a, Chøng minh :DiÖn tÝch tam gi¸c AOD b»ng diÖn tÝch tam gi¸c BOC.[r]
(1)ĐỀ 1 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 8 Thời gian làm 120 phút (Không kể giao đề)
Câu 1: (5điểm) Tìm số tự nhiên n để:
a, A=n3-n2+n-1 số nguyên tố. b, B = n
4
+3n3+2n2+6n −2
n2+2 Cã gi¸ trị số nguyên c, D= n5-n+2 số phơng (n 2)
Câu 2: (5®iĨm) Chøng minh r»ng : a, a
ab+a+1+ b
bc+b+1+ c
ac+c+1=1 biÕt abc=1 b, Víi a+b+c=0 th× a4+b4+c4=2(ab+bc+ca)2 c, a
2
b2+
b2 c2+
c2 a2≥
c b+
b a+
a c
Câu 3: (5điểm) Giải phơng trình sau: a, x −214
86 +
x −132 84 +
x −54 82 =6
b, 2x(8x-1)2(4x-1)=9
c, x2-y2+2x-4y-10=0 víi x,ynguyên dơng.
Cõu 4: (5im) Cho hỡnh thang ABCD (AB//CD), giao điểm hai đờng chéo.Qua kẻ đờng thẳng song song với AB cắt DA E,cắt BCtại F a, Chứng minh :Diện tích tam giác AOD diện tích tam giác BOC b Chứng minh:
AB + CD=
2 EF
c, Gọi Klà điểm thuộc OE Nêu cách dựng đờng thẳng qua Kvà chia đôi diện tích tam giác DEF
(2)Đáp án
Câu
Nội dung giải
Câu 1 (5điểm)
a, (1im) A=n3-n2+n-1=(n2+1)(n-1) Để A số nguyên tố n-1=1 ⇔ n=2 A=5
b, (2®iĨm) B=n2+3n-
n2+2
B có giá trị nguyên n2+2 n2+2 ớc tự nhiên
n2+2=1 giá trị thoả mÃn Hoặc n2+2=2 n=0 Với n=0 B có giá trị nguyên
c, (2®iĨm) D=n5 -n+2=n(n4 -1)+2=n(n+1)(n-1)(n2+1)+2
=n(n-1)(n+1)
[(n2−4)
+5] +2= n(n-1) (n+1)(n-2)(n+2)+5 n(n-1) (n+1)+2
Mµ n(n-1)(n+1) (n-2)(n+2 ⋮ (tich 5sè tự nhiên liên tiếp)
Và n(n-1)(n+1 ⋮ VËy D chia d
Do số D có tận 7nên D khơng phải số phơng Vậy khơng có giá trị n để D số chớnh ph-ng
Câu 2 (5điểm)
a, (1điểm) a
ab+a+1+ b
bc+b+1+ c
ac+c+1=¿
ac
abc+ac+c +
abc
abc2+abc+ac+ c
ac+c+1 =
ac
1+ac+c+
abc
c+1+ac+ c
ac+c+1=
abc+ac+1
abc+ac+1=1 b, (2®iĨm) a+b+c=0 ⇒
a2+b2+c2+2(ab+ac+bc)=0 ⇒ a2+b2+c2=
-2(ab+ac+bc)
(3)b2c2)=4( a2b2+a2c2+b2c2)+8a bc(a+b+c) V× a+b+c=0
⇒
a4+b4+c4=2(a2b2+a2c2+b2c2) (1)
Mặt khác
2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+ b2c2)+4abc(a+b+c) V× a+b+c=0
⇒
2(ab+ac+bc)2=2(a2b2+a2c2+ b2c2) (2)
Tõ (1)vµ(2) ⇒
a4+b4+c4=2(ab+ac+bc)2 c, (2điểm) áp dụng bất đẳng thức: x2+y2 2xy Dấu x=y a
2
b2+ b2 c2≥2
a b
b c=2
a c ; a2
b2+ c2
a2≥2 a b
c a=2
c b ; c2
a2+ b2 c2≥2
c a
b c=2
b a Cộng vế ba bất đẳng thức ta có:
2(a
2
b2+ b2
c2+ c2
a2)≥2( a c+ c b+ b a)
⇒ a2
b2+ b2 c2+
c2 a2≥
a c+ c b+ b a Câu 3 (5điểm)
a, (2điểm) x 214
86 +
x −132 84 +
x −54 82 =6
⇔ (x −214
86 −1)+(
x −132 84 −2)+(
x −54
82 −3)=0
⇔
x −300 86 +
x −300 84 +
x −300 82 =0
⇔ (x-300)
(861 +
1 84+
1
82)=0 ⇔
x-300=0 ⇔ x=300 VËy S =
{300}
b, (2®iĨm) 2x(8x-1)2(4x-1)=9
⇔ (64x2-16x+1)(8x2 -2x)=9 ⇔ (64x2-16x+1) (64x2-16x) = 72
(4)⇔ k2=72,25 ⇔ k= 8,5
Với k=8,5 tacó phơng trình: 64x2-16x-8=0 ⇔ (2x-1)(4x+1)=0; ⇒ x=
1 2; x=
−1
Với k=- 8,5 Ta có phơng trình: 64x2-16x+9=0 ⇔ (8x-1)2+8=0 v« nghiƯm VËy S = {1
2,
−1 }
c, (1®iĨm) x2-y2 +2x-4y-10 = ⇔ (x2 +2x+1)-(y2+4y+4)-7=0
⇔ (x+1)2 -(y+2)2=7 ⇔ (x-y-1)
(x+y+3) =7 V× x,y nguyên dơng
Nên x+y+3>x-y-1>0 x+y+3=7 x-y-1=1 x=3 ; y=1 Phơng trình có nghiệm dơng (x,y)=(3;1)
Câu 4 (5điểm)
a,(1điểm) Vì AB//CD
S DAB=S CBA
(cùng đáy đờng cao)
⇒ S DAB –SAOB = S CBA- SAOB
Hay SAOD = SBOC b, (2điểm) Vì EO//DC
EO
DC= AO
AC Mặt khác
AB//DC
⇒
AB DC=
AO OC ⇒
AB
AB+BC=
AO
AO+OC⇒
AB
AB+BC=
AO AC ⇒
EO DC=
AB AB+DC
⇒
EF DC=
AB
AB+DC ⇒
AB+DC
AB DC = EF ⇒
1 DC+
1 AB=
2 EF
c, (2®iĨm) +Dùng trung tun EM ,+ Dùng
EN//MK (N DF) +Kẻ đ-ờng thẳng KN đđ-ờng thẳng phải dựng
Chứng minh: SEDM=S EMF(1).Gọi giao EM KN I SIKE=SIMN (cma) (2) Từ (1) vµ(2) ⇒ SDEKN=SKFN
A
D
O E K
(5)