Ngêi viÕt còng hy väng r»ng chuyªn ®Ò nhá nµy sÏ mang l¹i cho mét vµi ®iÒu bæ Ých cho c¸c em häc sinh nhÊt lµ häc sinh giái trong qu¸ tr×nh häc vµ gi¶i to¸n chøng minh h×nh häc.. B..[r]
(1)Trêng thcs trung giang Tæ tự nhiên
kinh nghiệm dạy học giảI toán
chứng minh hình học cách vẽ thêm đờng phụ A Lời nói đầu
Trong chơng trình hình học lớp 8, đặc biệt chơng trình bồi dỡng học sinh giỏi, có tốn chứng minh mà trình chứng minh phải vẽ thêm đờng phụ đến kết Có nhiều tốn khó, sau vài đờng kẻ thêm phơng pháp chứng minh thật đơn giản, chí nhìn thấy cách giải Tuy nhiên với học sinh việc giải toán cách vẽ thêm đờng phụ khó khăn thờng học sinh vấp phải hai vấn đề sau :
Thứ : Lúng túng việc tìm cách vẽ thêm đờng hay cụ thể trong việc tìm cách vẽ thêm nh cho có lợi, kết có nhiều đờng vẽ thêm không cần thiết, không hớng chứng minh dẫn đến hình rối lạc hớng
Thứ hai : Ngộ nhận tính chất đờng vẽ thêm để áp dụng vào lời giải mà không chứng minh
Thực tế cho thấy, có nhiều đờng phụ khác khơng có phơng pháp chung, nên địi hỏi khéo léo, sáng tạo, linh hoạt tuỳ theo yêu cầu toán cụ thể điều quan trọng vẽ phải xác định đợc đờng phụ tạo điều kiện để chứng minh Nghĩa vẽ có mục đích khơng vẽ tuỳ tiện cần tuân theo phép dựng toán dựng hình
Xuất phát từ suy nghĩ tơi xin đề cập khía cạnh nhỏ ph ơng pháp chứng minh toán hình học thơng qua cách vẽ đờng phụ Trong chun đề tơi trình bày vài phơng pháp vẽ thêm đờng phụ (vì vấn đề vơ rộng, đa dạng mà với ngời lại có cách thể riêng, độc đáo khác củng có nhiều tài liệu bồi dỡng học sinh giỏi viết vấn đề này) với vài toán điển hình, số nhận xét suy nghĩ để tìm tòi cách vẽ
Việc dạy học sinh vẽ thêm đờng phụ dạy suy nghĩ, tìm tịi sáng tạo, dạy cho em biết định hớng mục đích công việc chất việc dạy cách giải toán cá thể Hớng cho học sinh biết rút nhận xét có tính chất khái quát để tìm lời giải Ngời viết hy vọng chuyên đề nhỏ mang lại cho vài điều bổ ích cho em học sinh học sinh giỏi trình học giải tốn chứng minh hình học
B Néi dung
(2)a Kéo dài đoạn đoạn thẳng cho trớc hay đặt đoạn thẳng đoạn thẳng cho trớc
b Vẽ đờng thẳng song song với đoạn thẳng cho trớc từ điểm cho trớc c Từ điểm cho trớc vẽ đờng thẳng vng góc với đờng thẳng cho trớc d Nối hai điểm cho trớc xác định trung điểm đoạn thẳng cho trớc e Dựng đờng phân giác góc cho trớc
f Dựng góc góc cho trớc hay nửa góc cho trớc 2 Những điểm cần ý vẽ đờng phụ
a Vẽ đờng phụ phải có mục đích, khơng vẽ tuỳ tiện phải nắm thật vững đề ,định h -ớng chứng minh từ mà tìm xem cần vẽ đờng phụ phục vụ cho mục đích chứng minh
b Vẽ đờng phụ phải xác tuân theo phép dùng hình
c Với tốn nhng vẽ đờng phụ khác cách chứng minh khác nhau, có đờng phụ nhng cách vẽ lại khác
C c¸c phơng pháp áp dụng
1 Phơng pháp : T×m yÕu tè trung gian.
Thực chất phơng pháp dựa vào kết luận, lựa chọn điều kiện cần có, gợi hớng vẽ hình phụ để từ giả thiết suy luận đến yếu tố trung gian để suy kết luận
VÝ dụ 1: (Bài 155 trang 76 SBT)
Cho hình vuông ABCD Gọi E, F theo thứ tự trung ®iĨm cđa AB, BC. a) Chøng minh r»ng CE vu«ng góc với DF.
