Lý thuyết đàn hồi

Boán nhoùm phöông trình cô baûn vöøa ñeà caäp goàm (1) -phöông trình caân baèng hay laø phöông trình chính yeáu, (2) –phöông trình caân baèng phaàn töû töù dieän ñeà caäp theâm löïc t[r]

5 Quan hệ ứng suất biến dạng 5.1 Định luật Hooke

Bốn nhóm phương trình vừa đề cập gồm (1) -phương trình cân phương trình yếu, (2) –phương trình cân phần tử tứ diện đề cập thêm lực biên, (3) - quan hệ biến dạng chuyển vị, (4) –tính tương hợp biến dạng điều kiện liên tục, cho vật thể môi trường liên tục, không phân biệt vật thể đàn hồi hay dẻo, đồng chất hay không Tuy nhiên bốn nhóm phương trình khơng đề cập tính chất vật lý vật thể giải toán nhằm xác định ứng suất, biến dạng chuyển vị xẩy lòng vật thể, bốn nhóm phương trình chưa đủ điều kiện xử lý Chưa thể miêu tả trạng thái ứng suất trạng thái biến dạng vật thể ngần phương trình Miêu tả tenso ứng suất gồm sáu thành phần, tenso chuyển vị ba thành phần, thành cơng sử dụng ba phương trình vi phân (1.6b) Chính thiết phải tìm qui luật liên quan ứng suất biến dạng xẩy vật thể, tác động ngoại lực

Trong phạm vi chương trình, xác định quan hệ ứng suất-biến dạng, hạn chế tìm hiểu vật thể đàn hồi Tính chất đàn hồi vật liệu trình bày phần mở đầu tài liệu, nêu cơng lực thực vật thể làm biến dạng vật thể, khơng phụ thuộc vào cách thức chuyển vị, nói dễ hiểu hơn, không phụ thuộc quĩ đạo chuyển vị từ vị trí khởi đầu đến vị trí cuối điểm vật chất Hậu là, sau ngừng tác động lực, điểm quay vị trí ban đầu theo quĩ đạo mà chọn, biến dạng khơng cịn

Trường hợp tổng qt vật thể ba chiều (3D), coi thành phần tenso ứng suất tỷ lệ tuyến tính với thành phần tenso biến dạng Quan hệ biến dạng-ứng suất vật liệu đăûng hướng dạng đề cập thể định luật Hooke1 Quan hệ miêu tả quan hệ tuyến tính, dạng ứng suất-biến

dạng sau:

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫

+ +

+ +

+ =

+ +

+ +

+ =

+ +

+ +

+ =

+ +

+ +

+ =

+ +

+ +

+ =

+ +

+ +

+ =

zx yz

xy z

y x

zx

zx yz

xy z

y x

yz

zx yz

xy z

y x

xy

zx yz

xy z

y x

z

zx yz

xy z

y x

y

zx yz

xy z

y x

x

d d

d d

d d

d d

d d

d d

d d

d d

d d

d d

d d

d d

d d

d d

d d

d d

d d

d d

γ γ

γ ε

ε ε

τ

γ γ

γ ε

ε ε

τ

γ γ

γ ε

ε ε

τ

γ γ

γ ε

ε ε

σ

γ γ

γ ε

ε ε

σ

γ γ

γ ε

ε ε

σ

66 65

64 63

62 61

56 55

54 53

52 51

46 45

44 43

42 41

36 35

34 33

32 31

26 25

24 23

22 21

16 15

14 13

12 11

(1.127)

Giải hệ phương trình đây, gồm phương trình tuyến tính, chứa ẩn, xác lập quan hệ biến dạng - ứng suất theo công thức sau:

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ + + + + + = + + + + + = + + + + + = + + + + + = + + + + + = + + + + + = zx yz xy z y x zxy zx yz xy z y x yz zx yz xy z y x xy zx yz xy z y x z zx yz xy z y x y zx yz xy z y x x c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c τ τ τ σ σ σ γ τ τ τ σ σ σ γ τ τ τ σ σ σ γ τ τ τ σ σ σ ε τ τ τ σ σ σ ε τ τ τ σ σ σ ε 66 65 64 63 62 61 56 55 54 53 52 51 46 45 44 43 42 41 36 35 34 33 32 31 26 25 24 23 22 21 16 15 14 13 12 11 (1.128)

Từ hai hệ phương trình (1.127) (1.128) thấy rõ, hệ số cij thể

hiện qua dij ngược lại Các hệ số dij cij, i, j=1,2, ,6 đặc tính đàn hồi vật

liệu, điểm xét, không phụ thuộc vào thành phần ứng suất biến dạng, có tên gọi chung hằng số đàn hồi Nếu hệ số không phụ thuộc vào toạ độ điểm xét, vật liệu gọi đồng nhất

