Đang tải... (xem toàn văn)
a) Chứng minh rằng đường thẳng EF luôn luôn đi qua một điểm cố định.. Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ACD. Cho tứ diện ABCD. Cho tứ diện ABCD. Cho tứ diện ABCD. Trên cạ[r]
(1)1 Hai đường thẳng song song a) Định nghĩa:
a b P
a b a b, ( )
b) Tính chaát
( ) ( ) ( )
( ) ( ) , ,
( ) ( ) ( ) ( )
P Q R
P Q a a b c đồng qui
P R b a b c
Q R c
( ) ( )
( )PP a QQ,( )d b d a bd a d b( ) a b ,
a b a b
a c b c
2 Đường thẳng mặt phẳng song song
a) Định nghóa: d // (P) d (P) = b) Tính chất
( ), ' ( ) ( )
'
d P d P d P
d d ( )
( )dQ Pd Q,( ) ( )P a d a ( ) ( )
( )PP a Q,( )Q da d a
3 Hai mặt phẳng song song a) Định nghóa:
(P) // (Q) (P) (Q) = b) Tính chaát
( ) ,
( ) ( ) ( ), ( )
P a b
a b M P Q
a Q b Q
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P Q
P R P Q
Q R ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Q R
P Q a a b
P R b
4 Chứng minh quan hệ song song
a) Chứng minh hai đường thẳng song song Có thể sử dụng cách sau:
Chứng minh đường thẳng đồng phẳng, áp dụng phương pháp chứng minh song song trong hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lí Talét đảo, …)
Chứng minh đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba. Áp dụng định lí giao tuyến song song.
b) Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
Để chứng minh d ( )P , ta chứng minh d không nằm (P) song song với đường thẳng d nằm (P).
c) Chứng minh hai mặt phẳng song song
Chứng minh mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt song song với hai đường thẳng mặt phẳng kia.
CHƯƠNG 0
ƠN TẬP HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 11 I
(2)1 Hai đường thẳng vng góc
a) Định nghóa: a b a b, 900 b) Tính chất
Giả sử u VTCP a, v VTCP b Khi a b u v . 0
b c a b
a c
2 Đường thẳng mặt phẳng vng góc
a) Định nghóa: d (P) d a, a (P) b) Tính chất
Điều kiện để đường thẳng mặt phẳng:
, ( ), ( )
,
a b P a b O d P
d a d b
a b P b
P a ( )
( )
a b a b
a ( ),P b ( )P
P Q a Q
a P ( ) ( ) ( ) ( )
P Q P Q
P a Q a
( ) ( ) ( ) ) ( ) ,( )
a P b a
b ( )( )P
a P a P
a b P( ),( ) b )
Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng mặt phẳng vng góc với đoạn thẳng trung điểm nó.
Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng tập hợp điểm cách hai đầu mút đoạn thẳng đó.
Định lí ba đường vng góc
Cho a ( ),P b( )P , a hình chiếu a (P) Khi b a b a
3 Hai mặt phẳng vuông góc
a) Định nghóa: (P) (Q)
( ),( )P Q 900 b) Tính chất
Điều kiện để hai mặt phẳng vng góc với nhau:
( ) ( ) ( )
( )
P a P Q
a Q ( ) ( ),( ) ( ) ( ) ( ),
P Q P Q c a Q
a P a c
( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) P Q
A P a P
a A a Q
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
P Q a
P R a R
Q R 4 Chứng minh quan hệ vng góc
a) Chứng minh hai đường thẳng vng góc
Để chứng minh d a , ta sử dụng cách sau: Chứng minh góc a d 900.
Chứng minh vectơ phương a d vng góc với nhau. Chứng minh d b mà b a .
II
(3) Chứng minh d vng góc với (P) (P) chứa a. Sử dụng định lí ba đường vng góc.
Sử dụng tính chất hình học phẳng (như định lí Pi–ta–go, …). b) Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng
Để chứng minh d (P), ta chứng minh cách sau: Chứng minh d vng góc với hai đường thẳng a, b cắt nằm (P). Chứng minh d vng góc với (Q) (Q) // (P).
Chứng minh d // a a (P).
Chứng minh d (Q) với (Q) (P) d vng góc với giao tuyến c (P) (Q). Chứng minh d = (Q) (R) với (Q) (P) (R) (P).
c) Chứng minh hai mặt phẳng vng góc
Để chứng minh (P) (Q), ta chứng minh cách sau: Chứng minh (P) có đường thẳng a mà a (Q).
Chứng minh
( ),( )P Q 900
1 Goùc
a) Góc hai đường thẳng: a//a', b//b' a b, a b', ' Chú ý: 00
a b, 900
b) Góc đường thẳng với mặt phẳng: Nếu d (P)
d P,( ) = 900. Nếu d ( )P
d P,( ) = d d, '
với d hình chiếu d (P). Chú ý: 00
d P,( ) 900 c) Góc hai mặt phẳng
( ) ( ),( ) ,
( )
a P P Q a b
b Q
Giả sử (P) (Q) = c Từ I c, dựng
( ), ( ),
a P a c
b Q b c
( ),( )P Q a b, Chú ý: 00( ),( )P Q 900
d) Diện tích hình chiếu đa giác
Gọi S diện tích đa giác (H) (P), S diện tích hình chiếu (H) (H) (Q), =
( ),( )P Q Khi đó: S = S.cos
2 Khoảng cách
a) Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) độ dài đoạn vng góc vẽ từ điểm đến đường thẳng (mặt phẳng).
b) Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm bất kì đường thẳng đến mặt phẳng.
c) Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng kia.
d) Khoảng cách hai đường thẳng chéo bằng: Độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng đó.
Khoảng cách hai đường thẳng với mặt phẳng chứa đường thẳng song
(4)song với đường thẳng thứ nhất.
(5)1 Hệ thức lượng tam giác
a) Cho ABC vng A, có đường cao AH.
AB2AC2 BC2 AB2BC BH AC. , BC CH. 2
1 1 1
AH AB AC
AB BC sinC BC cosB AC tanC AC cotB
b) Cho ABC có độ dài ba cạnh là: a, b, c; độ dài trung tuyến ma, mb, mc; bán kính đường trịn ngoại tiếp R; bán kính đường tròn nội tiếp r; nửa chu vi p
Định lí hàm số cosin:
2 2 2 2 2
2 2 2
a =b c –2bc cosA; b. c a ca.cos ;B c a b ab.cosC Định lí hàm số sin:
R C c B b A a 2 sin sin
sin
Công thức độ dài trung tuyến:
2 2 2 2 2
2 2
2 4 2 4 2 4
a b c a b c a b c a b c
m ;m ;m
2 Các công thức tính diện tích a) Tam giác:
a b c
h c h b h a S . 2 1 . 2 1 . 2 1 C ab B ca A bc S sin 2 1 sin . 2 1 sin 2 1 R abc S 4
S pr S p p a p b p c ABC vuông A: 2S AB AC BC AH
ABC đều, cạnh a:
2 3
4
a S
b) Hình vuông: S = a2 (a: cạnh hình vuông)
c) Hình chữ nhật: S = a.b (a, b: hai kích thước) d) Hình bình hành: S = đáy cao = AB AD sinBAD. .
e) Hình thoi:
1
2
S AB AD sinBAD . . AC BD. f) Hình thang: S 2a b.h
1
(a, b: hai đáy, h: chiều cao) g) Tứ giác có hai đường chéo vng góc:
1 2
S AC BD.
(6)1 Thể tích khối hộp chữ nhật:
V abc với a, b, c ba kích thước khối hộp chữ nhật. 2 Thể tích khối chóp:
1 3 đáy
V S .h
với Sđáy diện tích đáy, h chiều cao khối chóp 3 Thể tích khối lăng trụ:
đáy V S .h
với Sđáy diện tích đáy, h chiều cao khối lăng trụ 4 Một số phương pháp tính thể tích khối đa diện
a) Tính thể tích cơng thức
Tính yếu tố cần thiết: độ dài cạnh, diện tích đáy, chiều cao, … Sử dụng cơng thức để tính thể tích.
b) Tính thể tích cách chia nhỏ
Ta chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện nhỏ mà dễ dàng tính thể tích của chúng Sau đó, cộng kết ta thể tích khối đa diện cần tính.
c) Tính thể tích cách bổ sung
Ta ghép thêm vào khối đa diện khối đa diện khác cho khối đa diện thêm vào và khối đa diện tạo thành dễ tính thể tích.
d) Tính thể tích cơng thức tỉ số thể tích Ta vận dụng tính chất sau:
Cho ba tia Ox, Oy, Oz khơng đồng phẳng Với điểm A, A’ Ox; B, B' Oy; C, C' Oz, ta có:
OABC OA B C
V OA OB OC
V ' ' ' OA OB OC'. '. ' * Bổ sung
Diện tích xung quanh hình lăng trụ (hình chóp) tổng diện tích mặt bên
Diện tích tồn phần hình lăng trụ (hình chóp) tổng S xung quanh với diện tích các đáy.
