Phương trình tổng quát động lưc học. 1.[r]
(1)2 Nguyên lý di chuy
ể
n kh
ả
d
ĩ
CH
ƯƠ
NG 13
Nguyên lý di chuy
ể
n kh
ả
d
ĩ
Ví dụ: Cho hệ có cấu hình vẽ Bỏ qua trọng lượng dầm, xácđịnh áp lực lên gối B
Giải
Để tính phản lực liên kết B ta giải phóng liên kết thay vàođó phản lực NB Sauđó cho hệ di chuyển khả dĩ, ta cóđiều kiện sau:
1 B C
s a
s l
Dođó:
1
E B
b l
s s
a l
Tính cơng khảdĩtađược
( B) ( )
A A N A P
A B C D
E P
a b
1
l l2
B
s
sC sE
2 E C
s b
s l
A
B C
D E
P
B
N
B B E
N s P s
2 Nguyên lý di chuy
ể
n kh
ả
d
ĩ
CH
ƯƠ
NG 13
Nguyên lý di chuy
ể
n kh
ả
d
ĩ
1
B B B
b l
A N s P s
a l
1
B B
b l
N P s
a l
Điều kiệnđểhệcân Q0
1 B
b l
Q N P
a l
1
0
B
b l
N P
a l
1 B
b l
N P
a l
Chú ý: Nếu ta dùng phương pháp tĩnh học bình thường
dài phải lập phương trình cân cho dầm AC CD Vì
(2)2 Nguyên lý di chuy
ể
n kh
ả
d
ĩ
CH
ƯƠ
NG 13
Nguyên lý di chuy
ể
n kh
ả
d
ĩ
Ví dụKhơng kể đến ma sát, xác định lực suy rộng hệbao gồm ABđồng chất chiều dàil, trọng lượng P qua quanh
trục A mặt phẳng thẳngđứng Viên bi M trọng lượng Q chuyểnđộng Chiều dài tựnhiên lò xo AM làl0,độcứng k
Q
B
A
P
0
l
x
1
2
q
q x
Chọn tọađộsuy rộng
2 Nguyên lý di chuy
ể
n kh
ả
d
ĩ
CH
ƯƠ
NG 13
Nguyên lý di chuy
ể
n kh
ả
d
ĩ
Cách 1:Tính lực suy rộng bằngđịnh nghĩa (tựtính) Cách 2:Tính lực suy rộng cơng khảdĩ
Cho q10, 0q2x
TínhQ1:
Q
B
A
P
0
l
x
1 ( ) ( )
A A P A Q
Tính cơng khảdĩ
0
sin sin ( )
2
l
P Q l x
0
sin sin ( )
2
l
P Q l x
1 2 sin (0 )sin
Pl
(3)2 Nguyên lý di chuy
ể
n kh
ả
d
ĩ
CH
ƯƠ
NG 13
Nguyên lý di chuy
ể
n kh
ả
d
ĩ
Cho q10, 0q2x
TínhQ2:
1 ( ) ( )s
A A Q A F
Tính công khảdĩ
cos s
Q x F x
Qcos k x
x
2 cos
Q Q k x
Q
B
A
s
F
0
l
x
x
Qcos x k x x2 Nguyên lý di chuy
ể
n kh
ả
d
ĩ
CH
ƯƠ
NG 13
Nguyên lý di chuy
ể
n kh
ả
d
ĩ
Cách 3:Tính lực suy rộng hàm thếnăng
( ) ( ) ( )s
V P V Q V F
2
P Q
P y Q y k x
2
1
( cos ) ( ( ) cos )
2
A A
l
P y Q y l x k x
1 2sin (0 )sin
l
Q Q P Q l x
2 x cos
Q Q Q k x
x
A
cos
l
P B
I
Q
P
y
Q
y
A
y
0
(l x) cos
(4)CH
ƯƠ
NG 14
Ph
ươ
ng trình t
ổ
ng quát
độ
ng l
ự
c h
ọ
c ph
ươ
ng
trình Lagrange II
2 Phương trình Lagrange II
N
Ộ
I DUNG
1 Phương trình tổng quát
động lưc học
1 Ph
ươ
ng trình t
ổ
ng quát
độ
ng l
ự
c h
ọ
c
CH
ƯƠ
NG 14
Ph
ươ
ng trình t
ổ
ng quát
độ
ng l
ự
c h
ọ
c ph
ươ
ng
trình Lagrange II
Phương trình tổng quát động lực học
1
0
N
kx k k k ky k k k kz k k k
k
F
m x
x
F
m y
y
F
m z
z
Từ phương trình tổng quát động lực học, ta biểu diễn theo hệ tọa
