Đây là trường hợp đặc biệt của dãy số dạng . Tuy nhiên với dãy số dạng này vấn đề hội tụ của dãy thường không được đặt ra vì quá đơn giản (giới hạn chỉ có thể là hoặc ). Trong bài viết này chúng ta chủ yếu xây dựng những đánh giá cho dãy hoặc tìm bậc tiệm cận của dãy, cụ thể là tìm sao cho , tức là bị chặn. Chúng ta cũng khảo sát dãy đã cho với các trường hợp cụ thể hay gặp của như và một vài trường hợp lớn hơn, riêng trường hợp là quá đơn giản nên chúng ta không xem xét đến.
DÃY SỐ DẠNG un+1 = un ± ( un ) α u = f ( un ) Đây trường hợp đặc biệt dãy số dạng n +1 Tuy nhiên với dãy số dạng vấn đề hội tụ dãy thường khơng đặt q đơn giản (giới hạn ∞ ) Trong viết chủ yếu xây dựng đánh giá cho dãy tìm bậc tiệm cận dãy, cụ thể un β β u = O( n ) tìm β cho n , tức n bị chặn Chúng ta khảo sát dãy cho với trường vài trường hợp α lớn hợp cụ thể hay gặp α hơn, riêng trường hợp α = đơn giản nên không xem xét đến α = 2; α = 3;α = −1;α = −2;α = − α = −1 Trường hợp hay gặp giải tốn Vì đưa lên khảo sát trước tiên ( un ) : u1 = a (a > 0); un+1 = un + ∀n = 1, 2, un Bài toán Cho dãy số Chứng minh n −1 a2 +1 a + ( n − 1) ≤ un ≤ a + ( n − 1) + ( ) ∀n = 1, 2, Lời giải Trước hết ta có số nhận xét dãy ● un > ∀n ( un ) dãy tăng thực un ≥ u1 ∀n n −1 n −1 n −1 1 1 uk +1 = uk + ÷ = uk2 + + ⇒ ∑ uk2+1 = ∑ uk2 + + ÷⇒ un2 = u12 + ( n − 1) + ∑ uk uk uk k =1 k =1 k =1 uk Ta có , suy ● un2 > u12 + ( n − 1) ∀n ≥ ⇒ un > a + ( n − 1) ∀n ≥ ⇒ un ≥ a + ( n − 1) ∀n ≥ Mặt khác lại có uk2 ≥ u12 + ( k − 1) ⇒ 1 1 ≤ ⇒ 4≤ 2 uk u1 + ( k − 1) uk u1 + ( k − 1) ( ) < (u + ( k − 1) ) −1 = n −1 1 1 1 1 n −1 1 1 = − ⇒ − − ÷ ∑ < ∑ ÷= ÷< u1 + 2k − u1 + 2k − k =1 u1 + 2k − u1 + 2k + u1 + u1 + 2n − u12 + k =1 u k ( n −1 Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski ta có un2 < u12 + ( n − 1) + Do 1 ≤ ∑ k =1 uk ( n − 1) = n − ∀n ≥ ≤ u12 + a2 +1 k =1 uk n −1 ( n − 1) ∑ ( ) ( ) n −1 n −1 ⇒ un < a + ( n − 1) + ∀n ≥ 2 a +1 a2 + ( ) ( ) ) a + ( n − 1) ≤ un ≤ a + ( n − 1) + Tóm lại: ( un ) : u1 = 5; un +1 = un + Bài toán Cho dãy số Lời giải Áp dụng kết tốn ta có n −1 a2 +1 ( ∀n = 1, 2, ) ■ ∀n = 1, 2, u un Tìm phần nguyên [ 1001 ] 1000 ⇒ 45 < u1001 < 45,5 ⇒ [ u1001 ] = 45 48 u lim n ÷ ( un ) : u1 = 1; un+1 = un + ∀n = 1, 2, n →+∞ un n Bài tốn Cho dãy số Tìm giới hạn Lời giải Áp dụng kết toán ta có 2025 < u1001 < 2025 + 2n − + 2n − un ≤ ≤ n n n −1 un 1 1 ≤ ≤ 2− + − n n n n2 n n u lim n ÷ = n →+∞ n Chuyển qua giới hạn n → +∞ theo