Giàn giao của các tập đóng trong mô hình dữ liệu dạng khối

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ====== CHU QUANG ĐỨC GIÀN GIAO CỦA CÁC TẬP ĐÓNG TRONG MÔ HÌNH DỮ LIỆU DẠNG KHỐI LUẬN VĂN THẠC SĨ MÁY TÍNH HÀ NỘI, 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ====== CHU QUANG ĐỨC GIÀN GIAO CỦA CÁC TẬP ĐÓNG TRONG MÔ HÌNH DỮ LIỆU DẠNG KHỐI Chuyên ngành: Khoa học máy tính Mã số: 60 48 01 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ MÁY TÍNH Người hướng dẫn khoa học: TS Trịnh Đình Vinh HÀ NỘI, 2015 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành luận văn nhận đƣợc giúp đỡ tận tình thầy hƣớng dẫn khoa học TS Trịnh Đình Vinh, thầy cô trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội 2, thầy cô ban giám hiệu thầy cô trƣờng THPT Mê Linh Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội 2, trƣờng THPT Mê Linh tạo điều kiện cho học tập, nghiên cứu giúp đỡ nhiều trình làm luận văn thạc sĩ Đặc biệt xin cảm ơn thầy TS Trịnh Đình Vinh tận tình hƣớng dẫn, bảo cho suốt trình học tập, nghiên cứu đề tài giúp đỡ hoàn thành luận văn Hà nội, ngày 01 tháng 12 năm 2015 Học viên Chu Quang Đức LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu dƣới hƣớng dẫn khoa học thầy TS Trịnh Đình Vinh Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chƣa đƣợc công bố công trình khác Học viên Chu Quang Đức MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI CAM ĐOAN DANH MỤC CÁC BẢNG DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT VÀ KÍ HIỆU MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Những đóng góp đề tài Cấu trúc luận văn CHƢƠNG 1: MÔ HÌNH DỮ LIỆU QUAN HỆ VÀ GIÀN GIAO CỦA CÁC TẬP ĐÓNG 1.1 Mô hình liệu quan hệ 1.1.1 Tổng quan mô hình liệu quan hệ 1.1.2 Thuộc tính miền thuộc tính 1.1.3 Quan hệ, lƣợc đồ quan hệ 1.1.4 Khóa quan hệ 1.2 Các phép tính đại số quan hệ 1.3 Phụ thuộc hàm 11 1.4 Bao đóng 12 1.5 Khoá 14 1.6 Giàn giao tập đóng mô hình quan hệ 16 Kết luận 29 CHƢƠNG 2: MÔ HÌNH DỮ LIỆU DẠNG KHỐI 30 2.1 Mô hình liệu dạng khối 30 2.1.1 Khối, lƣợc đồ khối 30 2.1.2 Lát cắt 32 2.2 Đại số khối 34 2.3 Phụ thuộc hàm khối 42 2.4 Bao đóng mô hình liệu dạng khối 44 2.5 Khoá lƣợc đồ khối tập phụ thuộc hàm F R 45 Kết luận 47 CHƢƠNG 3: GIÀN GIAO CỦA CÁC TẬP ĐÓNG TRONG MÔ HÌNH DỮ LIỆU DẠNG KHỐI 49 3.1 Ánh xạ đóng giàn giao tập đóng mô hình liệu dạng khối……………………………………………………… 56 3.1.1 Ánh xạ đóng lƣợc đồ khối………………………………… 58 3.2 Tập sinh ánh xạ đóng qua phép dịch chuyển lƣợc đồ khối…60 3.3 Mối quan hệ tập sinh lƣợc đồ khối lƣợc đồ lát cắt…62 Kết luận…………………………………………………………………… 57 KẾT LUẬN 58 TÀI LIỆU THAM KHẢO 59 DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 1.1 Biểu diễn quan hệ r Bảng 1.2 Biểu diễn ví dụ Nhân Viên Bảng 1.3 Biểu diễn quan hệ Sinh Viên Bảng 1.4 Biểu diễn quan hệ r, s, r  s Bảng 1.5 Bảng biểu diễn quan hệ r, s, r  s Bảng 1.6 Biểu diễn quan hệ r , s, r \ s, s \ r Bảng 1.7 Biểu diễn quan hệ r ,  B D (r ) 10 Bảng 2.1 Biểu diễn lát cắt r(RHọc kỳ I) 32 Bảng 2.2 Biểu diễn họ gồm quan hệ r1, r2 33 DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Hình 2.1 Biểu diễn khối điểm học viên DiemHV ( R) 31 Hình 2.2 Biểu diễn khối r ( R), s( R) 34 Hình 2.3 Biểu diễn khối r , s khả hợp 35 Hình 2.4 Biểu diễn khối r, s, r  s 36 Hình 2.5 Biểu diễn khối r, s, r  s 37 Hình 2.6 Biểu diễn khối: r , s, s \ r 37 Hình 2.7 Biểu diễn khối r , r ,   P (r ) 39 Hình 2.8 Biểu diễn khối  x4  y (r ) 41 DANH MỤC CHỮ VIẾT TẮT VÀ KÍ HIỆU Ý nghĩa Kí hiệu PTH Phụ thuộc hàm LĐQH Lƣợc đồ quan hệ LS Vế trái RS Vế phải  Phép giàn giao  Phép hợp \ Phép trừ  Tập  Nằm  Thuộc  Không thuộc  Anpha  Bêta  Tồn Fh Phụ thuộc hàm Fh AXĐ Ánh xạ đóng MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hệ thống sở liệu (CSDL) lĩnh vực quan trọng ngành Khoa học máy tính Việc khai thác hệ thống có hiệu vấn đề cấp bách Hiện ngƣời ta thƣờng sử dụng hệ thống cở sở liệu nhƣ: Mô hình liệu thực thể - liên kết, mô hình liệu mạng, mô hình liệu phân cấp, mô hình liệu hƣớng đối tƣợng, mô hình liệu datalog mô hình liệu quan hệ Trong số mô hình liệu có ba mô hình liệu thƣờng đƣợc sử dụng mô hình liệu phân cấp, mô hình liệu mạng mô hình liệu quan hệ Đối với ba mô hình mô hình liệu quan hệ đƣợc quan tâm Mô hình đƣợc E.Codd đề xuất năm 1970 Tuy nhiên quan hệ có cấu trúc phẳng (tuyến tính) nên mô hình chƣa đủ đáp ứng ứng dụng phức tạp, sở liệu có cấu trúc phi tuyến tính,… Trong năm gần đây, việc nghiên cứu nhằm mở rộng mô hình liệu quan hệ đƣợc nhiều nhà khoa học quan tâm Theo hƣớng nghiên cứu mô hình liệu đƣợc đề xuất mô hình liệu dạng khối Mô hình liệu đƣợc xem mở rộng mô hình liệu quan hệ Để góp phần hoàn thiện lý thuyết thiết kế mô hình liệu dạng khối em chọn đề tài “Giàn giao tập đóng mô hình liệu dạng khối” Trong đề tài số tính chất giàn giao tập đóng mô hình liệu dạng khối đƣợc phát biểu chứng minh Mục đích nghiên cứu - Tìm hiểu mô hình liệu dạng khối - Tìm hiểu giàn giao tập đóng, tính chất giàn giao tập đóng mô hình liệu dạng khối 47 Cho lƣợc đồ khối R  (id ; A1, A2 , , An ) , F tập phụ thuộc hàm R, K  n i 1 id , K x  n i 1 x x(i ) , x  id Khi K khoá R Fx x  (i )  K khoá Rx Fhx Mệnh đề 2.11 Cho lƣợc đồ khối R  (id ; A1, A2 , , An ) , Fh , Fhx tập phụ thuộc hàm R, Rx tƣơng ứng, K x  Rx Fhx K  xid n i 1 x (i ) , x  id Khi K x khoá K x khoá lƣợc đồ R Fh Mệnh đề 2.12 Cho lƣợc đồ khối R  (id ; A1, A2 , , An ) , Fh , Fhx tập phụ thuộc hàm R, Rx