Bài giảng Lý thuyết điều khiển nâng cao: Chương 3 - PGS.TS. Huỳnh Thái Hoàng

Tổng kết chương Sau khi học xong chương 3, sinh viên phải có khả năng:  Giải bài toán tối ưu động không ràng buộc và có ràng buộc  Thành Thà h lậ lập các á bài ttoán á điề điều khiể kh[r]

Môn học LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN NÂNG CAO Giảng viên: Giả iê PGS PGS TS TS Huỳnh H ỳ h Thái Hoàng H à Bộ môn Điều Khiển Tự Động Khoa Điện – Điện Tử Đại học Bách Khoa TP TP.HCM HCM Email: hthoang@hcmut.edu.vn Homepage: http://www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT Chương ĐIỀU Ề KHIỂN Ể TỐI Ố ƯU 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT Nội dung chương Giới thiệu  Tối ưu hóa tĩnh  Tối ưu hóa động và phương pháp biến phân  Điều khiển tối ưu liên tục dùng phương pháp biến phân  Phương pháp qui hoạch động Bellman  Điều khiển tối ưu toàn phương tuyến tính LQR  Ước lượng trạng thái tối ưu (lọc Kalman)  Điều khiển tối ưu LQG  15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT GIỚI THIỆU 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT Giới thiệu Điều khiển tối ưu : xác định luật ĐK cho hệ thống động cho trước cho tối thiểu hóa tiêu chất lượng  ĐK tối ưu phát triển trên sở toán học: phương pháp biến phân (Bernoulli, Euler, Lagrange, Weiertrass,…)  Từ năm 1950, ĐK tối ưu phát triển mạnh mẽ và trở thành lĩnh vực độc lập  Phương pháp quy hoạch động Richard Bellman đưa t thập thậ niên1950 iê 1950  Nguyên lý cực tiểu Pontryagin Lev Pontryagin và các đồng đưa thập niên 1950 1950  Bài toán điều chỉnh toàn phương tuyến tính và lọc Kalman Rudolf Kalman đưa g g năm1960  15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT Phân loại bài toán điều khiển tối ưu  Có nhiều hiề bài ttoán á điều điề khiển khiể tối ưu, tù tùy th theo:  Loại đối tượng điều khiển  Miền thời gian liên tục hay rời rạc  Chỉ tiêu chất lượng  Bài toán tối ưu có ràng buộc hay không  ĐK tối ưu tĩnh: tiêu chất lượng không phụ thuộc thời gian  ĐK tối ưu động: tiêu chất lượng phụ thuộc thời gian  Bài toán chỉnh toàn phương tuyến tính (Linear Quadractic Regulator – LQR)  Bài toán điều khiển tối ưu H2 … 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT Ứng dụng Trước máy tính số đời, đời có thể giải số ít bài toán điều khiển tối ưu đơn giản  Máy y tính số đời cho phép p p ứng g dụng ụ g lý ý thuyết y điều khiển tối ưu vào nhiều bài toán phức tạp  Ngày nay, điều khiển tối ưu ứng dụng nhiều ề lĩnh vực:  Không gian (aerospace)  Điều khiển quá trình (proccess control)  Robot  Kỹ thuật sinh học (bioengineering)  Kinh tế  Tài chính …  15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT TỐI Ố ƯU HÓA Ó TĨNH Ĩ 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT Tối ưu hóa tĩnh không ràng buộc  Bài toán tối ưu tĩnh không ràng buộc: tìm m thông số thực (hay phức) u1, u2,…, um cho hàm L( 1, u2,…, um) đạt L(u đ t cực tiể tiểu: L(u)=L(u1, u2,…, um)  đó u=[u [ 1, u2,…, um]T  Điểm u* gọi là điểm cực tiểu cục L(u)L(u*) với u nằm lân cận  u*  Điểm u* gọi là điểm cực tiểu toàn cục L(u)L(u*) với u 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT Điều kiện cực trị không ràng buộc  Giả sử L(u) khả đạo hàm theo u, u thì điều kiện cần và đủ để u* là điểm cực tiểu cục là: đó:  Lu (u* )   * L ( u  uu )   L u1   L u  L  2 Lu   u      L um  2   L  u u  L  u u  L u1um   1 2  L   Luu        u  L umu1  L umu2   L umum    15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 10 Tìm cực trị không ràng buộc – Thí dụ Tìm cực trị hàm: L(u)  5u12  2u22  2u1u2  8u1  3u2  Giải:  Điều kiện ệ cần có cực ự trị: ị   L  L  u1  0 Lu   u  L   u2   10u1  2u2     2u1  4u   u1*  0.7222  * u2  0.3889 Xét vi phân bậc hai:  2L   u Luu     L  u u  2L   u1 u  2L  u 22   * * ( u , u  )  (0.7222;0.3889) 15 January 2014 10 2 Luu       Luu  là điểm cực tiểu © H T Hoàng - HCMUT 11 Tìm cực trị không ràng buộc – Thí dụ u*  (0.7222;0.3889) 250 200 150 L 100 50 -50 u* u2 15 January 2014 -2 -4 -6 -4 © H T Hoàng - HCMUT -2 u1 12 Tối ưu hóa tĩnh có ràng buộc  Bài toán tối ưu tĩnh có ràng buộc: tìm vector thông số u cho hàm L(x,u) đạt cực tiểu, đồng thời thỏa điều kiện f(x,u) f(x u)=0 L(x,u)  f(x u)=0 f(x,u)=0 đó x=[x1, x2,…, xn]T u=[u1, u2,…, um]T L :  n   m   : hàm đánh giá điề kiệ kiện ràng à b buộc ộ f :  n   m   p : điều 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 13 Hàm Hamilton  Định nghĩa hàm Hamilton: H ( x , u)  L ( x , u)   T f ( x , u) đó    là vector số số, gọi là thừa số Larrange p Do ràng buộc f(x,u) = nên cực tiểu L(x,u) chính hí h là cực tiểu tiể ủ H(x,u) H( )  Biến đổi bài toán tìm cực tiểu hàm L(x,u) với ràng buộc f(x,u) = thành bài toán tìm cực tiểu ể không ràng buộc hàm Hamilton H(x,u)  Vi phân hàm Hamilton: H ( x, u) H ( x, u) dH ( x , u)  dx  du x u 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 14 Thừa số Lagrange  Do ta cần tìm cực trị theo u nên có thể tự chọn thừa số Lagrange cho: H ( x , u) L( x, u) T f ( x , u) H x ( x , u)    0 x x x  L( x, u)   f ( x , u)        x   x    1 T Viết gọ gọn lại:    Lx  f x  T 15 January 2014 1 © H T Hoàng - HCMUT 15 Độ dốc hàm mục tiêu với điều kiện ràng buộc L( x , u) L( x , u) dL( x , u)  dx  du x u f ( x, u) f ( x , u)  Do f(x,u) ( , ) = nên: df ( x, u)  dx  du  x u 1  f ( x , u )   f ( x , u) du  dx     u  x   Thay (2) vào (1), ta được:  Vi phân hâ hà hàm mục tiê tiêu: 1 L( x , u) L( x, u)  f ( x, u)  f ( x, u) dL( x , u)   du  du   u u x  x  H ( x , u) f ( x, u) L( x , u)   dL( x, u)   T  dL( x , u)  du  du  u u u    Với ĐK f(x,u)=0, độ dốc L(x,u) theo u chính Hu(x,u)  Điều kiện để L(x,u) L(x u) đạt cực trị với ràng buộc f(x,u)=0 f(x u)=0 là: H u ( x , u)  15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 16 Điều kiện cần cực trị có ràng buộc  Kết hợp với điều kiện xác định số Lagrange Lagrange, điều kiện cần để L(x,u) đạt cực trị có ràng buộc f ( x , u)  là:  H x ( x , u)  Lx ( x, u)   T f x ( x , u)   T  H u ( x, u)  Lu ( x, u)   f u ( x , u)   H  ( x , u)  f ( x , u)  đó: 15 January 2014 H ( x , u)  L( x , u)  T f ( x, u) © H T Hoàng - HCMUT 17 Tìm cực trị có ràng buộc – Thí dụ  Tì cực trị Tìm t ị hàm: hà L(u)  5u12  2u22  2u1u  8u1  3u2 Với điều kiện ràng buộc: f (u)  u1  6u2    Giải:  Hàm Hà H Hamilton: il H ( u)  L ( u )   f ( u) T 2  H (u)  5u1  2u  2u1u  8u1  3u   (u1  6u  2) 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 18 Tìm cực trị có ràng buộc – Thí dụ  Điều kiện cần để có cực trị:  H x ( u)    H u ( u)   f (u)    H (u)  100u1  2u2     u1  H (u)  2u1  4u2   6  u2 f (u)  u1  6u2   Giải hệ phương trình, ta được: u   0.8412 0.4735 * T   0.5353 H (u)  5u12  2u22  2u1u2  8u1  3u2   (u1  6u2  2) 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 19 Tìm cực trị có ràng buộc – Thí dụ u*   0.8412 0.4735 T 250 200 150 L 100 50 -50 u* u2 15 January 2014 -2 -4 -6 -4 © H T Hoàng - HCMUT -2 u1 20 Tìm cực trị có ràng buộc – Thí dụ  Tì cực trị Tìm t ị hàm: hà L( x, u )  ( x  2)  (u  2) 2 Với điều kiện ràng buộc: u  x  x   Giải:  Viết lại điều kiện ràng buộc: u  x  3x    x  3x   u  Hà Hamilton: Hàm H ilt H ( x, u )  L( x, u )  T f ( x, u )  H ( x, u )  ( x  2)  (u  2)   ( x  x   u ) 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 21 Tìm