Bài giảng Giải tích: Chương 1 - Phan Trung Hiếu (2019)

Hàm số trong ví dụ sau được xác định bởi các công thức khác nhau trong từng khúc khác nhau của tập xác định của nó. Ví dụ 2.5: Một hãng cho thuê xe ô tô với giá[r]

9/4/2019

LOG O

GIẢI TÍCH GV Phan Trung Hiếu

60 tiết

2

Kiểm tra, đánh giá kết quả:

-Điểm chuyên cần (hệ số 0.1):

Dự lớp đầy đủ: 10 điểm

Vắng ngày trễ ngày: trừ điểm

Chỉ vắng ngày có phép

-Bài kiểm tra kì (hệ số 0.3):

Tự luận, không sử dụng tài liệu.

-Bài kiểm tra cuối kì (hệ số 0.6):

Tự luận, không sử dụng tài liệu.

2

Điểm cộng, trừ tập:

3

-Điểm cộng vào kiểm kỳ:

1 lần xung phong lên bảng làm 1 câu:+0,5 điểm (nếu làm sai khơng trừ điểm).

Chỉ cộng tối đa điểm.

Điểm cộng, trừ tập:

4

-Điểm trừ vào kiểm kỳ:

Khi SV +2 điểm mà tự ý lên làm

bài: -0,5 điểm/lần

Khi khơng có SV xung phong lên làm GV

sẽ gọi SV lên làm theo danh sách thứ tự từ xuống:

-Nếu SV làm +0,5 điểm/lần, -Nếu làm sai khơng biết làm -0,5 điểm/lần

Tải giảng xem thông tin môn học:

sites.google.com/site/sgupth

Nội dung:

Chương 1: Giới hạn. Chương 2: Hàm liên tục. Chương 3: Hàm khả vi. Chương 4: Tích phân.

9/4/2019

7

Tài liệu học tập: [1] Bài giảng lớp

[2] Nguyễn Đình Trí, Tốn cao cấp tập 2

Phép tính giải tích hàm biến, NXB Giáo

dục

[3] Nguyễn Đình Trí, Bài tập Toán cao cấp (tập 2), NXB Giáo dục

Các tài liệu tham khảo khác

7

Dụng cụ hỗ trợ học tập:

Máy tính FX 500MS, FX 570MS, FX 570ES, FX 570ES Plus.

8

LOG O

Chương 1:

Giới hạn GV Phan Trung Hiếu

§1 Giới hạn dãy số §2 Giới hạn hàm số

§3 Phương pháp tính giới hạn hàm số

10

§1 Giới hạn dãy số

I Các định nghĩa dãy số thực:

Định nghĩa 1.1 Dãy số thực (dãy số) ánh xạ *

:

( ) n. f

n f n x 



 



Kí hiệu:{ } { ,x  x x , ,x , }, trong đó:

Ví dụ 1.1: Dãy số , với{ }xn 1 . 1

n x

n

  Khi đó

1 1

, 2

x  2 1, 3

x  3 1, 4

x 

9/4/2019

13 Ví dụ 1.3: Dãy số , với{ }xn

1 .

n

x     n

Tính

1 1,

x 

2 1 2 3,

x   

3 1 2 3 6,

x    

1, 2, 3.

x x x

Giải

14 Ví dụ 1.4: Dãy số , với{ }xn

2 2

1 1 1

1 1 1

2 3

n x

n

    

       

    

3 2

1 1 2

1 1 .

2 3 3

x     

  

Tính x3.

Giải

15 Ví dụ 1.5: Dãy số , với{ }xn

1

1

1

1 , 3

 

  

 



  

 n n n

x

x n

x x x

Khi đó x3x2x1 2,

(Dãy Fibonacci)

4  3   2 3,

x x x

5  4 3 3 25,

x x x

6     5 8,

x x x

 

{ }xn  1,1, 2,3,5,8,13, 21,

16

Chú ý: Một dãy số minh họa cách vẽ số hạng trục số, vẽ đồ thị nó.

