TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC ĐẠI SỐ VẤN ĐỀ I.. Phân thức bằng nhau.[r]
(1)I PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
VẤN ĐỀ I Tìm điều kiện để phân thức có nghĩa Bài 1. Tìm điều kiện xác định phân thức:
a) x
−4
9x2−16 b)
2x −1
x2−4x+4 c)
x2−4 x2−1
d)
5x −3 2x2− x
e)
x x
x
2
1
f) x x
2 ( 1)( 3)
g) x x2 x
2
Bài 2. Tìm điều kiện xác định phân thức: a) x2 y2
1
b)
x y x
x x
2
2
c)
x y x2 x
5
6 10
d)
x y
x y
( 3) ( 2)
VẤN ĐỀ II Tìm điều kiện để phân thức 0 Bài 1. Tìm giá trị biến số x để phân thức sau không:
a) x x 10
b)
x x x
2
c) x x
d)
x x
x2 x ( 1)( 2)
4
e)
x x
x2 x ( 1)( 2)
4
f)
x
x x
2
1
Bài 2. Tìm giá trị biến số x để phân thức sau không: a)
x
x x
2
4 10
b)
x x
x x x
3
3
16
3
c)
x x x
x x
3
1
VẤN ĐỀ III Chứng minh phân thức có nghĩa Bài 1. Chứng minh phân thức sau ln có nghĩa:
a) x2
1
b)
x
x
3 ( 1)
c)
x x2 x
5
d) x
x x
2
4
e)
x x2 x
5
Bài 2. Chứng minh phân thức sau ln có nghĩa:
(2)a)
x y x2 2y2
b) x2 y2 x
4
2
II TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN THỨC ĐẠI SỐ VẤN ĐỀ I Phân thức nhau
Bài 1. Chứng minh đẳng thức sau: a)
y xy x x
3 ( 0)
4 8 b)
x x y
y y
2
3 ( 0)
2
c)
x y x y
y x
2( ) 2 ( )
3( )
d)
xy xy a y
a ay
2
2 ( 0, 0)
3 12 e)
x x y
y y
1 1 ( 2)
2
f)
a a b
b b
2 2 ( 0)
5
Bài 2. Chứng minh đẳng thức sau: a)
x x x
x x x x
3
2 ( 0)
( 4)
b)
x x(x y x y
x y y2 x2
3 3 ) ( )
c)
x y a x y a x y
a a x y
2
3 ( ) ( 0, )
3 9 ( )
Bài 3. Với giá trị x hai phân thức sau nhau: a)
x x2 x
2
x
1
Bài 4. Cho hai phân thức A B Hãy xét chúng trường hợp sau: i) x N ii) x Z iii) x Q
a)
x x
A
x (2 1)( 2)
3(2 1)
,
x
B
3
Bài 5. Cho ba phân thức A, B C Hãy xét chúng trường hợp sau: i) x N ii) x Z iii) x Q
a) x
A
5
,
x x
B
x ( 1)( 2)
5( 2)
,
x x
C
x ( 1)(3 2)
5(3 2)
VẤN ĐỀ II Rút gọn phân thức Bài 1. Rút gọn phân thức sau:
a) x
10 b) xy yy
4 ( 0)
2 c) x y xyxy
2
21 ( 0)
6
d)
x y 2
4
e)
x y x y x y
5 5 ( )
3
f) x x y x yy x
15 ( ) ( ) 3( )
Bài 2. Rút gọn phân thức sau: a)
x x x
x x
2
16 ( 0, 4)
b)
x x x
x 4
3 ( 3)
c)
x x y y x y y x y
3
15 ( ) ( ( ) 0) ( )
(3)d)
x y y x x y
x y
5( ) 3( ) ( ) 10( )
e)
x y x y x y
x y x y
2 5 ( )
2 5
f)
x xy x y y xy y
2
2 ( , 0)
3
g)
ax ax a b x
b bx
2
2 2 ( 0, 1)
5
h)
x xy x x y
x x y
3
4 ( 0, )
5
i)
x y z x y z
x y z 2
( ) ( 0)
k)
x x y y x x y
x xy
6 3
7
2 ( 0, )
Bài 3. Rút gọn, tính giá trị phân thức sau: a)
x x x
A
x x x
2
3
(2 )( 2) ( )( 1)
với x
1
b)
x x y xy B
x y
3 2
3
với x5,y10
Bài 4. Rút gọn phân thức sau: a)
a b c
a b c 2 ( )
b)
a b c ab
a b c ac
2 2
2 2
2
c)
x x x
x x x
3
3