cực trị có ràng buộc – Thí dụ  Điều kiện cần để có cực trị:  H x ( x, u )    H u ( x, u )    f ( x, u )   H ( x, u )  2( x  2)  2x  3  x H ( x, u )  2(u  2)    u f ( x, u )  x  x   u   Giải hệ phương h trình, ì h ta đ b ba nghiệm: hiệ  ( x, u )  (4.53;0.92), (1.71;2.04), (1.68;8.22) 2 Thay nghiệm trên vào L( x , u )  ( x  2)  (u  2) , ta các giá trị tương ứng là: 43.78; 0.087; 117.94  * 2* )  (1.71 Kết ế luận: cực trị cần ầ Htìm là ( x , u ( x, u )  ( x  2)  (u  2) ;2.04 ( x 2)  3x   u ) 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 22 Tìm cực trị có ràng buộc – Thí dụ  Tì cực trị Tìm t ị hàm: hà L( x , u )  x  x  u 2 2 Với các điều kiện ràng buộc:  f1 ( x , u )  2 x1  x2  4 0 f ( x, u )       f ( x , u )  x1  u   Giải:  Hàm Hamilton:  H ( x , u )  L( x , u )   f ( x , u ) T  H ( x , u )  x12  x22  u  1 (2 x1  x2  4)  2 ( x1  u  2) 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 23 Tìm cực trị có ràng buộc – Thí dụ  ĐK cần để có cực trị: H x ( x, u )   H u ( x, u )   f ( x, u )   H ( x, u ) / x1  x1  21  2  H ( x, u ) / x  x2  1  H ( x, u ) / u  2u  2   f1 ( x, u )  x1  x2   f ( x, u )  x1  u    Giải hệ phương trình, ta được: x *  1.5714 0.8514 u *  3.5714    5.1429 7.1429T T  Do L( x , u )  x  x  u là hàm toàn p phương g nên 2 H ( x , u )ở  xtrên  x  u  1 (2 x1 là  xcực  2 ( x1  u  2) cực trị tìm chính 2  4)tiểu 15 January 2014 2 2 © H T Hoàng - HCMUT 24 TỐI ƯU HÓA ĐỘNG VÀ PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 25 Tối ưu hóa động không ràng buộc  Bài toán tối ưu động không ràng buộc: tìm vector hàm x(t) cho phiếm hàm J(x) đạt cực tiểu: tf J ( x )   L( x, x , t )dt  t0 đó đó: x (t )  x1 (t ) x2 (t )  xn (t )  n T L : n  n     Chú ý: Phiếm hàm là hàm hàm (functional = function of function) *  Phiếm hàm J ( x ) có cực tiểu cục x (t ) * J ( x (t ))  J ( x (t )) * x (t ) x với hàm nằm lân cận  (t ) x (t )  x * (t )   15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 26 Tìm cực trị phiếm hàm?  Nhắc lại cực trị hàm:  Điều kiện cần: đạo hàm bậc hàm cần tìm cực trị  điểm dừng  Điểm dừng g có đạo hàm bậc ậ xác định ị dương g  điểm cực tiểu  Cực trị phiếm hàm?  Khái niệm biến phân (variation): có thể hiểu là “đạo hàm p phiếm hàm”  Phương pháp biến phân (Calculus of Variation): dựa vào khái niệm biến phân đưa điều kiện cực trị phiếm ế hàm tương tự điều ề kiện cực trị hàm 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 27 Khái niệm biến phân  L Lượng gia i ủ phiếm hiế hà hàm: J ( x )  J ( x  x )  J ( x ) g đó x ((t ) là biến phân p hàm x (t ) x (t ) x (t )  x (t ) t Minh họa biến phân hàm x (t )  Biến phân phiếm hàm: J ( x )  lim J ( x )  lim [ J ( x  x )  J ( x )] x 0 15 January 2014 x 0 © H T Hoàng - HCMUT 28 Thí dụ tính biến phân phiếm hàm  Cho phiếm ế hàm: J ( x)   x (t )dt  Biến phân phiếm hàm tính sau: 1 J [ x(t )]  J ( x  x)  J ( x)   ( x  x) dt   ( x) dt 1 0   [ x  xx  (x) ]dt   ( x) dt   [2 xx  (x) ]dt  J ( x)  lim J ( x)  lim  [2 xx  (x) ]dt x 0 x 0  J ( x)   [2 xx]dt 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 29 Công thức tính biến phân phiếm hàm dạng tích phân  Ch phiếm Cho hiế hà hàm dạng d tích í h phân hâ tổng ổ quát: á tf J ( x )   L( x )dt t0  Biến phân phiếm hàm dạng tích phân tính sau: tf  L( x )   J ( x )    x dt  x   t0  15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 30 Biến phân phiếm hàm bài toán tối ưu động không ràng buộc tf J ( x )   L( x, x , t )dt d  Phiế hà Phiếm hàm:  Biến phân phiếm hàm: t f  L( x , x  , t) L( x, x , t )  J    x  x dt t0 x x    t0 t Chú ý rằng: x (t )   x ( )d  x (t0 ) t0 x (t0 )  x (t f )   Thực biến đổi tích phân, phân suy ra: tf  L( x, x , t ) d L( x, x , t )   J    xdt  x dt x  t0  15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 31 Điều kiện cần để phiếm hàm đạt cực trị cục  Điều kiện cần để phiếm hàm J ( x ) đạt cực trị cục x * (t ) là biến phân J ( x ) phải x * (t ) J ( x )  x  x *  ĐK cần để bài toán tối ưu động không ràng buộc có cực trị: L( x, x , t ) d L( x, x , t ) L d L  0   0 x x x dt x dt (phương trình Euler-Lagrange)  Trường hợp đặc biệt L không phụ thuộc tường minh vào t, dạng đơn giản pt Euler-Lagrange là: t L J   L( x, x , t )  d L( x, x , t ) xdt số) L  x  c (c là hằng   x dt  x   t x f 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 32 Tối ưu hóa động không ràng buộc – Thí dụ  Tìm hàm x(t) cho : J ( x)   /2   [ x (t )  x (t )]dt  Vớii điều điề kiện ki biên: bi x(0)  1, x( / 2)   Giải:  Theo đề ề bài, ta có: L  x  x  Phương trình Euler-Lagrange: L d  L  d      x   x    x  x  x dt  x  dt  Lời giải tổng ổ quát: x(t )  C1 sin t  C2 cos t  Thay điều kiện biên, suy ra: C1  3,C   Kết luận: x * (t )  sin t  cos t 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 33 Tối ưu hóa động không ràng buộc – Thí dụ  Tìm hàm x(t) cho phiếm hàm đây đạt cực tiểu: J ( x)    x (t )dt  với ĐK biên: x(0)  1, x(2)  0 Giải: L d  L   Phương trình Euler-Lagrange:   0 x dt d  x   d  x   dt   x x  x  x    x 0     x   Lời g giải tổng g qquát: x(t )  C1t  C2  Thay điều kiện biên, suy ra: C1   ,C   Kết ế luận: x* (t )   t  15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT xx 0  x  L   x 34 Tối ưu hóa động có ràng buộc  Bài toán tối ưu động có ràng buộc: b ộc: tìm vector ector hàm x(t) xác ác định trên đoạn [t0, tf] cho phiếm hàm J(x) đạt cực tiểu: tf J ( x )   L( x, x , t )dt  t0 với điều kiện ràng buộc f ( x, x , t )  và điều kiện biên: x(t0)=x0, x(tf)=xf đó: x (t )  x1 (t ) x2 (t )  xn (t )   T n L : n  n     f : n  n     p 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 35 Hàm Hamilton và điều kiện cần để có cực trị  Định nghĩa hàm Hamilton: H ( x , x ,  , t )  L( x, x , t )   T f ( x , x , t ) t đó  (t )   p là vector t hàm, hà gọii là thừa thừ số ốL Larrange  t1 Do f ( x , x , t )  nên cực tiểu J ( x )   L( x, x , t )dt t1 t0 chính là cực tiểu J ( x )   H ( x , x ,  , t )dt t0  tìm cực tiểu iể không kh ràng buộc b phiếm hiế hhàm J ( x )  Điều kiện cần để phiếm hàm J ( x ) có cực trị là: H ( x, x ,  , t ) d H ( x, x ,  , t )  0 x x dt (PT Euler-Lagrange bài toán tối ưu động có ràng buộc) 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 36 Tối ưu hóa động có ràng buộc dạng tích phân  Bài toán tối ưu động có ràng buộc: tìm vector hàm x(t) xác định trên đoạn [t0, tf] cho phiếm hàm J(x) đạt cực tiểu: tf J ( x )   L( x, x , t )dt  t0 với điều kiện ràng buộc  tf t0 f ( x, x , t )dt  q và điều kiện biên: x(t0)=x0, x(tf)=xf  Hàm Hamilton và pphươngg trình Euler-Lagrange g g g trường hợp ràng buộc tích phân sau:  ,  , t )  L( x, x , t )   T f ( x , x , t )  Hàm Hamilton: H ( x , x  Phương trình Euler-Lagrange: H ( x, x ,  , t ) d H ( x, x ,  , t )  0 x dt x 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 37 Trình tự giải bài toán tối ưu động có ràng buộc  Bước 1: Xác định hàm mục tiêu, tiêu đđ.kiện kiện ràng buộc và điều tf kiện biên: J ( x )   L( x, x , t )dt t0 tf Đ.kiện ràng buộc f ( x, x , t )  t f ( x, x , t )dt  q Điều kiện biên x (t0 )  x0 và x (t f )  x f  Bước 2: Thành lập hàm Hamilton: H ( x , x ,  , t )  L( x , x , t )   T f ( x , x , t )  Bước 3: Viết phương trình Euler-Lagrange: H ( x, x ,  , t ) d H ( x, x ,  , t )  0 x dt x  Bước 4: Tìm nghiệm