Đang tải... (xem toàn văn)
Sử dụng phương trình để xét bài toán về sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số. A.[r]
(1)Sự tương giao hai đồ thị hàm số
§1 Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối A Phương pháp giải toán
Để vẽ Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối, ta sử dụng ba nguyên tắc sau đây:
Nguyên tắc 1. (về phân chia đồ thị hàm số) Đồ thị hàm số
1
2
neáu neáu neáu
n n
f x x D
f x x D
y f x
f x x D
là hợp n đồ thị hàm số yf xk với x D k (k1, 2, , n).
Nguyên tắc 2. (về đổi dấu hàm số) Đồ thị hàm số yf x , x D đồ thị hàm số
y f x
, x D đối xứng qua Ox.
Nguyên tắc 3. (về đồ thị hàm chẵn) Đồ thị hàm chẵn nhận Oy làm trục đối xứng
Hai trường hợp hay gặp:
Đồ thị hàm số yf x
Vì
là hàm chẵn
y f x
f x f x x
nên đồ thị hàm số yf x gồm hai phần: +) Phần phần đồ thị hàm số yf x nằm bên phải Oy; +) Phần đối xứng với phần qua Oy
Đồ thị hàm số y f x
Vì
0
neáu neáu
f x f x
f x
f x f x
(2)+) Phần đối xứng với phần Đồ thị hàm số yf x phía trục hồnh qua trục hồnh
B Các ví dụ
Ví dụ Vẽ đồ thị hàm số
1)
1
1
x f x
x
C1 ; 2)
2
1
x f x
x
C2; 3)
3
1
x f x
x
C3 ;
4) 4
1
x f x
x
C4; 5)
5
1
x f x
x
C5.
Giải Trước hết, ta vẽ đồ thị C hàm số
1
x f x
x
(hình 0);
1) Ta có
1
0
neáu neáu
f x f x
f x f x
f x f x
Do đồ thị C1 gồm hai phần (hình 1): Phần 1: phần đồ thị C nằm Ox;
Phần 2: đối xứng với phần đồ thị C nằm Ox qua Ox
2) Ta có f x2 f x hàm chẵn, đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng Lại có f x2 f x
với x0 Do đồ thị C2 gồm hai phần (hình 2): Phần 1: phần đồ thị C nằm bên phải Oy; Phần 2: đối xứng với phần qua Oy
3) Ta có
2
3
2
0
neáu neáu
f x f x
f x f x
f x f x
Do đồ thị C3 gồm hai phần (hình 3): Phần 1: phần đồ thị C2 nằm Ox;
Phần 2: đối xứng với phần đồ thị C2 nằm Ox qua Ox
4) Ta có
4
1
neáu neáu
f x x
f x
f x x
(3) Phần 1: phần đồ thị C ứng với x1;
Phần 2: đối xứng với phần đồ thị C ứng với x1 qua Ox
5) Ta có
5
1
neáu neáu
f x x
f x
f x x
Do đồ thị C5 gồm hai phần (hình 5): Phần 1: phần đồ thị C ứng với x 1;
Phần 2: đối xứng với phần đồ thị C ứng với x 1 qua Ox
Hình 0 Hình 1
(4)Hình 4 Hình 5
C Bài tập
Vẽ đồ thị hàm số sau
1)
2
3
y x x x
2) y 1 1 x x 3)
2
3
yx x 4) y x 2 3x
5)
2
3
yx x
6)
2
1
3
y x x x x
7)
3
3
y x x x 8) y13x x2 x2 3x 1
9)
3
1
18 24 26
y x x x
10)
3 2
1
18 24 26
y x x x
11)
3 2
1
18 24 26
y x x x 12) y181 x1x2 2x26
13)
4 4 3
yx x
14)
2 1 3
yx x
15)
2 3 1
yx x
16)
3
1 3
y x x x x
17)
4 5 4
yx x
18)
3
1 4
y x x x x
19)
3
1 4
y x x x x
20)
3
2 2
y x x x x
21)
3
2 2
y x x x x
22)
2 4 1
yx x
23)
2
1
yx x
24)
2
2
yx x x x
25)
2
2
yx x x x
26) x x y
27) y2x1x
28) x x y
29) yxx21 30) yxx12
31) 3 x x x y 32) 3 x x x y 33) 3 x x x y 34) 3 x x x y 35) 3 x x x y
36) 31
x x y x
37)
x x y x
38) 31
x x y x
39) 3
x x y x
(5)§2 Sử dụng tương giao hai đồ thị hàm số để xét phương trình
A Phương pháp giải tốn
Trong phần này, ta sử dụng kết luận sau mối liên hệ tập nghiệm phương trình f x m * với tập tập điểm chung đường thẳng d y m: với đồ thị
C :yf x
:
* có nghiệm d có điểm chung với C
Số nghiệm * số điểm chung đường thẳng
d với C .
