang Hùng, Một số giảng đề thi mơn tốn Nhà xuất Đại học quốc gia, Hà Nội, 2009 14 Nguyễn Vũ Lƣơng, Phạm Văn Hùng, Nguyễn Ngọc Thắng ,Hệ phương trình phương trình chứa Nhà xuất Đại học quốc gia, Hà Nội,2008 15 Bùi Văn Nghị, Vận dụng lí luận vào thực tiễn dạy học mơn Tốn trường phổ thơng Nhà xuất Đại học Sƣ phạm, 2009 16 Nguyễn Văn Nho, Phương pháp giải dạng toán (2 tập) NXB giáo dục,2004 17 Võ Ngọc Phan, “Học biết mƣời”, Tạp chí Tốn tuổi thơ 2, số tháng năm 2003, tr.2-3 18 Hoàng Phê , Từ điển Tiếng Việt Nhà xuất Khoa học Xã hội, Hà Nội, 1988 19 Phan Thị Hƣơng Thảo Rèn luyện tư sáng tạo dạy hình học khơng gian Luận văn thạc sĩ , trƣờng ĐHSP Thái Nguyên ,2007 20 Tơn Thân, Vũ Hữu Bình , Vũ Quốc Lƣơng, Bùi Văn Tuyên Ôn kiến thức-luyện kỹ NXB Giáo dục,2008 21 Trần Thúc Trình , Tư hoạt động học toán (Đề cương giảng cho học viên cao học PPGĐ Toán) Viện KHGD, Hà Nội, 1998 22 Bùi Văn Tuyên, Bài tập nâng cao số chuyên đề toán 8, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam,2011 23 Tơn Thân, Bài tập Tốn (2 tập) Nhà xuất Giáo dục việt nam, 2009 24 Trần Vui, Nâng cao chất lƣợng dạy học toán theo xu hƣớng Giáo trình sau đại học – Đại học Sƣ phạm Huế, 2005 25 J.Mason , Tư toán học, Dự án Việt Bỉ 26 G.Polya , Toán học suy luận có lí Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội, 1995 27 G.Polya , Giải toán Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội,1997 123 28 Polya G, Sáng tạo toán học Nhà xuất Giáo dục, 1997 29 Iu M Kôliagin , Phương pháp giảng dạy tốn trường phổ thơng Nguồn Website, 1975 30 Piaget J Tâm lý học Giáo dục học Nhà xuất Giáo dục, 1999 31 V.A.KơRutecxki , Tâm lý lực toán học học sinh Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội,1973 124 PHỤ LỤC Bài tập chuyên đề học sinh: Nguyễn Bá Yến Anh, lớp 8C trƣờng THCS Lƣơng Chí, Tĩnh Gia, Thanh Hóa ỨNG DỤNG CỦA PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ Bài tốn giải phƣơng trình: a) Phương pháp giải: Đối với phƣơng trình bậc cao từ bậc hai trở lên việc áp dụng phƣơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử quan trọng Vì sau phân tích vế chứa ẩn đƣợc dạng phƣơng trình tích A.B = A = B = Khi đa thức A B có số mũ nhỏ nên giúp em giải phƣơng trình đƣợc dễ dàng b) Ví dụ: Ví dụ 1: Giải phương trình : x3 + 9x2 + 11x - 21=0 (1) Đây phƣơng trình bậc chƣa đƣợc học cách giải Cũng từ suy nghĩ phân tích VT phƣơng trình thành nhân tử đƣợc phƣơng trình coi nhƣ giải xong Nhận xét : Phƣơng trình (1 )thuộc dạng ax + bx + cx + d = có a + b + c + d = Để phân tích VT thành nhân tử ta làm nhƣ sau : Tách thành hạng tử thứ hai trở thành hai hạng tử , cho hạng tử đầu có hệ số đối hạng tử liền trƣớc Từ ta phân tích đƣợc đa thức VT phƣơng trình nhƣ sau: Bài giải: x3 + 9x + 11x – 21 = x – x + 10x – 10x + 21x – 21 = x 2(x – 1) + 10x(x – 1) + 21(x – 1) 125 = (x – 1).