Tìm heä thöùc giöõa a vaø b ñeå theå tích khoái troøn xoay sinh ra laø haèng soá, khoâng phuï thuoäc vaøo a vaø b.. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng:.[r]
(1)Nhắc lại Giới hạn – Đạo hàm – Vi phân
1 Các giới hạn đặc biệt:
a) ® = x sin x lim x Hệ quả: ® = x x lim
sin x u(x) 0® =
sin u(x)
lim
u(x) u(x) 0® =
u(x) lim sin u(x) b) x x
lim e, x R
x
đƠ
ổ + = ẻ
ỗ ữ
è ø
Hệ quả: 1x
x
lim (1 x) e
® + = x
ln(1 x) lim x ® + = x x e lim x ® -=
2 Bảng đạo hàm hàm số sơ cấp hệ quả:
(c)’ = (c số)
1
(x )'a = axa- (u )'a = au u'a-1
2
1 '
x x
ỉ = -ỗ ữ
ố ứ
1 ' u'
u u
ổ = -ỗ ữ ố ø
( )x ' x
= ( )u ' u'
2 u
=
x x
(e )' e= (e )' u'.eu = u
x x
(a )' a ln a= (a )' a lna u'u = u
1 (ln x )'
x
= (ln u )' u'
u
=
a
(log x ')
x.ln a
= (log u )'a = u.ln au'
(sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’.cosu
2
1
(tgx)' tg x
cos x
= = +
2
u'
(tgu)' (1 tg u).u'
cos u
= = +
2
1
(cot gx)' (1 cot g x)
sin x
-= = - +
2
u'
(cot gu)' (1 cot g u).u'
sin u
-= = - +
3 Vi phaân:
Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a ; b) có đạo hàm x (a; b)Ỵ Cho số gia Dx x cho x+ D Ỵx (a; b) Ta gọi tích y’.Dx (hoặc f’(x).Dx) vi phân hàm số y = f(x) x, ký hiệu dy (hoặc df(x))
dy = y’.Dx (hoặc df(x) = f’(x).Dx Áp dụng định nghĩa vào hàm số y = x,
(2)NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
1 Định nghóa:
Hàm số F(x) gọi nguyên hàm hàm số f(x) khoảng (a ; b) x thuộc (a ; b), ta có: F’(x) = f(x)
Nếu thay cho khoảng (a ; b) đoạn [a ; b] phải có thêm: F'(a ) f(x) F'(b ) f(b)+ = - =
2 Định lyù:
Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) khoảng (a ; b) :
a/ Với số C, F(x) + C nguyên hàm hàm số f(x) khoảng
b/ Ngược lại, nguyên hàm hàm số f(x) khoảng (a ; b) viết dạng: F(x) + C với C số
Người ta ký hiệu họ tất nguyên hàm hàm số f(x) f(x)dx.ị Do viết:
f(x)dx F(x) C= +
ị
Bổ đề: Nếu F¢(x) = khoảng (a ; b) F(x) khơng đổi khoảng
3 Các tính chất nguyên hàm:
· (òf(x)dx ' f(x)) =
· òaf(x)dx a f(x)dx (a 0)= ị ¹
· ị[f(x) g(x) dx+ ] = ịf(x)dx+ịg(x)dx
· ịf(t)dt F(t) C= + Þ ịf u(x) u'(x)dx F u(x) C F(u) C (u u(x))[ ] = [ ]+ = + =
4 Sự tồn nguyên hàm:
· Định lý: Mọi hàm số f(x) liên tục đoạn [a ; b] có nguyên hàm đoạn
(3)BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM Nguyên hàm hàm số sơ cấp
thường gặp Ngun hàm hàm số hợp (dưới u = u(x))
dx x C= +
ò òdu u C= +
1
x
x dx C ( 1)
1
a+
a = + a ¹
-a +
ị u du u C ( 1)
1
a+
a = + a ¹
-a +
ò
dx ln x C (x 0)
x = + ¹
ị du ln u C (u u(x) 0)
u = + = ¹
ị
x x
e dx e= +C
ò e du eu = u+C
ò
x
x a
a dx C (0 a 1)
lna
= + < ¹
ị a duu au C (0 a 1)
lna
= + < ¹
ị
cosxdx sin x C= +
ò òcos udu sin u C= +
sin xdx = -cosx C+
ò òsin udu= -cos u C+
2
dx (1 tg x)dx tgx C
cos x = + = +
ò ò
2
du (1 tg u)du tgu C
cos u = + = +
ò ò
2
dx (1 cot g x)dx cot gx C
sin x = + = - +
ò ò
2
du (1 cot g u)du cot gu C
sin u = + = - +
ò ò
dx x C (x 0)
2 x = + >
ò du u C (u 0)
2 u = + >
ò
1
cos(ax b)dx sin(ax b) C (a 0)
a
+ = + + ¹
ị
1
sin(ax b)dx cos(ax b) C (a 0)
a
+ = - + + ¹
ị
dx 1 ln ax b C
ax b a+ = + +
ò
ax b ax b
e dx e C (a 0)
a
+ = + + ¹
ị
dx 2 ax b C (a 0)
a
ax b+ = + + ¹
(4)Vấn đề 1: XÁC ĐỊNH NGUN HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA
Bài tốn 1: CMR F(x) nguyên hàm hàm số f(x) (a ; b)
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực theo bước sau: + Bước 1: Xác định F’(x) (a ; b)
+ Bước 2: Chứng tỏ F'(x) f(x) với x (a; b)= " Ỵ