nguyên lý kẹp suy Nhận xét: Với tốn ta làm cách khác sau 2+ 2 un +1 − un un un2 lim = lim =1 lim =1 lim un = +∞ n →+∞ ( n + 1) − n n →+∞ Dễ thấy n→+∞ , suy Theo định lý Stolz n→+∞ 2n ■ ⇒ 2− α = −2 Đây trường hợp mà hay gặp Chúng ta xem xét toán sau ( un ) : u1 = a (a > 0); un+1 = un + ∀n = 1, 2, un Bài toán Cho dãy số Chứng minh n 1 1 n a + ( n − 1) ≤ un < a + n − + ÷+ + ∑ + ∑ ∀n ≥ a a k =1 k k =1 k Lời giải Ta có nhận xét ● un > ∀n 3 3 (u ) ● n tăng thực un ≥ u1 ∀n Ta có n −1 n −1 uk3+1 = uk3 + + + ∀k ≥ ⇒ uk3+1 > uk3 + ⇒ ∑ uk3+1 > ∑ uk3 + ⇒ un3 > u13 + ( n − 1) ⇒ un > a + ( n − 1) uk uk k =1 k =1 ( ) ∀n ≥ ⇒ un ≥ a + ( n − 1) ∀n ≥ Lại có 2 uk3+1 < uk3 + + + u1 + ( k − 1) u13 + ( k − 1) ( ) < uk3 + + n −1 n −1 1 1 uk3 + + + ⇒ u < + ∑ ∑ k +1 k − ( k − 1) k − ( k − 1) k =2 k =2 n −1 1 n −1 n −2 1 n −2 + ∑ = u + n − + ( ) + + ∑ + ∑ ∀n ≥ k =2 ( k − 1) u1 u1 k =1 k k =1 k k =2 k − ⇒ un3 < u23 + ( n − ) + ∑ n 1 n un3 < a3 + n − + ÷+ + ∑ + ∑ ∀n ≥ a a k =1 k k =1 k Suy n 1 n a + ( n − 1) ≤ un < a + n − + ÷+ + ∑ + ∑ ∀n ≥ a a k =1 k k =1 k ■ Tóm lại ta có: Chúng ta để kết đánh giá vế phải bất đẳng thức để tuỳ thuộc vào hoàn cảnh cụ thể mà sử dụng ngắt đánh giá cho hợp lý ( un ) : u1 = a (a > 0); un+1 = un + ∀n = 1, 2, un Bài toán Cho dãy số unp lim ÷ = q n →+∞ p , q > n a) Chứng minh tồn cho Hãy tìm giới hạn n < r ∀n ≥ ∑ k =1 uk r > b) Chứng minh tồn cho Lời giải a) Áp dụng kết toán ta có a + ( n − 1) un3 a + ( n − 1) 1 n 1 n a + ( n − 1) 2n ≤ < + 3+ 6+ ∑ + ∑ 2< + 3+ 6+ + n n n na na n k =1 k 9n k =1 k n na na n 9n n Vì n n n 1 1 < + = − < ⇒ < n < 2n ∑ ∑ ∑ ∑ 2 n k =1 k k = ( k − 1) k k =1 k k =1 k Chuyển qua giới hạn n → +∞ u3 lim n ÷ = n →+∞ n theo nguyên lý kẹp ta có Vậy p = q = b) Ta có n −1 n −1 n 1 u −u 1 1 1 1 2 − = k +1 k = > ⇒ ∑ < ∑ − ÷ = − ⇒ ∑ < = ∀n ≥ uk uk +1 uk uk +1 uk uk +1 uk +1 uk +1 u1 un u1 a k =1 u k +1 k =1 u k k =1 u k a ta có điều phải chứng minh.■ Chọn Nhận xét: Phần a) ta dùng định lý trung bình Cesaro sau u3 un3 − un3−1 = + + →3⇒ n →3 un −1 un −1 n Vì Do p = q = r= α =− ( un ) : u1 = a (a > 0); un +1 = un + Bài toán Cho dãy số ∀n ≥ un Chứng minh 3 ( n − 1) + ( n − 1) 3 1 ÷ a a + n − ≤ u < + a a + + + ∀n = 1, 2, ( )÷ n 2 4a a 8a ÷ Lời giải Từ công thức truy hồi dãy ta có 3 3 3 n −1 n −1 32 3 3 2 2 uk +1 = uk + ÷ = uk + 3uk + + > uk + 3uk + = uk + ÷ ⇒ uk +1 > uk + ⇒ ∑ uk +1 > ∑ uk2 + ÷ 2 2 uk ÷ k =1 k =1 uk 3 ⇒ un2 > u12 + 3 ( n − 1) = a a + ( n − 1) 2 Mặt khác