PT Euler-Lagrange Euler Lagrange thỏa điều kiện ràng buộc và điều kiện biên 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 38 Tối ưu hóa động có ràng buộc – Thí dụ  Tìm hàm x(t) cho phiếm hàm đây đạt cực tiểu: J ( x)   x (t )dt  với điều kiện ràng buộc:  x(t )dt  và điều kiện biên: x(0)  0, x(4)   Giải:  Hàm Hamilton: H ( x, x ,  , t )  L( x, x , t )  f ( x, x , t )  H ( x, x ,  , t )  x (t )  x(t ) 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 39 Tối ưu hóa động có ràng buộc – Thí dụ  Phương trình Euler Euler-Lagrange: Lagrange: H ( x, x ,  , t ) d H ( x, x ,  , t )  0 x dt x    d 2 x (t )  d dt   x(t )  ((1))  Tìm nghiệm phương trình Euler-Lagrange: (1)  x(t )   x(t )  15 January 2014    t  c1t  c2 x (t )   t  c1 H ( x, x ,  , t )  x (t )  x(t ) © H T Hoàng - HCMUT 40 Tối ưu hóa động có ràng buộc – Thí dụ  Xác định các số dựa vào điều kiện ràng buộc và điều kiện biên: x(0)   .0  c1.0  c2   c2  x(4)  4  4c1    c1  16 0 x(t )dt  12 t  t    8c1  9  Kết luận: x (t )   t  t 32 * 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT c1    x(t )   t  c1t  c2 41 Tối ưu hóa động có ràng buộc – Thí dụ  Tìm vector hàm x (t )  x1 (t ) đây đạt cực tiểu: x2 (t ) cho phiếm hàm T   J ( x )   5( x1  1)  x22 dt d  i với điều kiện ràng buộc: f ( x, x , t )  x1  x1  x2  và điều kiện biên: x1 (0)  0; x1 (2)   Giải:  Hàm Hamilton: H ( x, x ,  , t )  L( x, x , t )  f ( x, x , t )  H ( x, x ,  , t )  [5( x1  1)  x22 ]   ( x1  x1  x2 ) 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 42 Tối ưu hóa động có ràng buộc – Thí dụ   Phương trình Euler Euler-Lagrange: Lagrange: H d H (1)  10( x1  1)  2     0 x1 dt x1 H d H  0  x2    (2)  x2 dt x2 Tìm nghiệm phương trình Euler-Lagrange thỏa điều ề kiện ràng buộc:   x2 (3)   (2) x2   2x 10( x1  1)  x2  x   x2  x1  22xx1 Từ điều ề kiện ràng buộc, suy ra:   x2  x1  x1 Thay (3) vào (1): (4) (5) y ((5)) vào ((4): ) 10( x1  1)  4( x1  x1 )  2( x1  x1 )  Thay ( xx, x, 10 , t )0[5( x1  1)  x22 ]   ( x1  x1 (6)  x2 )  x1 H18 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 43 Tối ưu hóa động có ràng buộc – Thí dụ N hiệ tổ Nghiệm tổng quát át ủ phương hươ ttrình ì h (6) x1 (t )  C1e 3t  C e 3t  0.556 Thay điều ề kiện biên x1 (0)  0; x1 (2)  C1  C  0.556    0.0025C1  403.42C  0.556   x1 (t )  0.5549e 3t  0.0011e 3t  0.556 C1  0.5549  C  0.0011 (7) Thay (7) vào (5): x2  x1  2x1  x2 (t )  0.5549e 3t  0.0055e 3t  1.112 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 44 ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU LIÊN TỤC DÙNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN PHÂN 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 45 Bài toán điều khiển tối ưu liên tục  Cho đối tượng: x (t )  f ( x (t ), ) u(t )) ((*)) đó: x (t )  [ x1 (t ), x2 (t ), , xn (t )]T : vector trạng thái u(t )  [u1 (t ), u2 (t ), , um (t )]T : vector tín hiệu ĐK Trạng thái đầu: x (0)  x0 , trạng thái cuối: x (t f )  x f  Bài toán điều khiển tối ưu: tìm tín hiệu ĐK u(t) cho: tf J (u)   ( x (t f ))   L( x (t ), u(t ), t )dt  t0  Nghiệm x*(t) phương trình vi phân (*) ứng với tín hiệu điều ề khiển ể tối ố ưu u*(t) gọi là quỹ đạo trạng thái tối ố ưu 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 46 Phân loại bài toán điều khiển tối ưu  Khoảng thời gian xảy quá trình tối ưu là tf , có thể phân loại:  Bài toán tối ưu có tf cố định, ví dụ:  Điều Điề khiển đoàn tàu tà hỏa ga với ới lịch trình xác ác định cho lượng đoàn tàu tiêu thụ là thấp nhất;  Điều khiển quá trình chuyển đổi hóa học thời gian cho trước với chi phí thấp  Bài toán tối ưu có tf không cố định, ví dụ:  Điều khiển tên lửa lên độ cao xác định với thời gian nhanh  Điều khiển tàu biển xa với nguồn lượng cố định cho trước 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 47 Phân loại bài toán điều khiển tối ưu (tt)  Các bài toán điều điề khiển tối ưu động có trạng thái đầu đầ x0 cho trước Trạng thái cuối quá trình tối ưu là xf =x(tf), có thể phân loại:  Điểm cuối tự do, ví dụ:  Điều khiển tên lửa lên độ cao lớn nhất;  Điều khiển tàu biển xa với nguồn lượng cố định cho trước  Điểm Điể cuối ối bị ràng à buộc, b ộ víí dụ: d  Điều khiển tên lửa vào quỹ đạo với thời gian nhanh nhất  Điểm cuối cố định cho trước, ví dụ:  Điều khiển gghépp nối các tàu  Điều khiển hệ thống trạng thái cân 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 48 Giải bài toán ĐK toán tối ưu dùng PP biến phân  Bài toán ĐK tối ưu liên tục có thể phát biểu lại sau: tf J (u)   ( x (t f ))   L( x (t ), u(t ), t )dt u(t ) với điều kiện x (t )  f ( x (t ), u(t ), t ) đó t0, tf, và x (t0 )  x0 cho trước  Kết hhợp điều Kế điề kiện kiệ ràng à buộc b ộ vào à hàm hà mục tiêu iê dùng dù hàm hà Lagrange: tf J (u)   ( x (t f ))   L( x (t ), u(t ), t )  T (t ) f ( x (t ), u(t ))  x (t )dt 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 49 Giải bài toán ĐK toán tối ưu dùng PP biến phân  Định nghĩa hàm Hamilton: H ( x , u, t ,  )  L( x , u, t )  T (t ) f ( x , u, t ) tf  J ( u)   ( x (t f ))   [ H ( x, u, t ,  )  T (t ) x ]dt t0  Cần tìm u*(t) cho: J (u)   u u* u Biến phân phiếm hàm mục tiêu:       T x    T x   t t f  x J   15 January 2014   tf t t  H  T  H    (t ) x     u dt x u   t  © H T Hoàng - HCMUT 50 Điều kiện cần để có lời giải bài toán điều khiển tối ưu   Chú ý là x (t0 )  điều kiện đầu cố định; x (t f )  điểm cuối ràng buộc, x (t f )  điểm cuối tự Để J (u)  với ới mọii u cần ầ cóó các á điều điề kiện: kiệ H 0 u  Lưu ý: H   (t)   x  (t f )   (t f ) x  ((tt f ) Điều kiện  (t f )  cần bài toán điểm x cuối tự   (t ) gọi là đồng trạng thái hệ thống t H  Jh(u)   (trình xì(t fh))đồ   [ Htrạng (t )  Tthái (t ) x ]dt d   (t))   đ gọii là phương đồng hái x  f 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 51 Trình tự giải bài toán điều khiển tối ưu  x (t )  f ( x (t ), ) u(t ), ) t) B 11: Viết PTTT môô tả đối tượng: Bước t  Bước 2: Viết hàm mục tiêu và ĐK biên từ yêu cầu thiết kế  Bài toán điểm cuối tự do: tf J ( u)   ( x (t f ))   L( x (t ), ) u(t ), ) t )dt u( t ) Điều kiện đầu: x (t0 )  x0  t0 Bài toán điểm cuối ràng buộc: tf J ( u)   L( x (t ), u(t ), t )dt u( t ) t0 Điều kiện đầu x (t0 )  x0 và điều kiện cuối x (t f )  x f 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 52 Trình tự giải bài toán điều khiển tối ưu  Bước 3: Thành lập hàm Hamilton: H (t )  L( x, u, t )   T (t ) f ( x , u, t )  Bước 4: Viết điều kiện cần để có lời giải tối ưu: PT trạng thái: x (t )  f ( x (t ), ) u(t ), ) t) H  PT đồng trạng thái:  (t)   x Điều kiện đầu: H 0 u x (t0 )  x0 ệ cuối: Điều kiện x (t f )  x f Điều kiện dừng:  (t f )   (Bài toán điểm cuối cố định)  (t f ) x (Bài toán điểm cuối tự do) Bước 5: Giải hệ phương trình trên tìm u*(t) và x*(t) 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 53 Điều khiển tối ưu – Thí dụ  Đặc tính động học nhiệt độ lò sấy cho phương trình: y (t )  2( y (t )  ya )  u (t )  đó y(t) là nhiệt độ lò sấy và ya = 250C là nhiệt độ môi trường; u(t) là cường độ dòng nhiệt cấp lò sấy và t là thời gian (giờ) Yêu cầu: Thiết kế luật điều khiển u(t) điều khiển nhiệt độ nhiệt độ lò sấy ấ cho sau đạt đến ế càng gần ầ nhiệt độ đặt yd = 750C càng tốt và tối thiểu lượng tiêu tốn Giải:  Bước 1: Thành