Đang tải... (xem toàn văn)
Tiêu chuẩn căn số Cauchy:. 22[r]
(1)12/5/2019
LOG O
Chương 7:
Lý thuyết chuỗi GV Phan Trung Hiếu
§1 Chuỗi số §2 Chuỗi hàm
2
§1 Chuỗi số
3
I Các định nghĩa: Định nghĩa 1.1 Cho dãy số {an} Biểu thức:
được gọi chuỗi số (gọi tắt chuỗi).
Các số a1, a2,…,an,… gọi số hạng chuỗi
(*); anlà số hạng tổng quát.
là tổng riêng phần (thứ n) chuỗi (*).
1
1
n n (*)
n
a a a a
1
1
n
n n k
k
s a a a a
4
Định nghĩa 1.2 (Sự hội tụ chuỗi số)
Nếu thì chuỗi (*) hội tụ
Nếu khơng tồn chuỗi (*) phân kỳ khơng có tổng.
lim n ( )
ns s
1
n n
a s
lim n
ns limnsn
5
Ví dụ 7.1 Chứng minh hội tụ
và tính
1
1
( 1)
n n n
1
( 1)
n n n
Ví dụ 7.2 Chứng minh phân kỳ.
1
1 ln
n n
II Các mệnh đề:
6
Mệnh đề 2.1 Nếu chuỗi
hội tụ thì
là chuỗi hội tụ, nữa
1 n n
a
1 n n
b
1
( n n)
n a b
và
1
( )n
n k a
1 1
( n n) n n,
n n n
a b a b
1
( )n n
n n
k a k a
(2)12/5/2019
7
Mệnh đề 2.2 (Chuỗi hình học)
n n
x
0
hội tụ x 1
Ví dụ 7.3 Xét tính hội tụ chuỗi
0
2 )
3
n
n
a
0
) 3n
n
b
8
Mệnh đề 2.3 (Chuỗi điều hòa)
1
p n n
1
hội tụ p1
Ví dụ 7.4 Xét tính hội tụ chuỗi
1 )
n
a n
1
3
1 )
n
b n
1
1/3
1 )
n
c n
1
9
Mệnh đề 2.4
lim
( )
n n
n
a
a phan ky
1 n n
a
phân kỳ.
Ví dụ 7.5 Xét tính hội tụ chuỗi
)
3
n
n a
n
1
Chú ý:Nếu ta chưa kết luận
lim n
na
2
2
)
1
n
n b
n n
1
10
§2 Chuỗi số dương
I Định nghĩa:
1 n n
a
được gọi chuỗi số dương nếu
0, .
n
a n
Ví dụ 7.6 Chuỗi sau chuỗi số dương?
)
3
n
n a
n
1
( 1) )
n
n
b
n
1 từ số hạng trở
0
0,
n
a n n
II Các tiêu chuẩn so sánh:
Tiêu chuẩn so sánh 1:Xét hai chuỗi số
dương với
Khi đó
1
,
n n
n n
a b
lim n [0, ]
n n
a c b
0 c :
1 n n
a
1 n n
b
và hoặc hội tụ
(3)12/5/2019
13
0 :
c
1
n n
b hội tụ
1 n n
a hội tụ.
1
n n
a phân kỳ
1
n n
b phân kỳ.
:
c
1
n n
a hội tụ
1 n n
b hội tụ.
1
n n
b phân kỳ
1
n n
a phân kỳ.
14
Chú ý: Thường chuỗi chọn từ hai chuỗi sau
n n
b
1
n
n
x hội tụ | |x 1
1
1
p n n
hội tụp 1
Hệ quả: Nếu hai dãy số dương an,bn
,
n n
a b n
thì
1 n n
a
1 n n
b
và hoặc hội tụ
phân kỳ
15
Ví dụ 7.7 Xét tính hội tụ chuỗi
1 )
2n
n
d
1
2
2
)
n
n n a
n
1
) sin
2
n
n
b
1
1 )
ln
n
c
n
1
1
) ln
n
e
n
16
Tiêu chuẩn so sánh 2: Xét hai chuỗi số dương và thỏa
Khi đó
hội tụ hội tụ. phân kỳ phân kỳ.
1 n n
a
1 n n
b
0
,
n n
a b n n
1 n n
b
1 n n
a
1 n n
b
n n
a
17
Ví dụ 7.8 Xét tính hội tụ chuỗi
2
1 )
ln
n
a
n n
1
ln )
n
n b
n
18
Tiêu chuẩn so sánh 3: Giả sử f(x) hàm
liên tục, dương giảm Đặt
Khi đó
hội tụ hội tụ.
phân kỳ phân kỳ.
1
( )
f x dx
1 n n
a
1;
( ).
n
a f n
1
( )
f x dx
1 n
n
a
(4)12/5/2019
19
Ví dụ 7.9 Xét tính hội tụ chuỗi
2
1 ln
n n n
III Tiêu chuẩn tỷ số D’Alembert:
20
Xét chuỗi số dương Ta có:
1 n n
a
1
lim n n
n
a a
1
hội tụ.
1 n n
a
1
phân kỳ.
1 n n
a
1
chưa kết luận gì.
Thường dùng tiêu chuẩn D' Alembert chuỗi có số hạng sau rút gọn cho số hạng trước nó.