Chú ý: Nếu thay (a ; b) [a ; b] phải thực chi tiết hơn, sau: + Bước 1: Xác định F’(x) (a ; b)
Xác định F’(a+)
Xác định F’(b–)
+ Bước 2: Chứng tỏ
F'(x) f(x), x (a ; b) F'(a ) f(a)
F'(b ) f(b)
+
-= " Ỵ ì
ï =
í
ï =
ỵ
Ví dụ 1: CMR hàm số: F(x) ln(x= + x2+a) với a >
là nguyên hàm hàm số
2
1 f(x)
x a
=
+ R
Giải:
Ta có: 2
2
2x
(x x a)' 2 x a
F'(x) [ln(x x a)]'
x x a x x a
+
+ + +
= + + = =
+ + + +
2
2 2
x a x f(x)
x a(x x a) x a
+ +
= = =
+ + + +
Vậy F(x) với a > nguyên hàm hàm số f(x) R Ví dụ 2: CMR hàm số:
x
e x
F(x)
x x x
ì ³
ï = í
+ + <
ïỵ
Là nguyên hàm hàm số f(x) ex x 2x x
ì ³
= í
+ <
ỵ R
Giải:
(5)· Đạo hàm bên trái hàm số điểm x0 =
x x
F(x) F(0) x x e
F'(0 ) lim lim
x x
-
-® ®
- + +
-= = =
-· Đạo hàm bên phải hàm số điểm x0 =
x
x x
F(x) F(0) e e
F'(0 ) lim lim
x x
+ +
+
® ®
-
-= = =
Nhận xét F'(0 ) F '(0 ) 1- = + = Þ F'(0) 1.= Tóm lại: F'(x) ex x f(x)
2x x
ì ³
= í =
+ < ỵ
Vậy F(x) nguyên hàm hàm số f(x) R
Bài toán 2: Xác định giá trị tham số để F(x) nguyên hàm hàm số f(x) (a ; b)
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
Ta thực theo bước sau: + Bước 1: Xác định F’(x) (a ; b)
+ Bước 2: Để F(x) nguyên hàm hàm số f(x) (a ; b), điều kiện là: F'(x) f(x) với x (a; b)= " Ỵ
Dùng đồng hàm đa thức Þ giá trị tham số
Chú ý: Nếu thay (a ; b) [a ; b] phải thực chi tiết hơn, sau: + Bước 1: Xác định F’(x) (a ; b)
Xác định F’(a+)
Xác định F’(b–)
+ Bước 2: Để F(x) nguyên hàm hàm số f(x) (a ; b), điều kiện là: F'(x) f(x), x (a ; b)
F'(a ) f(a) F'(b ) f(b)
+
-= " Ỵ ì
ï =
í
ï =
ỵ
Þ giá trị tham số
Bài tốn 3: Tìm số tích phân
PHƯƠNG PHÁP CHUNG
· Dùng cơng thức học, tìm ngun hàm: F(x) = G(x) + C
· Dựa vào đề cho để tìm số C
(6)ĐS: CT : 1; 17 ; Đ.Uốn : 2; ; 112;
12 3 81
ỉ - ỉ - ỉ
ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ
ố ứ ố ø è ø
Bài Đường thẳng (D): x – 3y + = chia đường tròn (C) : x2+y2 =5 thành phần,
tính diện tích phần ĐS: S1 5; S2 15
4
p p
= - = +
Bài Xét hình phẳng (H) giới hạn đường cong (C): y 1; y x
= = ; x = 1; x = Tìm toạ độ điểm M (C) mà tiếp tuyến M cắt từ (H) hình thang có diện tích lớn
ĐS: M 2;
ổ
ỗ ÷
è ø
Bài Cho điểm A thuộc (P): y = x2, (A khác gốc O); (D) pháp tuyến A (P)
((D) vng góc với tiếp tuyến A với (P)) Định vị trí A để diện tích giới hạn đỉnh (P) (D) nhỏ
ÑS: min S 4; A 1; hay A 1;
3 4
ỉ ỉ
= ỗ ữ ỗ- ữ
ố ứ è ø
Bài Cho hình (H) giới hạn bởi:
2
x y 1
16
x
ì
- =
ï í ï = ỵ
Tính thể tích sinh (H) quay quanh Oy ĐS: 128
3
p
Bài 10 Cho hình (H) giới hạn bởi: y ax , a 02
y bx, b
ì = > í
= - >
ỵ
Quay hình (H) góc phần tư thứ hai hệ toạ độ quanh trục Ox Tìm hệ thức a b để thể tích khối trịn xoay sinh số, không phụ thuộc vào a b
ĐS: b5 = K.a3, với K số dương
Bài 11 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường:
2
y x= -4x , y x 3.+ = + (Đề thi chung Bộ GDĐT–khối A_2002) ĐS: 109
6 (đvdt)
(7)ĐS: 2
p + (đvdt)
Bài 13 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong (C): y 3x x
-=
- hai trục
toạ độ (Đề thi khối D_2002) ĐS: 1 ln4
3
+ (ñvdt)
Bài 14 Tính tích phân
2
dx
I
x x
=
+
ò
(Đề thi khối A_2003) ĐS: 5ln
4
Bài 15 Tính tích phân / 2
0
1 2sin x
I dx
1 sin2x
p
-=
+
ò
(Đề thi khối B_2003) ĐS: ln2.
2
Bài 16 Tính tích phân 2
I=òx -x dx
(Đề thi khối D_2003) ĐS:
Bài 17 Tính tích phân
1
x
I dx
1 x
=
+ +
ò
(Đề thi khối A_2004) ĐS: 11 ln 2.
3
-Bài 18 Tính tích phân e
1
1 3ln x.ln x
I dx
x
+ = ò
(Đề thi khối B_2004) ĐS: 116
135
Baøi 19 Tính tích phân 2
I = òln(x -x)dx