CHƯƠNG I
(7)1 – Tìm giao tuyến mặt phẳng Phương pháp:
*Tìm hai điểm chung hai mặt phẳng
*Tìm đường thẳng a đường thẳng b cho a b = I, I điểm chung Cho điểm A, B, C, D không nằm mặt phẳng
a) Chứng minh hai đường thẳng AB CD chéo
b) Trên đoạn AB AD lấy điểm M N cho đường thẳng MN cắt đường thẳng BD I Hãy xét xem điểm I thuộc mặt phẳng ?Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (CMN) (BCD) Trong mp cho hai đường thẳng a b cắt O Gọi c đường thẳng cắt điểm I khác O
a) Xác định giao tuyến hai mặt phẳng (O,c)
b) Gọi M điểm c khác I.Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (M,a) (M,b) Chứng minh giao tuyến luôn nằm mặt phẳng cố định M di động c
3 Cho hai mặt phẳng cắt theo giao tuyến d Ta lấy hai điểm A, B thuộc mặt phẳng không thuộc d điểm O nằm Các đường thẳng OA, OB cắt A’ B’ Giả sử đường thẳng AB cắt d C
a) Chứng minh ba điểm O,A,B không thẳng hàng
b) Chứng minh ba điểm A’,B’,C thẳng hàng từ suy ba đường thẳng AB,A’B’ d đồng qui Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AB, AC, BD lấy điểm M, N, P cho MN không // BC, MP
khơng //AD Tìm giao tuyến sau:
a) (MNP) (ABC) b) (MNP) (ABD) c) (MNP) (BCD) d) (MNP) (ACD) Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AB, AC lấy điểm M, N cho MN không //BC, tam
giác BCD lấy điểm I Tìm giao tuyến sau:
a) (MNI) (ABC) b) (MNI) (BCD) c) (MNI) (ABD) d) (MNI) (ACD) Cho hình chóp S.ABCD có đáy khơng phải hình thang Tìm giao tuyến sau:
a) (SAC) (SBD) b) (SAB) (SCD) c) (SAD) (SBC) Cho tứ diện ABCD Trong tam giác ABC BCD lấy điểm M, N Tìm giao tuyến sau:
a) (BMN) (ACD) b) (CMN) (ABD) c) (DMN) (ABC)
8 Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AB lấy điểm I, tam giác BCD ACD lấy điểm J, K Tìm giao tuyến sau:
a) (ABJ) (ACD) b) (IJK) (ACD) c) (IJK) (ABD) d) (IJK) (ABC) Cho tứ diện ABCD.Gọi I,J trung điểm AD BC
a) Chứng minh IB JA đường thẳng chéo b) Tìm giao tuyến mặt phẳng (IBC) (JAD)
c) Gọi M điểm nằm đoạn AB; N điểm nằm đoạn AC Tìm giao tuyến mp (IBC) (DMN)
10 Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng điểm O nằm mặt phẳng (ABC) Gọi A’, B’, C’ điểm nằm đường thẳng OA, BO, OC Giả sử A’B’ AB = D , B’C’ BC = E , C’A’ CA = F Chứng minh điểm D, E, F thẳng hàng
11 Cho tứ diện ABCD Gọi I điểm nằm đường thẳng BD đoạn BD Trong mặt phẳng (ABD) ta vẽ đường thẳng qua I cắt hai đoạn AB AD K L Trong mặt phẳng (BCD) ta vẽ đường thẳng qua I cắt hai đoạn CB CD M N
a) Chứng minh điểm K, L, M, N thuộc mặt phẳng
b) Gọi O1= BN DM; O2 = BL DK J = LM KN Chứng minh ba điểm A, J, O1 thẳng hàng ba điểm C, J, O2 thẳng hàng
c) Giả sử hai đường thẳng KM LN cắt H Chứng minh điểm H nằm đường thẳng AC 12 Cho tứ diện ABCD Gọi A’, B’, C’, D’ trọng tâm tam giác BCD, CDA, DAB ABC
a) Chứng minh hai đường thẳng AA’ BB’ nằm mặt phẳng b) Gọi I giao điểm AA’ BB’ Chứng minh :
c) Chứng minh đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng qui
13 Cho tứ diện ABCD Hai điểm M, N nằm hai cạnh AB AC cho Một mặt phẳng (P) thay đổi luôn qua MN, cắt CD BD E F
(8)b) Tìm quĩ tích giao điểm I ME NF c) Tìm quĩ tích giao điểm J MF NE
14 Cho tứ diện ABCD Gọi G trọng tâm tam giác ACD Các điểm M, N, P thuộc đoạn thẳng AB, AC, AD cho = = = Gọi I = MN ∩ BC J = MP ∩ BD
a) Chứng minh đường thẳng MG, PI, NJ đồng phẳng
b) Gọi E F trung điểm CD NI; H = MG ∩ BE ;K = GF ∩ mp(BCD) Chứng minh điểm H, K, I, J thẳng hàng
2 – Tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng Phương pháp: để tìm giao điểm đường thẳng a mặt phẳng
Bước 1: Chọn mặt phẳng chứa a ( gọi mặt phẳng phụ) Bước 2: Tìm giao tuyến đường thẳng d
Bước 3: Gọi M giao điểm a với d M giao điểm a với
1. Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AC, BC, BD lấy điểm M, N, K Tìm giao điểm sau:
a) CD (MNK) b)AD (MNK)
2. Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AB, AC, BC lấy điểm M, N, P Tìm giao điểm sau:
a) MN (ADP) b) BC (DMN)
3. Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AB lấy điểm M, tam giác BCD lấy điểm N Tìm giao điểm sau:
a) BC (DMN) b) AC (DMN) c) MN (ACD)
4. Cho hình chóp S.ABCD Trong tứ giác ABCD lấy điểm O, tìm giao điểm AM với mp (SBC), (SCD)
5. Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AB, AC lấy điểm M, N; tam giác BCD lấy điểm P Tìm giao điểm sau:
a) MP (ACD) b) AD (MNP) c) BD (MNP)
6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy khơng phải hình thang Trên cạnh SC lấy điểm E a) Tìm giao điểm F đường thẳng SD với mặt phẳng (ABE)
b) Chứng minh đường thẳng AB, CD EF đồng qui
7. Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AB lấy điểm M Trong tam giác BCD ACD lấy điểm N, K Tìm giao tuyến sau:
a) CD (ABK) b) MK (BCD) c) CD (MNK) d) AD (MNK)
8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành tâm O Gọi M N trung điểm SA SC Gọi (P) mặt phẳng qua điểm M, N B
a) Tìm giao tuyến (P) ∩ (SAB) (P) ∩ (SBC)
b) Tìm giao điểm I đường thẳng SO với mặt phẳng (P) giao điểm K đường thẳng SD với mp (P) c) Xác định giao tuyến mặt phẳng (P) với mặt phẳng (SAD) mặt phẳng (SDC)
d) Xác định giao điểm E, F đường thẳng DA, DC với (P) Chứng minh E, B, F thẳng hàng
9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành Gọi M N trung điểm AB SC a) Xác định I = AN ∩ (SBD) J = MN ∩ (SBD) b) Tính tỉ số ;
10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang đáy lớn AB Gọi I J trung điểm SB SC a) Xác định giao tuyến (SAD) ∩ (SBC) b) Tìm giao điểm SD với mặt phẳng (AIJ) c) Dựng thiết diện hình chóp với mặt phẳng (AIJ)
11. Cho tứ diện ABCD Trong tam giác ABC BCD lấy điểm I, J Tìm giao điểm sau:
a) IJ (SBC) b) IJ (SAC)
12. Cho tứ diện ABCD Gọi M N trung điểm AC BC Trên đoạn BD ta lấy điểm P cho BP = 2PD Tìm giao điểm của:
a) CD với mặt phẳng (MNP) b) AD với mặt phẳng (MNP)
13. Cho tứ diện SABC Gọi I H trung điểm SA AB Trên đoạn SC ta lấy điểm K cho CK = 3KS a) Tìm giao điểm đường thẳng BC mặt phẳng (IHK)
b) Gọi M trung điểm IH Tìm giao điểm KM với mặt phẳng (ABC)
14. Cho hình chóp S.ABCD cho ABCD khơng phải hình thang Trên cạnh SC lấy điểm M a) Tìm giao điểm N đường thẳng SD với mặt phẳng (AMB)
(9)15. Cho hình thang ABCD ABEF có chung đáy lớn AB không nằm mặt phẳng a) Xác định giao tuyến sau: (AEC) (BFD); (BCE) (AFD)
b) Lấy điểm M đoạn DF Tìm giao điểm AM (BCE)
16. Cho tứ diện ABCD Gọi I J trung điểm AC BC Trên cạnh BD,ta lấy điểm K cho BK = 2KD a) Tìm giao điểm E đường thẳng CD với mặt phẳng (IJK) Chứng minh DE = DC
b) Tìm giao điểm F đường thẳng AD với mặt phẳng (IJK) Chứng minh FA = 2FD c) Chứng minh FK song song IJ
d) Gọi M N hai điểm nằm hai cạnh AB CD.Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng (IJK)
17. Cho tứ diện SABC Lấy điểm A’, B’, C’lần lượt nằm cạnh SA, SB, SC cho SA’ = SA; SB’ = SB; SC’ = SC
a) Tìm giao điểm E, F đường thẳng A’B’ A’C’ với mặt phẳng (ABC)
b) Gọi I J điểm đối xứng A’ qua B’ C’ Chứng minh IJ = BC BI = CJ c) Chứng minh BC đường trung bình tam giác AEF
18 *.Trong mặt phẳng cho tam giác ABC Gọi mặt phẳng cắt theo giao tuyến BC Trong mặt phẳng ta vẽ hai nửa đường thẳng Bx Cy song song với nằm phía với Trên Bx Cy ta lấy B’ C’ cho BB’ = 2CC’
a) Tìm giao điểm D đường thẳng BC với mp (AB’C’) tìm giao tuyến mp (AB’C’) với mp b) Trên đoạn AC’ ta lấy điểm M cho AM = AC’ Tìm giao điểm I đường thẳng B’M với mặt phẳng
và chứng minh I trung điểm AD
c) Chứng minh B’ C’ theo thứ tự chạy Bx Cy cho BB’ = 2CC’ mặt phẳng (AB’C’) ln ln cắt theo giao tuyến cố định
d) Gọi E F trung điểm AB BC Cạnh AC cắt DE G Hãy tính tỉ số CM: AD = 2AF
19. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình bình hành tâm O mp (P) cắt cạnh SA, SB, SC A’, B’, C’ a) Dựng giao điểm D’ mặt phẳng (P) với cạnh SD
b) Gọi I giao điểm A’C’ với SO Chứng minh rằng: + = c) Chứng minh rằng: + = +
3 – Dựng thiết diện với hình chóp
Thiết diện hình chóp với mặt phẳng phần chung hình chóp với mặt phẳng
Phương pháp: để dựng thiết diện hình chóp với mặt phẳng ta làm sau: Bước 1: Dựng giao tuyến với mặt hình chóp
Bước 2: Giới hạn đoạn giao tuyến phần giao tuyến nằm mặt xét hình chóp
Tiếp tục hai bước với mặt khác hình chóp đoạn giao tuyến khép kín tạo thành đa giác, đa giác thiết diện
1. Cho tứ diện ABCD Trên cạnh BC, CD, AD lấy điểm M, N, P Dựng thiết diện ABCD với mặt phẳng (MNP)
2. Cho hình chóp S.ABCD Trên cạnh SD lấy điểm M Dựng thiết diện hình chóp với mặt phẳng (BCM)
3. Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AB, AC lấy điểm M, N; tam giác BCD lấy điểm I Dựng thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MNI)
4. Cho hình chóp S.ABCD Trên cạnh SA, AB, BC lấy điểm M, N, P Dựng thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MNP)
5. Cho hình chóp S.ABCD Trên cạnh SA, SB, SC lấy điểm M, N, P
a) Tìm giao điểm MN (ABCD) b) Tìm giao điểm NP (ABCD) c) Dựng thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MNP)
6. Cho tứ diện ABCD Trong tam giác ABC, ACD BCD lấy điểm M, N, P
a) Tìm giao điểm MN (BCD) b) Dựng thiết diện tứ diện với mặt phẳng (MNP)
7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang ABCDđáy lớn AB Gọi M, N trung điểm SB SC a) Tìm giao tuyến (SAD) (SBC) b) Tìm giao điểm SD (AMN)
c) Dựng thiết diện hình chóp với mặt phẳng (AMN)