(x + 10x + 21) = (x – 1)(x + 7)(x + 3) Vậy phƣơng trình (1) trở thành phƣơng trình : (x – 1)(x + 7)(x + 3) = Suy ra: x – = x + = x + = Phƣơng trình có nghiệm là: x =1; x = – 7; x = – Ví dụ 2: Giải phương trình: ( 4x + 3)2 – 25 = Bài giải: Áp dụng phƣơng pháp phân tích đa thức vế trái thành nhân tử đƣa phƣơng trình dạng 8(2x – 1)( x+ 2) =   2x   x     x20    x  2  x = 1/2 x = – Ví dụ 3: Giải phương trình: 3x2 + 5x - = Bài giải: Áp dụng phƣơng pháp phân tích tam thức bậc vế trái thành nhân tử đƣa phƣơng trình dạng ( 3x – 1)( x + 2) =   3x   x     x20    x  2  x= x = – 126 Ví dụ 4: Giải phương trình (x  6)4  (x  8)4  16 Bài giải: Áp dụng phƣơng pháp phân tích đa thức vế trái thành nhân tử đƣa phƣơng trình dạng x  2x  x    ( x + 2)(x2 + 1) = Ta có : x2 +  x Bài tốn giải bất phƣơng trình a) Phương pháp giải: Để giải bất phƣơng trình bậc cao bất phƣơng trình có chứa ẩn mẫu việc không dễ chút Đối với bất phƣơng trình bậc cao ta nên phân tích vế có chứa ẩn thành nhân tử để đƣa bất phƣơng trình dạng bất phƣơng trình tích Đối với bất phƣơng trình có chứa ẩn mẫu ta nên phân tích tử mẫu thành nhân tử để rút gọn biểu thức sau giải bất phƣơng trình đơn giản ( A.B < 0) (A.B > 0) hay bất phƣơng trình thƣờng b) Ví dụ: Ví dụ 1: Giải bất phương trình x2 + x – 12 > (*) Bài giải: Ta thấy vế trái BPT đa thức bậc hai, ta phân tích x2 + x – 12 = x2 – 3x + 4x – 12 = (x – 3)( x + 4) việc giải BPT (*) đƣa giải BPT : (x – 3)( x + 4) >  x     x 3 x      x    x  4    x   Vậy x > x < – 127 Ví dụ 2: Giải bất phương trình 2x  10 0 x  7x  10 (**) Bài giải: Ta có : 2x + 10 = 2(x + 5); x2 + 7x + 10 = x2 + 2x + 5x + 10 = x(x + 2) + 5(x + 2) = (x + 2)(x + 5)  2x  10 2(x  5)   x  7x  10 (x  2)(x  5) x  Việc giải BPT (**) đƣa giải BPT  x    x  Vậy x < Ví dụ 3: Giải bất phương trình x  0 x 2 x 3 Bài giải: Ta có: x  0 x 2 x 3  2 0 (x  2)(x  3) Vì – <  ( x – 2)(x – 3) < x   x    x   x      2x3 x    x      x     x  Vậy < x < 128 Ví dụ 4: Giải bất phương trình 3x2 – 10x – > (4) Bài giải: Ta có : 3x2 – 10x – = 3x2 -12x + 2x – = (3x2 -12x) + (2x – 8) = 3x(x – 4) + 2( x – 4) = (x – 4)(3x + 2) Đến việc giải BPT (4) đƣa giải BPT sau:  ( 3x + 2)( x – 4) >   x     3x       x4  x     x      x   3x      x      x      x    Vậy x < – x > 3 Bài toán rút gọn biểu thức a) Phương pháp giải: Dựa sở tính chất phân thức đại số, phân tích tử mẫu thức thành nhân tử để xuất nhân tử chung rút gọn, đồng thời tìm tập xác định biểu thức thông qua nhân tử nằm dƣới mẫu Rèn luyện kỹ vận dụng phƣơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào loại toán rút gọn, giúp học sinh thấy đƣợc liên hệ chặt chẽ kiến thức phát triển trí thơng minh b) Ví dụ: x  y2  z  2xy Ví dụ 1: Rút gọn phân thức sau A  x  y2  z  2xz 129 Bài giải: Ta phân tích tử mẫu phân thức thành nhân tử: Tử: x  y2  z2  2xy = (x  2xy  y2 )  z = (x + y)2 - z2 = (x + y + z)(x + y – z) Mẫu: x  y2  z  2xz = (x  2xz  z )  y2 = (x + z)2 - y2 = (x + y + z)(x - y + z) x  y2  z  2xy (x + y + z)(x + y - z) (x + y - z) = = A x  y2  z  2xz (x + y + z)(x - y + z) (x - y + z) Vậy A = (x + y - z) (x - y + z) Ví dụ 2: Rút gọn phân thức sau : a  b3  c3  3abc B (a  b)  (b  c)  (c  a) Bài