tƣơng ứng, K  n i 1 x (i ) đồ R Fh K  K  , x  id Khi K khoá lƣợc n i 1 x (i ) khoá Rx Fhx Từ kết mệnh đề ta có hệ sau: Hệ Cho lƣợc đồ khối R  (id ; A1, A2 , , An ) , Fh , Fhx tập phụ thuộc hàm R, Rx tƣơng ứng, x id Khi  x( i ) với A {1,2, , n} iA khoá Rx Fhx  id ( i ) khoá lƣợc đồ R Fh iA Kết luận Nội dung chƣơng trình bày khái niệm mô hình liệu dạng khối nhƣ: khái niệm khối, lƣợc đồ khối, phép tính 48 khối, đại số quan hệ khối khái niệm phụ thuộc hàm, bao đóng đƣợc trình bày Ở chƣơng trình bày bao đóng tập thuộc tính số, khóa lƣợc đồ khối tập phụ thuộc hàm F điều kiện cần đủ bao đóng tập thuộc tính số, điều kiện cần đủ khóa mô hình liệu dạng khối 49 CHƯƠNG 3: GIÀN GIAO CỦA CÁC TẬP ĐÓNG TRONG MÔ HÌNH DỮ LIỆU DẠNG KHỐI Chƣơng trình bày giàn giao tập đóng, tính chất giàn giao mô hình liệu dạng khối Bên cạnh tính chất mở rộng giàn giao đƣợc phát biểu chứng minh tham khảo từ tài liệu [2], [3], [4], [10] 3.1 Ánh xạ đóng giàn giao tập đóng mô hình liệu dạng khối 3.1.1 Ánh xạ đóng lược đồ khối Cho lƣợc đồ khối α = (R, F), R=(id; A1, A2, …, An), F tập phụ n thuộc hàm R với X  id (i ) bao đóng X F i1 là: X+ ={ x(i), x  id, i=1 n | x  x(i)  F+} n Ký hiệu tập tất tập tập hợp ( id (i ) n ) SubSet( i1 n Khi ta đặt U= id (i ) i1 n , ánh xạ f :SubSet( i1 id (i ) ) id i1 (i ) n )  SubSet( id (i ) ) i1 n Trong  X  SubSet( id (i ) ) f(X) = X+ (bao đóng X i1 lƣợc đồ khối α = (R, F)) Khi f ánh xạ đóng thỏa mãn ba điều kiện sau: 1) Tính phản xạ: f(X) = X+  X, 50 2) Tính đồng biến:  X,Y n id (i ) ):  ( i1 X  Y f(X) = X+  Y+ = f(Y), n 3)  X  ( id (i ) ) : f(f(X)) = ( X+)+ = X+ = f(X) i1 n id (i ) ) đƣợc gọi tập đóng X = X+ Tập thuộc tính số X  ( i1 Định nghĩa 3.1 Cho lƣợc đồ khối α = (R, F), R=(id; A1, A2, …, An), F tập phụ n thuộc hàm R với X  ( id (i ) ), ánh xạ f: SubSet i1 n ( id (i ) n id (i ) ) )  SubSet ( i1 i1 Khi X đƣợc gọi điểm bất động AXĐ f f(X) = X Ta ký hiệu Fix(f) tập toàn điểm bất động AXĐ f, ta biểu diễn Fix(f) nhƣ sau : n id (i ) )} Fix(f) = {f(X) | X  ( i1 n id Nhận xét : f( i1 n => ( (i ) n )=( id (i ) ) i1 id (i ) )  Fix(f) điểm bất động lớn Fix(f) i1 Khi ta có Fix(  ) = {X+ | X  ( n i1 id (i ) ) } 51 Mệnh đề 3.1 Cho hai lƣợc đồ khối  =(R,Fh),  =(S,Gh),  =  \X ; n id (i ) , X  M=  , X={ x(i), x  id, i  A}, X, M  i1 M={ x(i), x  id, i  B} với A, B  {1,2,…,n} 1) (XM)  Fix(  ) M  Fix(  ) n 2) ((XM)  id (i ) ))  Fix(  x )khi (M  n i 1 i1 x (i ) ) Fix(  x ) Chứng minh (1=>) Dựa vào tính chất điểm bất động công thức tính bao đóng qua phép dịch chuyển lƣợc đồ khối, giả sử XM Fix(  ) ta có: XM= ( XM ) = ( XM ) , X  M = X  M  =  nên M = M  => M  Fix(  ) (1 (XM)  Fix(  ) n (2) Giả sử ((XM)  i 1 x (i ) ))  Fix(  x ) X  M =  => Xx  