Sự tồn tại toàn cục của sóng di động trong mô hình tán xạ phân tán với hàm thông lượng tùy ý

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA: KHOA HỌC ỨNG DỤNG  PHẠM VIẾT THÀNH ĐỀ TÀI: Chuyên ngành : TOÁN ỨNG DỤNG Mã số ngành : 604636 LUẬN VĂN THẠC SĨ TP.HỒ CHÍ MINH, Tháng năm 2009 TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA KHOA HỌC ỨNG DỤNG CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc Lập - Tự Do - Hạnh Phúc -oOo Tp HCM, ngày 28 tháng năm 2009 NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ tên học viên: PHẠM VIẾT THÀNH Phái: Nam Ngày, tháng, năm sinh: 20 – 09 – 1979 Nơi sinh: TP.HCM Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH ỨNG DỤNG MSHV: 02406730 1- TÊN ĐỀ TÀI: SỰ TỒN TẠI TOÀN CỤC CỦA SĨNG DI ĐỘNG TRONG MƠ HÌNH TÁN XẠ PHÂN TÁN VỚI HÀM THÔNG LƯỢNG TÙY Ý 2- NHIỆM VỤ LUẬN VĂN: Tiếp cận hướng nghiên cứu nhiều nhà tốn học quan tâm tồn tồn cục sóng di động mơ hình với nhớt mao dẫn  Trình bày, hệ thống lại kiến thức sở hàm thông lượng f , ổn định Lyapunov nguyên lý bất biến LaSalle Từ đó, chứng minh tồn tồn cục sóng di động mơ hình tán xạ phân tán với hàm thông lượng tùy ý  Thiết lập cơng thức nghiệm sóng di động luật bảo toàn tán xạ - phân tán số trường hợp 3- NGÀY GIAO NHIỆM VỤ : ngày 08 tháng 12 năm 2008 4- NGÀY HOÀN THÀNH NHIỆM VỤ : ngày 30 tháng 08 năm 2009 5- HỌ VÀ TÊN CÁN BỘ HƯỚNG DẪN : TS MAI ĐỨC THÀNH Nội dung đề cương Luận văn thạc sĩ Hội Đồng Chuyên Ngành thông qua CÁN BỘ HƯỚNG DẪN (Họ tên chữ ký) CHỦ NHIỆM BỘ MÔN QUẢN LÝ CHUYÊN NGÀNH (Họ tên chữ ký) TS MAI ĐỨC THÀNH PGS.TS NGUYỄN ĐÌNH HUY CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH Cán hướng dẫn khoa học : TS MAI ĐỨC THÀNH (Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị chữ ký) Cán chấm nhận xét : TS NGUYỄN BÁ THI (Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị chữ ký) Cán chấm nhận xét : TS NGUYỄN NGỌC HẢI (Ghi rõ họ, tên, học hàm, học vị chữ ký) Luận văn thạc sĩ bảo vệ HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN THẠC SĨ TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA, ngày 12 tháng 09 năm 2009 Luận văn Thạc sĩ Tốn học SỰ TỒN TẠI TỒN CỤC CỦA SĨNG DI ĐỘNG TRONG MƠ HÌNH TÁN XẠ PHÂN TÁN VỚI HÀM THÔNG LƯỢNG TÙY Ý GVHD : T.S Mai Đức Thành HVTH : Phạm Viết Thành Ngày 24 tháng năm 2009 Lời cảm ơn Tôi vô biết ơn Tiến sĩ Mai Đức Thành định hướng nghiên cứu, tận tình hướng dẫn, động viên tơi suốt q trình học tập, nghiên cứu thực luận văn Tôi gửi lời