8. Cho hình chóp S.ABCD Trong tam giác SCD ta lấy điểm M
(10)c) Dựng thiết diện hình chóp với mặt phẳng (ABM)
9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang ABCD với AB đáy lớn Gọi M N trung điểm cạnh SB SC
a) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SAD) (SBC) b) Tìm giao điểm đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN) c) Dựng thiết diện hình chóp với mặt phẳng (AMN)
10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành ABCD Gọi H K trung điểm cạnh CB CD, M điểm cạnh SA Dựng thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MHK)
11. * Cho hình chóp S.ABCD có đáy lớn AD = 2BC Gọi N trung điểm SB, M nằm cạnh SA cho AM = 2MS Gọi mặt phẳng thay đổi qua MN cắt BC AD P Q
a) Chứng minh đường thẳng MN, AB, CD PQ đồng qui điểm I
b) Gọi J K giao điểm SC SD với Chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng c) Tìm (SAC) (SBD)
d) Gọi R = MQ NP Chứng minh điểm R chạy đường thẳng cố định thay đổi
12. Cho tứ diện ABCD có cạnh a Gọi I trung điểm AD, J điểm đối xứng với D qua C, K điểm đối xứng với D qua B
a) Xác định thiết diện tứ diện với mặt phẳng (IJK) b) Tính diện tích thiết diện
4 – Đường thẳng song song đường thẳng
Định nghĩa: Hai đường thẳng song song hai đường thẳng nằm mặt phẳng khơng có điểm chung
Định lý 1: Hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba song với nhau: a //c & b//c a // b
Chú ý: Khi hai đường thẳng a b nằm mặt phẳng ta sử dụng định lý học để chứng minh chúng song song với nhau:
* Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng // với
* Dùng định lý Talet: Một đường thẳng song song với cạnh tam giác chắn hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ
Định lý 2: Nếu hai mặt phẳng cắt có chứa hai đường thẳng song song giao tuyến chúng song song với hai đường thẳng
¿ α ∩ β=d
a⊂α ,b⊂β a//b
¿{ {
¿
d // a ,b
1. Cho tứ diện ABCD Gọi I, J, K, L trung điểm AB, BC, CD, DA CM: IJKL hình bình hành
2. Cho tứ diện ABCD Gọi H, K trọng tâm tam giác BCD ACD Chứng minh HK//AB
3. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình bình hành Gọi M, N, P, Q điểm cạnh BC, SC, SD, DA cho MN//BS, NP//CD, MQ//CD Chứng minh PQ//SA
4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy tứ giác lồi Gọi M, N, E, F trung điểm cạnh bên SA, SB, SC SD
a) Chứng minh ME//AC, NF//BD
b) Chứng minh ba đường thẳng ME, NF SO (O giao điểm AC BD) đồng qui c) Chứng minh điểm M, N, E, F đồng phẳng
5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Gọi M, N, E, F trọng tâm tam giác SAB, SBC, SCD SDA Chứng minh rằng:
a) Bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng b) Tứ giác MNEF hình thoi c) Ba đường thẳng ME, NF SO đồng qui (O giao điểm AC BD)
6. Cho hai hình bình hành ABCD ABEF khơng nằm mặt phẳng Trên đoạn AC BF lấy điểm M, N cho: AM = kAC BN = kBF (0 < k < 1)
(11)7. Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AC, BC, AD lấy điểm M, N, P Dựng giao tuyến (MNP) (BCD) trường hợp sau: a) PM cắt CD b) PM //CD
8. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình thang đáy lớn AB Gọi M, N trung điểm SA SC a) Dựng giao tuyến (SAB) (SCD), (DMN) (ABCD)
b) Dựng thiết diện hình chóp với mặt phẳng (DMN)
9. Cho tứ diện ABCD Gọi I, J trung điểm AB, AD Điểm M thay đổi cạnh BC a) Tìm giao điểm N CD (IJM)
b) Gọi H giao điểm IM JN; K giao điểm IN JM Tìm tập hợp điểm H; K M thay đổi cạnh BC
10. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình thang đáy lớn AD.Điểm M thay đổi cạnh SA a) Dựng giao điểm N SD mặt phẳng (BCM)
b) Dựng thiết diện hình chóp với mặt phẳng (BCM) c) Gọi I =BM CN.Tìm tâp hợp điểm I M chạy SA
11. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình bình hành Gọi H, K trung điểm SA, SB a) Chứng minh HK//CD
b) Trên cạnh SC lấy điểm M Dựng thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MKH)
12. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình bình hành, điểm M thay đổi cạnh SD a) Dựng giao tuyến (SAD) (SBC)
b) Dựng giao điểm N SC mặt phẳng (AB M); ABMN hình gì? Có thể hình bình hành khơng? c) Gọi I giao điểm AN BM CM: M chạy cạnh SD I chạy đường thẳng cố định
13. Cho tứ diện ABCD Gọi I, J, K trọng tâm tam giác BCD, CDA, ABC Dựng thiết diện ABCD với mặt phẳng (IJK)
14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành Gọi M trung điểm cạnh SC a) Tìm giao điểm I AM với (SBD).Chứng minh IA =2IM
b) Tìm giao điểm F SD với (ABM) CM: F trung điểm SD ABMF hình thang c) Gọi N điểm tuỳ ý cạnh AB Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng (SBD)
15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O M, N trung điểm SC OB a) Tìm giao điểm I SD với mặt phẳng (AMN) b) Tính tỉ số
16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy tứ giác lồi.Gọi M N trọng tâm tam giác SAB SAD E trung điểm BC
(12)5 –Đường thẳng song song mặt phẳng
1. Cho tứ diện ABCD Gọi I, J trung điểm BC CD a) Chứng minh BD//(AIJ)
b) Gọi H, K trọng tâm tam giác ABC ACD Chứng minh HK//(ABD)
2. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình bình hành G trọng tâm tam giác SAB E điểm cạnh AD cho DE = 2EA Chứng minh GE // (SCD)
3. Cho hình bình hành ABCD ABEF không đồng phẳng
a) Gọi M, N trung điểm AD, BE Chứng minh MN//(CDE)
b) Trên đoạn AC BF lấy điểm P, Q cho AM = kAC; BN = kBF (0 < k < 1) CM: MN // (CDEF)
4. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hbh Gọi M, N trung điểm AB AD Mp chứa MN //SA a) Dựng giao điểm SC b) Dựng thiết diện hình chóp với
5. Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AB lấy điểm M.Gọi mặt phẳng qua M // cạnh AC, BD Dựng thiết diện tứ diện với
6. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hbh M điểm thay đổi cạnh AB Mp qua M // SA AD a) Dựng thiết diện với hình chóp Chứng minh thiết diện hình thang
b) Chứng minh đoạn giao tuyến với (SCD) thì//SD
c) Tìm quĩ tích giao điểm cạnh bên thiết diện M thay đổi cạnh SD
7. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình thang đáy lớn AB Điểm M thay đổi cạnh BC, mặt phẳng qua M //AB SC
a) Dựng giao tuyến (SAD) (SBC) b) Dựng thiết diện hình chóp với c) Chứng minh đoạn giao tuyến với (SAD) //SD
8. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hbh Gọi M, N trung điểm SA, SB Điểm P thay đổi cạnh BC a) Chứng minh CD // (MNP)
b) Dựng thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MNP) Chứng minh thiết diện hình thang c) Gọi I giao điểm cạnh bên thiết diện Tìm quĩ tích điểm I
9. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình thang đáy lớn AB Điểm M thay đổi cạnh SA
a) Tìm giao tuyến (SAD) (SBC) ; (SAB) (SCD) b) Dựng giao điểm N = SB (CDM) c) Gọi I = CM DN; J = DM CN CM: M thay đổi cạnh SA I, J chạy đ/thẳng cố định
10. Cho tứ diện ABCD có AB = AC = CD = a AB vng góc CD Lấy điểm M cạnh AC, đặt AM = x (0< x < a) Mặt phẳng qua M song song với AB CD cắt BC, BD, AD N, P, Q
a) CM: MNPQ hình chữ nhật b) Tính diện tích MNPQ theo a x c) Xác định x để diện tích MNPQ lớn
11. Cho tứ diện ABCD có AB vng góc CD, tam giác BCD vng C góc BDC = 300; M điểm thay đổi cạnh BD; AB = BD = a; đặt BM = x Mặt phẳng qua M song song với AB, CD
a) Dựng thiết diện tứ diện với b) Tính diện tích S thiết diện c) Xác định vị trí M BD để S lớn
12. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vng cạnh a, SB = b tam giác SAC cân S Trên cạnh AB lấy điểm M, đặt AM = x (0 < x < a) Mặt phẳng qua M, // AC SB cắt BC, SC, SA N, P, Q a) MNPQ hình gì?
b) Tính diện tích MNPQ Xác định x để diện tích lớn
13. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình thoi cạnh a, SAB tam giác vuông A với SA = a.Gọi M điểm thay đổi cạnh AD,đặt AM = x (0 < x < a ) Gọi mặt phẳng qua M song song CD SA a) Dựng thiết diện hình chóp với mặt phẳng ,thiết diện hình
b) Tính diện tích thiết diện theo a x
14. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD nửa lục giác ABCD đáy lớn AB = 2a, hai cạnh bên AD BC cắt I Tam giác SAB cân S SI = 2a Trên đoạn AI ta lấy điểm M, đặt AM = x (0< x < 2a ) Mặt phẳng qua M song song SI AB cắt BI, SB, SA N, P, Q
a) Tính góc SI AB b) MNPQ hình ?
c) Tính diện tích MNPQ theo a x Tìm x để diện tích lớn Khi MNPQ hình d) Gọi K = MP NQ Tìm quĩ tích điểm K M chạy đoạn AI
(13)c) Chứng minh đường thẳng AN qua trọng tâm tam giác SBD
d) Gọi P trung điểm SA Dựng thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MNP)
16 *.Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành tâm O.Gọi M N trung điểm SA SC a) Tìm giao tuyến (SAC) ∩ (SBD) (BMN) ∩ (ABCD); (BMN) ∩ (SBD)
b) Tìm giao điểm K SD (BMN) Chứng minh SK = SD c) Dựng thiết diện hình chóp với mặt phẳng (BMN)
d) Gọi I J trung điểm AB CD Chứng minh MI //(SBC) (IJN)//(SAD) 6 –Mặt phẳng song song mặt phẳng
1. Cho hình bình hành ABCD ABEF nằm mặt phẳng khác a) Chứng minh (ADF) // (BCE)
b) Gọi I, J, K trung điểm cạnh AB, CD, EF Chứng minh (DIK) // (JBE)
2. Cho tứ diện ABCD Gọi H, K, L trọng tâm tamgiác ABC, ABD, ACD CM: (HKL) // (BCD)
3. Cho tam giác ABC DEF nằm mặt phẳng , song song với
a) Dựng giao tuyến (AEF); (BCD) b) Dựng giao tuyến (AEF) (BCD)
4. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình thang đáy lớn AD M điểm nằm cạnh AB, mặt phẳng qua M //(SBC) Dựng thiết diện hình chóp với Thiết diện hình gì?
5. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hbh Điểm M thay đổi cạnh BC, mp qua M // mp (SAB) a) Dựng thiết diện hình chóp với Chứng minh thiết diện hình thang
b) Chứng minh CD // c) Tìm quỹ tích giao điểm cạnh bên thiết diện
6. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình thang vng A D; AD = CD = a; AB = 2a, tam giác SAB vuông cân tạiA Trên cạnh AD lấy điểm M Đặt AM =x Mặt phẳng qua M // mp (SAB)
a) Dựng thiết diện hình chóp với b) Tính diện tích chu vi thiết diện theo a x
7. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ a) Chứng minh (BA’C’) // (ACD’)
b) Tìm giao điểm I=B’D (BA’C’); J = B’D (ACD’) CM: điểm I, J chia đoạn B’D thành phần =
c) Gọi M, N trung điểm C’B’ D’D Dựng thiết diện hình hộp với mặt phẳng (BMN)
8. Trong mặt phẳng cho hình bình hành ABCD Ta dựng nửa đường thẳng song song với nằm phía với Một mặt phẳng cắt nửa đường thẳng A’, B’, C’, D’
a) CM: mp(AA’,BB’) // mp(CC’,DD’) b) CM: tứ giác A’B’C’D’ hình bình hành c) Chứng minh AA’ + CC’ = BB’ + DD’
9. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ Gọi I I’ trung điểm cạnh BC B’C’ a) Chứng minh AI // A’I’ b) Tìm giao điểm IA’ (AB’C’) c) Tìm giao tuyến (AB’C’) (BA’C’)
10. Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Gọi I, K, G trọng tâm tam giác ABC, A’B’C’ ACC’ CM: a) (IKG) // (BB’C’C) b) (A’KG) // (AIB’)
11. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ Gọi H trung điểm A’B’
a) CM: CB’ // (AHC’) b) Tìm giao tuyến d = (AB’C’) (A’BC) c) CM: d // (BB’C’C)
12. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ Gọi M N trung điểm cạnh AA’ AC a) Dựng thiết diện lăng trụ với mặt phẳng (MNB’)
b) Gọi P trung điểm B’C’ Dựng thiết diện lăng trụ với mặt phẳng (MNP)
13. Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’ Gọi M N tâm mặt bên AA’C’C BB’D’D Chứng minh MN//(ABCD)
14. Cho hình chóp S.ABCD với ABCD hình bình hành với AB = a, AD = 2a Mặt bên SAB tam giác vuông cân A Trên cạnh AD ta lấy điểm M, đặt AM = x Mặt phẳng qua M //mặt phẳng (SAB) cắt BC, SC, SD N, P, Q (0 < x < 2a)
a) Chứng minh MNPQ hình thang vng b) Tính diện tích MNPQ theo a x c) Gọi I = MQ NP Tìm tập hợp điểm I M chạy cạnh AD
15. Cho hình chóp S.ABCD với ABCD hình bình hành Gọi I trung điểm SD a) Xác định giao điểm K = BI (SAC)
(14)c) Gọi N điểm SI cho SN=2NI Chứng minh (KHN)//(SBC) d) Dựng thiết diện hình chóp với mặt phẳng (KHN)
16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành ABCD tâm O Gọi M, N, P trung điểm SC, AB, AD a) Tìm giao tuyến mp (SBC) (SAD) b) Tìm giao điểm I AM (SBD)
c) Gọi J = BP AC CM: IJ // (SAB) d) Dựng thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MNP) 7a – Hình chóp
1. Cho hình chóp S.ABC có SA (ABC), SA = a Tam giác ABC vng B,góc C = 60o , BC = a a) CM: mặt hình chóp tam giác vng Tính Stp b) Tính thể tích VS.ABC c) Từ A kẻ AH SB, AK SC CM: SC (AHK) AHK vng d) Tính thể tích VS.AHK
2. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vuông cạnh a Đường cao SA = a, M trung điểm SB a) CM: mặt bên hình chóp tam giác vng.Tính diện tích tồn phần hình chóp S.ABCD b) Dựng thiết diện hình chóp với mặt phẳng (ADM) Tính diện tích thiết diện
c) Thiết diện chia hình chóp làm hai hình đa diện, tính thể tích khối đa diện
3. Cho hình chóp S.ABC có đáy mặt bên SAB tam giác cạnh a Chân đường cao SH hình chóp đối xứng với tâm O đáy qua cạnh AB a) CM: mặt bên SAC SBC tam giác vng b) Tính diện tích tồn phần hình chóp S.ABC c) Tính góc mặt bên đáy
d) Tính thể tích VS.ABC khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB)
4. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình chữ nhật, SA (ABCD), SC = a Cạnh AC SC tạo với đáy góc = 60o , = 45o
a) Xác định góc , b) Tính thể tích diện tích xung quanh hình chóp S.ABCD *9*
5. Trên nửa đường thẳng Ox, Oy, Oz vuông góc đơi ta lấy điểm A, B, C cho OA = OB = OC = a
a) CM: OABC hình chóp b) Tính diện tích tồn phần thể tích hình chóp OABC
6. Hình chóp S.ABCD có ABCD hình thang vng A B AD = 2a, AB = BC = a; SA (ABCD); cạnh SC tạo với đáy (ABCD) góc = 60o
a) CM: mặt bên hình chóp tam giác vng Tính diện tích tồn phần hình chóp b) Tính thể tích S.ABCD c) Tính góc SC mặt phẳng (SAB)
7. Cho tứ diện SABC có đáy tam giác ABC vng B, AB = 2a, BC = a, SA (ABC), SA = 2a Gọi I trung điểm AB
a) CM: mặt bên hình chóp tam giác vng b) Tính góc hai mp (SIC) (ABC) c) Gọi N trung điểm AC Tính khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng (SBC)
8. Cho hình chóp S.ABC có ABC tam giác cạnh a SA = SB = SC = a) Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC)
b) Tính góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) c) Tính diện tích tam giác SBC
9. Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng cân A, BC = a SA = SB = SC =
a) Tính khoảng cách từ S đến mp (ABC) b) CM: hai mp (SBC) (ABC) c) Tính góc hai mp (SAC) (ABC) d) Tính diện tích tam giác (SAC)
10. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình thoi cạnh a, góc A = 60o, SA = SB = SD = a) Tính hình chóp từ S đến mặt phẳng (ABCD)
b) CM: hai mặt phẳng (SAC) (ABCD) vng góc
(15)7b – Hình chóp
1. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Góc mặt bên mặt đáy (450 < < 900) Tính thể tích hình chóp HD: Tính h =
1
2atan V a tan
2. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 2a, cạnh bên SA = a 5 Một mp (P) qua AB với mp(SCD) cắt SC, SD C,ø D Tính thể tích khối đa diện
ADD.BCC
HD: Ghép thêm khối S.ABC'D' vào khối ADD'.BCC' khối SABCD
a V 3
6
3. Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = x, BC = y, cạnh lại = Tính V hình chóp theo x y
HD: Chia khối SABC thành hai khối SIBC AIBC (I trung điểm SA)
xy
V x2 y2 12
4. Cho tứ diện ABCD có cạnh AD = BC = a, AC = BD = b, AB = CD = c Tính V tứ diện theo a, b, c
HD: Trong mp(BCD) lấy điểm P, Q, R cho B, C, D trung điểm PQ, QR, RP Chú ý: VAPQR = 4VABCD =
1
6AP AQ AR. . V122 (a2b2c b2)( 2c2a c2)( 2a2b2)
5. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA = 2a SA (ABC).Gọi M N
là hình chiếu A đường thẳng SB SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM
HD:
2 2
16 25 SAMN
SABC
V SA SM SN SA
V SA SB SC SB
a V 3
50
6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 7cm, SA (ABCD), SB = 3cm Tính thể
tích khối chóp S.ABCD
7. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A với AB = cm, AC = 4cm Hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vng góc với mặt phẳng đáy SA = 5cm Tính thể tích khối chóp S.ABC
8. Cho hình tứ diện ABCD cóAD (ABC) Cho AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm
a) Tính khoảng cách từ A đến mp(BCD) b) Tính thể tích tứ diện ABCD
9. Cho hình vng ABCD cạnh a, nửa đường thẳng Bx, Dy với mp(ABCD) phía đối
với mp Trên Bx Dy lấy điểm M, N gọi BM = x, DN = y Tính VACMN theo a, x, y
10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB =a, AD = a 2, SA (ABCD) Gọi M, N
lần lượt trung điểm AD SC, I giao điểm BM AC
a) Chứng minh mp(SAC) BM b) Tính thể tích khối tứ diện ANIB
11. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA = 2a SA (ABC) Gọi M N
là hình chiếu A đường thẳng SB, SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM
12. (B–08): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, SA = a, SB = a 3 (SAB)
mặt đáy Gọi M, N trung điểm AB, BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN cosin góc hai đường thẳng SM DN HD:
3 3 5
3
a
V ; cos
13. (A–07): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, mặt bên SAD tam giác nằm mp với đáy Gọi M, N, P trung điểm SB, BC, CD Chứng minh AM BP tính
thể tích khối CMNP HD:
3 96
a V
(16)khoảng cách hai đường thẳng MN AC HD:
2
(17)15. (D–07): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang với ABC BAD 900, BC = BA = a, AD
= 2a SA (ABCD), SAa Goïi H hình chiếu A SB CM: tam giác SCD vuông tính
khoảng cách từ H đến (SCD) HD:
a d
16. (B–06): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, ADa 2, SA = a SA
(ABCD) Gọi M, N trung điểm AD, SC; I giao điểm BM AC CM: (SAC)
(SMB) Tính thể tích khối tứ diện ANIB HD:
3 2
36
a V
17. (D–06): Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA = 2a SA (ABC)
Gọi M, N hình chiếu A SB, SC Tính VA.BCMN HD:
3
3 50
a V
18. (Dự bị A–07): Cho hình chóp SABC có góc (SBC ABC),( ) 600, ABC SBC tam giác cạnh a Tính theo a khoảng cách từ B đến (SAC) HD:
3 13
a d
19. (Dự bị B–07): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, SA (ABCD) AB = a,
2
a
SA Gọi H, K hình chiếu A SB, SD CM: SC(AHK) tính thể tích tứ
diện OAHK HD:
3
2 27
a V
20 (Dự bị B–07): Trong mp (P), cho nửa đường trịn đường kính AB = 2R điểm C thuộc nửa đường trịn cho AC = R Trên đường thẳng với (P) A lấy điểm S cho
(SAB) SBC,( ) 600
Gọi H, K hình chiếu A SB, SC Chứng minh tam giác AHK vng tính thể tích tứ diện SABC
HD:
3 6 12
R V
21. (Dự bị A–06): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, cạnh SA
với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy góc 600 Trên cạnh SA lấy điểm M cho AM = 3 3
a
Mp (BCM) cắt cạnh SD N Tính thể tích khối chóp S.BCNM HD:
3
10 27
V a
22. (Dự bị B–06): Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, BAD600, SA (ABCD),
SA = a Gọi C' trung điểm SC Mp (P) qua AC' // với BD, cắt cạnh SB, SD B',
D' Tính thể tích khối chóp S.AB'C'D' HD:
3 3 18
a V
23 (Dự bị D–06): Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a Gọi SH đường cao hình chóp Khoảng cách từ trung điểm I SH đến mp (SBC) = b Tính thể tích khối chóp S.ABCD
HD:
3 2
3 16
a b V
a b
24 (Dự bị 04): Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a SB (ABC) Tam giác ABC có BA = BC = a, góc ABC
bằng 1200 Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).