Mx =  , n XxMx  Fix(  x ) với Xx = X  i 1 x (i ) n , Mx = M  i 1 x (i ) Do áp dụng tính chất (1) với trƣờng hợp id={x}, ta có: XxMx  Fix(  x )Mx  Fix(  x ), nghĩa là: 52 n ((XM)  i 1 x (i ) n ) Fix(  x ))  Fix(  x ) (M  i 1 x (i ) ) Fix(  x ) Định nghĩa 3.2 Giả sử G họ tập đóng với phép giao n ( id (i ) ) nghĩa giao họ G cho ta tập i 1 đóng G Khi ta gọi G giàn giao tập tất thuộc tính lƣợc đồ khối  Nhƣ giàn giao G chứa họ tập  cho phần tử G biểu diễn đƣợc qua giao phần tử họ  Khi  tập nhỏ G thỏa mãn tính chất: G = { X1 ∩ X2 ∩ … ∩ Xk | k≥ 0,X1, … , Xk   }  gọi tập sinh giàn giao G đƣợc ký hiệu Gen(G), ta viết  =Gen(G) n Chú ý: theo quy ƣớc giao họ rỗng tập ( id (i ) ) i 1 n Nhƣ giàn giao chứa ( id (i ) ) hợp không thuộc vào i 1 Gen(G) Mệnh đề 3.2 Cho hai lƣợc đồ khối  =(R, Fh),  =(S, Gh),  =  \X ; n Với tập X, M  ( i1 id (i ) ), X  M =  , X = { x(i), x  id, i  A}, 53 M={ x(i), x  id, i  B}, với A, B  {1,2,…,n} Khi : 1) XM  Gen(  ) M  Gen(  ) 2) (XM  n i 1 x (i ) )  Gen(  x ) (M  n i 1 x (i ) ) Gen(  x ) Chứng minh (1=>) Giả sử XM  Gen(  ) suy XM  Fix(  ) (vì Gen(*) chứa Fix(*)), từ kết (3.1) ta có M  Fix(  ) Giả sử Y, Z  Fix(  ), M = Y  Z, ta phải chứng minh M = Y M = Z Vì Y Z hai tập thuộc tính lƣợc đồ khối  nên X  Y = X  Z =  Mặt khác theo (1) ta có XY, XZ  Fix(  ), từ M = Y  Z => XM = X(Y  Z) = XY  XZ Hơn Fix(  ) giàn giao với tập sinh Gen(  ) nên ta phải có XM = XY XM = XZ Từ suy M = Y M = Z, M  Gen(  ) (1 M  Fix(  ) (vì Gen(*) chứa Fix(*)) từ kết (3.1) ta có: XM  Fix(  ) Giả sử Y, Z  Fix(  ), XM = Y  Z, ta phải chứng minh XM = Y XM =Z Ta có (XM)  Y (XM)  Z, đặt Y‟ = Y\XM, Z‟ = Z\XM, ta đƣợc Y =XMY‟, Z = XMZ‟ Theo (3.1) ta có MY‟, MZ‟  Fix(  ) Mặt khác M = MY‟  MZ‟, M  Gen(  ) nên theo tính chất tập sinh giàn giao ta có : M = MY‟ M = MZ‟ 54 Từ suy XM = XMY‟ = Y XM = XMZ‟ = Z => XM  Gen(  ) n (2) Giả sử (XM  i 1 x (i ) )  Gen(  ) X  M =  => Xx  Mx = , n XxMx  Gen(  ) với Xx = X  i 1 x (i ) n , Mx = M  i 1 x (i ) Do vậy, áp dụng tính chất kết phần 1) với trƣờng hợp id = {x}, ta có XxMx  Gen(  x ) Mx  Gen(  x ), nghĩa : n ((XM)  i 1 x (i )  Gen(  x ) (M  n i 1 x (i )  Gen(  x )) 3.2 Tập sinh ánh xạ đóng qua phép dịch chuyển lược đồ khối Mệnh đề 3.3 Cho ba lƣợc đồ khối  ,  ,  :  = (R,Fh),  = (S,Gh),  = (S‟,G‟h); n X1, X2,M  id (i ) ,  =  \X1,  =  \ X2, i 1 X1  X2 =  , X1  M=  , X2  M=  , X1={ x(i), x  id, i  A}, A  {1,2,…,n}, X2={ x(i), x  id, i  B}, B  {1,2,…,n}, M={ x(i), x  id, i  C}, C  {1,2,…,n} Khi ta có: 1) X1X2M  Gen(  )  X2M  Gen(  )  M  Gen(  ) n 2) (X1xX2xMx  i 1 n Gen(  x )  (M  i 1 x (i ) x (i ) )  n Gen(  x )  (X2xM  )  Gen(  x ) i 1 x (i ) )  55 Chứng minh 1) Giả sử X1X2M  Gen(  ) theo giả thiết ta có