tri ân đến Các Thầy, Cô hướng dẫn tơi nghiên cứu Tốn học khóa học Cao học 2007 - 2009 trường Đại Học Bách Khoa TP Hồ Chí Minh Tơi gửi lời cám ơn Các bạn đồng môn, chia niềm yêu thích Tốn học, ý tưởng, tài liệu, thực seminar với hai năm qua trường Đại Học Bách Khoa TP Hồ Chí Minh Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong hỗ trợ kinh phí tạo điều kiện cho tơi tham gia khóa Cao học Gia đình bạn bè hiểu, chia sẻ cảm xúc q trình tơi thực đề tài TP HCM, tháng năm 2009 Phạm Viết Thành Lời giới thiệu Lý thuyết nghiệm phi cổ điển hệ hyperbolic định luật bảo toàn LeFloch khởi xướng mở rộng nghiên cứu nhiều năm Sóng di động tán xạ phân tán nghiên cứu nhiều tác giả, xem [1], [2], [3], [4], [5], Trong [7], quan hệ tồn sóng di động tồn sóng sốc cổ điển phi cổ điển trình bày Gần đây, sóng di động khơng đơn điệu mơ hình lưu chất (chất lỏng hay chất khí) Van der Waals với hệ số tán xạ phân tán trình bày [3] Xét phương trình định luật bảo tồn ∂t u + ∂x f (u) = (0.0.1) với f liên tục nghiệm gọi sóng sốc có dạng u=    u+ , x ≥ λ.t  u , − x < λ.t λ số vận tốc Trong luận văn này, ta làm rõ tồn nghiệm trơn, gọi sóng di động (traveling waves), phương trình đạo hàm riêng sau : ∂t u(x, t) + ∂x f (u(x, t)) = a.∂xx u(x, t) + b.∂xxx u(x, t) , x ∈ IR , t > (0.0.2) với a, b hệ số tán xạ phân tán tương ứng Ở đây, ta giả sử a, b số dương Khi sóng di động phương trình (0.0.2) tồn tại, vấn đề ta quan tâm đến giới hạn sóng di động a, b → 0+ Đây dạng xấp xỉ chấp nhận sóng sốc luật bảo tồn (0.0.1) Ngược lại, sóng sốc phương trình (0.0.1) tồn tại, sóng di động tương ứng tồn dạng đó, trình bày P.G LeFloch (xem [7]) √ x − λ.t x − λ.t = √ , với α = a/ b thay vào a b (0.0.2) Khi đó, sóng di động u liên kết trạng thái bên trái u− sang trạng thái Bằng cách đổi biến, y = α · bên phải u+ , thỏa mãn phương trình vi phân thường −λ du df (u) d2 u d3 u + = α + 3, dy dy dy dy y ∈ IR , (0.0.3) điều kiện biên lim u(y) = u± , y→±∞ (0.0.4) d2 u du = lim lim = y→±∞ dy y→±∞ dy Lấy tích phân (0.0.3) dùng điều kiện biên (0.0.4), tìm u cho : du d2 u = −λ(u(y) − u− ) + f (u) − f (u− ), + α dy dy y ∈ IR (0.0.5) du dy Chúng ta viết lại phương trình vi phân (0.0.5) hệ sau : Đặt v =  du(y)    = v(y)  dy  dv(y)   = −αv(y) − λ(u(y) − u− ) + f (u(y)) − f (u− )  dy (0.0.6) Hệ (0.0.6) viết dạng sau : dU (y) = F (U (y)), dy y ∈ IR , (0.0.7) với U = (u, v) ∈ IR , v= du dy F (U ) = v, −αv + h(u) , h(u) = −λ(u − u− ) + f (u) − f (u− ) Từ đó, dựa ổn định Lyapunov nguyên lý bất biến LaSalle, ta chứng minh tồn sóng di động Trong luận văn này, tơi trình bày kiến thức tổng quan, hệ thống tính chất sở nhằm làm rõ kết báo [1] Dựa vào đó, tơi thiết lập cơng thức nghiệm sóng di động luật bảo toàn tán xạ - phân tán số trường hợp Trọng tâm nghiên cứu chứng minh tồn tồn cục sóng di động mơ hình tán xạ - phân tán với hàm thông lượng tùy ý dựa sở nguyên lý bất biến LaSalle Luận văn trình bày với cấu trúc gồm ba chương sau : Chương 1: Trình bày kiến thức tổng quan : khái niệm tính hyperbolic, nghiệm yếu hệ luật bảo toàn, nghiệm entropy, luật bảo toàn vơ hướng, Chương 2: Trình bày ổn định trạng thái cân hệ tuyến tính, tính chất sóng di động ổn định trạng thái cân Thiết lập công thức nghiệm sóng di động luật bảo tồn tán xạ - phân tán số trường hợp Chương 3: Trình bày ổn định Lyapunov, nguyên lý bất biến LaSalle, số kết bất biến dựa nguyên lý LaSalle Chỉ tồn toàn cục sóng di động mơ hình tán xạ phân tán với hàm thông lượng f Lipschitz địa phương Mục lục LỜI CẢM ƠN LỜI GIỚI THIỆU MỤC LỤC KIẾN THỨC TỔNG QUAN 1.1 1.2 Các khái niệm 1.1.1 Tính hyperbolic 1.1.2 Nghiệm yếu hệ luật bảo toàn 12 1.1.3 Nghiệm entropy 17 Sóng sốc - Điều kiện entropy 21 SÓNG DI ĐỘNG VÀ SỰ ỔN ĐỊNH CỦA TRẠNG THÁI CÂN BẰNG 24 2.1 Sự ổn định trạng thái cân hệ tuyến tính 24 2.1.1 Tính chất dáng điệu hệ tuyến tính 24 2.1.2 Tính chất dáng điệu gần điểm cân 28 Khái niệm tính chất sóng di động 29 2.2.1 Mối tương quan sóng sốc sóng di động 29 2.2.2 Khái niệm sóng di động 30 2.2 2.3 Sự ổn định trạng thái cân SỰ TỒN TẠI CỦA SÓNG DI ĐỘNG 3.1 31 52 Sự ổn định Lyapunov nguyên lý bất biến LaSalle 52 3.1.1 Sự tồn tính nghiệm 52 3.1.2 Sự phụ thuộc liên tục 58 3.1.3 Tính ổn định ổn định tiệm cận 61 3.1.4 Nguyên lý bất biến 67 3.2 Một số kết tính bất biến dựa nguyên lý LaSalle 71 3.3 Sự tồn sóng di động 74 TÀI LIỆU THAM KHẢO 88 Ta biết nghiệm yếu khơng Để chọn nghiệm nhất, nghiệm bắt buộc nghiệm yếu thỏa tiêu chuẩn entropy Oleinik f (u) − f (u− ) f (u+ ) − f (u− ) > , u − u− u+ − u − ∀u u+ u− (3.3.3) ∀u u+ u− (3.3.4) Điều kiện (3.3.3) tương đương với f (u) − f (u+ ) f (u+ ) − f (u− ) < , u − u+ u+ − u − Khơng tính tổng qt, ta giả sử u+ < u− Bất đẳng thức (3.3.3) có ý nghĩa hình học đoạn [u+ , u− ], đồ thị hàm f nằm đường thẳng (∆) nối (u+ , f (u+ )) (u− , f (u− )) Đầu tiên, ta nghiên cứu quỹ đạo dần điểm cân (u+ , 0) y → +∞ Ta xét phương trình vi phân dU (y) = F (U (y)), dy y≥0 (3.3.5) với U = (u, v), F (U ) = v, −αv + h(u) , h(u) = −λ(u − u− ) + f (u) − f (u− ) Để Lip(f |[2u+ −u− ,u− ] ) số Lipschitz hàm thông lượng f đoạn [2u+ − u− , u− ], lấy tùy ý số γ cho 0 0, (u, v) ∈ D ˙ đạo hàm dọc theo quỹ đạo L(u, v) = ∇L(u, v) · (u , v ) (3.3.5) xác định âm : ˙ L(u, v) = −αv ≤ ˙ Chứng minh Đầu tiên, ta kiểm tra L(u, v) xác định âm Thật vậy, ˙ L(u, v) = ∇L(u, v) · (u , v ) = −h(u)v + v(−αv + h(u)) = −αv ≤ 0, ∀(u, v) ∈ D, dL(u, v) xác định âm dy Ta chứng minh L xác định dương Hiển nhiên, L(u+ , 0) = hay Chọn số tùy ý < r < |u− − u+ | tập Er = {(u, v) ∈ IR | (u − u+ )2 + γv ≤ r2 } ⊂ D (3.3.8) Đặt ∂Er biên Er Thực ra, ∂Er ellipse có hai trục hai r r đoạn thẳng (u+ − r, 0) (u+ + r, 0); (u+ , − √ ) (u+ , √ ) γ γ Để chứng minh L xác định dương, ta L đạt giá trị nhỏ dương ellipse ∂Er Hay nói cách khác ta kiểm tra với số dương r ≤ |u− − u+ |, tồn m= (u,v)∈ ∂Er L(u, v) > Thật vậy, ∂Er , ta có : v2 = (r − (u − u+ )2 ) γ 76 (3.3.9) Thay v vào biểu thức L, ta có : m= (u,v)∈ ∂Er L(u, v) u+ = = (u,v)∈ ∂Er u u∈[u+ −r,u+ +r] h(v)dv + v u+ h(v)dv + (r2 − (u − u+ )2 ) 2γ u Đặt u+ h(v)dv + φ(u) := u (r − (u − u+ )2 ), 2γ u ∈ [u+ − r, u+ + r] Ta thu gọn tốn cực trị L thành tìm giá trị nhỏ hàm biến φ Ta có dφ(u) = −h(u) − (u − u+ ) du γ =− + λ (u − u+ ) + f (u) − f (u+ ) γ f (u) − f (u+ ) = (u − u+ ) +λ u − u+ (3.3.10) Vì L dương ellipse có tâm (u+ , 0) với hai trục r r đoạn thẳng (u+ − r, 0) (u+ + r, 0); (u+ , − √ ) (u+ , √ ); γ γ < r < u− − u+ , nên L dương D \ (u+ , 0) Bổ đề (3.3.1) chứng minh Đặt Ωc = {(u, v) ∈ Er : L(u, v ≤ c)} 77 (3.3.11) Ta chứng minh Ωc tập miền hấp thụ điểm cân (u+ , 0) Bổ đề 3.3.2 Tập Ωc tập compact bất biến dương (3.3.5) Do đó, hệ (3.3.5) có nghiệm tồn cục với y ≥ U (0) ∈ Ωc Hơn nữa, quỹ đạo hội tụ (u+ , 0) y → ∞ Chứng minh Hiển nhiên Ωc tập compact Ta chứng minh tập Ωc phần bên Er Giả sử ngược lại, có điểm U0 ∈ Ωc nằm biên Er Vì vậy, theo định nghĩa giá trị nhỏ L(U0 ) ≥ m > c Điều mâu thuẫn U0 ∈ Ωc , L(U0 ) ≤ c Do đó, đường cong đóng L(u, v) = c nằm hoàn toàn phần Er Hơn nữa, từ bổ đề (3.3.1) ta có dL(u(y), v(y)) ≤ dy Suy L(u(y), v(y)) ≤ L(u(0), v(0)) ≤ c, ∀y > Do đó, quỹ đạo xuất phát Ωc cắt đường cong đóng L(u, v) = c Vì vậy, tập compact Ωc bất biến dương (3.3.5) Theo bổ đề (2.3.1), (3.3.5) có nghiệm với y ≥ U (0) ∈ Ωc Từ mệnh đề (3.2.1), ta có quỹ đạo U xuất phát Ωc hội tụ (u+ , 0) y → ∞ Bổ đề (3.3.2) chứng minh Sau đây, ta chứng minh miền hấp thụ, tập Ωc đủ lớn cho quỹ đạo ổn định tương ứng với điểm yên (u− , 