Các phương pháp tính tích phân §2.8. Bảng công thức tích phân cơ bản:.[r]
(1)13/10/2018
LOG O
Chương 4: Tích phân
GV Phan Trung Hiếu
§1 Ngun hàm
§3 Các phương pháp tính tích phân §2 Tích phân xác định
2
§1 Ngun hàm
I Nguyên hàm:
3
Định nghĩa 1.1 Cho hàm số f xác định khoảng D.
Hàm số F gọi nguyên hàmcủa f D
( ) ( ),
F x f x x D
Ví dụ 1.1:
x2là nguyên hàm 2x, ( )x2 2 x
x2+ nguyên hàm 2x,
(x 3)2 x x2+ C (C số) nguyên hàm 2x, (x2C)2 x
4
Định lý 1.2.Với C số tùy ý, nếu F(x) nguyên hàm f(x) D thì F(x) + C nguyên hàm f(x) trên D Ngược lại, nguyên hàm f(x) D đều có dạng F(x) + C.
5
II Tích phân bất định:
trong
:dấu tích phân
:
x biến lấy tích phân.
( ) :
f x hàm lấy tích phân.
Định nghĩa 2.1 Tích phân bất định hàm số f D biểu thức diễn tả tổng quát tất cả nguyên hàm f D.
Tích phân bất định (Họ nguyên hàm) f được ký hiệu
( ) :
f x dx biểu thức dấu tích phân.
( ) ,
f x dx
6
Ví dụ 1.2.
2x dxx C
(x2) 2 x
Như vậy, nguyên hàm tích phân bất định hai thuật ngữ nội dung, ta có
( ) ( ) ( ) ( )
f x dxF x CF x f x
(2)13/10/2018
III Tính chất:
7
k f x dx ( ) k f x dx ( ) với k số khác 0. f x( )g x dx( ) f x dx( ) g x dx( ) f x dx( ) f x( )C
f x dx( ) f x( )
IV Bảng cơng thức tích phân bản:
8
Xem Bảng
9
§2 Tích phân xác định
I Cơng thức Newton-Leibniz:
10
( ) ( ) ( ) ( )
b
b a a
f x dxF x F b F a
Định lý 1.1 (Công thức Newton-Leibniz). Nếu hàm số f(x) liên tục [a,b] F(x) là một nguyên hàm f(x) [a,b] thì tích
phân xác địnhcủa f từ a đến b là
II Tính chất:
11
( ) 0 a
a f x dx ( ) ( )
a b
b a
f x dx f x dx
b b
a a
k f x dxk f x dx
( ) ( ) với k số ( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
f x( )0 trên [a,b] ( ) 0 b
a f x dx
12
(3)13/10/2018
13
Ý tưởng chính: Đặt t = biểu thức thích hợp
sao cho biểu thức lại hàm số. Nếu chưa đặt ta tìm cách biến đổi hàm số
t
I Phương pháp đổi biến số loại 1:
14
Bước (đổi biến): Đặt tu x( ) dtu x dx( )
Bước (thay vào tích phân):
( ) ( ) ( )
If t dtF t CF u x C
Tích phân dạng: If u x u x dx ( ) ( )
15
Tích phân dạng: ( ) ( ) b
a
If u x u x dx
Bước (đổi biến): Đặt tu x( )dtu x dx( )
Bước (đổi cận): x a b
t u(a) u(b)
Bước (thay vào tích phân): ( )
( ) ( )
u b
u a
I f t dt
(cận mới, biến mới).
16
Dấu hiệu đổi biến thường gặp:
Có Đặt
căn t = căn
và
x
e x ,
te const
ln x tlnx
x
2
1
x
x
1
t x
n
(u(x)) t u(x)
17
Dạng Đặt
có t = tanx
có t = cotx
có arcsinx và t = arcsinx có arccosx và t = arccosx
tan x
1 cos x
cot x
1 sin x
2 1 x
2 1 x
18
Dạng Đặt
có arctanx và t = arctanx có arccotx và t = arccotx
(sin )
f x dx
cosx tsinx
(cos )
f x dx
sinx tcosx
2 1 x
(4)13/10/2018
19
Dạng Đặt
f đổi dấu f đổi dấu
f không đổi dấu
Tổng quát
(sin , cos )
f x x dx
sin sin
Thay cos cos x x
x x ttanx
Thay sinx sinx
cos t x
Thay cosx cosx
sin t x
tan
x
t
20
Ví dụ 3.1 Tính
1
3
0
)
b x x dx
) dx c x x
) ( ) (3 1)
a x x x dx
)
(2 ln )
dx f x x 2 1/2 1 ) sin g dx x x tan ) cos x e i dx
x
2
) tan tan
j x x dx
) x x e dx e e ) x
d dx x 11 ) x h dx x 21 2 sin ) cos x
l e xdx
6
0
) (1 cos3 )sin3
m x xdx
2
7
0
) sin cos
n x xdx
2 sin ) cos x q dx x sin(2 1) )
cos (2 1) x p dx x
) cos tan
o x xdx
2 arccos ) x k dx x )
3cos 4sin 5
dx r x x 22 )
4
dx s
x x
sin cos
) sin cos x x t dx x x 2
) x x
v x e dx
sin 3
) cos x u dx x x 23 Phương pháp (đổi biến):
Đặt xu t( ) dxu t dt( )
II Phương pháp đổi biến số loại 2
Dấu hiệu đặt thông thường:
Có Đặt
2
( )
a u x ( ) sin , 2 ;2
u x a t t
2
( )
u x a ( ) , ; \ {0} sin 2
a
u x t
t
2
( )
u x a ( ) tan , 2 ;2
u x a t t
24
Ví dụ 3.2 Tính
)
a x xdx
2
) ,
1 dx b x x x 3 2 3/2 )
(4 9) x
c dx
(5)13/10/2018
25
Phương pháp:
Bậc tử bậc mẫu: chia đa thức.
