Chương I. §2. Khối đa diện lồi và khối đa diện đều

Sử dụng phương trình để xét bài toán về sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số. A.[r]

Sự tương giao hai đồ thị hàm số

§1 Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối A Phương pháp giải toán

Để vẽ Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối, ta sử dụng ba nguyên tắc sau đây:

 Nguyên tắc 1. (về phân chia đồ thị hàm số) Đồ thị hàm số

 

     

1

2

neáu neáu neáu

n n

f x x D

f x x D

y f x

f x x D

 



 

 



 



là hợp n đồ thị hàm số yf xk  với x D k (k1, 2, , n).

 Nguyên tắc 2. (về đổi dấu hàm số) Đồ thị hàm số yf x , x D đồ thị hàm số

 

y f x

, x D đối xứng qua Ox.

 Nguyên tắc 3. (về đồ thị hàm chẵn) Đồ thị hàm chẵn nhận Oy làm trục đối xứng

Hai trường hợp hay gặp:

 Đồ thị hàm số yf x 

Vì

 

   

là hàm chẵn

y f x

f x f x x

   

  



 nên đồ thị hàm số yf x  gồm hai phần: +) Phần phần đồ thị hàm số yf x  nằm bên phải Oy; +) Phần đối xứng với phần qua Oy

 Đồ thị hàm số y f x 

Vì

     

   

0

neáu neáu

f x f x

f x

f x f x

 

 

 



+) Phần đối xứng với phần Đồ thị hàm số yf x  phía trục hồnh qua trục hồnh

B Các ví dụ

Ví dụ Vẽ đồ thị hàm số

1)

 

1

1

x f x

x

 

  C1 ; 2)

 

2

1

x f x

x

 

 C2; 3)

 

3

1

x f x

x

 

 C3 ;

4) 4 

1

x f x

x

 

 C4; 5)

 

5

1

x f x

x

 

 C5.

Giải Trước hết, ta vẽ đồ thị  C hàm số  

1

x f x

x

 

 (hình 0);

1) Ta có

       

   

1

0

neáu neáu

f x f x

f x f x

f x f x

 



 

 



 Do đồ thị  C1 gồm hai phần (hình 1):  Phần 1: phần đồ thị  C nằm Ox;

 Phần 2: đối xứng với phần đồ thị  C nằm Ox qua Ox

2) Ta có f x2  f x  hàm chẵn, đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng Lại có f x2  f x 

với x0 Do đồ thị C2 gồm hai phần (hình 2):  Phần 1: phần đồ thị  C nằm bên phải Oy;  Phần 2: đối xứng với phần qua Oy

3) Ta có

       

   

2

3

2

0

neáu neáu

f x f x

f x f x

f x f x

 



 

 



 Do đồ thị C3 gồm hai phần (hình 3):  Phần 1: phần đồ thị C2 nằm Ox;

 Phần 2: đối xứng với phần đồ thị C2 nằm Ox qua Ox

4) Ta có

   

 

4

1

neáu neáu

f x x

f x

f x x

 

 

 



 Phần 1: phần đồ thị  C ứng với x1;

 Phần 2: đối xứng với phần đồ thị  C ứng với x1 qua Ox

5) Ta có

   

 

5

1

neáu neáu

f x x

f x

f x x

  

 

  



 Do đồ thị C5 gồm hai phần (hình 5):  Phần 1: phần đồ thị  C ứng với x 1;

 Phần 2: đối xứng với phần đồ thị  C ứng với x 1 qua Ox

Hình 0 Hình 1

Hình 4 Hình 5

C Bài tập

Vẽ đồ thị hàm số sau

1)  

2

3

y x  x x  

2) y 1 1 x  x 3)

2

3

yx  x 4) y x 2 3x 

5)

2

3

yx  x 

6)

2

1

3

y x x  x  x 

7)

3

3

y x  x  x 8) y13x x2  x2 3x 1

9)

3

1

18 24 26

y x  x  x

10)  

3 2

1

18 24 26

y x  x  x 

11)

3 2

1

18 24 26

y x  x  x  12) y181 x1x2 2x26

13)

4 4 3

yx  x 

14)  

2 1 3

yx  x 

15)  

2 3 1

yx  x 

16)  

3

1 3

y x x x  x

17)