Ví dụ, xét dãy số , với { }xn

1 



n n x

n

Định nghĩa 1.6

Sốa  được gọi giới hạn dãy số {xn} nếu

0

0, n : xn a , n n .

 

       

Ký hiệu lim n hay

nx a .

n n

9/4/2019

19

Chú ý 1.7:

-Nếu a số hữu hạn ta nói dãy {xn}

hội tụ đến a.

-Nếu a khơng tồn hoặc thì ta nói dãy {xn} phân kỳ.

a  

20

Một số kết giới hạn cần nhớ:

1) lim ( ).

nkk k  1

2) lim  0,  0;

   

n n

1

lim 0,  1.



 n   

n

0 khi 1,

4) lim

khi 1.

n n

a a

a



 

 

 



3) lim 0, ( 0); !

   

n

n p

p n

lim 0, ( , 1).





 n    

n n

p p

21 5) limn 1, 0.

n a   a

7) lim 1 ( ).



 

   

 

  

n a n

a

e a n

6) limn 1.

n n

8) lim n lim( n ) 0.

nx an x a  9) lim n 0 lim n 0.

nx  n x 

10) lim lim , 0.

 n   n n 

n x n x x

22

II Các phép toán giới hạn dãy số:

Định lý 2.1

▪Nếu dãy số có giới hạn giới hạn là duy nhất.

▪Nếu dãy số hội tụ bị chặn.

▪Nếu dãy số tăng bị chặn hội tụ.

▪ Nếu dãy số giảm bị chặn hội tụ.

Định lý 2.2 Nếu dãy số {xn} {yn} có giới hạn thì

) lim( n n) lim n lim n

n n n

i x y x y

     

) lim( )n n lim n.lim n

ii x y  x y

Định lý 2.3 (Định lý kẹp):

Cho dãy số {xn}, {yn}, {zn} Nếu *

, ,

lim lim

n n n

n n

n n

y x z n

y z a

 

    



  

 

9/4/2019

25

Chú ý 2.4: Một vài quy tắc với :

( ) ( ) ,

a    a 

( ) ( ) ,

a    a 

, 0,

.( ) ( ).

, 0,

a

a a

a

 

     

 





, 0,

.( ) ( ).

, 0.

a

a a

a

 

     

 



26 (    ) ( ) , 

().(  ) ( ).(  ) , (    ) ( ) ,

().(  ) ( ).(  ) .   n *,ta có ()n  ,

 a 0.

 

nếu chẵn,

( )

nếu lẻ.

n n

n 

    

27 :

0

a

   

a > mẫu > 0 a < mẫu < 0 a > mẫu < 0 a < mẫu > 0

,  

,  

,  

.  

28

§2 Giới hạn hàm số

I Hàm số:

1.1 Định nghĩa:

Một hàm số f xác định tập hợp

một quy tắc đặt tương ứng số với số thực y xác định nhất

D: tập xác định (TXĐ) hàm số f. x: biến độc lập (biến số).

y: biến phụ thuộc (hàm). f(x): giá trị hàm số f x.

:

( ) 

   f D

x y f x

  D 

x D

( ) {   ( ),  }:

f D y y f x x D Tập giá trị (TGT)

của hàm số f.

( , ( )) :

 

9/4/2019

31

Ví dụ 2.1: Đồ thị cho thấy mức tiêu thụ điện

trong ngày vào tháng San Francisco (P tính MW, t tính giờ, bắt đầu vào lúc nửa đêm)

a) Mức tiêu thụ điện

vào lúc 6h sáng 6h tối bao nhiêu?

b) Hãy cho biết tập

xác định tập giá trị hàm số P(t).

c) Mức tiêu thụ điện

khi thấp nhất? Cao nhất? Thời gian có hợp lý khơng?