Bậc tử < bậc mẫu: Thử đổi biến đặt t = biểu thức mẫu Nếu khơng ta làm sau
( ) ( )
P x dx Q x
, P(x), Q(x) đa thức.
III Tích phân hàm hữu tỉ:
26
Mẫu có(ax b )n: Đặt taxb Mẫu tam thức bậc hai ax2bxc:
Vơ nghiệm tích phân có dạng ta
biến đổi
2 ,
ax dxbx c
2 2
( )
ax bx c a u x
Có nghiệm kép x0 ,ta phân tích
2 ( ) ( ) ( )
P x P x ax bx c a x x
2
0
( )
ax bx c a xx
27
Có nghiệm phân biệt x1 và x2 , ta phân tích
1 2
( )
( )( )
P x A B
a x x x x x x x x
2
1
( )( )
ax bx c a x x x x
Tìm hệ số A, B cho
28
Mẫu đa thức bậc lớn 2: Ta phân tích
mẫu thành tích dạng lũy thừa củanhị thức hay lũy thừa cáctam thức vơ nghiệmvà tìm hệ số sau
1 3
A B C
x x x x x x
( )
( )( )( )
P x xx xx xx
2
1 2 ( 2)
A B C
x x x x x x
( )
( )( )
P x xx xx
2
0
A Bx C x x ax bx c
( ) ( )( )
P x xx ax + bx + c
trong vơ nghiệm.2 0
ax bx c
29
2 2
0 ( 0)
A B Cx D
x x x x ax bx c
( ) ( ) ( )
P x xx ax + bx + c
2 2 2
0 ( )
A Bx C Dx E
x x ax bx c ax bx c
( )
( )( )
P x x x ax + bx + c
trong vơ nghiệm.2 0
ax bx c
Đặc điểm:
-Mẫu lũy thừa nhị thức (x - x0): Tử làhằng -Mẫu lũy thừa tam thức vô nghiệm: Tử lànhị thức
2
ax bx c
30
Ví dụ 3.3 Tính
sin )
2cos
x a dx x ) x b dx x )
(2 1)
xdx d x ( 1) )
3 12
x
e dx
x x x
3
2
2
)
2
x x x
f dx x x 2 ( 2) ) ( 1) x g dx x x
2 11 )
3
x x
h dx
x x x
2 ) sin dx c x 2 2 )
( 1) ( 1)
x x
i dx
x x
3
2
2
)
( 2)
x x x
j dx
(6)13/10/2018
31
2
)
( 1)
dx
k x x
1 ) x
l dx
x
2
)
3
x
x x
e dx m
e e
32
IV Phương pháp tích phân phần:
B1: Đặt ( ) ( )
( )
u f x du f x dv g x v
dx
dx Nguyên hàm g(x)
Dấu hiệu: có xuất lơ (ln, log); đa (đa thức, phân thức); lượng (lượng giác); mũ (eax+b) liên hệ với phép nhân. Phương pháp:
33
B2: Dùng cơng thức tích phân phần
udvuv vdu
hoặc
b b
b a
a a
udvuv vdu
34
Ví dụ 3.4 Tính ) cos
a x xdx
2
0
) sin ln(2 cos )
h x x dx
2 ) arccos
f x xdx
1 ) x
b x e dx
2
ln )
e
x
d dx
x
) x sin
g e xdx
2 ) ln( )
c x x dx
) arctan 4
e xdx
2
(7)Bài tập Giải tích
BÀI TẬP CHƯƠNG 4
Bài 1: Tính tích phân sau
1) 7 12
5 cos
x x dx
x 2)
1
0
( 1)
x xdx 3)
3
3
x
x x e x dx
x
4)
2
3 (1 )
x x e dx e 5) 1 1 x x e dx
e 6)
2 2 cos 2
xdx
7) tan2 xdx 8) (tanxcot )x dx 2 9)
4
0
1 cos 4
xdx
10) cos
xdx 11) sin cos cos 5x x xdx 12) 2 5x 2x 3xdx
13)
2 3
. 1 9
dx x 14) 2 2
dxx
Bài 2: Tính tích phân sau
1) (x23x1) (210 x3)dx 2)
3 .
4
x dx
x
3)
1
2
1
3 1
x x dx
4)
2
2 (1 )
x dxx 5)
3 2 . 1 xdx x
6) 2 .
1
x dx
x 7) . 1 dx x x
8) 2 .
(1 )
x
x
e dx
e 9) 1 .
x x
e e dx
10) 2 .
2 3
X
X dx 11)
ln x x e dx e 12) 1 x dx e 13) ln e e dx
x x 14)
ln 1 ln
x dx
x x 15)
1 4 ln
e
dx
x x
16) 12cos11 .
dx
x x 17)
1 .
x dx
x 18)
cot cos
xdxx
19) 1 tan . 1 tan
x dx
x 20) tan . cos
xdx
x 21) / 2 /3 cot 2 sin 2 x dx x 22) 1/ 1/ arcsin
(1 )
x dx
x x 23)
2
2 (arccos )
1 9
x x dx
x
24) arcsin2
1
xdx
x
25) cos3 xsinxdx 26)
3
4 sin
. cos
x dx
x 27)
2
2
sin
. 3 cos
x dx