2 12 45
3 19 33
Bài 5. Rút gọn phân thức sau:
a)
a b c abc
a b c ab bc ca
3 3
2 2
3
b)
x y z xyz
x y y z z x
3 3
2 2
3
( ) ( ) ( )
c)
x y z xyz
x y y z z x
3 3
2 2
3
( ) ( ) ( )
d)
a b c b c a c a b
a b c b c a c a b
2 2
4 2 2 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
e)
a b c b c a c a b ab ac b bc
2 2
2
( ) ( ) ( )
f)
x x x x
x x x x
24 20 16
26 24 22
Bài 6. Tìm giá trị biến x để: a)
P
x2 x
đạt giá trị lớn nhất ĐS: P khi x
1
max
5
b)
x x Q
x x
2
1
đạt giá trị nhỏ nhất ĐS: Q khi x
3
min
4
Bài 7. Chứng minh phân thức sau không phụ thuộc vào x y:
a)
x a a a x
x a a a x
2 2
2 2
( )(1 )
( )(1 )
b)
xy x y x x y
y x
2
3 2 1 , 1
1 3
c)
ax a axy ax ay a x y
x y
2
( 1, 1)
1
d)
x a x
x a 2
( )
2
e)
x y x y ay ax
2
( )( )
f)
ax x y ay
ax x y ay
2 3
4
(4)III CÁC PHÉP TOÁN VỀ PHÂN THỨC VẤN ĐỀ I Qui đồng mẫu thức nhiều phân thức
Bài 1. Tìm điều kiện để phân thức sau có nghĩa tìm mẫu thức chung chúng: a)
x xy,
16 20 b) x y
1 ,
4 c) xy y8 15,
d)
x y y, x
2 e) xy yz xz8 12 24, , f)
xy yz zx z, x, y Bài 2. Tìm điều kiện để phân thức sau có nghĩa tìm mẫu thức chung chúng:
a) x
2 4, x
3 9, x
50 25 b)
x a 2 ,
y a 2 ,
z a2 4 c)
a b2
, x a b 2 ,
y a2 b2 d) x
3 6,
x x2 x
2
e) x2 x
1
, x2 x
2
f)
x x
1
, x21
Bài 3. Qui đồng mẫu thức phân thức sau: a)
x x2 x 7 15,
x x2 x
2 10
, x
1
b) x2 x
1
, x2 x
1
, x2 x
1
c) x3
1
,
x x2 x
1
,
x
x d)
x
x2 2xy y 2 z2,
y
x22yz y 2 z2 ,
z
x2 2xz y 2z2
VẤN ĐỀ II Thực phép toán phân thức Bài 1. Thực phép tính:
a)
x x
5
b)
x y 2y
8
c)
x x x
xy xy
2 1 4
d)
xy x y xy x y
xy xy
2 2
5
3
e)
x x x
a b a b a b
1
f) 3
5 4
2
xy y xy y
x y x y
g)
x xy xy y y x
x y y x x y
2 2
2
(5)a)
x x
2
10 15
b)
x x x
3 2
10 15 20
c)
x x
x x
2
1
2 2 2
d)
1−2x 2x +
2x 2x −1+
1
2x −4x2 e)
x x y
xy y2 xy x2
f)
x
x x
x x
2
6
6
4
g)
x xy y x x y
xy y x
2
2 10
2
h)
x x y x y x2 y2
2 3
i)
x y x y
x y 2
Bài 3. Thực phép tính:
a) 2 2
2
2
x y
x xyxy y x y b)
xy x y
x y y x3 x2 xy y2
1
c)
x y x x y
x2 xy y2 x2 x2 xy
2 16
2
d) x x x2 x4 x8 x16
1 16
1 1 1 1 1 1
Bài 4. Thực phép tính: a)
x x
1 3
2
b)
x y x y y
x x
2 2( )( ) 2
c)
x x
x y x y
3 1
d)
xy x
x y y x
2 1
2
e) 2
4
3
x x
x y x y
Bài 5. Thực phép tính: a)
x x
4
2
b)
x x
x x x2 x
3
3 3
c)
x
x2 x2 x
3
1
d)
x
x x x2
1 10
3 9 4
e)
x
x x2 x x2
3 2
2
f)
x x
x y x y
3
5 5 10 10 g)
a a a
a
a a a
2
3
4
1
1
h)
x y x y
xy y
2
5
i)
x y y
x2 y2 x2 xy
9
9
k)
3x+2
x2−2x+1−
6 x2−1−
3x −2
x2+2x+1 l)
3
2 6
x
x x x
m)
x x
x
4
2
1
1
n) a a a2 a3
5 10 15
1 ( 1) 1
Bài 6. Thực phép tính: a)
x x y 6.
b)
x xy y
2 2
c)
2 15
(6)
d)
x y
x y x
3 .