lại có 2 3 1 3 2 uk +1 = uk + − < u + ⇒ u < u + ⇒ u < u + 3+ ÷ k ÷ k +1 k k +1 n + 2uk 4uk 2uk 2uk 8uk 4u k n −1 ⇒ ∑u k =1 k +1 3 ÷ 3 n −1 1 n −1 < ∑ uk + + + ⇒ un2 < a a + ( n − 1) + ∑ + ∑ 8uk ÷ k =1 k =1 uk k =1 ÷ u uk k n −1 Để ý ta có đánh giá sau n −1 n −1 1 n −1 1 ∀n ≥ Tìm tất số thực α cho dãy 4 4 un4 > un4−1 + ÷ ∀n ≥ ⇒ un4 > un4−1 + ∀n ≥ ⇒ un4 > ( n − 1) ∀n ≥ ( 1) 3 3 1 ÷∀k ≥ uk = uk −1 + − + ÷ ÷ u 27 u u k − k − k −1 Mặt khác suy 4 u < uk −1 + ∀k ≥ ÷ = uk −1 + + + + 3uk −1 3 uk −1 27 uk −1 81uk4−1 k un4 < + n n n 4 1 ( n − 1) + ∑ + ∑ + ∑ 3 k = uk −1 27 k =2 uk − 81 k =2 uk −1 Do với n ≥ , ta có ( 2) Dựa vào ( 1) bất đẳng thức Bunyakovski ta có n n ∑ k =2 uk4−1 = 1+ n n ∑u k =2 k −1 k =3 ( n = 1+ ∑ k =3 ( ) , ( 3) , ( ) Từ ( uk4−1 3 n < 1+ ∑ k =3 k − ( n − 2) ÷ < 1+ n−2 n = 1+ ∑ < 1+ uk4−1 uk8−1 k =2 k =3 ( n − ) − ∑ = 1+ ∑ uk4−1 ( 5) ) ) < 1+ < 1+ k =3 ( k − 2) < 1+ = ÷ ÷ k =4 ( k − 3) ( k − ) n ( n − ) 1 + ∑ ( 3) n 17 < 1+ = ( 4) ∑ 16 k =3 ( k − ) 8 27 n 27 n 27 59 < + < 1+ = ( 5) ∑ ∑ 64 k =3 ( k − ) 64 k =3 ( k − ) 32 32 suy n ( n − 2) ∑ un4 < 35 59 n+ ( n − 2) + + ( 6) 54 81 32 n 4 1 u 35 59 < + ( n − 2) + + ∀n ≥ ( ) 1 − ÷ < 54n 81 32n Từ ta n n 2n 43 u lim n ÷ = ÷ n →+∞ n ÷ lim un = +∞ 7) ( Chuyển qua giới hạn bất đẳng thức n → +∞ ta Lại n→+∞ nên suy 4 +∞ α > α +∞ α > α− u lim un = lim n = α n →+∞ n →+∞ n un un α − 0 α < α < = un mà n n Do ( 1) , ( ) 6 43 u unα lim n n →+∞ ÷, n = 1, 2, α= n n giá trị để Vậy hội tụ ÷= ÷ ÷ ■ α =2 Bài toán Cho dãy số Lời ( un ) : u1 ∈ ( 0;1) ; giải u n+1 = un − u ∀n ≥ n lim n ( − nun ) ln n Tìm giới hạn n→+∞ lim un = n →+∞ Thật vậy, Ta chứng minh ta có u + − u1 < u2 = u1 ( − u1 ) ≤ = ⇒ u2 ∈ ( 0;1) ÷ u ∈ ( 0;1) ∀n , quy nạp ta n Dễ thấy dãy lim u n = a cho giảm nên suy tồn n→+∞ Chuyển qua giới hạn biểu thức truy hồi cho ta có lim u = a = a − a ⇔ a = Vậy n→+∞ n Áp dụng định lý trung bình Cesaro ta có un − ( un − un2 ) un un − un +1 1 lim = lim = lim − ÷ = lim = lim = lim = ⇒ lim nun = n →+∞ nu n →+∞ n n →+∞ u n →+∞ n →+∞ ( un − un ) un n→+∞ − un n n +1 un n→+∞ un+1un Áp dụng định lý Stolz ta có lim n →+∞ n ( − nun ) ln n = lim n →+∞ nun ( − nun ) un ln n 1 −n − ( n + 1) − + n − nun u u un = lim ( nun ) lim = lim n = lim n +1 = n →+∞ n →+∞ ln n n →+∞ un ln n ln ( n + 1) − ln n 1 − −1 u ( − un ) u n nun = lim n = lim = =1 n →+∞ n →+∞ n +1 ( − ) ln e ln ( − un ) ln 1 + ÷ n n a > 0; α ∈ ( 0;1) ( un ) : u1 > 0; un+1 = ( − α ) un + aα 