21
Ví dụ 7.10 Xét tính hội tụ chuỗi
) 2n
n
n a
1
) !
n
n
n b
n
1
3 )
3
n
n
c n
1
2
7 ! )
n n n
n d
n
1
! )
!.3n n
n e
n
1
IV Tiêu chuẩn số Cauchy:
22
Xét chuỗi số dương Ta có:
1 n n
a
Thường dùng tiêu chuẩn Cauchy chuỗi có số hạng tổng quát có dạng số mũ có chứa n.
limn n n a
1
hội tụ.
1 n n
a
1
phân kỳ.
1 n n
a
1
chưa kết luận gì.
Ví dụ 7.11 Xét tính hội tụ chuỗi
1
) n
n
a n
1
2
1
)
2
n
n n
n c
n
1
1
3
)
2
n
n
n b
n
(5)12/5/2019
I Định nghĩa:
25
Cho dãy số dương, chuỗi sốan
1 ( 1)
n n
n
a a a a a
1
và
1 ( 1)
n
n n
a a a a a
1
là chuỗi đan dấu.
II Định lý Leibnitz:
26
Nếu là dãy số dương, giảm và
thì chuỗi đan dấu hội tụ
n
a lim
n n a
( 1)
n
n n
a
1
Ví dụ 7.12 Xét tính hội tụ chuỗi
1
( 1) )
n
n
a
n
1
( 1) )
2
n
n
n b
n
2 ( 1)
) ( 1)
3
n n
n
c
n
III Hội tụ tuyệt đối:
27
Định lý: hội tụ hội tụ
n
n
a
1
n n
a
1
Ví dụ 7.13 Xét tính hội tụ chuỗi
3
sin )
n
n a
n
1
( 1) )
1
n
n
b n
2 1
( 5) )
3 ( 4)
n n n
c
n
2
( 1) )
2
n
n
n d
n
28
Chú ý: Nếu dùng tiêu chuẩn D’Alembert hay Cauchy mà biết chuỗi phân kỳ
cũng phân kỳ
n n
a
1
n
n
a
1
Ví dụ 7.14 Xét tính hội tụ chuỗi
1
( 1) )
n n
n
a
n
)
3
n
n
n b
n
1
29
§4 Chuỗi lũy thừa
I Định nghĩa:
30
Chuỗi lũy thừa chuỗi hàm số có dạng
0
(1)
n
n n
a x
trong x biến, số hệ số an n
x
Tổng quát, cho trước chuỗi hàm số x0,an
0
( ) (2)
n
n n
a x x
(6)12/5/2019
31
Chú ý:
Đặt chuỗi (2) trở thành
Chuỗi (1) hội tụ x = 0.
Tồn số để chuỗi hội tụ khoảng , phân kỳ khoảng
và
R: bán kính hội tụ
: khoảng hội tụ
0
X x x
0
n
n n
a X
0
R
0
n
n n
a x
(R R; ) ( R; )
( ;R ) (R R; )
II Tìm bán kính hội tụ tìm miền hội tụ:
32
Miền hội tụ chuỗi lũy thừa có
dạng (R R; ),R R; , R R; ,R R; Định lý: Nếu
thì
1
lim
n n
n
a
a lim
n n
n a
1 , 0,
,
R
33 Các bước tìm miền hội tụ:
Bước 1: Tìm bán kính hội tụ theo định lý trên. Bước 2: Xét tính hội tụ chuỗi –R R. Bước 3: Kết luận.
Ví dụ 7.15 Tìm bán kính hội tụ miền hội tụ
chuỗi sau
1
) ! n
n
a n x
) 1
n
n
nx c
n
( 1)
)
.2
n n n n
x d
n
1
2
)
3
n n
n
x e
n
1
!
)
2 !
n
n
n x b
n
1
( 1) (2 1)
)
2
n n
n n
n x f
(7)Bài tập Giải tích BÀI TẬP CHƯƠNG Bài 1: Xét tính hội tụ chuỗi sau
1) 1 2 3 n n n
2)
1
4 9n n
n 3) 2 1 2 3 n n n n n 4) 1 2 2 n n e
Bài 2: Xét tính hội tụ chuỗi sau 1)
1
1
(2 1)(2 1)
n n n
2) 2
1 1 2 n n n n
3) 2
1
1 sin
1
n n n
4) 1 ln 1 n n 5) 1 1 cos n n 6) 1 ( 1)
n n n
7) sin n n 8) 1 1 1 n n e n 9) 1 n n n n 10) 3 2 5 9 n n n 11) 2 3 3n 1
n n
12) 1
1
( 1)n
n n n n
13)
1 n n n e
Bài 3: Xét tính hội tụ chuỗi sau 1) 1 .3n n n 2) 1 n n
3) ln
7 1 n n n
Bài 4: Xét tính hội tụ chuỗi sau
1) 2
2
1 .ln
n n n
2)
2
1
1 .ln ln(ln )
n n n n
3) .ln n n n
4) 2
1 arctan 1 n n n
Bài 5: Xét tính hội tụ chuỗi sau 1) 13 n n n 2)
3 !n
n n n n 3) ( !) (2 )! n n n
4) 1
1 3 4 n n n n 5) 2 ! n n n n
6) 10
1
2n
n n
7)
1
( 1) n
n n e 8)
12 2
n n n n 9) sin 3n n 10) 4.7.10 (3 1) 2.6.10 (4 2) n n n
11) 3 1
1
1 (3 1).3 n
n n
12) 2
1
(2 )n
n n n n
13)
1 . n n n e
Bài 6: Xét tính hội tụ chuỗi sau 1) 2 2 1 3 2 n n n n 2) 4 3 3 4 n n n n
3)
2 1 n n n n
4)
1 2 1 n n n 5) 2
(2 )n