4 5 4

yx  x 

18)  

3

1 4

y x x x  x

19)  

3

1 4

y x x  x  x

20)  

3

2 2

y x x  x  x

21)  

3

2 2

y x x  x  x

22)  

2 4 1

yx  x 

23)  

2

1

yx  x 

24)  

2

2

yx  x x  x

25)  

2

2

yx  x x  x

26) x x y  

 27) y2x1x

28) x x y  

 29) yxx21 30) yxx12

31) 3 x x x y    32) 3 x x x y    33) 3 x x x y    34) 3 x x x y    35) 3 x x x y   

36) 31

x x y x 

 

37)

x x y x 

38) 31

x x y x 

 

39)  3

x x y x 

§2 Sử dụng tương giao hai đồ thị hàm số để xét phương trình

A Phương pháp giải tốn

Trong phần này, ta sử dụng kết luận sau mối liên hệ tập nghiệm phương trình f x  m  * với tập tập điểm chung đường thẳng d y m:  với đồ thị

 C :yf x 

:

  * có nghiệm  d có điểm chung với  C

 Số nghiệm  * số điểm chung đường thẳng

d với  C .

 Nghiệm  * hoành độ điểm chung d  C B Các ví dụ

Ví dụ [ĐHA02] Tìm k để phương trình

3 3 3 0

x x k k

      *

có nghiệm phân biệt

Giải

Cách 1. Phương trình  * tương đương với

3 3 3

x  x k  k .

Nếu đặt  

3 3 f x x  x

phương trình trở thành

   

f x f k

 *

có ba nghiệm phân biệt  đường thẳng yf k  có ba điểm chung với đồ thị hàm số yf x   4 f k 0. Từ đồ thị hàm số yf k , ta thấy điều kiện 4 f k  0 tương đương với k  1;3 \ 0; 2  

Cách 2. Phương trình cho tương đương với

x k x k 3x k2 3k 0

 

          3  1

x k

x k x k k

  

   

 .

   

 

2

1

3

k k

k k k k k

    

  

    



 

 

 

1;3 0;2

k k

    

 

  k  1;3 \ 0; 2   .

Ví dụ [ĐHA06] Tìm m để phương trình

3 2

2 x  9x 12 x m

có nghiệm phân biệt

Giải. Đặt f x 2x3 9x212x Phương trình cho tương đương với f x m

Trước hết ta vẽ đồ thị  C hàm số f x 2x3 9x212x Hàm f x  hàm chẵn,

   

f x f x  x 0

Do đó, đồ thị C' hàm số f x  gồm hai phần

 Phần 1: phần  C nằm bên phải Oy;  Phần 2: đối xứng với phần qua Oy

Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt  đường thẳng y m có 6 điểm chung với

C'  4m5.

Ví dụ [ĐHB09] Với giá trị m, phương trình sau có nghiệm phân biệt

2 2

x x  m

 1

Giải.Cách 1. Đặt tx2,  1 trở thành

2

t t m

 2

 1

có nghiệm phân biệt   2 có 3 nghiệm dương phân biệt  đường thẳng d y m:  có

3 điểm chung với đồ thị  C hàm số f t t t

Ta có

 

 

2

2

2

2

neáu t neáu t

t t

f t

t t

  

 

  

 

  C gồm hai phần:

 Phần 1: phần đồ thị hàm số y t 2 2t ứng với t2  Phần 2: đối xứng với phần đồ thị hàm số

2 2

y t  t ứng với

t , qua trục hồnh.

Vậy  1 có nghiệm phân biệt  0m1.

Cách 2.Trước hết, ta vẽ đồ thị  C hàm số  

4 2 f x x  x

Ta thấy:  1  f x  m.

     

   

0

neáu neáu

f x f x

f x

f x f x

 

 

 

 

 Đồ thị C' hàm số f x  gồm hai phần

 Phần 1: phần  C nằm phía trục hồnh

 Phần 2: đối xứng với phần  C nằm phía trục hoành, qua

trục hoành

 1 có 6 nghiệm phân biệt  đường thẳng y m có 6 điểm chung với C'  0m1.

C Bài tập

Bài Cho phương trình x43x2m 1 0. 1) Giải phương trình với m3.