Nếu dùng ký hiệu phép tính ma trận, hệ phương trình cuối nêu mối quan hệ biến dạng biểu diễn vecto {ε} ứng suất vecto {σ}, viết lại dạng gọn sau đây:

ε = [C].σ (1.129)

Trong trường hợp có biến dạng ban đầu {ε0}, phương trình đầy đủ cuả {ε} là:

ε = [C].σ + ε0 (1.130)

trong thành phần vecto {ε} xác định công thức từ phần Bỏ qua thành phần vô nhỏ thành phần ghi lại sau

{ε} = = ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ zx yz xy z y x γ γ γ ε ε ε ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ u x v y w z u y v x v z w y w x u z + + + ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ (1.131)

Các hệ số cij ma trận [C] mang giá trị khác tùy thuộc tính chất

vật liệu

[C] = (1.132)

c c c

c c c

c c c

11 12 16 21 22 26

61 62 66

Mặt khác quan hệ ứng suất-biến dạng viết dạng gọn:

{σ} = [D]{ε} (1.133)

trong ma trận vng [D] bao gồm 6x6 = 36 thành phần, giá trị chúng phụ thuộc vào vật liệu sử dụng

[D] = (1.134)

d d d

d d d

d d d

11 12 16 21 22 26

61 62 66

• •

• • • •

• ⎡

⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

Vecto ứng suất ký hiệu sau phần tài liệu

{σ} = (1.135)

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧

zx yz xy zz yy xx

σ σ σ σ σ σ

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧

zx yz xy z y x

τ τ τ σ σ σ

Chúng ta quay lại hình hộp sáu mặt vơ bé vật liệu đẳng hướng để xem xét sâu quan hệ ứng suất gồm ba thành phần sáu thành phần biến dạng Đầu tiên giả dụ phần tử chịu ứng suất pháp theo hướng Ox Kết ứng lực tạo biến dạng thẳng, định nghĩa sau:

E x x

σ

ε' = (1.136)

Trong công thức E – mô đun đàn hồi vật liệu Hệ số xác định từ thí nghiệm độ bền kéo

Biến dạng theo hướng Oy Oz tính ảnh hưởng hệ số Poisson E

x x

y

σ ν νε

ε' =− ' =− (1.37)

E x x

z

σ ν νε

ε' =− ' =− (1.38)

Tiếp áp dụng cách làm theo hướng trục Oy Oz nhận quan hệ tương tự:

E

y y

σ

ε'' = (1.139)

E

y y

x

σ ν νε

ε'' =− '' =− ;

E

y xy

z

σ ν νε

E z z

σ

ε''' = (1.141)

E z z

x

σ ν νε

ε''' =− ''' =− ;

E z zy

y

σ ν νε

ε''' =− ''' =− (1.142)

Sau tập họp nhận hệ phương trình miêu tả biến dạng thẳng sau:

( )

[ ]

(

[ )]

( )

[ ]⎪⎪⎪

⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫

+ −

=

+ −

=

+ −

=

y x z

z

z x yx

y

z y x

x

E E E

σ σ ν σ ε

σ σ ν σ ε

σ σ ν σ ε

1 1

(1.143)

Từ thí nghiệm độ bền chịu xoắn rút quan hệ ứng suất cắt góc cắt, tương tự dạng cơng thức giành cho biến dạng với ứng suất pháp nêu

G τ

γ = (1.144)

Quan hệ số G – mô đun cắt (shear modulus), mô đun đàn hồi E hệ số Poisson thể công thức:

) (

2 +ν

= E

G (1.145)

Như với vật liệu đẳng hướng, ba công thức vừa nêu (1.143), định luật Hooke cịn chứa ba thành phần góc cắt:

G G

G

yz yz xz

xz xy

xy

τ γ τ

γ τ

γ = ; = ; = (1.146)

Từ định luật Hooke viết biểu thức trình bày quan hệ biến dạng ứng suất dạng sau đây:

( )( x y z)

z y x

E ν σ σ σ

ε ε

ε + + = 1−2 + + (*)

Nếu ký hiệu:

Δ=εx +εy +εz σ = (σx +σy +σz)

3 ;

biểu thức (*) hiểu như: κ σ

=

Δ ,

trong

( ν)

κ

2

3 −

Hằng số κ mang tên gọi bulk modulus tiếng Anh

Vì E > G > suy để mẫu số biểu thức (1.145) khác 0, hệ số Poisson ν > -1 Từ (**) suy diễn tiếp ν ≤ 0,5