Nghiệm * hoành độ điểm chung d C B Các ví dụ
Ví dụ [ĐHA02] Tìm k để phương trình
3 3 3 0
x x k k
*
có nghiệm phân biệt
Giải
Cách 1. Phương trình * tương đương với
3 3 3
x x k k .
Nếu đặt
3 3 f x x x
phương trình trở thành
f x f k
*
có ba nghiệm phân biệt đường thẳng yf k có ba điểm chung với đồ thị hàm số yf x 4 f k 0. Từ đồ thị hàm số yf k , ta thấy điều kiện 4 f k 0 tương đương với k 1;3 \ 0; 2
Cách 2. Phương trình cho tương đương với
x k x k 3x k2 3k 0
3 1
x k
x k x k k
.
(6)
2
1
3
k k
k k k k k
1;3 0;2
k k
k 1;3 \ 0; 2 .
Ví dụ [ĐHA06] Tìm m để phương trình
3 2
2 x 9x 12 x m
có nghiệm phân biệt
Giải. Đặt f x 2x3 9x212x Phương trình cho tương đương với f x m
Trước hết ta vẽ đồ thị C hàm số f x 2x3 9x212x Hàm f x hàm chẵn,
f x f x x 0
Do đó, đồ thị C' hàm số f x gồm hai phần
Phần 1: phần C nằm bên phải Oy; Phần 2: đối xứng với phần qua Oy
Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt đường thẳng y m có 6 điểm chung với
C' 4m5.
Ví dụ [ĐHB09] Với giá trị m, phương trình sau có nghiệm phân biệt
2 2
x x m
1
Giải.Cách 1. Đặt tx2, 1 trở thành
2
t t m
2
1
có nghiệm phân biệt 2 có 3 nghiệm dương phân biệt đường thẳng d y m: có
3 điểm chung với đồ thị C hàm số f t t t
(7)Ta có
2
2
2
2
neáu t neáu t
t t
f t
t t
C gồm hai phần:
Phần 1: phần đồ thị hàm số y t 2 2t ứng với t2 Phần 2: đối xứng với phần đồ thị hàm số
2 2
y t t ứng với
t , qua trục hồnh.
Vậy 1 có nghiệm phân biệt 0m1.
Cách 2.Trước hết, ta vẽ đồ thị C hàm số
4 2 f x x x
Ta thấy: 1 f x m.
0
neáu neáu
f x f x
f x
f x f x
Đồ thị C' hàm số f x gồm hai phần
Phần 1: phần C nằm phía trục hồnh
Phần 2: đối xứng với phần C nằm phía trục hoành, qua
trục hoành
1 có 6 nghiệm phân biệt đường thẳng y m có 6 điểm chung với C' 0m1.
C Bài tập
Bài Cho phương trình x43x2m 1 0. 1) Giải phương trình với m3.
2) Tìm tất giá trị m để phương trình có nghiệm phân biệt nghiệm nhỏ
3) Trong trường hợp phương trình có nghiệm phân biệt, gọi nghiệm x1, x2, x3
, x4, tính tổng x1x2 x3x4. Bài Cho y x 33x2 9x m C
(8)2) Tìm m để phương trình x33x2 9x m có 3 nghiệm phân biệt.