X1, X2, M  n id (i ) , i 1 X1  X2 =  , X1  M=  , X2  M=  Do áp dụng kết (3.2) ta suy ra: X1X2M  Gen(  )  X2M  Gen(  ) (  =  \X1) (1) Áp dụng kết (3.2) lần ta có: X2M  Gen(  ) M  Gen(  ) (  =  \ X2) (2) Từ (1) (2) ta có: X1X2M  Gen(  )  X2M  Gen(  )  M  Gen(  ) n 2) Giả sử (X1X2M  i 1 x (i ) )  Gen(  x ), X1  X2 =  , X1  M=  , X2  M=  ,  =  \X1,  =  \ X2 Khi áp dụng kết (3.2) ta có: n (X1X2M  i 1 x (i ) n )  Gen(  x ) (X2M  i 1 x (i ) )  Gen(  x ) (1) Áp dụng kết (3.2) lần ta có: n (X2M  i 1 x (i ) n )  Gen(  x ) (M  i 1 x (i ) )  Gen(  x ) (2) Từ (1) (2) ta có: n (X1xX2xMx  i 1 n Gen(  x )  (M  i 1 x (i ) x (i ) )  n Gen(  x )  (X2xM  )  Gen(  x ) i 1 x (i ) )  56 3.3 Mối quan hệ tập sinh lược đồ khối lược đồ lát cắt Mệnh đề 3.4 Cho hai lƣợc đồ khối  = (R,Fh),  = (S,Gh),  =  \X; n Với tập X, M  id (i ) , X  M =  , X={ x(i), x  id, i  A}, i 1 M={ x(i), x  id, i  B} với A, B  {1,2,…,n} Khi đó: 1) XM  Gen(  )  (XM  n i 1 2) XM  Gen(  )  (M  n i 1 x x (i ) (i ) )  Gen(  x ) ,  x  id )  Gen(  x ) ,  x  id Chứng minh 1) (1 =>) Giả sử XM  Gen(  ), với  = (R,Fh) n Khi ta suy (XM  i 1 x (i ) ) = ( XM ) x  Gen(  x ),  x  id  x  id mà ( XM ) x  Gen(  x ) suy (XM)  Gen(  ) => XM = xid ( XM ) x (tính chất bao đóng lƣợc đồ khối) ( 1[...]... rộng của giàn giao của các tập đóng trong mô hình dữ liệu dạng khối 3 Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu về mô hình dữ liệu quan hệ và giàn giao trong mô hình dữ liệu quan hệ và giàn giao của các tập đóng trong mô hình dữ liệu dạng khối, các tính chất của nó - Tìm hiểu về mô hình dữ liệu dạng khối - Phát biểu và chứng minh một số tính chất mở rộng của giàn giao của các tập đóng trong mô hình dữ liệu dạng khối. .. chất của giàn giao của các tập đóng trong mô hình dữ liệu dạng khối 6 Những đóng góp mới của đề tài - Tìm hiểu mô hình dữ liệu dạng khối - Tìm hiểu giàn giao của các tập đóng trong mô hình dữ liệu dạng khối và các tính chất của nó - Phát biều và chứng minh một số tính chất mở rộng của giàn giao của các tập đóng trong mô hình dữ liệu dạng khối và trên lát cắt 7 Cấu trúc của luận văn Luận văn gồm: Lời mở... số quan hệ trên khối, phụ thuộc hàm, bao đóng trong mô hình dữ liệu dạng khối, khóa của lƣợc đồ khối R đối với tập phụ hàm F và giàn giao của các tập đóng trong mô hình dữ liệu dạng khối Chương 3: Trình bày khái niệm về giàn giao của các tập đóng trong mô hình dữ liệu dạng khối, phát biểu và chứng minh các tính chất của nó bằng khẳng định tính đúng và mối quan hệ giữa giàn giao trên khối và trên lƣợc... giàn giao của các tập đóng trong mô hình dữ liệu dạng khối - Phạm vi nghiên cứu trong mô hình dữ liệu dạng khối 5 Phương pháp nghiên cứu Trong quá trình triển khai đề