2) Tìm tất giá trị m để phương trình có nghiệm phân biệt nghiệm nhỏ

3) Trong trường hợp phương trình có nghiệm phân biệt, gọi nghiệm x1, x2, x3

, x4, tính tổng x1x2 x3x4. Bài Cho y x 33x2 9x m  C

2) Tìm m để phương trình x33x2 9x m có 3 nghiệm phân biệt.

Bài Cho hàm số y x 3 3x1  C 1) Khảo sát vẽ đồ thị  C

2) Tìm m để phương trình x3 3x 6 2m 0 có ba nghiệm phân biệt.

Bài Cho hàm số y x 3 3x2  C 1) Khảo sát vẽ đồ thị  C

2) Biện luận số nghiệm phương trình

2

3 3 2 2

x x

m m

  

    

  .

Bài Cho hàm số

3

x

y  x  C

1) Khảo sát vẽ đồ thị  C 2) Tìm k để phương trình

 

 

2

3 4 1

4

3

k x

x

k

 

  



có nghiệm phân biệt

Bài Cho hàm số    

2

1

y x  x  C

1) Khảo sát vẽ đồ thị  C

2) Biện luận số nghiệm phương trình        

2

1 2

x  x  m  m

Bài Cho hàm số

2

2

x y

x

 

  C . 1) Khảo sát vẽ đồ thị  C 2) Tìm m để phương trình

2sin sin

x

m x

 

 có hai nghiệm thuộc đoạn 0;.

Bài [ĐHA02] Cho phương trình

2

3

log x log x 1 2m1 0

1) Giải phương trình m2.

2) Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn

3 1;3

 

§3 Sử dụng phương trình để xét toán tương giao hai đồ thị hàm số

A Tóm tắt lý thuyết

Cho yf x   C1 y g x   C2 Để tìm giao điểm  C1 C2, ta làm sau:  Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm Hoành độ giao điểm  C1 C2 nghiệm

phương trình

   

f x g x

 *

Phương trình  * gọi phương trình hồnh độ giao điểm  C1 C2.

 Bước 2: Tìm giao điểm Nếu x0 hồnh độ giao điểm x f x0;  0  (x g x0;  0  ) là

một giao điểm  C1 C2

Chú ý. Để giải toán loại này, ta hay sử dụng định lý Vi-ét đảo:

Nếu x1, x2 nghiệm phương trình bậc hai ax2bx c 0 (a0)

1

1

b

x x

a c x x

a



  

 

 



 .

Nhận xét.

 Hai đồ thị hàm số có giao điểm  phương trình hồnh độ giao điểm có nghiệm

 Số giao điểm hai đồ thị hàm số số nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm B Các ví dụ

Ví dụ Cho y x 32x2 x5  C1 hàm số y7x C2 Hãy xác định giao điểm của

hai đồ thị  C1 C2.

Giải. Xét phương trình hồnh độ giao điểm  C1 C2:

3 2 5 7

x  x  x  x    

2

1

x x  x  

1

3 29 29

2

x x x

   

     

  



Vậy hai đồ thị cho có ba giao điểm: M11;7,

3 29 21 29

;

2

M     

 ,

3

3 29 21 29

;

2

M     

 

Ví dụ Cho  

2 2 1

y x  m x m  C1

yx C2 Tìm điều kiện m để  C1 có

giao điểm với C2.

Giải Xét phương trình hồnh độ giao điểm  C1 C2:

 

2 2 1

x  m x m x  1

 x2(2m1)x m 0 (  

2 2

2m 4m 2m 8m

      

)

 C1 có giao điểm với C2   1 có nghiệm   0

2 2

2

m m

 

   

 

 

 .

Ví dụ Cho y x 3 4mx2  C1 y3x2 4m C2 Biện luận số giao điểm  C1 và

C2.

Giải Xét phương trình hồnh độ giao điểm  C1 C2

3 4 2 3 4

x  mx  x  m  1

 (x1)(x2 2x 4m 2) 0     

2

2 2 '

x

x x m m

  

      

 .

Số giao điểm  C1 C2 số nghiệm phương trình  1 Do đó



3

4

m

    

:  2 vơ nghiệm   1 có nghiệm (x1)  C1 C2

có giao điểm

   0 m 34:  2 trở thành  

2 2 1 0 1 0 1

x  x   x   x



3

0 m

     :  2 có hai nghiệm phân biệt Ta thấy t 1 4m 0

3

m

   

1 nghiệm  2   1 có ba nghiệm phân biệt  C1 C2 có ba

giao điểm Kết luận:



3

m

:  C1 C2 có giao điểm.