Bài Cho hàm số y x 3 3x1 C 1) Khảo sát vẽ đồ thị C
2) Tìm m để phương trình x3 3x 6 2m 0 có ba nghiệm phân biệt.
Bài Cho hàm số y x 3 3x2 C 1) Khảo sát vẽ đồ thị C
2) Biện luận số nghiệm phương trình
2
3 3 2 2
x x
m m
.
Bài Cho hàm số
3
x
y x C
1) Khảo sát vẽ đồ thị C 2) Tìm k để phương trình
2
3 4 1
4
3
k x
x
k
có nghiệm phân biệt
Bài Cho hàm số
2
1
y x x C
1) Khảo sát vẽ đồ thị C
2) Biện luận số nghiệm phương trình
2
1 2
x x m m
Bài Cho hàm số
2
2
x y
x
C . 1) Khảo sát vẽ đồ thị C 2) Tìm m để phương trình
2sin sin
x
m x
có hai nghiệm thuộc đoạn 0;.
Bài [ĐHA02] Cho phương trình
2
3
log x log x 1 2m1 0
1) Giải phương trình m2.
2) Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn
3 1;3
(9)§3 Sử dụng phương trình để xét toán tương giao hai đồ thị hàm số
A Tóm tắt lý thuyết
Cho yf x C1 y g x C2 Để tìm giao điểm C1 C2, ta làm sau: Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm Hoành độ giao điểm C1 C2 nghiệm
phương trình
f x g x
*
Phương trình * gọi phương trình hồnh độ giao điểm C1 C2.
Bước 2: Tìm giao điểm Nếu x0 hồnh độ giao điểm x f x0; 0 (x g x0; 0 ) là
một giao điểm C1 C2
Chú ý. Để giải toán loại này, ta hay sử dụng định lý Vi-ét đảo:
Nếu x1, x2 nghiệm phương trình bậc hai ax2bx c 0 (a0)
1
1
b
x x
a c x x
a
.
Nhận xét.
Hai đồ thị hàm số có giao điểm phương trình hồnh độ giao điểm có nghiệm
Số giao điểm hai đồ thị hàm số số nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm B Các ví dụ
Ví dụ Cho y x 32x2 x5 C1 hàm số y7x C2 Hãy xác định giao điểm của
hai đồ thị C1 C2.
Giải. Xét phương trình hồnh độ giao điểm C1 C2:
3 2 5 7
x x x x
2
1
x x x
1
3 29 29
2
x x x
(10)Vậy hai đồ thị cho có ba giao điểm: M11;7,
3 29 21 29
;
2
M
,
3
3 29 21 29
;
2
M
Ví dụ Cho
2 2 1
y x m x m C1
yx C2 Tìm điều kiện m để C1 có
giao điểm với C2.
Giải Xét phương trình hồnh độ giao điểm C1 C2:
2 2 1
x m x m x 1
x2(2m1)x m 0 (
2 2
2m 4m 2m 8m
)
C1 có giao điểm với C2 1 có nghiệm 0
2 2
2
m m
.
Ví dụ Cho y x 3 4mx2 C1 y3x2 4m C2 Biện luận số giao điểm C1 và
C2.
Giải Xét phương trình hồnh độ giao điểm C1 C2
3 4 2 3 4
x mx x m 1
(x1)(x2 2x 4m 2) 0
2
2 2 '
x
x x m m
.
Số giao điểm C1 C2 số nghiệm phương trình 1 Do đó
3
4
m
: 2 vơ nghiệm 1 có nghiệm (x1) C1 C2
có giao điểm
0 m 34: 2 trở thành
2 2 1 0 1 0 1
x x x x
(11)
3
0 m
: 2 có hai nghiệm phân biệt Ta thấy t 1 4m 0
3
m
1 nghiệm 2 1 có ba nghiệm phân biệt C1 C2 có ba
giao điểm Kết luận:
3
m
: C1 C2 có giao điểm.
