PHOÌNG GIAÏO DUÛC TP. Qua M keí âæåìng thàóng vuäng goïc våïi BC càõt AB taûi D. Qua E keí âæåìng thàóng vuäng goïc våïi DE càõt âæåìng thàóng AH taûi N.. a) Chæïng minh: BM.[r]
(1)PHÒNG GIÁO DỤC TP HUẾ
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS NĂM HỌC 2006 - 2007 MƠN TỐN - LỚP 9
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài (2 điểm): Cho biểu thức A=3y3−10
√
3x.y2+31 xy−10x√
3x a) Phân tích A thành nhân tửb) Tìm cặp số x, y thoả mãn điều kiện y - x = 34 đồng thời A = Bài (2 điểm):
Cho biểu thức M = x2 + 2y2 + 3z2 + 4t2 với x, y, z, t số ngun khơng âm Tìm giá trị x, y, z, t để biểu thức M có giá trị nhỏ thoả mãn điều kiện:
2x2 - 2y2 + 5t2 = 30 x2 + 8y2 + 9z2 = 168 Bài (2 điểm):
Cho hàm số f(x) = x
−2x+1
x2−2x+2 (x R)
a) Chứng minh với hai giá trị x1 , x2 tuỳ ý x cho 1≤ x1< x2 f(x1) < f(x2)
b) Với giá trị x 12<f(x)<3 Bài (4 điểm):
Cho tam giác cân ABC (AB = AC), đường cao AH Trên cạnh BC lấy điểm M E cho ME =
2 BC (BM < BE) Qua M kẻ đường thẳng vng góc với BC cắt AB D Qua E kẻ đường thẳng vng góc với DE cắt đường thẳng AH N
a) Chứng minh: BM BH = MD HN b) Chứng tỏ N điểm cố định
c) Biết AB = cm, BC = cm Tính khoảng cách tâm đường trịn nội tiếp tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM 2006-2007
Mơn: Tốn - Lớp 9 Bài 1(2 điểm)
a) (1 điểm)
A=3y3−3
√
3x y2−7√
3x y2+21 xy+10 xy−10x√
3x (0,5 â)
2
3 10
y x y x y x
2
3 3 10 60
y x y x y x y x
(0,5 â)
y 3x
y x
3y x
(2)A=0⇔y=
√
3x y=2√
x√
3 y= 5√
x√
3 * y=√
3x x −√
3x+34=0
(
√
x −√
)
2 =0
x=3
3 y x
y=x+
4 y=x+
y=3 * y=
2
√
x√
3 x − 2√
x√
3 +4=0
2 12 x y x
y=x+
4 y=x+
4 * y=
√
3√
x x − 5√
x√
3 +4=0
(
√
x − 2√
3)
2 −16 12=0 y x
y=x+
4 y=x+
√
x=2
√
3√
x=2
√
3 x= 274
x= 12
y=x+3
4 y=x+
4 y= 15
2
y=5
Vậy có cặp số thỏa mãn điều kiện A =
3 y x
laì: ( x=34 ; y=
3
2 ) ; (x =
27
4 ; y = 15
2 ) vaì ( x=121 ; y=56 )
Bài (2 điểm)
Từ 2x2 - 2y2 + 5t2 = 30 x2 + 8y2 + 9z2 = 168
Suy ra: 3x2 + 6y2 + 9z2 + 5t2 = 198
3(x2 + 2y2 + 3z2 + 4t2 ) = 198 + 7t2
3M = 198 + 7t2
M=66+7 3t
2≥66 Giá trị nhỏ M 66 t =
Do âoï: 2x2 - 2y2 = 30 (1) vaì x2 + 8y2 + 9z2 = 168 (2)
Từ (1) (x + y)(x - y ) = 15
Vì x, y số ngun khơng âm, nên x + y = 15 x - y = (3)
Hoặc: x + y = x - y = (4)
Từ (3) x = 8, y = 7, giá trị không thỏa (2)
Từ (4) x = 4, y = Thay vào (2) ta có:
16 + + 9z2 = 168
9z2 = 144
z2 = 16
z = (z = - loải)
Hệ phươngtrình
vơ nghiệm
hoà
(3)Vậûy giá trị nhỏ M 66, khi: x = 4, y = 1, z = 4, t =
Bài 3 (2 điểm) a) điểm
f(x)= (x −1)
(x −1)2+1
- Với x1 = 1, x2 >1 f(x1) = 0, f(x2) > nên f(x1) < f(x2)
- Nếu x 1, ta có f(x)=
1 1+
(x −1)2
Với < x1 < x2 < x1 - < x2 - nên:
1
(
x1−1)
2 >
(
x2−1)
Do âoï:
1 1+
(
x1−1)
2 <
1 1+
(
x2−1)
2 hay f(x1) < f(x2) Vậy với 1 x1 < x2 f(x1) < f(x2)
b) điểm f(x) >
1
2
x2−2x+1
x2−2x+2 >
1
2 ⇔2x2−4x+2 > x2−2x+2⇔x2−2x > 0
x (x - 2) > x > x < (1)
f(x) < 34 x
2−2x +1
x2−2x+2 <
4 4x2 - 8x + < 3x2 - 6x +
x2 - 2x - < (x - 1)2 - < (x -1 +
√
3 ) (x-√
3 ) < -
√
3 < x < +√
3 (2)Từ (1) (2) suy 12 < f(x) < 34 -
√
3 < x < < x < +√
3Bài 4 (4 điểm)
A D
B M H E C
N
a) Xẹt MDE v HEN coï:
DME = EHN = 900
MDE = HEN (góc có cạnh tương ứng vng góc)
nãn MDE
∾
HEN , suy ra: MDHE =ME HN Hay MD.HN = HE.MEDo BH = ME ( ¿1
2BC ) nãn BM = HE Do âoï: MD.HN = BM.BH (1)
b) Từ (1) MDBM =BH
HN (2)
ABH coï MD//AH nãn MDBM=AH
BH (3) Từ (2) (3) BHHN=AH
BH HN=
BH2 AH
N AH cố định HN không thay đổi nên N điểm cố
(4)c)
A P
B H C
BC = 6cm BH = 3cm
AHB ( ^H=900 ) coï AH2 = AB2 - BH2
= 52 - 32 = 16
= 42
AH = 4cm
Gọi K tâm đường trịn nội tiếp ABC, BK phân giác B K AH
Do âoï: KHKA=BH BA=
3 Suy ra: KH3 =KA
5 =
KH+KA
8 =
4 8=0,5 KH = 1,5cm
KA = 2,5cm
Gọi I tâm dường trịn ngoại tiếp ABC IP đường
trung trỉûc ca cảnh AB v I AH nãn
5
2,5( )
2
AB
PA cm
ABH ( ^H=900 ) coï cos (BAH ) ¿AHAB =45=0,8 cos(PAI ) 0,8
API ( ^P=90
0
) coï cos (PAI) ¿ AP
AI
2,5
3,125 0,8
cos( )
AP AI
PAI
Do âoï KI = AI - AK = 3,125 - 2,5 = 0,625 (cm)
Vậy khoảng cách tâm đường tròn ngọai tiếp tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC 0,625cm