b) Gọi M giao điểm cđa CE vµ DF Chøng minh r»ng AM = AD.
GT
Hình vuông ABCD CE cắt DF M EA = EB; FB = FC KL a) CE b) AM = AD DF
Ph©n tÝch
a Học sinh cha cần tạo yếu tố phụ hình vẽ chứng minh đợc : BEC = CFD (c – g – c) => MCFã =CDFã
A B
C D
E
F M
(3)Do MCFã +CFDã =CDFã +CFDã =900=> CMFã =900
b Đối với trờng hợp này, giáo viên dẫn dắt học sinh phải kẻ đờng phụ nh sau: Để AM = AD tam giác AMD cân A, trung tuyến đồng thời đờng cao Vậy dẫn tới kẻ thêm đờng phụ phải mang yếu tố trung điểm vng góc Từ phải xuất phát từ trung điểm K DC Lấy K trung điểm DC nối AK cắt DF N Ta Chứng minh cho AN trung tuyến, đờng cao tam giác ADM
Lêi gi¶i
a) XÐt hai tam giác BEC CFD có :
CD = BC (cạnh hình vuông), EBCÃ =FCDÃ =1v, CF = BE (
CD
=
) nªn BEC = CFD (c – g – c) => MCF· =CDF·
Do MCFã +CFDã =CDFã +CFDã =900=> CMFã =900 Hay CE DF (1)
b) Gọi K trung điểm CD, N giao điểm AK CD Tứ giác AECK hình bình hành AE // CK, AE = CK
Suy AK // CE (2)
Tõ (1) vµ (2) suy AK DF (3)
Mà K trung điểm CD, AK // CE (c/m trªn) nªn ND = NM (4)
Từ (3) (4) suy AN vừa đờng cao vừa đờng trung tuyến tam giác ADM Do tam giác ADM cân A
Hay AD = AM (®pcm)
2 Phơng pháp : Biến đổi kết luận toán dạng tơng đơng.
Thực chất phơng pháp biến đổi kết luận (ở dạng cha thấy hớng giải) thành dạng tơng đơng có khả gợi hớng vẽ hình phụ từ đến hớng giải Đây phơng pháp đơn giản thờng đợc “ thử nghiệm”
VÝ dô 2 : Dựng phía tam giác ABC hình vuông ABDE BCKF Chứng minh trung tuyến BM tam giác ABC nửa đoạn thẳng DF
GT
ABC
Dựng hình vuông ABDE; BCKF
MA = MC
KL BM 1DF
2
=
Ph©n tÝch
Ta thử biến đổi kết luận:
1
BM = DF(1) 2BM=DF(2)
2 Û
Vế trái đẳng thức (2) gợi ý kéo dài BM để có BN = 2BM ta thử tìm cách chứng minh BN = DF
Nối NC, NA (nét đứt biểu yếu tố vẽ thêm)
B
A C
E D
F
K
M
(4)H×nh bình hành ABCN cặp tam giác BDF = CNB (c.g.c) sÏ cho ta lêi gi¶i BN = DF hay BM =
1 2DF. Chøng minh
Lấy N đối xứng với B qua M Tứ giác ABNC có hai đờng chéo cắt trung điểm đờng nên hình bình hành
Từ suy NC = AB ABCã +BCNã =1800 Mà AB = BD (cạnh hình vuông)
· · o o
ABC+DBF=360 - (90 +90 )=180 nên BD = NC DBFÃ =BCNÃ
Hai tam giác BDF CNB cã BC = BF, BD = NC vµ DBF· =BCN· , nên chúng theo trờng hợp c g – c