3
m
: C1 C2 có ba giao điểm.
Ví dụ [ĐHD03] Cho
2 2 4
x x
y x
C Tìm m để đường thẳng dm:y mx 2 2m có 2
giao điểm với C
Giải. Xét phương trình hồnh độ giao điểm C với dm: 2 4
2 2
x x
mx m
x
x2 2x 4 x 2 mx 2 2m ( x2). m1x2 4m1x4m2 0. *
m
d có 2 giao điểm với C * có 2 nghiệm phân biệt, tức là:
1
' 12
m
m
m1.
Ví dụ [ĐHA04] Cho hàm số
2 3 3
2
x x
y
x
C
Tìm m để đường thẳng d y m: cắt đồ thị hàm số hai điểm A, B cho AB1.
Giải. Xét phương trình hoành độ giao điểm C d:
2 3 3
2
x x
m x
x2(2m 3)x 2m 3 0 * (phép biến đổi tương đương x1 khơng phải nghiệm phương trình của * )
(12) 0 4m2 4m 0
1
m m
. 1
Hoành độ xA, xB điểm A, B nghiệm 2 nên theo định lí Vi-ét:
3 A B
A B
x x m
x x m
.
Mặt khác A, B thuộc đường thẳng d y m: nên yA yB m
Áp dụng cơng thức tính khoảng cách, ta có
2 2 2 2
2
4 4
A B A B A B A B
AB x x y y x x x x m m m m
Do
2
1
2
1 4
1
2
m
AB AB m m
m
(thỏa mãn 1 ).
Vậy
1
2
m
Ví dụ [ĐHA10] Cho hàm số
3 2 1
y x x m x m C
Tìm m để C cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2, x3 cho
2 2
1
x x x .
Giải. Xét phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị C hàm số với trục hoành (y0):
3
2
x x m x m 1
2
1
x x x m
2
( )
0 t x
x
x x m
.
C
cắt trục hoành ba điểm phân biệt 1 có ba nghiệm phân biệt
t x có hai nghiệm phân biệt khác 1
0
1
t
1
0
m m
1
m m
.
(13)2
2
x x
x x m
. Do đó:
2 2
1 3 2 2
x x x x x x x m
, x12x22x32 4 2 m4 m1
Vậy đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2, x3 cho
2 2
1
x x x
1
1
4 m
, m0. C Bài tập
Bài Tìm giao điểm cặp đồ thị hàm số sau đây:
1)
2 3
3
2
x
y x
1 2
x
y
; 2) x y x
y3x1;
3) x y x
y3x5; 4)
3
4
y x x yx2;
5) yx32x10 y x 23x 4; 6) y x 3 5x210x y x 2 x1;
7) x y x
yx22x4; 8)
2 x x y x x
y 3 2x;
9) y x 4 x21 y4x2
Bài Biện luận theo m số giao điểm cặp đồ thị hàm số sau
1) y x 3 3x y m x 2;
2)
3 2
3
x x
y x
1 13 12
y m x
; 3) 3 x
y x
y m x 3; 4)
2 x y x
y2x m ;
5) 1 x y x
y2x m ; 6)
2 6 3 x x y x
y x m ;
7) y x x
y mx 3; 8)
2 3 3 x x y x
y mx 4m1;
9) y2x3 x
2 1
y m x
Bài Tìm m để
1) Đường thẳng d y: 2x m đồ thị hàm số
2
2
:
1
x x m
C y
x
hai điểm phân biệt;
2) Đường thẳng d y mx: cắt đồ thị hàm số
3
:
C y x x x
ba điểm phân biệt;
3) Đường thẳng d y: x2 cắt đồ thị hàm số
3
:
C y x x mx m
ba điểm phân biệt;
4) Đồ thị hàm số
2
:
C y x x mx m