0) cuối vào Ngay điều xảy ra, có sóng di 78 động liên kết hai điểm (u± , 0) Mệnh đề sau chứng minh điểm (u− , 0) thực điểm giới hạn miền hấp thụ điểm cân (u+ , 0) Mệnh đề 3.3.1 Miền hấp thụ điểm ổn định (u+ , 0) bao gồm tập Ω, Ω định nghĩa sau : u− Ω = {(u, v) ∈ D| L(u, v) + h(w)dw < 0} (3.3.12) u+ Tập Ω mở, nối chứa đoạn thẳng [u+ , u− )×{0} Do đó, điểm n (u− , 0) nằm biên ∂Ω : (u− , 0) ∈ ∂Ω Chứng minh Lấy r = u− − u+ − δ/2 với δ > nhỏ tùy ý Ta có: u+ + r − δ = u− − δ Chọn số c sau: u− −δ u+ +r−δ/2 u+ u+ Vì h(u) < 0, −h(v)dv −h(v)dv = c := u ∈ (u+ , u− ), ta có < c < m Theo (3.3.11) ta có Ωc = {(u, v) ∈ D| L(u, v) ≤ c} u− −δ = {(u, v) ∈ D u v2 h(w)dw + ≤ 0} (3.3.13) Cho δ → 0, ta thấy miền hấp thụ điểm cân (u+ , 0) bao gồm tập hợp Ω, u− Ω = {(u, v) ∈ D u v2 h(w)dw + < 0} u− = {(u, v) ∈ D L(u, v) + h(w)dw < 0} u+ 79 Do liên tục, tập Ω mở, nối chứa đoạn thẳng [u+ , u− ) × {0} Điều suy điểm yên (u− , 0) nằm biên ∂Ω Mệnh đề (3.3.1) chứng minh Vấn đề dẫn đến định lý sau tồn sóng di động liên quan với sóng sốc Định lí 3.3.1 Giả sử hàm thơng lượng f Lipschitz địa phương có sóng sốc (2.2.2) nối trạng thái bên trái u− trạng thái bên phải u+ với vận tốc sốc λ thỏa điều kiện entropy Oleinik Giả sử có điểm (u0 , v0 ) ∈ Ω, với Ω định nghĩa (3.3.12), cho quỹ đạo (2.2.9) bắt đầu (u0 , v0 ) hội tụ (u− , 0) y → −∞ Khi đó, tồn sóng di động (2.2.1) liên kết trạng thái u− , u+ Chứng minh Đặt (u1 , v1 ) = (u1 (y), v1 (y)), y ≤ quỹ đạo (u0 , v0 ) hội tụ (u− , 0) y → −∞ Từ mệnh đề (3.3.1), ta suy tồn quỹ đạo (u2 , v2 ) = (u2 (z), v2 (z)) (3.3.5) bắt đầu (u0 , v0 ), với z ≥ 0, cho quỹ đạo dần (u+ , 0) z → +∞ Do đó, hàm u(y) có dạng u(y) =    u1 (y) , y ≤ y0   u (y − y ) , y ≥ y0 nghiệm (2.2.6) thỏa mãn điều kiện biên (2.2.5) Bởi vậy, u = u(y), y ∈ IR sóng di động (2.2.1) liên kết u± ngang qua u0 ∈ (u− , u+ ) Vậy định lý (3.3.1) chứng minh Minh họa phương pháp số Mathlab Chương trình Mathlab : function [t, y]=soldif 80 a=1/3; um=3*a; yo=[um-0.01;-0.001]; for k=1:10 tspan=[0 10*k]; [t,y]=ode45(@tvdif, tspan, yo); subplot(2,1,1),plot(t,y(:,1)); subplot(2,1,2),plot(y(:,1),y(:,2)); plot(y(:,1),y(:,2)); xlabel(’t’) ylabel(’u’) drawnow pause end function ydot=tvdif(t,y) global a a=1/3; eps=1e-2; del=1e-3; al=eps^2/del; up=0;%-2.5*a; um=3*a; abs(t); s=(fflux(up)-fflux(um))/(up-um); ydot=[y(2);-al*y(2)-s*(y(1)-um)+fflux(y(1))-fflux(um)]; 81 function y=fflux(x) global a %y=abs(2*x); %y=a*(x); y=x^4-6*a^2*x^2; Kết : 82 Hình 3.1: Hình 3.2: 83 Hình 3.3: Hình 3.4: 84 Hình 3.5: Hình 3.6: 85 Hình 3.7: Hình 3.8: 86 Hình 3.9: Hình 3.10: 87 Tài liệu tham khảo [1] M.D Thanh, Global existence of diffusive – dispersive traveling waves for general flux functions Nonlinear Analysis, Theory, Methods and Applications; 2009 [2] H.D Nghia and M.D Thanh, Nonclassical shock waves of conservation laws: Flux function having two inflection points Electron J Diff Eqs., 2006:1–18, 2006 [3] N Bedjaoui, C Chalons, F Coquel, and P.G LeFloch, Non-monotone traveling waves in van der Waals fluids Ann and Appl., 3:419–446, 2005 [4] N Bedjaoui and P.G LeFloch, Diffusive-dispersive traveling waves and kinetic relations III An hyperbolic model from nonlinear elastodynamics Ann Univ Ferra Sc Mat., 47:117–144, 2001 [5] N Bedjaoui and P.G LeFloch, Diffusive-dispersive traveling waves and kinetic relations I Non-convex hyperbolic conservation laws J Diff Eqs., 178:574–607, 2002 [6] N Bedjaoui and P.G LeFloch, Diffusive-dispersive traveling waves and kinetic relations II A hyperbolic-elliptic model of phase-transition dynamics Proc Roy Soc Edinburgh, 132 A:545–565, 2002 88 [7] P.G LeFloch, Hyperbolic systems of conservation laws The theory of classical and nonclassical shock waves Lectures in Mathematics, ETH Ză urich Basel, 2002 [8] H.K Khalil, Nonlinear systems Prentice Hall, New Jersey, 2002 [9] P.G LeFloch and M.D Thanh, Nonclassical Riemann solvers and kinetic relations III A nonconvex hyperbolic model for van der Waals fluids Electron J Differential Equations, (72):19 pp, 2000 [10] D Jacobs, W McKinney, and M Shearer, Traveling wave solutions of the modified Korteweg-deVries-Burgers equation J Differ Equations, 116(2):448–467, 1995 [11] P.D Lax, Shock waves and entropy, in: E.H Zarantonello, Ed., Contributions to Nonlinear Functional Analysis, pages 603–634, 1971 89 ... TÀI: SỰ TỒN TẠI TOÀN CỤC CỦA SĨNG DI ĐỘNG TRONG MƠ HÌNH TÁN XẠ PHÂN TÁN VỚI HÀM THÔNG LƯỢNG TÙY Ý 2- NHIỆM VỤ LUẬN VĂN: Tiếp cận hướng nghiên cứu nhiều nhà toán học quan tâm tồn tồn cục sóng di động. .. nghiệm sóng di động luật bảo toàn tán xạ - phân tán số trường hợp Trọng tâm nghiên cứu chứng minh tồn tồn cục sóng di động mơ hình tán xạ - phân tán với hàm thông lượng tùy ý dựa sở nguyên lý bất... mơ hình với nhớt mao dẫn  Trình bày, hệ thống lại kiến thức sở hàm thông lượng f , ổn định Lyapunov nguyên lý bất biến LaSalle Từ đó, chứng minh tồn tồn cục sóng di động mơ hình tán xạ phân tán