Bài giảng Giải tích: Chương 4 - Phan Trung Hiếu (2019)

Các phương pháp tính tích phân §2.8. Bảng công thức tích phân cơ bản:.[r]

(1)

13/10/2018

LOG O

Chương 4:

Tích phân

GV Phan Trung Hiếu

§1 Ngun hàm

§3 Các phương pháp tính tích phân §2 Tích phân xác định

2

§1 Ngun hàm

I Nguyên hàm:

3

Định nghĩa 1.1 Cho hàm số f xác định khoảng D.

Hàm số F gọi nguyên hàmcủa f D

( ) ( ),

F x f x x D

   

Ví dụ 1.1:

 x2là nguyên hàm 2x, ( )x2  2 x

 x2+ nguyên hàm 2x,

(x 3)2 x  x2+ C (C số) nguyên hàm 2x, (x2C)2 x

4

Định lý 1.2.Với C số tùy ý, nếu F(x) nguyên hàm f(x) D thì F(x) + C nguyên hàm f(x) trên D Ngược lại, nguyên hàm f(x) D đều có dạng F(x) + C.

5

II Tích phân bất định:

trong

:dấu tích phân

:

x biến lấy tích phân.

( ) :

f x hàm lấy tích phân.

Định nghĩa 2.1 Tích phân bất định hàm số f D biểu thức diễn tả tổng quát tất cả nguyên hàm f D.

Tích phân bất định (Họ nguyên hàm) f được ký hiệu

( ) :

f x dx biểu thức dấu tích phân.

( )

,



f x dx

6

Ví dụ 1.2.

2x dxx C



x

Như vậy, nguyên hàm tích phân bất định hai thuật ngữ nội dung, ta có

( )

f x dx



F x



C



F x





f x

(2)

13/10/2018

III Tính chất:

7





k f x dx



với k số khác 0.



f x

g x dx



f x dx



g x dx



f x dx

f x

C







f x dx



f x

IV Bảng cơng thức tích phân bản:

8

Xem Bảng

9

§2 Tích phân xác định

I Cơng thức Newton-Leibniz:

10

( )

b

b a a

f x dx



F x



F b



F a



Định lý 1.1 (Công thức Newton-Leibniz). Nếu hàm số f(x) liên tục [a,b] F(x) là một nguyên hàm f(x) [a,b] thì tích

phân xác địnhcủa f từ a đến b là

II Tính chất:

11

  ( ) 0 a

a f x dx   ( )  ( )

a b

b a

f x dx f x dx 

b b

a a

k f x dxk f x dx



với k số



b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

  ( )  ( )  ( )

b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx

 f x( )0 trên [a,b]  ( ) 0 b

a f x dx

12

(3)

13/10/2018

13

Ý tưởng chính: Đặt t = biểu thức thích hợp

sao cho biểu thức lại hàm số. Nếu chưa đặt ta tìm cách biến đổi hàm số

 

t

I Phương pháp đổi biến số loại 1:

14

Bước (đổi biến): Đặt tu x( ) dtu x dx( )

Bước (thay vào tích phân):





( ) ( ) ( )

I



f t dt

F t

C

F u x

C

Tích phân dạng: I



f u x u x dx





15

Tích phân dạng:  ( ) ( ) b

a

If u x u x dx

Bước (đổi biến): Đặt tu x( )dtu x dx( )

Bước (đổi cận): x a b

t u(a) u(b)

Bước (thay vào tích phân): ( )

( ) ( )

u b

u a

I



f t dt

(cận mới, biến mới).

16

Dấu hiệu đổi biến thường gặp:

Có Đặt

căn t = căn

và 



x

e x ,

te  const

ln x tlnx

x

2

1

x

1

t x



n

(u(x)) t u(x)

17

Dạng Đặt

có t = tanx

có t = cotx

có arcsinx và t = arcsinx có arccosx và t = arccosx

tan x

1 cos x

cot x

1 sin x

2 1 x

18

có arctanx và t = arctanx có arccotx và t = arccotx

(sin )

f x dx



cosx

t

x

(cos )

f x dx



sinx

t

x

2 1 x

(4)

13/10/2018

19

f đổi dấu f đổi dấu

f không đổi dấu

Tổng quát

(sin , cos )

f x x dx



Thay cos cos        x x

x x ttanx

Thay sinx sinx

cos t x

Thay cosx cosx

sin t x

tan

 x

t

20

Ví dụ 3.1 Tính

1

3

0

)



b x x dx







dx

c

x



) ( ) (3 1)

a x x x dx





)

(2 ln )

dx f x x      



g

dx

x





x

e

i

dx

x





2

)



j x x dx

) 



x

e dx

e



x

d dx x 



x

h

dx

x





x

l e xdx

6

0

) (1 cos3 )sin3







m x xdx

2

7

0

) sin cos





n x xdx

2 sin ) cos



x

q

dx

x

cos (2 1)  



x

p

dx

x

) cos



o x xdx

2 arccos ) 



x

k

dx

x

3cos 4sin 5



dx

r

x



4

dx s

x x

 



) sin cos x x t dx x x







) x x

v x e dx



) cos x u dx x x 23 Phương pháp (đổi biến):

Đặt xu t( ) dxu t dt( )

II Phương pháp đổi biến số loại 2

Dấu hiệu đặt thông thường:

Có Đặt

2

( )

a u x ( ) sin , 2 ;2

 



 

   

 

u x a t t

2

( )

u x a ( ) , ; \ {0} sin 2

          a

u x t

t

2

( ) 

u x a ( ) tan ,  2 ;2

 

u x a t t

24

)



a x xdx

2

) ,

1  



dx

b

x

(4 9)



x

c dx

(5)

13/10/2018

25

Phương pháp:

Bậc tử bậc mẫu: chia đa thức.