32

1.2 Các phương pháp biểu diễn hàm số:

 Biểu diễn hàm số biểu thức:

Ví dụ 2.2: Diện tích S hình trịn phụ thuộc vào bán kính R hình trịn Ta có

2

( 0)



 

S R R

Biểu diễn hàm số dạng bảng số liệu: Ví dụ 2.3: Dân số giới P phụ thuộc vào thời gian t

33

a) Tìm dân số giới vào năm 1950?

P(1950) = 2560 (triệu) b) Tìm t cho P(t) = 4450?

34

Biểu diễn hàm số lời, đồ thị:

Ví dụ 2.4: Khi bật bình đun nước nóng lên, nhiệt độ

nước (T) bình phụ thuộc vào thời gian đun (t). Ta có đồ thị nhiệt độ nước bình sau

Đồ thị cho biết: Nhiệt độ ban đầu nước gần với nhiệt độ phòng Khi ta bật cơng tắc điện, nhiệt độ bình tăng lên nhanh chóng Khi ta ngắt cơng tắc điện, nhiệt độ bình giảm khơng đáng kể Khi ta tháo nước khỏi bình, nhiệt độ nước lại giảm nhanh đến nhiệt độ nước ban đầu

Hàm số xác định khúc:

Hàm số ví dụ sau xác định các công thức khác khúc khác nhau tập xác định nó.

Ví dụ 2.5: Một hãng cho thuê xe ô tô với giá

3ngàn/km quãng đường chạy xe không 100

km Nếu quãng đường chạy xe vượt 100 km thì

ngồi số tiền phải trả cho 100 km đầu phải trả thêm 1,5 ngàn/km Gọi x số km xe thuê chạy và

9/4/2019

II Các hàm số bản:

37 Hàm lũy thừa: yx ( ). Hàm mũ: yax(0a1).

Hàm logarit:ylogax(0a1). Hàm lượng giác:

sin , cos , tan , cot

   

y x y x y x y x

Hàm lượng giác ngược:

arcsin , arccos , arctan , arccot

   

y x y x y x y x

Hàm hằng:yC.

2.1 Các hàm số sơ cấp bản:

38

Chú ý:

sin(arcsin )x x ( 1  x 1). 

arcsin(sin )x x x

 



 

 

 

 

cos(arccos )x x ( 1 x1). 

arccos(cos )x x (0x)

tan(arctan )x x (x ). 

arctan(tan )x x x

 



 

 

 

 

cot(arc cot )x x (x ). 

arc cot(cot )x x (0x)

39

2.2 Các hàm số sơ cấp:là hàm số tạo thành số hữu hạn phép toán cộng, trừ, nhân, chia hàm số sơ cấp

Ví dụ 2.6: Ta thường gặp dạng hàm số sơ cấp

sau

1

1 0.

n n

n n

ya x a x   a

Hàm đa thức (hàm nguyên):

Hàm phân thức (hàm hữu tỷ):

P(x) Q(x) đa thức.

( ) ( ) P x y

Q x

40

Định nghĩa 2.3:

▪Hàm số y=f(x) gọi hàm chẵn nếu ▪Hàm số y=f(x) gọi hàm lẻ nếu

( ) ( ), .

f x  f x  x D

( ) ( ), .

f x  f x  x D

Định nghĩa 2.4. Giả sử y=f(u) hàm số của biến số u, đồng thời u=g(x) hàm số biến số x Khi đó, y=f(u)=f(g(x)) hàm số hợp của biến số x thông qua biến số trung gian u Ký hiệu

 

(f g x)( ) f g x( ) Ví dụ 2.7: Cho hàm số Tìm

2

( ) , ( ) 3.

f x x g x x



f g g f.

III Định nghĩa giới hạn hàm số: Ví dụ 2.8: Xét hàm số giá trị

của x gần Bảng đây, cho thấy giá trị hàm f(x) khi x tiến dần không

2 ( )  2