VËy DF = BN hay DF = 2BM
3 Phơng pháp 3: Vẽ hình phụ tỉ lệ với hình có kết luận.
Thực chất phơng pháp vẽ thêm yếu tố phụ bằng, tỉ lệ (hc cã diƯn tÝch b»ng hc tØ lƯ) phơ thc vào yêu cầu toán với hình có kết luận dạng nhìn thấy hớng giải rõ
Ví dụ 3: Cho hình bình hành ABCD, điềm M chạy cạnh CD Gọi P, Q R theo thứ tự chân đờng vuông góc hạ từ B, C, D xuống đờng thẳng AM Chứng minh BP = DQ + CR
GT
ABCD hình bình hành CR AM , M CD; BP AM; QD AM KL BP = DQ + CR
Ph©n tÝch :
Ta thấy đoạn thẳng có đẳng thức KL cha có mối liên hệ trực tiếp Có thể nghĩ đến tạo đoạn thẳng trung gian đoạn thẳng đẳng thức kết luận hình vẽ, nên có hớng sau:
1 Vẽ đoạn thẳng lớn BP đoạn thẳng DQ (hoặc CR) tìm cách cm phần lại đoạn thẳng thứ hai
2 Kéo dài đoạn thẳng CR (hoặc DQ) đoạn thẳng đoạn thẳng ngắn thứ hai tìm cách c/m phần lại đoạn thẳng thứ hai
Hớng thứ gợi cho ta hai cách vẽ hình phụ:
a Để PC’ = CR (hoặc CC’ = PR) phải c/m BC’ = DQ ( Dễ dàng c/m đợc BC’C = DQA trờng hợp cạnh huyền - góc nhọn)
b KỴ RR’ // BC => BR’ = CR Cần c/m PR = QD ta có cách vẽ t¬ng tù víi h-íng thø hai
A B Q R’ C’
P
D M C
(5)Chøng minh
C¸ch : Kẻ CC AM Tứ giác CRPC lcó ba góc vuông nên hình chữ nhật, suy CR = C’P
Xét hai tam giác vuông DQA BC’C có Qà =C'à = 900, AD = BC ( cnh i ca hỡnh
bình hành, ADQÃ =C'BCÃ (góc có cạnh tơng ứng song song) nên DADQ= DCBC' (c¹nh hun – gãc nhän)
Suy DQ = BC’
Từ suy điều phải chứng minh
Cách : Kẻ RR’ // BC, chứng minh RC = BR’, DR/ = DQ Từ suy điều phải chứng minh
Ví dụ 4: Cho hình bình hành ABCD có diện tích Nối A với trung điểm M cạnh BC, AM cắt đờng chéo BD O Tính diện tích tứ giác OMCD
GT MB = MCSABCD = 1 AM BD = KL TÝnh SOMCD = ?
Ph©n tÝch
Trên hình vẽ cần tạo có diện tích BOM tứ giác có diện tích (có thể tính đợc), cho tứ giác OMCD có mối liên hệ diện tích với tứ giác, tam giác nói trên, với hình bình hành ABCD
Muốn từ B, trung điểm E AD D vẽ đờng // với AM chúng cắt BC, BD, AD, tạo thành tứ giác
Dễ dàng chứng minh đợc: SAMCE = S BCD ( =
2 SABCD)
SOMCI = SOBM + SCID; SOMCI = SBOM
SOMCD =
1
2 SABCD =
12 SABCD
V× SABCD = => SOMCD = 12
Chøng minh
Từ B, trung điểm E AD D vẽ đờng // với AM chúng cắt BC, BD, AD, tạo thành tứ giác
Dễ dàng chứng minh đợc: SAMCE = S BCD ( =
2 SABCD)
SOMCI = SOBM + SCID; SOMCI = SBOM
B M C N O
I
(6)SOMCD =
1
2 SABCD =
12 SABCD
V× SABCD = => SOMCD = 12
Trên xin đề cập đến ba phơng pháp thờng dùng để vẽ thờng dùng để vẽ đ-ờng phụ để giải tốn chứng minh hình học với ví dụ điển hình Tất tốn sử dụng phơng pháp vẽ thêm đờng phụ suy luận từ giả thiết linh hoạt phng phỏp
Bài tập vân dụng
Bài : Cho hình vuông ABCD E thuộc miền hình vuông cho
à Ã
FAD=FDA =15 Chứng minh tam giác ABE tam giác đều.