lập phương trình trạng thái:  Đặt biến trạng thái: x(t )  y (t )  ya  Phương trình trạng thái lò sấy là: x (t )  2 x(t )  u (t )  Trạng thái cuối ố mong muốn: ố x f  x(1)  y (1)  ya  yd  ya  50 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 54 Điều khiển tối ưu – Thí dụ (tt)  Bước 2: Xác định hàm mục tiêu và điều kiện biên: Theo yêu cầu thiết kế là trạng thái cuối x(tf ) càng gần xf =50 càng tốt, đồng thời tối thiểu lượng tiêu tốn, suy hàm mục tiêu: tf 2 J (u )  [ x(t f )  x f ]   u (t )dt  20 (Đây là bài toán tối ố ưu điểm ể cuối ố tự do) đó  là trọng số tùy chọn (muốn trạng thái cuối càng gần xf thì chọn  càng lớn) Điều kiện đầu: x0  0; t f   Bước 3: Định nghĩa hàm Hamilton:  15 January 2014 H ( x, u,  , t )  L( x, u, t )   (t ) f ( x , u, t ) H ( x , u,  , t )  u (t )   (t )[2 x(t )  u (t )] © H T Hoàng - HCMUT 55 Điều khiển tối ưu – Thí dụ (tt)  Bước 4: Điều kiện cần để có nghiệm tối ưu PT trạng thái: x (t )  2 x(t )  u (t ) H  PT đồng trạng thái:  (t )   x H H Điề kiệ Điều kiện dừ dừng: 0 u Điề kiệ Điều kiện đầ đầu: Điều kiện cuối:   (1)  (t )  2 (t ) u (t )   (t )  x(t0 )  x0   (t f )   (t f ) x (2) (3) (4)   (1)   ( x(1)  50) ((5)) H ( x , u,  , t )  u (t )   (t )[2 x(t )  u (t )] 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 56 Điều khiển tối ưu – Thí dụ (tt)  Bước 5: Giải phương trình vi phân  Nghiệm phương trình (2): (6)  (t )  C1e 2t  Thay (6) vào (3): u (t )  C1e 2t  (7) Thay (7) vào (1) (1), ta được: x (t )  2 x(t )  C1e 2t  x(t )   (8) C1 2t e  C2 e  2t x (tu)((tt)) 22x(t()t ) u0(t ) 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT (1) (3) (2) 57 Điều khiển tối ưu – Thí dụ (tt)  Xác định các số dựa vào điều kiện biên:  x ( 0)   (1)    x(1)  50    C1   C2    C1  C1e     e  C2 e   50     50   C1   e   (e  e  ) /  12.5  C2    e   ( e  e  ) / 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 58 Điều khiển tối ưu – Thí dụ (tt)  Kết ế luận: Tín hiệu điều ề khiển ể và quỹ đạo trạng thái tối ố ưu là: u (t )  C1e 2t C1 2t x(t )   e  C2 e  2t 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 59 Điều khiển tối ưu – Thí dụ  Cho hệ thống xe hình vẽ vẽ Quan hệ vào hệ thống mô tả phương trình vi phân: y(t)) y( M u(t) My(t )  u(t ) g đó u(t) ( ) là tín hiệu ệ vào (lực ( ự điều khiển); ); y( y(t)) là tín hiệu ệ ((vịị trí xe); m = 0.5kg là khối lượng xe  Bài toán đặt là thiết kế luật điều khiển u(t) để điều khiển xe từ trạng thái hái đứ đứng yên ê tạii gốc ố tọa độ đế đến trạng thái hái đứ đứng yên ê tạii vịị tríí cách gốc tọa độ 10cm khoảng thời gian giây, đồng thời tối g lượng g tiêu tốn thiểu  Yêu cầu:  Hãy y thành lập ập bài toán tối ưu cho yyêu cầu thiết kế trên  Giải bài toán tìm tín hiệu điều khiển tối ưu 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 60 Điều khiển tối ưu – Thí dụ  Giải Giải:  Bước 1: Viết phương trình trạng thái đối tượng  ) x2 (t )  y (t ) Đặt các biến ế trạng thái x1 (t )  y (t ),  Phương trình trạng thái mô tả đối tượng  x1 (t )  x (t )  x (t )  u(t )  M  x1 (t )  x2 (t )    x (t )  2u(t ) 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 61 Điều khiển tối ưu – Thí dụ  Bước 2: Xác định hàm mục tiêu và điều kiện biên:  Yêu cầu thiết kế là trạng thái xe thời điểm tf = đứng yên vị trí 10cm (điểm cuối ràng buộc) đồng thời tối thiểu lượng tiêu tốn, ố suy hàm mục tiêu: 1 (Bài toán tối ưu J (u )   u (t )dt  điểm cuối ràng buộc) 20  Từ kiện đề bài, có thể xác định điều kiện biên: Điều kiện đầu: x1 (0)  y (0)  0, x2 (0)  y (0)  Điều kiện cuối: x1 (1)  y (1)  10, x2 (1)  y (1)   Bước 3: Thành lập hàm Hamilton:  H ( x , u,  , t )  L( x , u, t )   T (t ) f ( x , u, t ) H ( x, u,  , t )  u (t )  1 x (t )  2 2u(t ) 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 62 Điều khiển tối ưu – Thí dụ (tt)  Bước 4: Điều kiện cần để có nghiệm tối ưu PT trạng thái:  x1 (t )  x2 (t )   x (t )  2u(t ) (1) H   ( t )   0  x1  PT đồng trạng thái:  2 (t )   H  1  x Điều kiện dừng: H 0 u u Điều kiện đầu: x (0)  0;0 Điều kiện cuối: x (1)  10;0 15 January 2014  u ( t )  2 ( t )  T (2) (3) (4) T © H T Hoàng - HCMUT (5) 63 Điều khiển tối ưu – Thí dụ (tt)  Bước 5: Giải phương trình vi phân    1 (t )  C1 Nghiệm g ệ pphương g trình ((2): )  2 (t )  C1t  C Nghiệm phương trình (3): u(t )  22 (t )  2C1t  2C (6) (7) Thay (7) vào (1), ta được:  x1 (t )  x (t )   x (t )  2u (t )  4C1t  4C  x1 (t )  23 C1t  2C t  C3t  C   x ( t )  C t  4C t  C3  15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT (9) 64 Điều khiển tối ưu – Thí dụ (tt)  Thay điều kiện biên:  x1 (0)  C   x (0)  C3   x (1)  C  2C  10   x (1)  2C1  4C   C  C    C1  30 C  15 Kết ế luận: Tín hiệu điều ề khiển ể tối ố ưu là u (t )  60t  30 * 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT (7) 65 PHƯƠNG PHÁP QUI HOẠCH ĐỘNG 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 66 Nguyên lý tối ưu Bellman Phương pháp qui hoạch động (DP – Dynamic Programing) Bellman đề xuất (1957)  Phương pháp qui hoạch động là thuật toán xác định dãy giá trị {u(k)} tối ưu để tối thiểu tiêu chất lượng J  Nguyên g y lý ý tối ưu: Mỗi đoạn cuối q quỹ ỹ đạo trạng g thái tối ưu là quỹ đạo trạng thái tối ưu  x2 Đoạn xN Đoạn xk Đoạn x0 x1 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 67 Thí dụ tìm đường ngắn dùng DP  Tìm đường ngắn từ A đến J, J cho biết mạng lưới đường hình vẽ  Nguyên lý tối ưu Bellman: tìm đường ngắn ngược từ nút đích đến nút đầu 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 68 Thí dụ tìm đường ngắn dùng DP   Phân bài toán tìm đường thành các bước từ đến Ký hiệu Nki là nút thứ i bước k N21 N31 N41 N11 N22 N32 N51 N42 N33 N23 Bước 15 January 2014 Bước Bước © H T Hoàng - HCMUT Bước Bước 69 Thí dụ tìm đường ngắn dùng DP  Ký hiệu: *  J k ( N ki ) là khoảng cách ngắn từ nút N ki đến nút đích J  d ( N ki , N k 1, j ) là khoảng g cách từ nút N ki đến nút N k 1, j  Phương trình Bellman: J k* ( N ki )  d ( N ki , N k 1, j )  J k*1 ( N k 1, j )  j   ắ ấ từ nút đầu ầ đến ế nút đích J1* ( N11 ) là khoảng cách ngắn 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 70 Thí dụ tìm đường ngắn dùng DP  Giải PT Bellman qua vòng:  Vòng ngược: ngược từ nút cuối nút đầu tìm đoạn đường cuối ngắn  Vòng xuôi: từ nút đầu đến nút cuối  đường tối ưu 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 71 Thí dụ tìm đường ngắn dùng DP  Vòng ngược:  Bước 5: nút đích J 5* ( N 51 )   Bước 4: đoạn đường ngắn từ nút N41 N42 đến đích: J 4* ( N 41 )  d ( N 41 , N 51 )  J 5* ( N 51 )  J 4* ( N 42 )  d ( N 42 , N 51 )  J 5* ( N 51 )  15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 72 Thí dụ tìm đường ngắn dùng DP (tt)  Bước 3: có nhiều lựa chọn, từ nút N3i phải chọn ọ đường g đến đích qua nút N4j nào tối ưu đoạn quỹ đạo cuối ối J 3* ( N 3i ) ? J 3* ( N 3i )  mind ( N 3i , N j )  J 4* ( N j ) j * d ( N , N )  J 3i 4j (N4 j ) Từ nút N 41 N 42 N3i N 31 1+3=4 4+4=8 N 32 6+3=9 3+4=7 N 33 15 January 2014 3+3=6 3+4=7 J ( N 3i ) Quyết định đến N41 (H) N42 ((I)) N41 (H) * © H T Hoàng - HCMUT 73 Thí dụ tìm đường ngắn dùng DP (tt)  Bước 2: tìm đường tối ưu từ nút N2i đến nút đích N51 (tức nút J), sử dụng kết ế tối ưu đoạn cuối tìm bước J 3* ( N 31 )  J 3* ( N 32 )  J 3* ( N 33 )  J 2* ( N 2i )  mind ( N 2i , N