5
e)
5 10
4
x x
x x
f)
2 36 3 10 x
x x
g)
x y xy
x y x y
2
2 .
2
h)
x y x y
xy y x
2 2
3 . 15
5 2
i)
a b a b
a b a ab b
3
2
2 . 6
3 2
Bài 7. Thực phép tính: a)
x x2 :
3 b)
x y x y2 18 16 :
5
c)
x y3 xy2 25 :15
3 d)
x y x y
xy x y
2 2 : 3
e)
a ab a b
b a a b
2
2
:
2
f)
x y x xy
y x x y
2 2 : 3 g) 2
1 4 :
4
x x
x x x
h)
5x −15 4x+4 :
x −9 x2
+2x+1 i)
6x+48
7x −7 :
x2−64 x2−2x+1
k) 4x −24 5x+5 :
x2−36
x2+2x+1 l)
3x+21
5x+5 :
x2−49
x2+2x+1 m)
1+x¿2 ¿ ¿
3−3x
¿
Bài 8. Thực phép tính: a)
1
: x x
x x x x b) (1−3x3x+ 2x
3x+1):
6x2
+10x
1−6x+9x2
c) ( x3−9x+
1 x+3):(
x −3 x2+3x−
x
3x+9) d)
1
: :
2
x x x
x x x
Bài 9. Rút gọn biểu thức sau:
a) x y x y 1 1 b) x x x x x x x x 1 1 c) x x x 1 d) x x x 2 1 1 e) x y y x x y x y x y x y
f)
a x x
a a x
a x x
a a x
Bài 10.Tìm giá trị nguyên biến số x để biểu thức cho có giá trị nguyên: a)
x x x 2
1
b)
x x
x
3 2 4
c)
x x x
x
2 2
2
d)
x x x
x
3
3 11
3
e)
x
x x x x
4
4
16
4 16 16
Bài 11 * Phân tích phân thức sau thành tổng phân thức mà mẫu thức nhị thức bậc nhất:
a) x x2 x
2
b)
x x
x x x
2 2 6 ( 1)( 2)( 4)
c)
x x
x x x
2
3 12
( 1)( 2)
(7)Bài 12 * Tìm số A, B, C để có: a)
x x A B C
x
x x x
2
3
2
1 ( 1) ( 1) ( 1)
b)
x x A Bx C
x
x x x
2
2
2
1
( 1)( 1)
Bài 13 * Tính tổng: a)
a b c
A
a b a c b a b c c a c b
( )( ) ( )( ) ( )( )
b)
a b c
B
a b a c b a b c c a c b
2 2
( )( ) ( )( ) ( )( )
Bài 14 * Tính tổng: a)
A
n n
1 1
1.2 2.3 3.4 ( 1)
HD: k k k k
1 1
( 1) 1 b)
B
n n n
1 1
1.2.3 2.3.4 3.4.5 ( 1)( 2)
HD: k k k k k k
1 1 1
( 1)( 2) 2
Bài 15 * Chứng minh với m N , ta có:
a) m m m m
4 1
4 2 1 ( 1)(2 1)
b) m m m m m m
4 1
4 3 2 ( 1)( 2) ( 1)(4 3)
c) m m m m m m
4 1
8 5 2( 1) 2( 1)(3 2) 2(3 2)(8 5)
d) m m m m m
4 1
3 2 1 3 2 ( 1)(3 2)
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG II Bài 1. Thực phép tính:
a) x2 x2 x2 x
8
1
( 3)( 1) 3 b)
x y x y y
x y x y x y
2 2
2
2( ) 2( )
c)
x x
x3 x3 x2 x3 x2 x
1
2
d)
xy x a y a x b y b
ab a a b b a b
( )( ) ( )( )
( ) ( )
e)
x x
x x x x
3 1 1
1 1 1
f)
x x x
x x
x
2
2 20
2
4
(8)g)
x y x y x y xy
x y x y xy x y
2
2
2
h) a b b c b c c a c a a b
1 1
( )( ) ( )( ) ( )( )
i)
a b c a b c
a b c a c ac b
2
2 2
( ) ( )
( )( )
k)
x y x y x y
xy x y y x x
2 1 2
:
Bài 2. Rút gọn phân thức:
a)
x x
x
2
25 20
25
b)
x xy y
x y
2
3
5 10
3
c)
x
x x x
2
1
d)
x x x
x
4
4 16
e)
x x x x
x
4
2
4 20 13 30
(4 1)
Bài 3. Rút gọn tính giá trị biểu thức: a)
a b c ab
a b c ac
2 2
2 2
2
với a4,b5,c6 b)
x xy
x xy
2 16 40
8 24
với
x y
10
c)
x xy y x xy y
x y x y
x x y
x y
2 2
2
với x9,y10
Bài 4. Biểu diễn phân thức sau dạng tổng đa thức phân thức với bậc tử thức nhỏ bậc chủa mẫu thức:
a) x x 2
3
b)
x x 2
1
c)
x x x x
x
4
2
4
1
d)
x x x
x
5 2 3
1
Bài 5. Tìm giá trị nguyên x để biểu thức sau có giá trị nguyên: a) x
1
b) x
1
c)
x x x 2
1
d)
x x
x
3 2 4
Bài 6. Cho biểu thức:
x x
P
x x
2
3
( 1)(2 6)
.