25. (Dự bị 03): Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, BC = 2a, cạnh SA với
đáy SA = 2a Gọi M trung điểm SC CM: tam giác AMB cân M tính diện tích tam giác
AMB theo a HD:
2
2
AMB
(18)7c – Hình chóp
1. Cho hình chóp tứ giác SABCD, có cạnh đáy a ASB.
a) Tính diện tích xung quanh hình chóp b) CM: chiều cao hình chóp =
2 1
2
a
cot
c) Tính thể tích khối chóp HD: a) Sxq =
2
2
a cot
c) V =
3
1 6a cot
2. Cho hình chóp SABC có mặt bên (SAB) (SAC) với đáy Đáy ABC tam giác cân đỉnh A Trung
tuyến AD = a Cạnh bên SB tạo với đáy góc tạo với mp(SAD) góc a) Xác định góc , HD: SBA;BSD
b) CM: SB2 = SA2 + AD2 + BD2. c) Tính S tồn phần V khối chóp.
HD: Stp =
2
2 2 2
1
2
2
a (sin sin ) a sin
cos sin cos sin
; V =
3 2
3
a sin sin (cos sin )
3. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Mặt bên SAB tam giác với đáy
Gọi H trung điểm AB M điểm di động đường thẳng BC
a) CM: SH (ABCD) Tính thể VSABCD b) Tìm tập hợp hình chiếu S lên DM
c) Tìm khoảng cách từ S đến DM theo a x = CM
HD: b) K thuộc đường tròn đường kính HD c) SK =
2
2
7 4
2
a a ax x a x
4. Trên đường thẳng vng góc A với mp hình vng ABCD cạnh a ta lấy điểm S với SA = 2a Gọi B, D hình chiếu A lên SB SD Mp (ABD) cắt SC C Tính thể tích khối chóp SABCD
HD: 15 SAB C SABC V V
VSABCD =
3 16
45
a
5. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành Một mp (P) cắt SA, SB, SC, SD A, B, C, D CM:
SA SC SB SD
SA SC SBSD HD: Sử dụng tính chất tỉ số thể tích hình chóp 6. Cho tứ diện SABC có cạnh a Dựng đường cao SH
a) Chứng minh SA BC b) Tính V S tồn phần hình chóp SABC c) Gọi O trung điểm SH Chứng minh OA, OB, OC đôi vng góc với
HD: b) V =
3 2 12
a
; Stp = a2 3.
7. Cho hình chóp tứ giác SABCD có cạnh bên tạo với đáy góc 600 cạnh đáy a.
a) Tính thể tích khối chóp HD: a) V =
3 6
a
b) Qua A dựng mp (P) với SC Tính S thiết diện tạo (P) hình chóp HD: S =
2 3
a
8. Cho hình chóp tứ giác SABCD có chiều cao SH = h góc đáy mặt bên a) Tính diện tích xung quanh thể tích khối chóp theo h
b) Cho điểm M di động cạnh SC Tìm tập hợp hình chiếu S xuống mp (MAB)
HD: a) Sxq =
2 h tan tan
; V =
3
3
h
(tan )
9. Trên cạnh AD hình vng ABCD cạnh a, người ta lấy điểm M với AM = x (0 x a) nửa đường thẳng Ax A với mặt phẳng hình vng, người ta lấy điểm S với SA = y (y > 0)
a) CM: hai mp (SBA) (SBC) vng góc b) Tính khoảng cách từ điểm M đến mp(SAC) c) Tính VSABCM d) Với giả thiết x2 + y2 = a2 Tìm giá trị lớn thể tích với SABCM
(19)HD: b) d =
2
x
c) V =
1
(20)10. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình chữ nhật có cạnh AB = a, cạnh bên SA vng góc với đáy, cạnh bên SC hợp với đáy góc hợp với mặt bên SAB góc
a) CM: SC2 =
2
2
a
cos sin . b) Tính thể tích khối chóp. HD: V =
2
3
a sin sin (cos sin )
11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Cạnh bên SA =2a với mặt phẳng đáy
a) Tính diện tích tồn phần hình chóp
b) Hạ AE SB, AF SD Chứng minh SC (AEF)
12. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy ABCD hình vng cạnh a SA = SB = SC = SD = a Tính diện tích tồn phần thể tích khối chóp S.ABCD
13. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D, AB = AD = a, CD = 2a Cạnh bên SD (ABCD) SD = a
a) CM: SBC vng Tính diện tích SBC b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)
14. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D, AB = AD = a, CD = 2a Cạnh bên SD (ABCD), SD a Từ trung điểm E DC dựng EK SC (K SC) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a chứng minh SC (EBK)
15. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D Biết AB = 2a, AD = CD = a (a > 0) Cạnh bên SA = 3a vng góc với đáy
a) Tính diện tích tam giác SBD b) Tính thể tích tứ diện SBCD theo a
16. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác vng B Cạnh SA vng góc với đáy Từ A kẻ đoạn thẳng AD SB AESC Biết AB = a, BC = b, SA = c.
(21)7d – Hình chóp
1. Cho tam giác ABC cố định điểm S thay đổi Thể tích khối chóp S.ABC thay đổi hay không nếu: a/ Đỉnh S di chuyển mặt phẳng song song với mặt phẳng ABC?
b/ Đỉnh S di chuyển mặt phẳng song song với cạnh đáy? c/ Đỉnh S di chuyển đường thẳng song song với mặt phẳng (ABC)?
2. Hãy chia khối tứ diện thành k.tứ diện cho tỷ số thể tích khối tứ diện = số k cho trước (k>0)
3. Gọi M nằm tứ diện ABCD CM: Tổng khoảng cách từ M đến mặt tứ diện số không phụ thuộc vào vị trí điểm M Tính tổng = cạnh tứ diện = a
4. Cho khối chóp S.ABC Trên ba đường thẳng SA, SB, SC lấy ba điểm A', B', C' khác với S Gọi V V' thể tích khối chóp S.ABC S.A'B'C' CM: ' ' ' '
V SA SB SC V SA SB SC
5. Khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành M trung điểm cạnh SC Mặt phẳng (P) qua AM, song song với BD chia khối chóp thành phần Tính tỉ số thể tích hai phần
6. Chứng minh có phép vị tự tỉ số k biến tứ diện ABCD thành tứ diện A'B'C'D' thì:
3 ' ' ' '
A B C D ABCD
V
k
V
7. Cho tứ diện ABCD tích V Gọi B' D' trung điểm AB AD Mặt phẳng (CB'D') chia khối tứ diện thành phần Tính thể tích phần
8. Cho khối tứ diện ABCD E, F trung điểm hai cạnh AB CD mp (ABF) (CDF) chia khối tứ diện thành bốn khối tứ diện
a/ Kể tên khối tứ diện đó? b/ Chứng tỏ khối tứ diện tích c/ Chứng tỏ khối tứ diện ABCD khối tứ diện khối tứ diện nói nhau?
9. Cho khối chóp S.ABC có đường cao SA a, đáy tam giác vng cân có: AB=BC=a Gọi B' trung điểm SB, C' chân đường cao hạ từ A tam giác SAC
a/ Tính thể tích khối chóp S.ABC? b/ CM: SC vng góc với mặt phẳng (AB'C')? c/ Tính thể tích khối chóp S.AB'C'?
10. Tính thể tích khối tứ diện cạnh a
11. Cho khối chóp S.ABC Trên ba đường thẳng SA, SB, SC lấy ba điểm A', B', C' khác với S Gọi V V' thể tích khối chóp S.ABC S.A'B'C' Chứng minh rằng: ' '. '. '
V SA SB SC
V SA SB SC
12. Cho tam giác ABC vuông cân A AB=a Trên đường thẳng qua C với mp (ABC) lấy điểm D cho CD=a Mp qua C vng góc với BD cắt BD F cắt AD E Tính thể tích khối tứ diện CDEF theo a
13. Cho đường thẳng chéo d d' Độ dài đoạn thẳng AB=a trượt đường thẳng d, đoạn thẳng CD có độ dài b trượt đường thẳng d' CM: thể tích khối tứ diện ABCD tích ko đổi
14. Cho hình chóp tam giác O.ABC có ba cạnh OA, OB, OC đơi vng góc OA=a, OB=b OC=c Tính đường cao OH hình chóp?
15 * Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh AB=a Các cạnh bên SA, SB, SC tạo với đáy góc
0
60 Gọi D giao điểm SA với mặt phẳng qua BC vng góc với SA.
a/ Tính tỉ số thể tích hai khối chóp S.DBC S.ABC b/ Tính thể tích khối chóp S.DBC
16. Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB=5a, BC=6a CA=7a Các mặt bên SAB, SBC, SCA tạo với đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp
17. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, SA vng góc với đáy AB=a, AD=b SA=c Lấy B', D' theo thứ tự thuộc SB, SD cho AB' vng góc với SB, AD' vng góc với SD Mặt phẳng (AB'D') cắt SC C' Tính thể tích khối chóp S.AB'C'D'
(22)19. Khối chóp S.ABCD có đáy hình bình hành Gọi B', D' trung điểm SB, SD Mặt phẳng (AB'D') cắt SC C' Tìm tỉ số thể tích hai khối chóp S.AB'C'D' S.ABCD
20. Khối chóp S.ABCD có đáy hình bình hành Gọi M, N, P theo thứ tự trung điểm AB, AD SC CM: mặt phẳng (MNP) chia khối chóp thành phần tích
21. Cho khối chóp tứ giác S.ABCD Một mặt phẳng (P) qua A, B trung điểm M cạnh SC Tính tỉ số thể tích hai phần khối chóp bị phân chia mặt phẳng
22. Cho điểm M cạnh SA, N cạnh SB khối chóp tam giác S.ABC cho:
1
;
2
SM SN
SA SB Mp (P) qua MN // với SC chia khối chóp thành hai phần Tìm tỉ số thể tích hai khối đó?
23. Cho tứ diện ABCD có điểm O nằm tứ diện cách mặt tứ diện khoảng r Gọi , , ,
A B C D
h h h h khoảng cách từ điểm A, B, C, D đến mặt đối diện CM: 1rh1Ah1B h1C h1D
24. Cho hình chóp tam giác S.ABC M điểm nằm tam giác ABC Các đường thẳng qua M song song với SA, SB, SC cắt mặt (BCS), (CAS), (ABS) A', B', C' CM:
a/
' M BCS S ABC
V MA
V SA b/
' ' '
MA MB MC
SA SB SC khơng đỏi Tìm tổng đó?
25. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Một mặt phẳng (P) cắt SA, SB, SC, SD theo thứ tự K, L, M, N Chứng minh rằng:
a/ VS ABC VS ACD VS ABD VS BCD b/
SA SC SB SD
SKSM SLSN
26. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật cạnh bên SA vng góc với đáy Một mặt phẳng (P) qua qua A, vuông góc với cạnh SC cắt SB, SC, SD B', C', D'
1 Chứng minh tứ giác AB'C'D' có hai góc đối diện góc vng?
2 Chứng minh S di chuyển đường thẳng vng góc với mặt phẳng (ABCD) A mặt phẳng (AB'C'D') qua đường thẳng cố định điểm A, B, B', C, C', D, D' cách điểm cố định khoảng khơng đổi?