j )  J 3* ( N j ) j Từ nút N2i N 21 d ( N 2i , N j )  J 3* ( N j ) N 31 J ( N 2i ) Quyết định đến * N 32 N 33 7+4=11 4+7=11 6+6=12 11 N 31 N 32 N 22 3+4=7 2+7=9 4+6=10 N 31 N 23 4+4=8 1+7=8 5+6=11 N 31 N 32 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 74 Thí dụ tìm đường ngắn dùng DP (tt)  Bước 1: tìm đường tối ưu từ nút N11 (tức nút A)) đến nút đích N51 (tức nút J), sử dụng kết tối ưu đ đoạn cuối ối tì tìm đ bước J 2* ( N 21 )  11 J 2* ( N 22 )  J 2* ( N 23 )    J1* ( N11 )  d ( N11 , N j )  J 2* ( N j ) j Từ N11 d ( N11 , N j )  J 2* ( N j ) N 21 2+11=13 15 January 2014 N 22 4+7=11 N 23 2+8=10 © H T Hoàng - HCMUT J ( N11 ) Quyết Q ết định đến 10 N 23 * 75 Thí dụ tìm đường ngắn dùng DP (tt)  Vò xuôi: Vòng ôi từ bước b đến đế b bước để rút út đường đ tối ưu Kết luận: Đường tối ố ưu: N11  N 23  N 31  N 41  N 51  hoặc: N11  N 23  N 32  N 42  N 51 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 76 Bài toán điều khiển tối ưu động rời rạc  Cho đối tượng ợ g mô tả p phương g trình sai p phân: x (k  1)  f ( x (k ), u(k )) đó: x (k )  [ x1 (k ), x2 (k ), , xn (k )]T: vector trạng g thái (*)  u(k )  [u1 (k ), u2 (k ), , um (k )]T: vector tín hiệu điều khiển Trạng thái đầu: x (0)  x0 , trạng thái cuối: x ( N )  x N  Bài toán điều khiển tối ưu: tìm tín hiệu u(k) cho: N 1 J   ( N , x N )   L( x (k ), ) u(k ))  k 0  Chú ý: Bài toán tối ưu điểm cuối tự  ( N , x N )  Bài toán tối ưu điểm cuối cố định  ( N , x N )  Ý tưởng giải bài toán ĐK tối ưu rời rạc dùng nguyên lý tối ưu (k ) phụ thuộc x * (k ) theo chiều Bellman: tìm kiếm nghiệm u* (k ngược hướng quỹ đạo từ điểm cuối xN đến điểm đầu x0 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 77 PP qui hoạch động giải bài toán ĐK tối ưu rời rạc Đặt hàm mục tiêu tối ưu cho đoạn quỹ đạo t.thái t thái cuối kể từ điểm x(k) N 1   * J k ( x ( k ))   ( N , x ( N ))   L( x (i ), u(i )) , ( k  0, N  1) u ( k ), ,u ( N 1) i k   *  Biểu diễn J k ( x (k )) dạng: N 1   * J k ( x (k ))   L( x (k ), ) u(k ))   ( N , x ( N ))   L( x (i ), ) u(i ))  u( k ), ,u ( N 1) i k 1       J k* ( x (k ))  L( x (k ), u(k ))  J k*1 ( x (k  1)) u (k (k )    J k* ( x (k ))  L( x (k ), u(k ))  J k*1 ( f ( x (k ), u(k ))) u( k )   (PT Bellman) Dễ thấy: J N* ( x ( N ))   ( N , x ( N )) và J 0* ( x (0))  minJ  Giải N phương trình Bellman theo thứ tự k  N   tìm tín hiệu điều khiển tối ưu 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 78 Trình tự giải bài toán ĐK tối ưu rời rạc dùng DP  Đối tượng:  Yêu cầu thiết kế: Tìm tín hiệu u* (k ), k  0,1, , N  điều khiển hệ ệ thống g từ trạng g thái đầu x (0)  x0 đến trạng g thái cuối x ((N ) cho tối thiểu tiêu chất lượng: x (k  1)  f ( x (k ), ) u(k )) N 1 J   ( N , x N )   L( x (k ), u(k ))  k 0  Bước 1: Viết phương trình Bellman:   J k* ( x (k ))  i L( x (k ), ) u(k ))  J k*1 ( f ( x (k ), ) u(k ))) (k  0,1, , N  1) u( k ) với J N* ( x ( N ))   ( N , x N )  Bước 2: Giải phương trình Bellman qua vòng: *  Vòng ngược: k  N   tìm u ( k ) phụ thuộc x (k ) *  Vòng thuận: k   N  tính cụ thể u ( k ) từ đ/kiện đầu x0 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 79 Trình tự giải bài toán ĐK tối ưu rời rạc dùng DP (tt)   * Vòng ngược: tìm u ((kk ) phụ thuộc x(k) (k=N10), 0) gồm các bước: ( N  1) là nghiệm bài toán tối ưu: Tìm u* (N ( N  1) phụ thuộc x (N J N* 1 ( x ( N  1))  L( x ( N  1), u( N  1))   ( N , x ( N )) u ( N 1) ) u( N  1))  x ( N ) với ràng buộc f ( x ( N  1),  Với k  N   :tìm u* (k ) phụ thuộc x (k ) là nghiệm PT Bellman:   J k* ( x (k ))  L( x (k ), u(k ))  J k*1 ( f ( x (k ), u(k ))) u( k ) với J k*1 (.) ( ) là biểu thức hàm mục tiêu tối ưu tối ưu đoạn quỹ đạo cuối đã tìm bước trước đó J k ((.)) 0  Chú ý ý: để tìm tì u (k ) , áp á dụng d PP tối ưu tĩnh, tĩ h giải iải PT PT: u(k ) * 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 80 Trình tự giải bài toán ĐK tối ưu rời rạc dùng DP (tt)  * (k ) Thực các bước Vòng xuôi: xác định giá trị cụ thể uk (k sau đây với k=0,1,2,….N1:  Gán x (k ) vào công thức u* (k (k ) đã tính vòng ngược để giá trị cụ thể u* (k )  Thay u* (k Tha ào mô hình toán đối ttượng ợng để tính đ ợc (k ) vào trạng thái tối ưu thời điểm (k+1) x (k  1)  f ( x (k ), ) u* (k )) 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 81 Điều khiển tối ưu rời rạc dùng DP – Thí dụ   Xét đối tượng là khâu quán tính bậc có mô hình trạng thái: 1 x(k  1)  x(k )  u (k ) 2 Xá định Xác đị h tín í hiệu hiệ điề điều khiể khiển tối ối ưu để điề điều khiển khiể hệ thống hố từ trạng thái đầu x(0)=4 đến trạng thái cuối x(4)=0 cho: J   ( x (k )  u (k ))  i k 0  Giải:  Phương trình Bellman:  ( x(k ))  minx (k )  u  J k* ( x (k ))  L( x (k ), u(k ))  J k*1 ( f ( x (k ), u(k ))) u( k )  J k* u(k )  (k )  J k*1 (0.5 x(k )  0.5u (k )) (k   3) với: J 4* ( x(4))  15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 82 Điều khiển tối ưu rời rạc dùng DP – Thí dụ (tt)  Vòng ngược: Với k = 3: Phương trình Bellman:   J 3* ( x(3))  x (3)  u (3) u ( 3) (do J 4* ( x(4))  ) Điều kiện ràng buộc:0.5 x(3)  0.5u (3)  x(4)  Lời giải: u * (3)   x(3) (để thỏa mãn điều kiện ràng buộc)  J 3* ( x(3))  x (3) 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 83 Điều khiển tối ưu rời rạc dùng DP – Thí dụ (tt)  Vòng ngược: Với k = 2: Phương trình Bellman:  ( x(2))  minx (2)  u  J 2* ( x(2))  x (2)  u (2)  J 3* ( x(3)) u ( 2)  J 2* u ( 2)  (2)  x (3)   1    * 2  J ( x(2))  i  x (2)  u (2)   x(2)  u (2))  u ( 2)  2    3 *  J ( x(2))   x (2)  x(2)u (2)  u (2) u ( 2) 2   J (.) x ( 2)  x(2)  3u (2)  u * (2)   Do u (2)  J 2* ( x(2))  x (2)    x(2)   2  x(2)  x(2)     2   J ( x(2))  x (2) * 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 84 Điều khiển tối ưu rời rạc dùng DP – Thí dụ (tt)  Vòng ngược: Với k = 1: Phương trình Bellman:   J1* ( x(1))  x (1)  u (1)  J 2* ( x(2)) u (1)   *  J1 ( x(1))   x (1)  u (1)  x (2) u (1)        * 2  J1 ( x(1))   x (1)  u (1)   ( x(1)  u (1))  u (1) 2    4  J1* ( x(1))   x (1)  x(1)u (1)  u (1) u (1) 3 3  J (.) x(1) Do:  x(1)  u (1)  u * (1)   u (1) x(1)    x(1)   ( )  x   2  4        J1* ( x(1))  x (1)    2  J1* ( x(1))  x (1) 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 85 Điều khiển tối ưu rời rạc dùng DP – Thí dụ (tt)  Vòng ngược: Với k = 0: Phương trình Bellman:   J 0* ( x(0))  x (0)  u (0)  J1* ( x(1)) u0 1  J 0* ( x(0))   x (0)  u (0)  x (1) u (0)        * 2  J ( x(0))   x (0)  u (0)   ( x(0)  u (0))  u (0) 2     J 0* ( x(0))   21 x (0)  x(0)u (0)  21 u (0) u ( ) 16 16   J (.) 