a) Tìm điều kiện xác định P b) Tìm giá trị x để P1.
Bài 7. Cho biểu thức:
x P
x x2 x x
2
3 6
a) Tìm điều kiện xác định P b) Rút gọn biểu thức P
c) Tìm x để P
d) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức P có giá trị nguyên e) Tính giá trị biểu thức P x2–9 0 .
Bài 8. Cho biểu thức:
a a
P
a a a
2
2
( 3) 1 18
2
.
a) Tìm điều kiện xác định P b) Rút gọn biểu thức P
(9)Bài 9. Cho biểu thức:
x x
P
x x
2 2 2 2
.
a) Tìm điều kiện xác định P b) Rút gọn biểu thức P
c) Tìm giá trị x để P
Bài 10.Cho biểu thức:
x x x x
P
x x x x
2 2 5 50 5
2 10 ( 5)
.
a) Tìm điều kiện xác định P b) Tìm giá trị x để P = 1; P = –3 Bài 11.Cho biểu thức:
x P
x x x x
2
2 (2 3)(2 3)
.
a) Tìm điều kiện xác định P b) Rút gọn biểu thức P
c) Tìm giá trị x để P = –1 Bài 12.Cho biểu thức:
x P
x x x x
1 2 10
5 ( 5)( 5)
.
a) Tìm điều kiện xác định P b) Rút gọn biểu thức P
c) Cho P = –3 Tính giá trị biểu thức Q9 – 42x2 x49 Bài 13.Cho biểu thức:
P
x x x2
3 18
3 3 9
.
a) Tìm điều kiện xác định P b) Rút gọn biểu thức P
c) Tìm giá trị x để P =
Bài 14.Cho biểu thức:
x x x
P
x x x x
2
2 10 50
5 25 5
.
a) Tìm điều kiện xác định P b) Rút gọn biểu thức P
c) Tìm giá trị x để P = –4
Bài 15.Cho biểu thức:
x x
P
x
3
3 12
8
a) Tìm điều kiện xác định P b) Rút gọn biểu thức P
c) Tính giá trị P với x
4001 2000
Bài 16.Cho biểu thức:
x x x x
P
x x x x x
2
3
1 . :
1 1 2 1
.
a) Tìm điều kiện xác định P b) Rút gọn biểu thức P
c) Tính giá trị P x
Bài 17.Cho biểu thức:
x x x x
P
x x x x
2 2 5 50 5
2 10 ( 5)
(10)a) Tìm điều kiện xác định P b) Rút gọn biểu thức P
c) Tìm giá trị x để P = 0; P = 4. d) Tìm giá trị x để P > 0; P <
Bài 18.Cho biểu thức:
x x x
P
x x x
2
1 3 4.
2 1 2
.
a) Tìm điều kiện xác định P
b) CMR: giá trị biểu thức xác định khơng phụ thuộc vào giá trị biến x?
Bài 19.Cho biểu thức:
x x x
P
x x x
2
2 2
5 . 100
10 10
.
a) Tìm điều kiện xác định P b) Rút gọn biểu thức P
c) Tính giá trị P x = 20040
Bài 20.Cho biểu thức:
x x
P
x x
2
10 25
.
a) Tìm điều kiện xác định P b) Tìm giá trị x để P = 0; P
5