tài, chúng tôi sử dụng chủ yếu các phƣơng pháp: Thu thập tài liệu, phân tích, suy luận, tổng hợp, đánh giá tài liệu về lƣợc đồ khối, mô hình dữ liệu dạng khối, lƣợc đồ khối Từ đó đề xuất ra một số tính chất của giàn giao của các tập đóng. .. lý thuyết cho mô hình dữ liệu dạng khối 4 CHƯƠNG 1: MÔ HÌNH DỮ LIỆU QUAN HỆ VÀ GIÀN GIAO CỦA CÁC TẬP ĐÓNG - Mô hình dữ liệu quan hệ là một trong những mô hình đƣợc quan tâm nhiều nhất hiện nay Nhiều tác giả đã quan tâm nghiên cứu và đã thu đƣợc các kết quả tốt Một trong các kết quả này là giàn giao và các tính chất của nó - Mô hình dữ liệu quan hệ và giàn giao của nó sẽ đƣợc trình bày trong phần dƣới... kết luận và tài liệu tham khảo 3 Chương 1: Trình bày các khái niệm cơ bản nhất về mô hình quan hệ: Trình bày các phép toán đại số trên mô hình quan hệ, các vấn đề về phụ thuộc hàm, bao đóng, khóa và giàn giao của các tập đóng trong mô hình quan hệ Chương 2: Giới thiệu tổng quan về mô hình dữ liệu dạng khối: Định nghĩa khối, lƣợc đồ khối, lát cắt, khóa của khối, các phép toán đại số trên khối, đại số... rõ hơn về mô hình dữ liệu quan hệ và giàn giao các vấn đề này đƣợc trình bày ở chƣơng 1 đã đƣợc nói tới trong tài liệu [5], [9], [13] 1.1 Mô hình dữ liệu quan hệ 1.1.1 Tổng quan về mô hình dữ liệu quan hệ Khái niệm toán học làm nền tảng cho mô hình dữ liệu quan hệ là các quan hệ theo lý thuyết tập hợp Đó là tập con của tích Đề Các của một danh sách các miền, mỗi miền đơn giản là một tập các giá trị... theo tập con T trên tập không rỗng bất kỳ U có các điểm bất động là mỗi tập con tùy ý chứa T của U, Fix( ) = {TX | X  U } 25 Thật vậy, theo định nghĩa của , ta có, (TX)=TTX=TX Ngƣợc lại, nếu (M) = M với M  U thì ta có, (M) = TM = M Từ đây suy ra T  M 1.6.5 Giàn giao của các tập đóng trong mô hình quan hệ Định nghĩa Giả sử G là một họ các tập con đóng với phép giao của tập hữu hạn U, cụ thể là giao của. .. thiết lập tƣơng quan giữa các tập các phần tử cực đại của giàn giao và tập sinh Bổ đề (Các tập cực đại trong giàn giao và tập sinh) Với mọi giàn giao G trên tập hữu hạn U ta có MAX (Gen(G)) = MAX(G\{U}) Chứng minh 27 Giả sử X  MAX(Gen(G)) Khi đó, do X ≠ U nên X  G \ {U} Nếu Y  G \ {U} và X  Y thì theo định nghĩa của tập sinh, Y đƣợc biểu diễn qua một giao của các phần tử trong Gen(G), Y= Z1 ∩ Z2... quan hệ R  ( A, B, C, D) và tập phụ thuộc hàm F  {A  C, AB  DC}, khoá là {A, B} Khi đó thuộc tính A, B gọi là thuộc tính khoá, còn thuộc tính D, C gọi là thuộc tính không khóa 16 1.6 Giàn giao của các tập đóng trong mô hình quan hệ 1.6.1 Ánh xạ đóng Định nghĩa 1.9 Cho tập U và ánh xạ f: Subset(U)  Subset(U) đƣợc gọi là đóng trên tập U nếu với mọi tập con X, Y  U ta có các tính chất (C1)-(C3) sau