độsuy rộngđầyđủvàđộc lập tuyến tính
Phương trình Lagrange II
1
0
N
k k k k
k
F
m W
r
1
r r
i i i
i i i i
d
T
T
q
Q q
dt
q
q
d
T
T
Q
(5)2 Ph
ươ
ng trình Lagrange II
CH
ƯƠ
NG 14
Ph
ươ
ng trình t
ổ
ng quát
độ
ng l
ự
c h
ọ
c ph
ươ
ng
trình Lagrange II
Trường hợp lực
0
i i
d
L
L
dt
q
q
Nếu tất lực tác dụng lên hệ lực có thế, áp dụng cơng thức sau
L
T
Hàm L tọađộsuy rộng vận tốc suy rộng hiệu
động thếnăng hệ,được gọi hàm Lagrange hay hàm Khiđó phương trình Lagrange lực có thếcó dạng:
Đây hệphương trình vi phân chuyển động cơhệ Sốlượng phương trình bằngđúng sốbậc tựdo hệ
2 Ph
ươ
ng trình Lagrange II
CH
ƯƠ
NG 14
Ph
ươ
ng trình t
ổ
ng quát
độ
ng l
ự
c h
ọ
c ph
ươ
ng
trình Lagrange II
Ví dụ Khơng kể đến ma sát, viết phương trình chuyển động hệbao gồm ABđồng chất chiều dàil, trọng lượng P qua quanh
trục A mặt phẳng thẳngđứng Viên bi M trọng lượng Q chuyểnđộng Chiều dài tựnhiên lò xo AM làl0,độcứng k
B
A
P
0
l
x
1
2
q
q x
Chọn tọađộsuy rộng
1 sin (0 )sin
2
Pl
Q Q l x
2 cos
Q Q k x
Lực suy rộng
Phương trình Lagrange II
(6)2 Ph
ươ
ng trình Lagrange II
CH
ƯƠ
NG 14
Ph
ươ
ng trình t
ổ
ng quát
độ
ng l
ự
c h
ọ
c ph
ươ
ng
trình Lagrange II
AB M
T T T
Tínhđộng hệ
Thanh AB qua quanh A cố định
1
AB A
T J 1 2
2
P l g
2
6
P l g
M chuyển động trượt tương đối AB chuyển
động kéo theo M quay quanh A
r M
V
B
A
a MV
e MV
M
2 M M Q T V g a r e
M M M M
V V V V
Với
22 r e r e
M M M M M
V V V V V
2cos
r e r e
M M M M
V V V V
r eM M
V V
2
20
( )
x l x
2 2
( )
M
V x l x
2 2
1 ( ( ) )
2
Q
x l x
g
(Hoặc dùng Pitagođểtính)
2 Ph
ươ
ng trình Lagrange II
CH
ƯƠ
NG 14
Ph
ươ
ng trình t
ổ
ng quát
độ
ng l
ự
c h
ọ
c ph
ươ
ng
trình Lagrange II
2 2 2
0 1 ( ( ) ) AB M P Q
T T T l x l x
g g
Phương trình Lagrange II i
i i
d T T Q dt q q
Tính cácđạo hàm theo tọađộsuy rộng thứnhất
2 1 ( )
T T P Q
l l x
q g g
1 2
d T T Q dt q q
d T T
Q dt q q
2 0 1
2 ( ) ( )
3
d T P Q Q
l l x x l x
dt q g g g
T T q 2
0 0
1
2 ( ) ( ) sin ( ) sin
P Q Q Pl
l l x x l x Q l x
(7)2 Ph
ươ
ng trình Lagrange II
CH
ƯƠ
NG 14
Ph
ươ
ng trình t
ổ
ng quát
độ
ng l
ự
c h
ọ
c ph
ươ
ng
trình Lagrange II
Tính cácđạo hàm theo tọađộsuy rộng thứhai
2
T T Q x q x g
1
d T Q x dt q g
2
( )
T T Q l x
q x g
2
( ) cos
Q Q
x l x Q k x
g g
Phương trình vi phân chuyểnđộng thứhai
Vậy hệphương trình vi phân chuyểnđộng toàn hệ
2
0 0
2
1
2 ( ) ( ) sin ( ) sin
3
( ) cos
P Q Q Pl
l l x x l x Q l x
g g g
Q Q
x l x Q k x
g g