giải: Ta xét tử: a  b3  c3  3abc  (a  b)3  c3  3abc  3a b  3ab  (a  b  c) (a  b)  (a  b)c  c   3ab(a  b  c)  (a  b  c)(a  b  c  2ab  ac  bc  3ab)  (a  b  c)(a  b  c  ab  ac  bc) Mẫu: (a  b)2  (b  c)2  (c  a)2 = 2(a  b2  c2 )  2(ab  ac  bc) = 2(a  b2  c2  ab  ac  bc) a  b3  c3  3abc B = (a  b)  (b  c)  (c  a) (a  b  c)(a  b  c2  ab  ac  bc) 2(a  b  c2  ab  ac  bc) 130 Vậy B = abc Ví dụ 3: Rút gọn phân thức sau : x y  xy3  y3 z  yz3  z3 x  xz3 C x y  xy  y z  yz  z x  zx Bài giải: Phân tích tử: x y  xy3  y3z  yz3  z3x  xz3 = (x – y)(x – z)(y – z)(x + y+ z) Mẫu: x y  xy2  y2z  yz  z x  zx = (x - y)(x – z)(y – z) x y  xy3  y3 z  yz3  z3 x  xz3 (x- y)(x - z)(y - z)(x + y+ z) = C x y  xy  y z  yz  z x  zx (x -y)(x - z)(y - z) Vậy C = (x + y + z) Bài toán chứng minh chia hết a) Phương pháp giải: Ta phân tích đa thức cho thành tích xuất thừa số có dạng chia hết cho số cần chứng minh b) Ví dụ: Ví dụ 1: Chứng minh với số nguyên n (2n - 1)3 - ( 2n - 1) luôn chia hết cho Bài giải: Ta có: A = (2n – 1)3 – ( 2n – 1) = (2n – 1)[(2n – 1)2 – 1] = (2n – 1)(2n – + 1)(2n – – 1) = (2n – 1)2n (2n – 2) = 4n (n – 1)(2n – 1) Với số ngun n ta ln có : + Nếu n chẵn n M2  4n M8  A M8 131 + Nếu n lẽ (n – 1) M2  4(n – 1) M8  A M8  (2n – 1)3 – ( 2n – 1) luôn chia hết cho với n Ví dụ 2: Chứng minh  x  Z ta có biểu thức: P = ( 4x + 3) – 25 chia hết cho Bài giải: Phân tích P = ( 4x + 3) – 25 = (4x + – 25)(4x + + 25) = (4x – 22)(4x + 28) = 2(2x –11).4(x + 7) = (2x – 11)(x + 7) Ta có M8  P = 8( 2x – 11)( x + ) M8 Ví dụ 3: Chứng minh rằng:  n  Z biểu thức n n2 n3 số nguyên   Biến đổi biểu thức dạng 2n  3n  n Và chứng minh ( 2n + 3n2 + n3) chia hết cho Bài giải: Ta có: n n2 n3 2n  3n  n = ;   6 2n + 3n2 + n3 = n(2 + 3n + n2) = n( n + 1)( n + 2) Mà n(n + 1)(n +2) tích số ngun liên tiếp Vì có thừa số chia hết cho chia hết cho mà (2;3) = nên tích chia hết cho Vậy  n  Z biểu thức 132 n n2 n3 số nguyên   Ví dụ 4: Chứng minh với n  N, 45n  45n  45n 1 chia hết cho 45 Bài giải: Ta có : 45n  45n  45n 1 = 45(n  n  45n ) Ta có: 45 M M45  45(n  n  45n ) M45 Vậy 45n  45n  45n 1 chia hết cho 45 Kết luận: Trên dạng toán điển hình thƣờng áp dụng kỹ phân tích đa thức thành nhân tử để giải Ngoài dạng cịn có số tập khác nhƣ: tính nhẩm, tính giá trị biểu thức, giải hệ phƣơng trình …cũng vận dụng phƣơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử 133 ... GIẢNG DẠY CHƢƠNG “PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC” LỚP TRUNG HỌC CƠ SỞ CÓ TÁC DỤNG PHÁT TRIỂN TƢ DUY CHO HỌC SINH 23 2.1 Những để phát triển tƣ cho học sinh thông qua dạy học chƣơng... là: Phát triển tư cho học sinh thông qua dạy học chương ? ?Phép nhân phép chia đa thức? ?? lớp trung học sở Lịch sử nghiên cứu Gần có nhiều cơng trình nghiên cứu việc phát triển tƣ cho học sinh dạy học. .. cho học sinh thông qua dạy học chƣơng ? ?Phép nhân phép chia đa thức? ?? lớp trung học sở 2.1.1 Dạy tư Dạy học truyền thống nặng dạy kiến thức mà xem nhẹ dạy kĩ tƣ Dạy học đại quan tâm đến phát triển