1−α un α Chứng minh Bài toán 10 Cho Xét dãy dãy cho có giới hạn tìm giới hạn aα − f ( u ) = ( − α ) u + 1−α , u > 0, a > 0, α ∈ ( 0;1) α ′ f ( u ) = ( − α ) 1 − au ÷ α suy u Lời giải Xét hàm số có f ′ ( u ) = ⇔ u = aα f ( u ) ≥ aα , ∀u > Lập bẳng biến thiên ta có Dễ thấy un > 0∀n nên un ≥ aα ∀n ≥ Xét hiệu α −1 uk − uk −1 = α uk α−1 a − ukα−1 ÷ ≤ 0∀k ≥ α (u ) Vậy n bắt đầu giảm từ u2 bị chặn a nên tồn lim un = l giới hạn n→+∞ Chuyển qua giới hạn hệ thức truy hồi cho ta có aα l = ( − α ) l + 1−α ⇔ l = aα lim un = aα n lα Vậy →+∞ ■ 7 un p Bình Luận: Như nhận xét toán việc tìm giới hạn n thực cách sử dụng định lý Stolz định lý trung bình Cesaro Tuy nhiên với cách đánh giá sử dụng nguyên lý kẹp lời giải toán tự nhiên sơ cấp BÀI TẬP LUYỆN TẬP ( un ) : u1 = 1; un+1 = un + ∀n = 1, 2, un Cho dãy Chứng minh ( un ) : u1 = 1; un+1 = un + ∀n = 1, 2, un Cho dãy Chứng minh Cho ( un ) : u1 = 1; dãy 1 1 nun < n + 1 + + + ÷ 8 n Cho dãy ( un ) : u1 > 0; un+1 = un +1 = un + 1 a un + 2 un ∀n = 1, 2, 2un k ∑u i =1 i k ∑u i =1 i Chứng < ∀k ≥ < ∀k ≥ minh ÷ ∀n ≥ ( a > ) Chứng minh dãy hội tụ tìm giới hạn u ∀n = 1, 2, lim n n →+∞ un n Cho dãy Tìm giới hạn 1 a ( un ) : u1 > 0; un+1 = 2un + ÷ ∀n = 1, 2, ( a > ) 3 un Cho dãy Tìm giới hạn dãy số ( un ) : u1 = a (a > 0); un +1 = un + ( un ) : u1 = 1; un +1 = un + ∀n ≥ un lim u1 + u2 + + un m Tìm m để tồn giới hạn lim nun u : u ∈ 0;1 ; u = u − u ∀n ≥ Cho dãy ( n ) ( ) n+1 n n Tìm giới hạn n→+∞ ( un ) : u1 = ; un+1 = un − un2 ∀n ≥ lim n p ( nun − 1) p ∈ ¡ n Cho dãy Tìm cho tồn →+∞ p + 1 u ( un ) : u1 = 1; un+1 = un + p ∀n = 1, 2, p ∈ ¥ * lim n = p + un 10 Cho dãy Chứng minh n→+∞ n ( un ) : u1 = 1; un+1 = un + p ∀n = 1, 2, p ∈ ¥ * , p > un 11 Cho dãy Chứng minh Cho dãy n →+∞ ( ) ( 1+ ) p un = 1+ n →+∞ n p lim ui2012 lim ∑ n →+∞ ∀n ≥ i =1 ui +1 Tìm giới hạn n u : u = 1; un +1 = un + un2013 12 Cho dãy ( n ) 9 ... làm trội qua số bước trung gian, nhiên cần đủ ứng dụng toán giới hạn dãy số Chẳng hạn toán sau Bài toán (Chọn đội tuyển Việt Nam dự IMO 1993) Cho dãy số unp ∀n ≥ ( un ) : u1 = 1; un+1 = un +... : u1 = 1; un+1 = un + ∀n = 1, 2, un Cho dãy Chứng minh ( un ) : u1 = 1; un+1 = un + ∀n = 1, 2, un Cho dãy Chứng minh Cho ( un ) : u1 = 1; dãy 1 1 nun < n + 1 + + + ÷ 8 n Cho dãy ( un )... ( un ) : u1 = 1; un+1 = un + , n = 1, 2, un Bài toán Cho dãy số unα ÷, n = 1, 2, n hội tụ tìm giới hạn khác khơng Lời giải Ta có un > ∀n ≥ Tìm tất số thực α cho dãy 4 4 un4 >