Bậc tử < bậc mẫu: Thử đổi biến đặt t = biểu thức mẫu Nếu khơng ta làm sau

( ) ( )

P x dx Q x



, P(x), Q(x) đa thức.

III Tích phân hàm hữu tỉ:

26

Mẫu có(ax b )n: Đặt taxb Mẫu tam thức bậc hai ax2bxc:

Vơ nghiệm tích phân có dạng ta

biến đổi

2 ,

 



ax

dxbx

c

2 2

( )

   

ax bx c a u x

Có nghiệm kép x0 ,ta phân tích

2 ( ) ( ) ( )     

P x P x ax bx c a x x

2

0

( )

ax bx c a xx

27

Có nghiệm phân biệt x1 và x2 , ta phân tích

1 2

( )

(  )(  )   

P x A B

a x x x x x x x x

2

1

( )( )

    

ax bx c a x x x x

Tìm hệ số A, B cho

28

Mẫu đa thức bậc lớn 2: Ta phân tích

mẫu thành tích dạng lũy thừa củanhị thức hay lũy thừa cáctam thức vơ nghiệmvà tìm hệ số sau

1 3

A B C

x x x x x x

  

  

( )

( )( )( )

P x xx xx xx

2

1 2 ( 2)

A B C

x x x x x x

  

  

( )

( )( )

P x xx xx

2

0



 

  

A Bx C x x ax bx c

( ) ( )( )

P x xx ax + bx + c

trong vơ nghiệm.2  0

ax bx c

29

2 2

0 ( 0)



  

   

A B Cx D

x x x x ax bx c

( ) ( ) ( )

P x xx ax + bx + c

2 2 2

0 ( )

 

  

    

A Bx C Dx E

x x ax bx c ax bx c

( )

( )( )

P x x x ax + bx + c

trong vơ nghiệm.2  0

ax bx c

Đặc điểm:

-Mẫu lũy thừa nhị thức (x - x0): Tử làhằng -Mẫu lũy thừa tam thức vô nghiệm: Tử lànhị thức

2

 

ax bx c

30

sin )

2cos



x

a

dx

x



x

b

dx

x

(2 1)



xdx

d

x

3 12





  



x

e dx

x x x

3

2

)

2

  

 



x

f dx x x 2 ( 2) ) ( 1)  



x

g

dx

x x

2 11 )

3  

  



x

h dx

x x x

2 ) sin  



dx

c

x

( 1) ( 1)  

 



x

i dx

x x

3

2

)

( 2)

  

 



x

j dx

(6)

13/10/2018

31

2

)

( 1)



dx

k x x

1 )



x

l dx

x

2

)

3

 



x

x x

e dx m

e e

32

IV Phương pháp tích phân phần:

B1: Đặt ( ) ( )

( )

u f x du f x dv g x v

 

 



 

 

 

dx

dx Nguyên hàm g(x)

Dấu hiệu: có xuất lơ (ln, log); đa (đa thức, phân thức); lượng (lượng giác); mũ (eax+b) liên hệ với phép nhân. Phương pháp:

33

B2: Dùng cơng thức tích phân phần

udvuv vdu



hoặc

b b

b a

a a

udvuv  vdu



34

Ví dụ 3.4 Tính )



a x xdx

2

0

) sin ln(2 cos )







h x x dx

2 )



f x xdx

1

)



x

b

x e dx

2

ln

)



e

x

d

dx

x



)

x

sin

g e

xdx

2

) ln(





)

c

x

x dx



) arctan 4

e

xdx

2

(7)

Bài tập Giải tích

BÀI TẬP CHƯƠNG 4

Bài 1: Tính tích phân sau

1)

7

1

5

cos

















x

dx

x

2)

1

0

( 1)



x

xdx

3)

3







x

x e

x

dx

x

4)

2

3

(1



)



x

e

dx

e

5)

1





x

e

dx

e

6)

2

2 cos

2





x

dx

7)



tan

xdx

8)



(tan

x



cot )

x dx

9)

4

0

1 cos 4







xdx

10)





xdx

11)



sin cos cos 5

x

xdx

12)



2 5

x

dx

13)

2

3

.

1 9





dx

x

14)



dxx

Bài 2: Tính tích phân sau

1)



(

x



3

x



1) (2

x



3)

dx

2)





.

4





x

dx

x

3)

1

2

1

3

1







x

dx

4)

2

(1



)



x

dx

x

5)

3

2

.

1





xdx

x

6)

2

.

1





x

dx

x

7)

.

1





dx

x x

8)

.

(1



)



x

e

dx

e

9)



1



.

x x

e

e dx

10)

2

.

2



3



X

dx

11)

ln 



x

e dx

e

12)

1



x

dx

e

13)

ln



e

dx

x

14)

ln

1 ln





x

dx

x

15)

1

4 ln





e

dx

x

16)

1

cos





1



1





.







dx

x

17)

1

.





x

dx

x

18)

cot cos



xdxx

19)

1 tan

.

1 tan





x

dx

x

20)

tan

.

cos



x

dx

x

21)

cot

2

sin

2





x

dx

x

22)

(1 )



x

dx

x x

23)

2

(arccos )

1 9







x

dx

x

24)

arcsin

1



x

dx

x

25)



cos

x

sin

xdx

26)

3

4

sin

.

cos



x

dx

x

27)





2

sin

.

3 cos







x

dx