3 Giả sử góc cạnh SC mặt bên (SAB) x Tính tỉ số thể tích hình chóp S.AB'C'D' thể tích hình chóp S.ABCD theo x, biết AB=BC
27. Cho khối chóp tam giác S.ABC có đáy tam giác cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 600 Hãy tính thể tích khối chóp đó?
28. Cho khối chóp S.ABC có đáy tam giác cân ABC, AB=AC=5a, BC=6a mặt bên tạo với đáy góc
0
60 Hãy tính thể tích khối chóp?
29. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy tam giác vng B Cạnh SA vng góc với đáy Từ A kẻ đoạn thẳng AD vng góc với SB AE vng góc với SC Biết AB=a, BC=b, SA=c
a/ Tính thể tích khối chóp S.ADE?
b/ Tính khoảng cách từ E đến mặt phẳng (SAB)?
30. Chứng minh tổng khoảng cách từ điểm tứ diện đến mặt số khơng đổi?
31. Cho hai đoạn thẳng AB CD chéo nhau, AC đường vng góc chung chúng Biết AC=h, AB=a, CD=b góc hai đường thẳng AB CD 600 Tính thể tích tứ diện ABCD
32. Cho tứ diện ABCD Gọi (H) hình bát diện có đỉnh trung điểm cạnh tứ diện Tính tỉ số
( )
? H ABCD
(23)8 – Hình khối hộp
1. Tính thể tích khối hộp ABCD.A'B'C'D', biết AA'B'D' khối tứ diện cạnh a
2. Cho khối hộp ABCD.A'B'C'D' Chứng minh trung diểm cạnh AB, BC, CC', C'D', D'A' AA' nằm mp mặt phẳng chia khối hộp thành hai phần tích
3. Tính thể tích khối bát diện cạnh a
4. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Tính tỉ số V1 khối hộp V2 khối tứ diện ACB'D'
5. Cho lăng trụ hình chóp có đáy chiều cao Tính tỉ số thể tích chúng?
6. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Gọi E F theo thứ tự trung điểm cạnh BB' DD' Mặt phẳng (CEF) chia khối hộp làm khối đa diện Tính tỉ số thể tích hai khối
7. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a Gọi M trung điểm A'B', N trung điểm BC a/ Tính thể tích khối tứ diện ADMN?
b/ Mặt phẳng (DNM) chia khối lập phương thành hai khối da diện Gọi (H) khối đa diện chứa đỉnh A, (H') khối đa diện cịn lại Tính tỉ số :
' V H V H ?
8. Cho khối hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy hình chữ nhật với AB= 3, AD= 7 mặt bên (ABB'A') (ADD'A') tạo với đáy góc 450và 600 Tính V khối hộp biết cạnh bên
9. Cho khối lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a Các điểm E, F trung điểm C'B' C'D' a/ Dựng thiết diện khối lập phương cắt mặt phẳng (AEF)
b/ Tính tỉ số thể tích hai phần khối lập phương bị chia mặt phẳng (AEF)
10. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB=a, BC=2a, AA'=a Lấy diểm M cạnh AD cho AM=3MD
a/ Tính thể tích khối chóp M.AB'C b/ Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB'C)?
11. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB=a, BC=b, AA'=c Gọi M N theo thứ tự trung điểm A'B' B'C' Tính tỉ số V khối chóp D'.DMN với khối hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'
12. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB=a, BC=b, AA'=c Gọi E F điểm thuộc cạnh BB' DD' cho
1
', '
2
BE EB DF FD
Mp (AEF) chia khối hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' thành khối đa diện (H) (H') Gọi (H') khối đa diện chứa đỉnh A' Hãy tính V (H) tỉ số thể tích (H) (H') 13. (Dự bị A–06): Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có cạnh AB = AD = a, AA' =
3
a vaø
BAD600
Gọi M, N trung điểm cạnh A'D' A'B' CM: AC' (BDMN) Tính thể
tích khối chóp A.BDMN HD:
3
16
a V
14. (Dự bị D–06): Cho hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh = a điểm K thuộc cạnh CC cho
CK =
2
3a Mặt phẳng () qua A, K // với BD, chia khối lập phương thành hai khối đa diện Tính thể
tích hai khối đa diện HD:
3
1
2
3
a a
V ; V
15. Cho hình hộp đứng ABCD.ABCD, đáy hình thoi Biết diện tích mặt chéo ACCA, BDDB S1,
S2
a) Tính diện tích xung quanh hình hộp b) Biết BA D = 1v Tính thể tích hình hộp.
HD: a) Sxq = 2
2 2
S S b) V =
1 2
2
2
S S
S S
(24)
16. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD, đường chéo AC = d hợp với đáy ABCD góc hợp với mặt bên BCCB góc
a) Chứng minh: CAC và AC B b) Chứng minh thể tích hình hộp là: V = d3sin
.sin cos().cos( )
c) Tìm hệ thức , để ADCB hình vuông Cho d không đổi, thay đổi mà ADCB ln hình vng, định , để V lớn
HD: c) 2(cos2
– sin2) = ; Vmax =
3 2 32
d
= = 300 (dùng Côsi).
17. Cho hình hộp ABCD.ABCD’ có đáy hình thoi ABCD cạnh a, A = 600 Chân đường vng góc hà từ
B xuống đáy ABCD trùng với giao điểm đường chéo đáy Cho BB = a a) Tính góc cạnh bên đáy
b) Tính thể tích diện tích xung quanh hình hộp
HD: a) 600 b) V =
3
4
a
; Sxq = a2 15.
18. Cho hình hộp xiên ABCD.ABCD, đáy ABCD hình thoi cạnh a BAD = 600; A
A = AB = AD cạnh bên hợp với đáy góc
a) Xác định chân đường cao hình hộp vẽ từ A góc Tính thể tích hình hộp b) Tính diện tích tứ giác ACCA, BDDB
c) Đặt = ABB A ABCD , Tính bieát + = 4
HD: a) Chân đường cao tâm tam giác ABD. b) SBDDB =
2 3
3
a
sin ; SACCA = a2tan c) = arctan
17
9a – Hình lăng trụ
1. Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh đáy = cạnh bên = a Gọi I, J trung điểm BC BB’ a) CM: BC’ (AIJ) b) Tính góc hai mặt phẳng (AIJ) (ABC) c) Tính diện tích tam giác AIJ
2. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình thoi ABCD cạnh a, góc A = 60o , A’A = A’B = A’D = a a) Tính chiều cao lăng trụ b) CM: hai mặt chéo lăng trụ
c) Tính góc hai mp (A’BD) (ABCD) d) Tính diện tích A’BD dt toàn phần lăng trụ
3. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’
a) CM: hai mặt chéo vng góc b) Tính khoảng cách đường thẳng AA’ BD’ c) Tính góc hai mp (D’AC) (ABCD) d) Tính diện tích tam giác D’AC
4. Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình thoi cạnh a, góc A = 60o Gọi O, O’ tâm hai đáy, OO’ = 2a
a) Tính diện tích mặt chéo lăng trụ b) Tính diện tích tồn phần thể tích lăng trụ
5. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đường chéo B’D = 12 Cạnh đáy CD = 6; cạnh bên CC’ = a) Tính diện tích tồn phần thể tích hình hộp b) Tính góc B’D mặt hình hộp
6. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình thoi ABCD cạnh a, tâm O góc A = 60o; D’O vng góc (ABCD); cạnh bên tạo với đáy góc = 60o
a) Xác định góc tính chiều cao, cạnh bên hình hộp b) Chứng minh BD’ A’C’ c) Chứng minh mặt bên hình hộp nhau, suy Stp
d) Tính thể tích hình hộp thể tích tứ diện ACDC’
7 * Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a, cạnh bên = a hình chiếu C’ mặt phẳng (ABC) trùng với tâm tam giác ABC
a) Tính góc cạnh bên đáy, chiều cao lăng trụ
(25)8 * Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có cạnh đáy a Đường chéo AB’ mặt bên tạo với đáy góc = 60o Gọi I trung điểm BC
a) Tính diện tích tồn phần thể tích lăng trụ b) Xác định hình chiếu A BB’C’C c)Tính góc đường thẳng AB’ mặt phẳng (BB’C’C) d) Tính thể tích tứ diện BAIC’
9. * Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a; cạnh bên AA’ = a hình chiếu B’ mặt phẳng (ABC) trung điểm I AC
a) Tính góc cạnh bên đáy b) Tính thể tích lăng trụ c) Tính thể tích tứ diện AIBC’
10. Lăng trụ ABCD.A’B’C’D’, đáy ABCD hình thoi tâm O; cạnh a góc A = 60o; B’O (ABCD); cạnh bên = a a) Tính góc cạnh bên đáy thể tích lăng trụ
b) Chứng minh hai mặt chéo vng góc c) Tính diện tích toàn phần lăng trụ
11. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác vng A, AC = a, góc BCA = 60o BC’ tạo với mặt phẳng (AA’C’C) góc = 45o
a) Xác định tính chiều cao lăng trụ b) Tính diện tích tồn phần thể tích lăng trụ
12. Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh đáy = a, đường chéo BC’ tạo với mặt phẳng (AA’B’B) góc = 30o
a) Xác định tính chiều cao lăng trụ b) Tính diện tích tồn phần thể tích lăng trụ
13. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác ABC cạnh a, điểm A’ cách A,B, C AA’ tạo với đáy góc = 60o
a) Chứng minh mặt bên BB’C’C hình chữ nhật
b) Tính diện tích xung quanh thể tích lăng trụ c) Tính thể tích tứ diện ABB’C 9b – Hình lăng trụ
1. Tính thể tích khối lăng trụ n giác có tất cạnh a
2. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy tam giác ABC vng A AC=b, ACB600 Đường
thẳng BC' tạo với mặt phẳng (AAC'C) góc 300 a/ Tính độ dài đoạn thẳng AC'
b/ Tính thể tích khối lăng trụ cho
3. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy tam giác cạnh a, điểm A' cách ba điểm A, B, C Cạnh AA' tạo với đáy góc 600
a/ Tính thể tích khối lăng trụ? b/ Chứng minh mặt bên BCC'B' hình chữ nhật? c/ Tính tổng diện tích mặt bên (gọi diện tích xung quanh )?
4. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' Gọi M trung điểm AA' Mặt phẳng qua M,B'C' chia khối lăng trụ thành hai phần Tính tỷ số thể tích hai phần đó?
5. Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có diện tích đáy S AA' = h Một mặt phẳng (P) cắt cạnh AA', BB', CC' A1, B1, C1 Biết BB1 = b, AA1 = a, CC1 = c
a/ Tính thể tích phần khối lăng trụ phân chia mặt phẳng (P)? b/ Với điều kiện a, b, c thể tích hai phần nhau?
6. Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' M trung điểm cạnh AB Mặt phẳng (B'C'M) chia khối lăng trụ thành hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần đó?
7. Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có tất cạnh a a/ Tính thể tích khối tứ diện A'BB'C?
b/ Mp qua A'B' trọng tâm tam giác ABC cắt AC, BC E, F Tính thể tích hình chóp C.A'B'FE?
8. Cho khối lăng trụ tứ giác ABCD.A1B1C1D1 có khoảng cách hai đường thẳng AB A1D = độ dài đường chéo mặt bên
a/ Hạ AK vng góc với A1D (K thuộc A1D) Chứng minh AK=2 b/ Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A1B1C1D1
(26)10. Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy hình bình hành BAD450 Các đường chéo AC' và
DB' tạo với đáy góc 450và 600 Hãy tính thể tích khối lăng trụ biết chiều cao =
11. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' với mặt bên (ABB'A') có diện tích Khoảng cách cạnh CC' mặt bên (ABB'A') Tính thể tích hình lăng trụ
12. Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông cân với cạnh huyền AB= Cho biết mặt phẳng (AA'B) vng góc với mặt phẳng (ABC), AA'= 3, AA'B= góc nhọn, góc mặt phẳng (A'AC) mặt phẳng (ABC) 600 Hãy tính thể tích khối lăng trụ
13. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có đáy tam giác cạnh a Gọi M, N E theo thứ tự trung điểm cạnh BC, CC', C'A' Đường thẳng EN cắt đường thẳng AC F, đường thẳng MN cắt đường thẳng B'C' L Đường thẳng FM kéo dài cắt AB I, đường thẳng LE kéo dài cắt A'B' J
a/ Chứng minh hình đa diện IBM.JB'L A'E.AFI hình chóp cụt b/ Tính thể tích hình chóp F.AIJA'
c/ Chứng minh mặt phẳng (MNE) chia khối lăng trụ cho thành hai khối đa diện tích
19. Cho lăng trụ tam giác ABC.ABC có mp(ABC) tạo với đáy góc 450 SABC 49 6 cm2 Tính thể tích lăng trụ
20. (A–08) Cho lăng trụ ABC A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, AC = a 3 hình chiếu vng góc A’ (ABC) trung điểm BC Tính theo a thể tích khối chóp A’.ABC cosin góc đường thẳng AA’ B’C’ HD:
3 1
2
a
V ; cos
21. (D–08): Cho lăng trụ đứng ABC A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA’ = a
2 Gọi M trung điềm BC Tính theo a thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’ khoảng cách 2
đường thẳng AM, BC HD:
3
2
2
a a
V ; d
22. (A–06): Cho hình trụ có đáy hai hình trịn tâm O O, bán kính đáy chiều cao a
Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, đường tròn đáy tâm O lấy điểm B cho AB = 2a Tính
thể tích khối tứ diện OOAB.HD:
3 12
a V
23. (Dự bị A–07): Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 = 2a 5
0
120
BAC Goïi
M trung điểm CC1 CM: MB MA1 tính d (A, (A1BM) HD:
5
a d
24. (Dự bị D–07): Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy ABC tam giác vuông, AB = AC = a, AA1 =
2
a Gọi M, N trung điểm đoạn AA1 BC1 CM: MN đường chung AA1 BC1.
Tính thể tích tứ diện MA1BC1 HD:
3 2 12
a V
25. (Dự bị D–07): Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có tất cạnh a M trung điểm đoạn
AA1 CM: BM B1C tính khoảng cách hai đường thẳng BM B1C HD:
30 10
a d
26. Cho lăng trụ tam giác ABC.ABC, cạnh đáy a, đường chéo mặt bên BCCB hợp với mặt bên ABBA góc
a) Xác định góc HD: C BI với I trung điểm AB
b) Chứng minh thể tích lăng trụ là:
3 3
a sin sin
(27)28. Cho lăng trụ đứng ABC.ABC, đáy ABC vuông A Khoảng cách từ AA đến mặt bên BCCB a, mp(ABC) cách C khoảng b hợp với đáy góc
a) Dựng AH BC, CK AC CM: AH = a, CAC = , CK = b.
b) Tính thể tích lăng trụ c) Cho a = b khơng đổi, thay đổi Định để V lăng trụ nhỏ
HD: b) V =
3
2 2
2
ab b a
sin sin c) = arctan 2
29. Cho lăng trụ ABCD.ABCD cạnh đáy a Góc đường chéo AC đáy 600 Tính thể
tích diện tích xung quanh hình lăng trụ HD: V = a3 ; S
xq = 4a2
30. Cho lăng trụ tứ giác đều, có cạnh bên h Từ đỉnh vẽ đường chéo mặt bên kề Góc đường chéo Tính diện tích xung quanh hình lăng trụ HD: Sxq = 4h2
1 cos cos .
31. Cho lăng trụ tam giác ABc.ABC, cạnh đáy a Mp (ABC) hợp với mp(BCCB) góc Gọi I, J hình chiếu A lên BC BC
a) Chứng minh AJI = b) Tính thể tích diện tích xung quanh hình lăng trụ
HD: b) V =
3
3
4
a
tan ; Sxq = 3a2
3 tan .
32. Cho lăng trụ xiên ABC.ABC, đáy tam giác cạnh a, AA = AB = AC = b a) XĐ đường cao lăng trụ vẽ từ A Chứng minh mặt bên BCCB hình chữ nhật b) Định b theo a để mặt bên ABBA hợp với đáy góc 600. HD: b = a 127
c) Tính thể tích diện tích tồn phần theo a với giá trị b tìm HD: Stp =
2
7 21
a ( )
33. Cho hình lăng trụ xiên ABC.ABC, đáy ABC tam giác vuông cân đỉnh A Mặt bên ABBA hình thoi cạnh a, nằm mp với đáy Mặt bên ACCA hợp với đáy góc nhị diện có số đo (0 < < 900)
a) CM: A AB = . b) Tính thể tích lăng trụ.
c) Xác định thiết diện thẳng qua A Tính diện tích xung quanh lăng trụ
d) Gọi góc nhọn mà mp(BCCB) hợp với mặt phẳng đáy Chứng minh: tan = 2tan.
HD: b) V =
1 2a3sin
c) Sxq = a2(1 + sin +
2
1sin )
34. Cho lăng trụ xiên ABC.ABC đáy tam giác cạnh a Hình chiếu A lên mp(ABC) trùng với tâm đường tròn (ABC) Cho BAA = 450.
a) Tính thể tích lăng trụ b) Tính diện tích xung quanh lăng trụ
HD: a) V =
2 2
a
b) Sxq = a2(1 +
2 ).
35. Cho lăng trụ xiên ABC.ABC, đáy ABC tam giác nội tiếp đường trịn tâm O Hình chiếu C lên mp(ABC) O Khoảng cách AB CC d số đo nhị diện cạnh CC 2
a) Tính thể tích lăng trụ
b) Gọi góc mp(ABBA) (ABC) (0 < < 900) Tính
biết + = 900
HD: a) V =
3 2 d tan tan
b) tan =
1
3tan 1; = arctan 22
36. Cho lăng trụ xiên ABC.ABC có đáy tam giác vng A, AB = a, BC = 2a Mặt bên ABBA hình thoi, mặt bên BCCB nằm mặt phẳng vng góc với đáy, hai mặt hợp với góc a) Tính khoảng cách từ A đến mp(BCCB) Xác định góc b) Tính thể tích lăng trụ
HD: a)
3
a
Gọi AK đường cao ABC; vẽ KH BB AHK = . b) V =
(28)10 – Mặt cầu
1. Cho hình chóp S.ABCD có SA (ABCD), ABCD hình chữ nhật AB = a, SA = BC = 2a CM: điểm S, A, B, C, D nằm mặt cầu Tìm tâm, bán kính mặt cầu
2. Cho hình chóp S.ABC có SA (ABC) BE, BF đường cao tam giác ABC SBC Gọi H H’ trực tâm tam giác ABC SBC
a) CM: SH’, AH BC đồng qui điểm I b) CM: điểm E, F, I, S, B mặt cầu
3. Cho hình chóp S.ABCD có SA (ABCD) ABCD hình vng cạnh a Dựng mặt phẳng qua A vng góc với đường thẳng SC, cắt SB, SC, SD B’, C’, D’
a) CM: điểm A, B, C, D, B’, C’, D’ nằm mặt cầu cố định b) Tính diện tích mặt cầu
4. Trong mặt phẳng cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn đường kính AD Trên đường thẳng A ta lấy điểm S Gọi H, K hình chiếu A SB SC
a) CM: tam giác AHD, AKD vuông b) CM: điểm A, B, C, H, K nằm mặt cầu
5. Cho hình chóp S.ABC cạnh đáy = a, cạnh bên =2a Tìm tâm, bán kính mặt cầu qua điểm S, A, B, C
6. Trong mặt phẳng cho đường tròn đường kính AB = 2R Trên đường trịn ta lấy điểm C.Kẻ CH AB (HAB).Gọi I trung điểm CH Trên tia Ix ta lấy điểm S cho SH I^ = 60o CM: SAB = CAB, từ suy tâm, bán kính mặt cầu qua đỉnh S, A, B, C
7. Cho tứ diện SABC có SA (ABC), cạnh SA = a AB = b, AC = c Xác định tâm,bán kính mặt cầu qua đỉnh S, A, B, C trường hợp sau:
a) B^A C = 90o b) BA C^ =60o b = c c) B^A C = 120o b = c
8. Cho hình chóp S.ABCD có SA (ABCD), SA = a ABCD là hình thang vng A B có AB = BC = a, AD = 2a Gọi E trung điểm cạnh AD Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CDE
9. Cho tứ diện ABCD cạnh a a) Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (BCD) b) Tính góc cạnh bên đáy c) Tính góc mặt bên đáy
d) Tìm tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
10. Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a Cạnh bên hợp với đáy góc φ = 60o
a) Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp b) Tính góc mặt bên đáy
11. Cho tứ diện SABC có SA (ABC) đáy tam giác cạnh a Mặt bên (SBC) hợp với đáy góc φ = 30o a) Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện b) Tính góc SC mp (ABC)
11 – Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng, đường thẳng
1. Cho mặt cầu tâm O đường kính AB = 2R Điểm H thuộc đoạn AB cho AH = 4
3 R Mặt phẳng AB H, cắt mặt cầu theo đường tròn (L) Tính diện tích (L)
2. Cho mặt cầu S (O,R); A điểm nằm mặt cầu Mặt phẳng qua A cho góc OA 30o a) Tính diện tích đường trịn thiết diện mặt cầu
b) Đường thẳng qua A cắt (S) B Tính độ dài AB
3. Cho mặt cầu S (O;R) tiếp xúc cạnh tam giác ABC
a) Chứng minh hình chiếu H O mặt phẳng (ABC) tâm đường tròn nội tiếp ABC b) Biết độ dài cạnh ABC 6, 8, 10 R = Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC)
4. Trong mp cho đường tròn đk AB tâm O Gọi M điểm nằm đường tròn Trên đường thẳng A ta lấy điểm C Gọi H hình chiếu A mặt cầu a) CM: H nằm mặt cầu (O)
b) Tiếp tuyến với (O) A M cắt K CM: KA=KM=KH Từ KH t/tuyến mặt cầu (O)
5. Cho mặt cầu (O;R) điểm A biết OA = 2R Qua A kẻ tiếp tuyến với mặt cầu B cát tuyến cắt mặt cầu C D cho CD = R
a) Tính độ dài đoạn AB b) Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng CD
(29)(30)HÌNH HỌC KHƠNG GIAN TRONG CÁC KỲ THI ĐẠI HỌC
1. (K A -2002) - Cho hình chóp tam giác S.ABC, có độ dài cạnh đáy a Gọi M, N trung điểm cạnh SA, SC Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết mp (AMN) với mp (SBC)
2. (K B-2002) - Cho hình lập phương ABC.A'B'C'D' có cạnh a a/ Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng A'B B'D?
b/ Gọi M, N, P trung điểm cạnh BB', CD, A'D' Tính góc đường thẳng MP C'N?