Bài : Cho hình thang vng ABCD có Qua điểm E thuộc cạnh AB, kẻ đờng vng góc với DE, cắt BC F Chứng minh ED = EF
Bài : Cho tam giác ABC cân A Từ điểm D đáy BC, vẽ đờng thẳng vng góc với Bc, cắt đờng thẳng AB, AC E, F Vẽ hình chữ nhật BDEH CDFK Chứng minh A trung điểm HK
Bài Cho tam giác ABC Lờy điểm D, E theo thứ tự thuộc tia đối tia BA, CA cho BD = CE = BC Gọi O giao điểm BE CD Qua O vẽ đờng thẳng song song với tia phân giác góc A, đờng thẳng cắt AC K Chứng minh AB = CK
Bài : Cho tứ giác lồi ABCD Trên cạnh AB lấy điểm P tuỳ ý Hãy kẻ qua P đờng thẳng chia tứ giác thành đa giác có diện tích
Bµi 6: Cho hình bình hành OBCA Gọi E F lần lợt điểm cạnh OA OB cho OE = OA; OF =
1 3 OB
Đoạn thẳng EF cắt đờng chéo OC M Tính tỉ lệ số OM
OC = ?
Bài 7: Giả sử AC đờng chéo lớn hình bình hành ABCD Từ C kẻ đờng thẳng CE , CF tơng ứng vng góc với AB , AD CMR : AB AE + AD.AF = AC2
Bài 8: Cho hình bình hành ABCD Một đờng thẳng cắt AB E AD F đờng chéo AE G CMR : AB
AE + AD AF =
AC AG
Bài 9: Cho tam giác ABC với G trọng tâm Một đờng thẳng qua G cắt cạnh AB , AC M N CMR : AB
(7)Bài 10 : Cho tam giác ABC cã gãc A = 90o chän trªn AB mét điểm D , kẻ Dx // AC , cắt
BC t¹i E cho AE CD t¹i K Cho CD
AE=
m
n TÝnh SBDE SADEC
Bµi 11 : Cho hình thang ABCD ( AB//CD ) gọi E giao ®iĨm cđa AD vµ BC , F lµ giao ®iĨm AC BD CMR : EF qua trung điểm AB CD
Bài 12 : Cho A/, B/, C/, D/, lần lợt nằm cạnh BC , AC , AB tam giác ABC BiÕt
rằng AA/ , BB/ , CC/ , đồng quy M CMR : AM
A❑
M=
AB❑
CB❑ +
AC❑
BC❑
D KÕt luËn
Trong trình giảng dạy phơng pháp chứng minh tốn hình học, ngời viết đa vài phơng pháp thờng chơng trình tốn Chun đề nhỏ hệ thống hố vài tình vẽ hình phụ tập hình học, bên cạnh số ví dụ chứng minh minh hoạ cụ thể cho tình tập tham khảo Tuy nhiên chuyên đề có hạn chế thể loại, đa dạng tập, cha đáp ứng đợc hết đối tợng học sinh Trong phơng pháp hạn chế nội dung phơng pháp Tôi mong nhận đợc góp ý xây dựng đồng chí đồng nghiệp đồng chí giàu kinh nghiệm giảng dạy mơn tốn THCS để chuyên đề đợc sửa chữa, củng cố đáp ứng đợc với đối tợng học sinh
Xin cảm ơn !
Trung Giang, ngày 14 tháng 10 năm 2010. Ngời viết