Những giá trị liên quan E, G, ν vật liệu thường gặp là: thép thông dụng E = 200GPa, ν = 0,3; đồng E = 100GPa, ν = 0,35; nhôm E = 70GPa, ν = 0,33

Ví dụ 1: Tại điểm P lịng vật thể lập tenso ứng suất sau:

0 50

50 200

0 300

− − =

ij σ

Hãy xác định thành phần tenso biến dạng cho điểm P Vật liệu sử dụng chế tạo thép cacbon, E = 2x105 MPa, hệ số Poisson ν = 0,3

Biến dạng thẳng tính theo (1.143):

[ ]

[ ]

[ ] ⎪⎪⎪

⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎬ ⎫

− = +

− =

= −

=

= −

=

− − −

5

5

5

10 75 )

200 300 )( , ( 10

1

10 55 ) 300 )( , ( 200 10

1

10 30 ) 200 )( , ( 300 10

1

x x x

ε ε ε

G=2.105/2,6 = 0,77.105 MPa

Biến dạng góc tính theo cơng thức (1.46):

⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫

− = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛ − =

= =

−5 64,935.10

10 77 ,

50

1

1

0

1

0

1

xy

xy xy

γ

γ γ

Và tenso biến dạng điểm xét là:

10 75 935

, 64

935 , 64 55

0

0

30

−

− −

− =

ij ε

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜

⎝ ⎛

∂ ∂

∂ − ∂ ∂

∂ + − = ∂ ∂ + ∂ ∂

y z

u y z

u G G z

y

2

2 2

2 θ

ψ ψ

Từ ψ ψ Gθ z

y 2

2 2

− = ∂ ∂ + ∂

∂ ψ θ , G

2

2 =−

∇ 22 22

z

y ∂

∂ + ∂

∂ =

∇

Phương trình có tên gọi phương trình Poisson Trong biểu thức (-2Gθ), θ

là góc xoắn đơn vị (unit angle of twist), G- mođun đàn hồi xoắn

n z z n y y n

zn ∂

∂ ∂ ∂ψ ∂ ∂ ∂ ∂ψ ∂

∂ψ

τ = =− + vaø

s z z s y y s

zs ∂

∂ ∂ ∂ψ ∂ ∂ ∂ ∂ψ ∂

∂ψ

τ = =− +

∂ψ

∂z cos(n,y) -

∂ψ

∂y cos(n,z) = (i)

trong cos(n,y) = cos( s,z) =

n y ∂ ∂ =

s z ∂

∂ , cos(n,z) = - cos( y,z) = n z ∂ ∂ = -

s y ∂ ∂

vaø: − = =0

s s y y s z

z ∂

∂ψ ∂

∂ ∂ ∂ψ ∂ ∂ ∂

∂ψ (j)

Từ điều kiện quán chuyển vị u cho phép viết:

0

= +

∫ dz

z u dy y u

∂ ∂ ∂

∂ (k)

sau thay biểu thức cuối là:

∫ [ τxycos(y,s) + τzxcos(z,s)] ds = Gθ∫ [ ycos(y,n) + zcos(z,n)] ds (l)

Phương trình cuối tính chuyển sang phương trình tương đương sau:

∫ τcos( τ,s ) ds = Gθ.(2A) (m)

trong A- diện tích tiết diện xét

Như điều kiện quán cho chuyển vị u(y,z) thể hiện:

∫ ds=− G A

n θ

∂ ∂ψ

2 (n)

Momen xoắn hàm Prandtl liên hệ qua công thức: Mt = - (τ

A

∫∫ xy.z - τzx.y)dydz =

- ( A

∫∫ y y

z z

∂ ∂ψ ∂

∂ψ

+ )dydz = { A

∫∫ ∂(∂zzψ)+∂(∂yyψ)}dydz + ψdydz A

∫∫

Mt = 2ψ(y,z)dydz (o)

A

∫∫

Trong lý thuyết đàn hồi cổ điển thường sử dụng số St Venant cho trường hợp xoắn tiết diện dầm Nếu ký hiệu J - số xoắn theo nghĩa St Venant, độ cứng chống xoắn (torsional rigidity) hiểu C = GJ, góc xoắn θ =

M G J

t

hiểu ý nghóa Gθ

M

J ≡ t Thứ nguyên J thứ nguyên dùng cho momen quán tính mặt cắt Từ quan hệ viết:

∫∫

∇ =

A

dydz

J ψ

ψ

4 (p)

Nếu áp dụng cách viết quen thuộc Mt = C θ, θ = M C

t , độ cứng C là:

C = ∫∫ (q)

A dydz G ψ