3. (K D-2002) - Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vng góc với mặt phẳng (ABC); AC=AD=4 cm; AB=3
cm; BC=5 cm Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (BCD)
4. (K A-2003) - 1/ Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' Tính số đo góc phẳng nhị diện [B,A'C,D]
2/ Trong khơng gian Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có A trùng với gốc tọa độ, B(a,0;0), D(0;a;0), A'(0;0;b) ( a,b,c>0) Gọi M trung diểm CC'
a/ Tính thể tích khối tứ diện BDA'M theo a, b b/ Xác định tỉ số
a
b để hai mặt phẳng (A'BD) (MBD) vng góc với
5. (K B-2003) - Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD hình thoi cạnh a, góc BAD 600 Gọi M trung điểm cạnh AA' N trung điểm cạnh CC' CM: bốn điểm B', M, D, N thuộc mặt phẳng Hãy tính độ dài cạnh AA' theo a để tứ giác B'MDN hình vng?
6. (K D-2003) - Cho mp (P) (Q) với nhau, có giao tuyến đường thẳng d Trên d lấy hai điểm A, B với
AB=a Trong mp (P) lấy điểm C, mp (Q) lấy điểm D cho AC, BD với d AC=BD=AB
Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD tính khoảng cách từ A đến mp (BCD) theo a
7. (K A-2004) - Trong khơng gian Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi, AC cắt BD gốc tọa độ O Biết A(2;0;0), B(0;1;0), S(0;0;2 2) Gọi M trung điểm cạnh SC
a/ Tính góc khoảng cách hai đường thẳng SA BM
b/ Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD N Tính thể tích khối chóp S.ABMN
8. (K B-2004) - Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, góc cạnh bên mặt đáy , với 00900 Tính tan góc hai mp (SAB) (ABCD) theo Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
9. (K D-2004) - Trong ko gian Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' Biết A(a;0;0), B(-a;0;0), C(0;1;0), B'(-a;0;b), a>0,b>0
a/ Tính khoảng cách hai đường thẳng B'C AC' theo a, b
b/ Cho a, b thay đổi, ln thỏa mãn a+b=4 Tìm a, b để k/cách đ/thẳng B'C AC' lớn nhất? 10. (K A-2005) - Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d:
1 3
1
x y z
mặt phẳng (P): 2x+y-2z+9=0 a/ Tìm tọa độ điểm I thuộc d cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P)
b/ Tìm tọa độ giao điểm A đường thẳng d mặt phẳng (P) Viết phương trình tham số đường thẳng d' nằm (P), biết d' qua A vng góc với d
11. (K B-2005) - Trong ko gian Oxyz cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' với A(0;-3;0), B(4;0;0), C(0;3;0), B'(4;0;4). a/ Tìm tọa độ đỉnh A', C' Viết phương trình mặt cầu có tâm A tiếp xúc với mp (BCC'B')
b/ Gọi M trung điểm A'B' Viết phương trình mặt phẳng (P) qua hai điểm A, M song song với BC' Mặt phẳng (P) cắt A'C' điểm N Tính độ dài đoạn MN
12. (K D-2005) - Trong ko gian Oxyz cho đ/thẳng:
2
1
: , ' :
3 12
3
x y z
x y z
d d
x y
a/ Chứng tỏ a d' song song với Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa chúng?
b/ Mp tọa độ Oxz cắt đường thẳng d d' A, B Tính diện tích tam giác OAB (O gốc tọa độ) 13. (K A -2006) - Hình trụ có đáy O O’ Bán kính = chiều cao = a , A thuộc đtròn O, B thuộc đtròn O’ và
AB = 2a Tính thể tích tứ diện OO’AB
(31)15. (K A1 -2007 DB) - Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 2a 5 BAC❑ =120o .
Gọi M trung điểm cạnh CC1 CM: MB MA1 tính khoảng cách d từ điểm A tới mặt phẳng (A1BM)
16. (K A2 - 2007 DB) - Cho hình chóp SABC có góc (SBC❑,ABC)=60o , ABC SBC tam giác đều
cạnh a Tính theo a khoảng cách từ đỉnh B đến mp(SAC)
17. (K B1 – 2007 DB) - Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, SA với hình chóp Cho
AB = a, SA = a √2 Gọi H K hình chiếu A lên SB, SD CM: SC (AHK) tính VOAHK
18. (K B2 – 2007 DB) - Trong mp (P) cho nửa đ/trịn đường kính AB = 2R điểm C thuộc nửa đ/trịn sao cho AC = R Trên đường thẳng với (P) A lấy điểm S cho (SAB❑,SBC)=60o Gọi H, K lần lượt
là hình chiếu A SB, SC CM: AHK vng tính VSABC?
19. (K D1 - 2007 DB) - Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có đáy ABC tam giác vuông AB=AC=a , AA1 =
a √2 Gọi M, N trung điểm đoạn AA1 BC1 Chứng minh MN đường vng góc chung đường thẳng AA1 BC1 Tính VMA1BC1
20. (K D2 – 2007 DB) - Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có tất cạnh a M trung điểm đoạn AA1 Chứng minh BM B1C tính d(BM, B1C)
21 (CĐ – 2008) - Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang, góc BAD = ABC = 900, AB = BC = a, AD = 2a SA với đáy SA = 2a Gọi M, N trung điểm SA, SD
1 CM: BCNM hình chữ nhật Tính thể tích khối chóp SBCNM theo a
22 (K D – 2008) – Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA’ = a , gọi M trung điểm BC
1 Tính theo a thể tích K lăng trụ ABC.A’B’C’ Tính khoảng cách AM, B’C
23 (K B – 2008) – Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, SA = a, SB = a √3 ( SBC) vng góc với đáy Gọi M, N trung điểm AB, BC
1. Tính theo a thể tích khối chóp SBMDN Tính cosin góc SM, DN
24. (K A – 2008) – Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, AC = a √3 hình chiếu vuộng góc A’ (ABC) trung điểm cạnh BC
1 Tính theo a thể tích khối chóp A’ABC Tính cosin góc AA’ , B’C’
25 (K A – 2009) – Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A D; AB = AD = 2a; CD = a; góc mp (SBC) (ABCD) 600 Gọi I trung điểm cạnh AD Biết mp (SBI) (SCI) vng góc với mp (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
26 (K B – 2009) – Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc đường thẳng BB’ mp (ABC) 600; tam giác ABC vuông C BAC = 600 Hình chiếu vng góc điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính V K tứ diện A’ABC theo a
27 (K D – 2009) – Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a Gọi M trung điểm đoạn thẳng A’C’, I giao điểm AM A’C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC)
28 (K A – 2010) – Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD hình vng cạnh a, gọi M, N trung điểm AB, AD H giao điểm CN, DM Biết SH với (ABCD) SH = a √3 Tính VS.CDNM d(DM, SC)
29 (K B – 2010) – Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AB = a, góc mp (A’BC) (ABC) 600 Gọi G trọng tâm tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ cho tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a
30 (K D – 2010) – Cho hình chóp SABC có đáy ABCD hình vng cạnh a, cạnh bên SA = a; hình chiếu vng góc đỉnh S (ABCD) điểm H thuộc đoạn AC, AH = AC/4 Goi CM đường cao tam giác SAC Chứng minh M trung điểm SA thể tích tứ diện SMBC theo a
(32)32 (K B – 2011) – Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD hình chữ nhật, AB=a, AD a Hình chiếu A1 mp (ABCD) trùng với giao điểm AC BD Góc hai mặt phẳng ADD A1 1 ABCD 600 Tính thể tích khối lăng trụ cho khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng A BD1 theo a
33 (K D – 2011) – Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B, BA=3a, BC=4a; mp (SBC) với mp (ABC) Biết SB2a 3 SBC 300 Tính VS.ABC khoảng cách từ điểm B đến mp (SAC) theo a.
34 (CĐ K A-B-D – 2011) – Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vuông cân B, AB=a, SA vng góc với mặt phẳng (ABC), góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 300 Gọi M trung điểm SC Tính thể tích khối chóp S.ABM theo a
35 (K A – 2012) – Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S đáy (ABC) điểm H thuộc cạnh AB cho HA=2HB Góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABC)
0
60 Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng SA BC theo a.
36 (K B – 2012) – Cho hình chóp tam giác S.ABC, với SA=2a, AB=a Gọi H hình chiếu vng góc A SC Chứng minh SC vng góc với mặt phẳng (ABH) Tính thể tích khối chóp S.ABH theo a
37 (K D – 2012) – Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy hình vng Tam giác A'AC vng cân, A'C=a Tính thể tích khối tứ diện ABB'C' khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD') theo a
BỔ SUNG THÊM MỘT SỐ BÀI TẬP KHÁC
1 (THTT-số 2-2012). Cho khối chóp S.ABC có BC=2a Mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng (ABC), tam giác SAB cân S tam giác SBC vng Tính thể tích khối chóp
2. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh a Gọi M, N theo thứ tự trung điểm AB BC
1,
O O tâm mặt (A'B'C'D') (ADD'A') Tính V khối tứ diện MNO O1 2.
3. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy hình thoi cạnh a BAD600 Hai mặt chéo (ACC'A') (BĐ'B')
cùng với đáy Gọi M, N trung điểm CD, B'C' MNBD' Tính thể tích hình hộp
4. Xét khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành với AB=a, SA=SB=SC=SD =
5
a
Khối chóp tích lớn tính giá trị
5. Cho khối chóp S.ABC có SA=1, SB=2, ASB600 ASC90 ,0 BSC 1200 Tính thể tích khối chóp?
6. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a BAD 600 Các mặt phẳng (SAB),
(SBD), (SAD) nghiêng với đáy (ABCD) góc Tính V khối chóp đó?
7. Cho khối chóp S.ABCD có đáy hình thang cân, với đáy lớn AB=4 lần đáy nhỏ CD, chiều cao đáy = a, bốn đường cao bốn mặt bên ứng với đỉnh S có độ dài b Tính thể tích hình chóp?