(14)5) Đồ thị hàm số C :y mx 33mx2 1 2 m x 1 cắt trục hoành ba điểm phân biệt;
6) Các đồ thị hàm số C1 :x32x2 2x2m1
2
2 : 2
C y x x
cắt ba điểm phân biệt;
7) Các đồ thị hàm số
3 2
1 :
C x x m x m
2
2 :
C y x
cắt ba điểm phân biệt;
8) Đường thẳng d y m: cắt đồ thị hàm số
4 1
:
C yx x
bốn điểm phân biệt;
9) Đồ thị hàm số
4
:
C y x m m x m
cắt trục hoành bốn điểm phân biệt;
10) Đồ thị hàm số
4 2
: 3
C y x m x m m
cắt trục hoành bốn điểm phân biệt;
11) [ĐHD06] Đường thẳng d qua điểm A3; 20 có hệ số góc m cắt
3
:
C y x x
3 điểm phân biệt;
12) [ĐHD09] Đường thẳng d y: 2x m cắt
2 1
: x x
C y
x
hai điểm phân biệt
Bài Tìm m để
1) Đường thẳng d y mx: 2 cắt đồ thị hàm số
2 4 5 :
2
x x
C y
x
hai điểm có hồnh độ trái dấu;
2) Đường thẳng d y mx: 2 cắt đồ thị hàm số
2 :
1
mx x m
C y
x
hai điểm có hồnh độ trái dấu;
3) Đường thẳng d y mx: 3 cắt đồ thị hàm số
2 4 5 :
2
x x
C y
x
hai điểm thuộc hai nhánh khác C ;
4) Đồ thị hàm số
2 :
1
mx x m
C y
x
cắt trục hoành hai điểm có hồnh độ dương;
5) [ĐHA03]
2 :
1 m
mx x m
C y
x
cắt trục hoành hai điểm phân biệt có hồnh độ dương;
6) [ĐHD09] Đường thẳng d y: 1 cắt Cm:yx4 3m2x23m 4 điểm phân biệt
đều có hồnh độ nhỏ
Bài Tìm m để
1) [ĐHB09] Đường thẳng d y: x m cắt
2 1
: x
C y
x
hai điểm A, B cho AB4 ;
2) Đường thẳng d y x: 2m cắt đồ thị hàm số
3
:
4
x
C y
x
hai điểm A, B cho
(15)3) Đường thẳng d y: x m cắt đồ thị hàm số
4
:
x
C y
x
hai điểm A, B cho đoạn thẳng AB ngắn nhất;
4) Đường thẳng dm:yx m cắt
2
:
2
x
C y
x
hai điểm A, B cho đoạn thẳng AB ngắn nhất;
5) Đường thẳng d y mx: 2 2m cắt đồ thị hàm số
2 2 4 :
2
x x
C y
x
hai điểm A, B. Khi đó, tính độ dài đoạn thẳng AB theo m
Bài [ĐHD08] Cho y x 3 3x24 C Chứng minh đường thẳng d qua điểm
1;2
I có hệ số góc k, với k 3 cắt C ba điểm phân biệt I , A, B đồng thời I
là trung điểm đoạn thẳng AB
Bài [ĐHD03] Cho
2 2 4
x x
y C
x
Tìm m để đường thẳng dm:y mx 2 2m cắt C
tại hai điểm A, B phân biệt cho trung điểm đoạn thẳng AB thuộc trục tung
Bài [ĐHB10] Cho
2
1
x y
x
C Tìm m để đường thẳng dm:y2x m cắt C hai
điểm phân biệt A,B cho tam giác OAB có diện tích (O gốc tọa độ)
Bài [ĐHA11] Cho
1
2
x y
x
C Chứng minh với m, đường thẳng d y x m: luôn cắt C hai điểm phân biệt A B Gọi k1, k2 hệ số góc tiếp tuyến với C A
B Tìm m để k1k2 đạt giá trị lớn nhất.
Bài 10 [ĐHD11] Cho
2
1
x y
x