3

m 

:  C1 C2 có ba giao điểm.

Ví dụ [ĐHD03] Cho

2 2 4

x x

y x

  

  C Tìm m để đường thẳng dm:y mx  2 2m có 2

giao điểm với  C

Giải. Xét phương trình hồnh độ giao điểm  C với dm: 2 4

2 2

x x

mx m

x

 

   

 x2 2x 4 x 2 mx 2 2m ( x2).  m1x2 4m1x4m2 0.  *

m

d có 2 giao điểm với  C  * có 2 nghiệm phân biệt, tức là:

 

1

' 12

m

m

  

 

   



  m1.

Ví dụ [ĐHA04] Cho hàm số  

2 3 3

2

x x

y

x

   

  C

Tìm m để đường thẳng d y m:  cắt đồ thị hàm số hai điểm A, B cho AB1.

Giải. Xét phương trình hoành độ giao điểm  C d:

 

2 3 3

2

x x

m x

   

  x2(2m 3)x 2m 3 0  * (phép biến đổi tương đương x1 khơng phải nghiệm phương trình của * )

 0  4m2 4m 0 

1

m m

      

 .  1

Hoành độ xA, xB điểm A, B nghiệm  2 nên theo định lí Vi-ét:

3 A B

A B

x x m

x x m

   



 

 .

Mặt khác A, B thuộc đường thẳng d y m:  nên yA yB m

Áp dụng cơng thức tính khoảng cách, ta có

 2  2  2  2  

2

4 4

A B A B A B A B

AB  x  x  y  y  x x  x x   m   m  m  m

Do

2

1

2

1 4

1

2

m

AB AB m m

m

 

  

       

 

 

 (thỏa mãn  1 ).

Vậy

1

2

m 

Ví dụ [ĐHA10] Cho hàm số  

3 2 1

y x  x   m x m  C

Tìm m để  C cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2, x3 cho

2 2

1

x x x  .

Giải. Xét phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị  C hàm số với trục hoành (y0):

 

3

2

x  x   m x m   1

   

2

1

x x  x m  

2

( )

0 t x

x

x x m

  

   

     .

 C

cắt trục hoành ba điểm phân biệt   1 có ba nghiệm phân biệt

 t x  có hai nghiệm phân biệt khác 1   

0

1

t

    

 

 

1

0

m m

 

 

 

 

1

m m



  



 .

2

2

x x

x x m

      . Do đó:  

2 2

1 3 2 2

x x x   x x  x x   m

, x12x22x32 4 2 m4 m1

Vậy đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2, x3 cho

2 2

1

x x x 

1

1

4 m

  

, m0. C Bài tập

Bài Tìm giao điểm cặp đồ thị hàm số sau đây:

1)

2 3

3

2

x

y  x

1 2

x

y 

; 2) x y x 

 y3x1;

3) x y x  

 y3x5; 4)

3

4

y x  x yx2;

5) yx32x10 y x 23x 4; 6) y x 3 5x210x y x 2 x1;

7) x y x  

 yx22x4; 8)

2 x x y x x   

  y 3 2x;

9) y x 4 x21 y4x2

Bài Biện luận theo m số giao điểm cặp đồ thị hàm số sau

1) y x 3 3x y m x   2;

2)

3 2

3

x x

y   x

1 13 12

y m x   

  ; 3) 3 x

y  x

y m x   3; 4)

2 x y x  

 y2x m ;

5) 1 x y x  

 y2x m ; 6)

2 6 3 x x y x   

 y x m  ;

7) y x x   

 y mx 3; 8)

2 3 3 x x y x   

 y mx  4m1;

9) y2x3 x  

2 1

y m x 

Bài Tìm m để

1) Đường thẳng d y: 2x m đồ thị hàm số  

2

2

:

1

x x m

C y

x

  

 hai điểm phân biệt;

2) Đường thẳng d y mx:  cắt đồ thị hàm số  

3

:

C y x  x  x

ba điểm phân biệt;

3) Đường thẳng d y: x2 cắt đồ thị hàm số  

3

:

C y x  x mx m

ba điểm phân biệt;

4) Đồ thị hàm số     

2

:

C y x x  mx m 

5) Đồ thị hàm số  C :y mx 33mx2 1 2 m x 1 cắt trục hoành ba điểm phân biệt;

6) Các đồ thị hàm số  C1 :x32x2 2x2m1  

2

2 : 2

C y x  x

cắt ba điểm phân biệt;

7) Các đồ thị hàm số  

3 2

1 :

C x  x  m x m

 

2

2 :

C y x 

cắt ba điểm phân biệt;

8) Đường thẳng d y m:  cắt đồ thị hàm số  

4 1

:

C yx  x 

bốn điểm phân biệt;

9) Đồ thị hàm số    

4

:

C y x  m m x m

cắt trục hoành bốn điểm phân biệt;

10) Đồ thị hàm số    

4 2

: 3

C y x  m x m  m

cắt trục hoành bốn điểm phân biệt;

11) [ĐHD06] Đường thẳng d qua điểm A3; 20 có hệ số góc m cắt  

3

:

C y x  x

3 điểm phân biệt;

12) [ĐHD09] Đường thẳng d y: 2x m cắt  

2 1

: x x

C y

x

  

hai điểm phân biệt

Bài Tìm m để

1) Đường thẳng d y mx:  2 cắt đồ thị hàm số  

2 4 5 :

2

x x

C y

x

  

 hai điểm có hồnh độ trái dấu;

2) Đường thẳng d y mx:  2 cắt đồ thị hàm số  

2 :

1

mx x m

C y

x

  

 hai điểm có hồnh độ trái dấu;

3) Đường thẳng d y mx:  3 cắt đồ thị hàm số  

2 4 5 :

2

x x

C y

x

  

 hai điểm thuộc hai nhánh khác  C ;

4) Đồ thị hàm số  

2 :

1

mx x m

C y

x

  

 cắt trục hoành hai điểm có hồnh độ dương;

5) [ĐHA03]  

2 :

1 m

mx x m

C y

x

  

 cắt trục hoành hai điểm phân biệt có hồnh độ dương;

6) [ĐHD09] Đường thẳng d y: 1 cắt Cm:yx4  3m2x23m 4 điểm phân biệt

đều có hồnh độ nhỏ

Bài Tìm m để

1) [ĐHB09] Đường thẳng d y: x m cắt  

2 1

: x

C y

x

 

hai điểm A, B cho AB4 ;

2) Đường thẳng d y x:  2m cắt đồ thị hàm số  

3

:

4

x

C y

x

 

 hai điểm A, B cho

3) Đường thẳng d y: x m cắt đồ thị hàm số  

4

:

x

C y

x

 

 hai điểm A, B cho đoạn thẳng AB ngắn nhất;

4) Đường thẳng dm:yx m cắt  

2

:

2

x

C y

x

 

 hai điểm A, B cho đoạn thẳng AB ngắn nhất;

5) Đường thẳng d y mx:   2 2m cắt đồ thị hàm số  

2 2 4 :

2

x x

C y

x

  

 hai điểm A, B. Khi đó, tính độ dài đoạn thẳng AB theo m

Bài [ĐHD08] Cho y x 3 3x24  C Chứng minh đường thẳng d qua điểm

1;2

I có hệ số góc k, với k 3 cắt  C ba điểm phân biệt I , A, B đồng thời I

là trung điểm đoạn thẳng AB

Bài [ĐHD03] Cho  

2 2 4

x x

y C

x

  

 Tìm m để đường thẳng dm:y mx  2 2m cắt  C

tại hai điểm A, B phân biệt cho trung điểm đoạn thẳng AB thuộc trục tung

Bài [ĐHB10] Cho

2

1

x y

x

 

  C Tìm m để đường thẳng dm:y2x m cắt  C hai

điểm phân biệt A,B cho tam giác OAB có diện tích (O gốc tọa độ)

Bài [ĐHA11] Cho

1

2

x y

x

  

  C Chứng minh với m, đường thẳng d y x m:   luôn cắt  C hai điểm phân biệt A B Gọi k1, k2 hệ số góc tiếp tuyến với  C A

B Tìm m để k1k2 đạt giá trị lớn nhất.

Bài 10 [ĐHD11] Cho

2

1

x y

x

 