21 *  x(0)  u (0)  u (0)   x(0) Do: u (0) 8 21 2  J 0* ( x(0))  x (0)    x(0)     x(0)  x(0)  21  21  2   26  J 0* ( x(0))  x (0) 21 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 86 Thí dụ giải bài toán ĐK tối ưu rời rạc dùng DP (tt)  Vòng xuôi: Điều kiện đầu: x(0)  20 Với k = 0: u (0)   x(0)   21 21 * 1 20  32 * x(1)  ( x(0)  u (0))      2 21  21 Với k = 1: u * (1)   x(1)  21 1  32  12 * x(2)  ( x(1)  u (1))       21 21  21 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 87 Thí dụ giải bài toán ĐK tối ưu rời rạc dùng DP (tt)  Vòng xuôi: Với k = 2: Với k = 3: x(2) u (2)    21 1  12  x(3)  ( x(2)  u * (2))      2  21 21  21 * u * (3)   x(3)   21 1 4  * x(4)  ( x(3)  u (3))      2  21 21  4  20 Kết luận: Chuổi tín hiệu ĐK tối ưu là: u   ; ; ;   21 21 21 21 * Chỉỉ tiêu chất ấ lượng tối ố ưu: J  J 0* ( x(0))  15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 26 416 x (0)  21 21 88 Qui hoạch động giải bài toán ĐK tối ưu liên tục   Cho đối tượng mô tả phương trình trạng thái: x (t )  f ( x (t ), u(t ), t ) Trạng g thái đầu: x (0)  x0 , trạng g thái cuối: x (t f )  x f Bài toán điều khiển tối ưu: tìm tín hiệu điều khiển u(t) cho: tf J (u)   ( x (t f ))   L( x (t ), u(t ), t )dt  ((*)) ti  Đặt: Hàm mục tiêu tối ưu đoạn quỹ đạo cuối từ thời điểm ti, trạng thái xi đến thời điểm cuối tf, trạng thái cuối x(tf) là J (ti , xi )  min ( x (t f ))   L( x (t ), u(t ), t )dt tf * u(t )  ti  Nếu tồn lời giải tối ưu bài toán ((*)) thì hàm mục tiêu tối ưu đoạn quỹ đạo cuối phải thỏa mãn phương trình Hamilton-Jacobi-Bellman: T  J (t , x )  J (t , x )   i L( x, u, t )   f ( x, u, t )  u(t ) t  x  * 15 January 2014 * © H T Hoàng - HCMUT 89 ĐIỀU CHỈNH TOÀN PHƯƠNG TUYẾN TÍNH (Linear Quadratic Regulator – LQR) 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 90 Bài toán LQR liên tục  Đối tượng tuyến tính mô tả phương trình trạng thái: x (t )  Ax (t )  Bu(t ) (*) ) x2 (t ), , ) xn (t )]T : vector t đó đó: x (t )  [ x1 (t ), t trạng t thái u(t )  [u1 (t ), u2 (t ), , um (t )]T : vector tín hiệu điều khiển  Bài toán á đặt đặ là tìm ì tín í hiệu hiệ điều điề khiển khiể u(t) ( ) điều điề chỉnh hỉ h hệ thống hố từ trạng thái đầu x (0)  x0 trạng thái cuối x(tf) = cho ợ g dạng g toàn phương: p g tối thiểu tiêu chất lượng tf   T J (u)  x (t f ) Mx (t f )   x T (t )Qx (t )  uT (t ) Ru(t ) dt 2 t0 đó Q và M là các ma trận trọng số bán xác định dương R là ma trận ậ trọng ọ g số xác định ị dương g  Bài toán trên gọi là bài toán điều chỉnh toàn phương tuyến tính 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 91 Điều kiện cực trị bài toán LQR liên tục  Hàm Hamilton:   T H  x (t )Qx (t )  uT (t ) Ru(t )  T (t )Ax (t )  Bu(t )  Điều kiện cần để có lời giải tối ưu: PT trạng thái: hái x (t )  Ax A (t )  Bu B (t ) (1) H PT đồng trạng thái:  (t )   (2)  Q Qx (t )  A (t ) x H t) Điều kiện dừng:  Ru(t )  B T  (t )  0x (t )  f ( x (t ), u(t ),(3) u H T   (t )   x H 0 T H (t )  L( x, u , t )   (t ) f ( x , u, t ) 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 92 Cách tìm lời giải tối ưu  Rút u(t) từ (3): u(t )   R 1 B T  (t )  (4) Th (4) vào Thay à (1), (1) tta đượ x (t )  Ax (t )  BR 1 B T  (t )  Kết ế hợp (5) và (2), ta phương trình vi phân:  x (t )   A  BR 1 B T   x (t )   (t )   Q  A   (t )    (5) (6) Giải phương trình vi phân (6), tìm x(t) và (t) Thay (t) vào (4) tìm lời giải tối ưu 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 93 Lời giải bài toán LQR liên tục  Tí hiệu Tín hiệ điều điề khiển khiể tối ưu: u* (t )   K (t ) x (t ) đó: K (t )  R 1 B T P (t ) và P(t) là nghiệm bán xác định dương phương trình vi phân Ricatti:  P  PA  AT P  Q  PBR 1 B T P P (t f )  M  Lời giải phương trình Ricatti:  Trường hợp hệ bậc 2: có thể giải tay  Trường hợp tổng quát: tham khảo thêm tài liệu 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 94 Bài toán LQR liên tục thời gian vô hạn  Đối tượng tuyến tính mô tả phương trình trạng thái: x (t )  Ax (t )  Bu(t )  Chỉ tiêu chất lượng dạng toàn phương, phương đó thời điểm cuối tf=:    J (u)   x T (t )Qx (t )  uT (t ) Ru(t ) dt 20  Tín hiệu điều khiển tối ưu: u* (t )   Kx (t ) đó: K  R 1 B T P và P là nghiệm bán xác định dương phương trình đại số Ricatti: PA  AT P  Q  PBR 1 B T P   Chú ý: trường hợp này K và P là không phụ thuộc thời gian  Giá trị cực tiểu ể tiêu chất ấ lượng: J  x T (0) Px (0) 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 95 Điều khiển LQR liên tục – Thí dụ  Cho hệ tuyến tính bậc không ổn định mô tả PTTT: x (t )  3x(t )  2u (t )  Yêu cầu: Thiết kế luật ậ điều khiển u(t) ( ) để hệệ kín ổn định ị và tối thiểu tiêu chất lượng:  J   ( x (t )  5u (t ))dt 20 Giải:  Phương trình đại số Ricatti: PA  AT P  Q  PBR 1 B T P   P.3  3.P   P.2 .2.P   P  6P   5  P  7.663 (chọn nghiệm xác định dương) 1 T  Độ lợi hồi tiếp trạng thái: K  R B P  K  2.(7,663)  3,065  Luật điều ề khiển ể tối ố ưu: u (t )   Kx(t )  u (t )  3,065 x(t )  15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 96 Điều khiển LQR liên tục – Thí dụ       x1  x2 Cho hệ tuyến tính bậc mô tả PTTT:   x2  u Yêu cầu: Yê ầ Thiết kế luật l ật điều điề khiển khiể u(t) (t) để hệ kín kí ổn ổ định đị h vàà tối thiểu thiể tiêu chất lượng:  J   (2 x12 (t )  2u (t ))dt 20 Giải:  x1 (t )  0 1  x1 (t )  0 Viết lại phương p g trình trạng g thái:    u (t )      0  x2 (t ) 1  x2 (t )    B A Viết lại tiêu chất lượng: ợ g  2 0  x1  J   x1 x2   u  (t ))dt    0   x2  R 20   Q 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 97 Điều khiển LQR liên tục – Thí dụ  Phương trình đại số Ricatti: PA  AT P  Q  PBR 1 B T P   p1    p2 0  0 p2  0 1 0 0  p1     p3  0 0 1 0  p2 p1     p2   p1   p2    p1  p2 p3  15 January 2014 p2     p3  0  p1   p2  2 0  p22      p2  0 0  p2 p3  p1  p2 p3  0  p2  p32   0 0 p  0   p1 0 1    p3  1  p2 p2  0  p3  p2 p3  0  p3  © H T Hoàng - HCMUT 98 Điều khiển LQR liên tục – Thí dụ  2  p     p1  p2 p3   2 p2  p32      p1  2    p2  p  2  Độ lợi hồi tiếp trạng thái: 2 1 T K  R B P  K  0 1  2  P  2   2   2  K  [1 2] Luật điều khiển tối ưu: u (t )   Kx (t )  [1 * 15 January 2014  x1 (t )  ]  x ( t )    u * (t )   x1 (t )  x2 (t ) © H T Hoàng - HCMUT 99 Điều khiển LQR liên tục – Thí dụ  Cho hệ tuyến tính bậc mô tả PTTT:   x1 (t )  0  x1 (t )    x (t )    2  x (t )  1u (t )       B A  Yêu cầu: Thiết kế luật điều khiển u(t) để hệ kín ổn định và tối thiểu tiêu chất lượng:  J   [2 x12 (t )  x22 (t )  u (t )]dt 20 Giải:  Viết lại tiêu chất lượng: ợ g   J   ([ x1 20 15 January 2014 2 0  x1  x2 ]  u  (t ))dt      x2   R  Q © H T Hoàng - HCMUT 100 Điều khiển LQR liên tục – Thí dụ  Phương trình đại số Ricatti: PA  AT P  Q  PBR 1 B T P   p1   p2   p2    p3 p2    0    p1     p3    2 1  2  p2 p1  p2    p2   p2  p3   p1  p2   p2   p22   p3  p1  p2  p2 p3 15 January 2014 p2   0   p3  0 1  p p  0   p1    1  p2  p2 p3  1  p3  2 0  p22     p2  p3  0 1  p2 p3 p2  0  p3  p2 p3  0  p3  p1  p2  p3  p2 p3  0  p2  p3   p3  © H T Hoàng - HCMUT 101 Điều khiển LQR liên tục – Thí dụ  p2   p22   p  p  p  p p  3   p  p1  p2  p2 p3   2 p2  p3   p32   p1  2.403    p2  0.732  p  0.542  (chọn các nghiệm g ệ dương) g) 2.403 0.732 P  732 542    Độ lợi hồi tiếp trạng thái: 2.403 0.732 K  R B P  K  0 1  K  [0.732 0.542]  0.732 0.542  x1 (t )  *  Luật điều khiển tối ưu: u (t )   Kx (t )  [0.732 0.542]  ( ) x t   1 T  u * (t )  0.732 x1 (t )  0.542 x2 (t ) 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 102 Bài toán LQR rời rạc  Cho đối tượng tuyến tính rời rạc mô tả phương trình trạng thái: (*) x (k  1)  Ad x (k )  Bd u(k ) ) x2 (k ), , ) xn (k )]T: vector t đó đó: x (k )  [ x1 (k ), t trạng t thái u(k )  [u1 (k ), u2 (k ), , um (k )]T: vector tín hiệu điều khiển  Bài toán á đặ đặt là tìm ì tín í hiệu hiệ điều điề khiển khiể u(k) (k) điều điề chỉnh hỉ h hệ thống hố từ trạng thái đầu x (0)  x0 trạng thái cuối x(N) = cho ợ g dạng g toàn phương: p g tối thiểu tiêu chất lượng  N 1 T T J (u)  x ( N ) Mx ( N )   x (k )Qx (k )  uT (k ) Ru(k ) k 0 0  đó Q và M là các ma trận trọng số bán xác định dương ậ trọng ọ g số xác định ị dương g R là ma trận 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 103 Lời giải bài toán LQR rời rạc  Tí hiệu Tín hiệ điều điề khiển khiể tối ưu: u* (k )   K (k ) x (k )   1 K (k )  B P (k  1) Bd  R BdT P (k  1) Ad đó: T d và P(k) là nghiệm bán xác định dương phương trình Ricatti:   P ( k )  A P ( k  1)  P ( k  1) Bd B P ( k  1) Bd  R T d T d  1  BdT P ( k  1) Ad  Q P (N )  M  Nghiệm phương trình Ricatti rời rạc: thay k  ( N  1)  vao phương trình Ricatti tìm P(k) 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 104 Bài toán LQR rời rạc thời gian vô hạn  Đối tượng tuyến tính mô tả phương trình trạng thái rời rạc: x (k  1)  Ad x (k )  Bd u(k )  Chỉ tiêu chất lượng dạng toàn phương, phương đó thời điểm cuối N N=: :   T J (u)   x (k )Qx (k )  uT (k ) Ru(k ) k 0  Tín hiệu điều khiển tối ưu:  u* (k )   Kx (k )   1 K  B PBd  R BdT PAd và P là nghiệm bán xác định dương phương trình đại số Ricatti: t đó: đó  T d  P  A P  PBd B P Bd  R T d T d  1  BdT P Ad  Q  Chú ý: trường hợp này K và P là không phụ thuộc k  Giá trị cực tiểu tiêu chất lượng: J  x T (0) Px (0) 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 105 Lời giải bài toán LQR thời gian vô hạn dùng Matlab  Nghiệm phương trình đại số Ricatti liên tục (continuous algebraic Ricatti equation – care) ( Q ) >> P=care(A,B,Q,R)  Lời giải bài toán LQR (Linear quadratic Regulator – LQR) liên tục >> K=lqr(A,B,Q,R)  Nghiệm hi phương h trình ì h đại đ i sốố Ricatti i i rời ời rạc(discrete (di algebraic l b i Ricatti i i equation – dare) >> P P=dare(A dare(A,B,Q,R) B Q R)  Lời giải bài toán LQR (Linear quadratic Regulator – LQR) rời rạc >> K=dlqr(A,B,Q,R) 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 106 BỘ LỌC KALMAN 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 107 Lọc Kalman liên tục   x (t )  Ax (t )  Bu (t )  w (t ) Xét é hệ h tuyến ế tính í h liên li tục:   y (t )  Cx(t )  v(t ) Trong đó: w(t) là nhiễu hệ thống; v(t) là nhiễu đo lường lường Giả sử nhiễu hệ thống và nhiễu đo lường có phân bố Gauss, không tương quan, có trung bình và phương sai là: E[ ww T ]  Q N  E[vvT ]  RN  xˆ (t )  [ Axˆ (t )  Bu (t )]  L[ y (t )  yˆ (t )] Bộ lọc Kalman liên tục:   yˆ (t )  Cxˆ (t ) Trong đó L là độ lợi lọc Kalman: L  C T RN1 với  là nghiệm phương trình Ricatti: A  AT  C T RN1C   Q N  15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 109 Sơ đồ khối lọc Kalman liên tục u(t) x (t )  Ax (t )  Bu (t ) x(t) C + L B ++ +  y(t) ()  xˆ (t ) C yˆ (t ) A  Bộ lọc Kalman:  xˆ (t )  Axˆ (t )  Bu (t )  L( y (t )  yˆ (t ))   yˆ (t )  Cxˆ (t ) Trong đó: L  C T RN1 A  AT  C T RN1C   Q N  15 January 2014 © H T Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 110 Bộ lọc Kalman liên tục – Thí dụ  Cho hệ tuyến tính bậc mô tả PTTT:  x (t )  Ax (t )  Bu (t )  w (t )  y (t )  Cx(t )  v(t )  1 0  Trong đó: A   B  C  1 0   2   0.2  T E vv [ ]  RN  0.01 E[ ww T ]  Q N     0.1  Yêu cầu: ầ Thiết ế kếế lọc Kalman ước lượng trạng thái hệ thống ố trên từ tín hiệu đo y(t)  Giải:  xˆ (t )  Axˆ (t )  Bu (t )  L( y (t )  yˆ (t ))  Bộ ước lượng trạng thái:   yˆ (t )  Cxˆ (t ) L  C T RN1 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 111 Bộ lọc Kalman liên tục – Thí dụ  Trong đó  là nghiệm phương trình đại số Ricatti: A    AT  Q N   C T RN1C     p1 0    2  p2 p2    p1  p2 p2   p1   p3   p2 p3   p2    p2  p3   p3  p2  0.2  100 p12    p3  p1  p2  100 p1 p2 15 January 2014 p2  0   0.2      p3  1  2  0.1  p1 p2  1  p1     p2  p2 p3  0 0.01 p2  0  p3   p1  p2  0.2     p2  p3   0.1  p12 p1 p2   100  0 p2   p1 p2 p3  p1  p2  100 p1 p2   0  p2  p3  0.1  p2  © H T Hoàng - HCMUT 112 Bộ lọc Kalman liên tục – Thí dụ (1) 2 p2  0.2  100 p12     p3  p1  p2  100 p1 p2  (2)  p2  p3  0.1  p22  (3) (2) &(3)  p22  400 p1 p2  p1  10 p2  0.1  (4) 2 (1) &(4)  (50 p1  0.1)  (50 p1  0.1)(400 p1  10)  p1  0.1   2500 p14  20000 p13  490 p12  36 p1  1.09   p1  0.0441  0.0441  0.00279   p2  0.00279    0.00279 0.0262   p3  0.0262  Độ lợi lọc Kalman: L   C T RN1 0.0441  0.00279 1   L 0.0262  0 0.01  0.00279 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 4.409   L 0.279 113 Lọc Kalman rời rạc  x (k  1)  Ad x (k )  Bd u (k )  w (k ) Xét hệ tuyến ế tính rời rạc:   y (k )  C d x(k )  v(k ) Trongg đó: w(k) ( ) là nhiễu hệệ thống; g; v(k) ( ) là nhiễu đo lường g Giả sử nhiễu hệ thống và nhiễu đo lường có phân bố Gauss, không tương quan, có trung bình và phương sai là: E[ ww T ]  Q N  E[vvT ]  RN Bộ lọc Kalman rời rạc:  xˆ (k  1)  [ Ad xˆ (k )  Bd u (k )]  Lk [ y (k  1)  yˆ (k  1)]  yˆ (k )  C xˆ (k ) d  Trong đó L là độ lợi lọc Kalman: 1 T T L(k )  Ad  (k )C d C d  (k )C d  RN   với  là nghiệm phương trình Ricatti:  (k  1)  Ad  (k ) AdT  Q N  Ad  (k )C dT RN1C d  (k ) AdT 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 114 Sơ đồ khối lọc Kalman rời rạc u(t) x d ( k  1)  Ad x ( k )  Bd u ( k ) x(t) y(t) () Cd + L Bd ++ + z 1  xˆ (t ) Cd yˆ (t ) Ad  ˆ ˆ ˆ Bộ lọc Kalman:  x (k  1)  [ Ad x (k )  Bd u (k )]  Lk [ y (k  1)  y (k  1)]  yˆ (k )  C d xˆ (k ) Trong đó:  L(k )  Ad  (k )C C d  (k )C  RN T d T d  1  (k  1)  Ad  (k ) AdT  QN  Ad  (k )C dT RN1C d  (k ) AdT 15 January 2014 © H T Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 115 Lời giải lọc Kalman dùng Matlab  Lời giải lọc Kalman liên tục: >> L = lqe(A,G,C,QN,RN) l (A G C QN RN) 15 January 2014 %G ma trận ậ đđơn vịị © H T Hoàng - HCMUT 116 BỘ ĐIỀU KHIỂN LQG (Linear Quadratic Gaussian) 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 117 Bài toán điều khiển LQG (Linear Quadratic Gaussian)  Xét hệ tuyến tính liên tục bị tác động nhiễu Gauss:  x (t )  Ax (t )  Bu (t )  w (t )  y (t )  Cx(t )  v(t )  Trong đó: w(t) là nhiễu hệ thống; v(t) là nhiễu đo lường Giả sử nhiễu không tương quan, có trung bình và phương sai là: E[ ww T ]  Q N  E[vvT ]  RN Bài toán đặt là tìm tín hiệu điều khiển u(t) điều chỉnh hệ thống từ trạng thái đầu x (0)  x0 trạng thái cuối x(tf) = cho tối thiểu tiêu chất lượng dạng toàn phương: 1  T  T J (u)  E   x (t )Qx (t )  u (t ) Ru(t ) dt  2    t đó Q là các á ma trận t ậ ttrọng số ố bán bá xác á đị định h dương dươ R là ma trận trọng số xác định dương 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 118 Nguyên lý tách rời  Nguyên lý tách rời: Bài toán tối ưu LQG có thể giải cách giải riêng bài toán điều khiển tối ưu tiền định và bài toán ước lượng trạng thái tối ưu LQG = LQR + Lọc Kalman 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 119 Lời giải bài toán điều khiển LQG  Tín hiệu điều khiển tối ưu LQR: u* (t )   Kxˆ (t ) với độ lợi hồi tiếp trạng thái: K  R 1 B T P đó P là nghiệm bán xác định dương pt đại số Ricatti: PA  AT P  Q  PBR 1 B T P   Bộ lọc Kalman:  xˆ (t )  [ Axˆ (t )  Bu (t )]  L[ y (t )  yˆ (t )]   yˆ (t )  Cxˆ (t ) với độ lợi ước lượng: L  C T RN1 đó  là nghiệm bán xác định dương pt đại số Ricatti: A  AT  C T RN1C   Q N  15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 120 Sơ đồ khối điều khiển LQG liên tục r(t)  u(t) x (t )  Ax (t )  Bu (t ) x(t) y(t) C +  L B ++ + xˆ (t )  C yˆ (t ) A K  Bộ điều khiển LQR u* (t )   Kxˆ (t ) K  R 1 B T P PA  AT P  Q  PBR 1 B T P  15 January 2014  Bộ lọc Kalman  xˆ (t )  Axˆ (t )  Bu (t )  L( y (t )  yˆ (t ))   yˆ (t )  Cxˆ (t ) L  C T RN1 A  AT  C T RN1C   QN  © H T Hoàng - www4.hcmut.edu.vn/~hthoang/ 121 THÍ DỤ THIẾT KẾ ĐIỀU Ề KHIỂN Ể TỐI Ố ƯU 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 122 Đối tượng điều khiển: hệ lắc ngược  Thông số hệ lắc ngược M =1.0 kg: trọng lượng xe m=0.1kg : trọng lượng lắc l = 1.0 m: chieààu daøi laééc u : lực tác động vào xe [N] g:g gia tốc trọïng trường [[m/s2]] x : vò trí xe [m]  : góc lắc và phương thaúng ñöng thang đứng [rad]  Mô hình toán hệ lắc ngược u  ml (sin  )  mg cos  sin  x  M  m  m(cos  ) u cos   ( M  m) g (sin  )  ml (cos sin  )    ml (cos )  ( M  m)l 15 January 2014 © H T Hoàng - ÐHBK TPHCM 123 PTTT phi tuyến hệ lắc ngược  Đặt các biến trạng thái x1   , x2  , x3  x, x4  x  Phương trình trạng thái phi tuyến x2    x1   u cos x1  ( M  m) g (sin x1 )  ml (cos x1 sin x1 ) x2    x   ml (cos x1 )  ( M  m)l   2   x4   x3       u  ml (sin ( x ) x  mg g cos x sin x 1  x4    M  m  m(cos x1 )    Yêu cầu: Thiết kế điều khiển giữ cân lắc quanh vị trí thẳng đứng 15 January 2014 © H T Hoàng - ÐHBK TPHCM 124 PTTT tuyến tính hệ lắc ngược  PTTT tuyến tính hóa quanh điểm cân thẳng đứng (góc lệch  nhỏ 100) 0 x  x1   M  m  1        x   g  0   x2   Ml      Ml  u    0  x3   x3     m       x4    M g 0 0  x4   M   Thay cụ thể thông số hệ lắc ngược: 0  x1     x1    x   10.78 0 0  x   1  2        u  x3   0 1  x3            x  0.98 0 0  x4          B A 15 January 2014 © H T Hoàng - ÐHBK TPHCM 125 Thiết kế điều khiển LQR  Giả thiết:  Đặc tính động hệ lắc ngược có thể mô tả hệ phương trình biến trạng thái tuyến tính Điều này hỉ đúng đú góc ó lệch lệ h  nhỏ hỏ  Hệ thống phản hồi trạng thái đầy đủ, nghĩa là có thể đo biến trạng thái (góc lệch , vận tốc góc, vị trí xe x, vận tốc xe )  Không có nhiễu tác động vào hệ thống  Thiết kế dù dùng Matlab: M tl b  >> K = lqr(A,B,Q,R)  Tùy theo độ lớn tương đối trọng số Q và R mà hệ thống có đáp ứng quá độ và lượng tiêu tốn khác  Muốn trạng thái đáp ứng nhanh tăng thành phần Q tương ứng  Muốn giảm lượng tăng R 15 January 2014 © H T Hoàng - ÐHBK TPHCM 126 Mô điều khiển LQR hệ lắc ngược 15 January 2014 © H T Hoàng - ÐHBK TPHCM 127 Kết mô điều khiển LQR hệ lắc ngược 0 0 0 0 0  1   -0.5 [m],[m m/s] 1 0 Q 0  0 [rad],[rad/s] 0.5 x x 0.5 -0.5 R 1 10 [N] 15 January 2014 u Góc lệ Gó lệch h lắ lắc giữ cân tốt, tuyy nhiên vị trí xe dao động khá lớn -5 Time [s] K= [34.3620  10.7009  1.000  2.4109] © H T Hoàng - ÐHBK TPHCM 128 Kết mô điều khiển LQR hệ lắc ngược 0 0 100 0  0 1 0 15 January 2014 -0.5 -1 0 20 u 10 [N] x x -1 R 1 Tăng trọng số q33 (tương ứng với vị trí xe)  vị trí xe ít dao động hơn, nhiên lượng tiêu tốn tăng lên   [m],[m m/s] 1 0 Q 0  0 [rad],[rad/s] 0.5 -10 Time [s] K=[70.1356  22.1091  10.000  11.0514] © H T Hoàng - ÐHBK TPHCM 129 Kết mô điều khiển LQR hệ lắc ngược 0 0 100 0  0 1 0 15 January 2014 -0.5 -1 0 20 u 10 [N] x x -1 R 1 Khuyết điểm điều khiển LQR là có nhiễu đo lường thì chất lượng điều khiển bị ảnh hưởng đáng kể   [m],[m m/s] 1 0 Q 0  0 [rad],[rad/s] 0.5 -10 10 Time [s] K=[70.1356  22.1091  10.000  11.0514] © H T Hoàng - ÐHBK TPHCM 130 Thiết kế điều khiển LQG Giả thiết:  Hệ thống hoạt động miền tuyến tính  Giả sử đo ợ g góc lệch ệ và vịị trí xe  Có nhiễu tác động vào hệ thống Nhiễu đo vị trí xe có phương sai là 0.01; nhiễu đo góc lệch lắc có phương sai 0.001 001  Dùng lọc Kalman để ước lượng trạng thái và lọc nhiễu   Thiết ế kế ế dùng Matlab:  >> K = lqr(A,B,Q,R)  >> L = lqe(A,G,C,QN,RN) q ( , , ,Q , ) 15 January 2014 %G là ma trận ậ đơn vịị © H T Hoàng - ÐHBK TPHCM 131 Thiết kế điều khiển LQG  Bộ điều khiển LQR 1 0 Q 0  0 0 0 100 0  0 1 0  K=[70.1356  22.1091  10.000  11.0514] R 1  Bộ lọc Kalman Q N  0.000001I 0.001  RN    0 01    6.5617  0.0571  21.5437  0.1876   L  0.5713 0.1470      1.9568 0.0271  (Do ta giả sử không có nhiễu hệ thống nên chọn QN bé bé Hai thành phần RN chính là phương sai nhiễu đo lường) 15 January 2014 © H T Hoàng - ÐHBK TPHCM 132 Mô điều khiển LQG hệ lắc ngược 15 January 2014 © H T Hoàng - ÐHBK TPHCM 133 Kết mô điều khiển LQG hệ lắc ngược [rad],[rad/s]   -1 -2 [m],[m/s] x x -2 10 [N] 6 u -10 Time [s] Bộ lọc Kalman ước lượng trạng thái và lọc nhiễu, nhờ mà đáp ứng hệ thống điều khiển LQG tốt LQR trường hợp hệ thống có nhiễu 15 January 2014 © H T Hoàng - ÐHBK TPHCM 134 MỘT SỐ CÔNG THỨC CẦN NHỚ 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 135 Nghiệm phương trình vi phân bậc  Phương trình vi phân bậc đồng : x (t )  ax(t )    at x ( t )  Ce Nghiệm tổng quát:  Hằng số C xác định dựa vào điều kiện biên 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 136 Nghiệm phương trình vi phân bậc (tt)  Phương trình vi phân bậc không đồng : x (t )  ax (t )  b x (t )  Ce  at b  a  Nghiệm tổng quát:  Hằng ằ số ố C xác định dựa vào điều ề kiện biên 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 137 Nghiệm phương trình vi phân bậc (tt)  Phương trình vi phân bậc không đồng : x (t )  p (t ) x(t )  q (t )  Nghiệm tổng quát: đó:   (t )q(t )dt  C  x(t )   (t ) p ( t ) dt   (t )  e Hằng số C xác định dựa vào điều kiện biên biên 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 138 Nghiệm phương trình vi phân bậc  Phương trình vi phân bậc đồng : ax(t )  bx (t )  cx(t )   Nghiệm tổng quát:  Trường hợp 1:   b  4ac  x(t )  C1e p1t  C2 e p2t  Trường hợp 2:   b  4ac  x(t )  C1e pt  C2te pt  với p1,  (b   ) /(2a) với p  b /(2a) Trường hợp 3:  b  4ac  x(t )  C1et sin t  C2 et cos t Với   b /(2a)  và     /(2a) Hằng số C1 và C2 xác định dựa vào điều kiện biên 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 139 Nghiệm phương trình vi phân bậc  Phương trình vi phân bậc không đồng : ax(t )  bx (t )  cx(t )  d d  Nghiệm tổng quát: x  z  c đó z(t) là nghiệm phương trình vi phân đồng nhất: az(t )  bz (t )  cz (t )   Hằng số C1 và C2 xác định dựa vào điều kiện biên 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 140 Nghiệm phương trình trạng thái  Phương trình vi phân bậc 1: x (t )  Ax (t )  Bu (t ) Điều kiện đầu: x (t0 )  x0 ) x2 (t ), , ) xn (t )]T   n đó: x (t )  [ x1 (t ), A   nn t   Nghiệm : x(t )   (t ) x(t0 )   (t   ) Bu ( )d t0 Trong đó:  (t )  e At  Cách 1:  (t )  e At  L1 ( sI  A) 1  Cách 2:(t )  e At  C0 I  C1 A  C2 A2    Cn 1 An 1 thay các trị riêng i ma trận A (nghiệm det(I  A)  ) vào phương trình trên tính các hệ số Ci 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 141 Nghiệm phương trình trạng thái (tt)  Các trường hợp riêng phương trình vi phân bậc 1:  Nếu B=0: x (t )  Ax (t ) x(t )  (t ) x(t0 )  e A(t t0 ) x(t0 )  Nếu u=1: x (t )  Ax (t )  B t x(t )   (t ) x(t0 )   (t   ) Bd t0 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 142 Tổng kết chương Sau học xong chương 3, sinh viên phải có khả năng:  Giải bài toán tối ưu động không ràng buộc và có ràng buộc  Thành Thà h lậ lập các á bài ttoán á điề điều khiể khiển tối ưu động độ  Giải bài toán tối ưu động liên tục dùng phương pháp biến phân  Giải bài toán tối ưu rời rạc dùng phương pháp qui hoạch động  Thiết ế kế ế điều ề khiển ể LQR, lọc Kalman, điều ề khiển ể LQG 15 January 2014 © H T Hoàng - HCMUT 143