Bài giảng Toán rời rạc: Đếm các phần tử - TS. Nguyễn Đức Đông

• Một cách sắp xếp có thứ tự

Đếm phần tử

• Các ngun lí

• Hốn vị tổ hợp

• Hệ số nhị thức

• Nguyên lý lồng chim bồ câu

• Thuật tốn chia để trị

Lý thuyết tổ hợp phần quan trọng toán rời rạc, chuyên nghiên cứu xếp đối tượng

• Liệt kê, đếm đối tượng có tính chất Đếm phần tử xuất nhiều toán học tin học, dùng để giải nhiều vấn đề dùng nhiều tính xác suất biến cố

Ví dụ, cần đếm số cách khác đặt mật thỏa mãn điều kiện: Độ dài ký tự không vượt ký tự ký tư lấy từ tập

[‘0’ ’9’,’a’ ’z’]

• Tạo cách xếp đối tượng thỏa mãn tính chất

Các nguyên lí phép đếm (1)

Quy tắc cộng

• Quy tắc cộng: Giả sử có hai cơng việc Việc thứ làm

𝑛1 cách, việc thứ hai làm 𝑛2 cách, có 𝑛1 + 𝑛2 cách làm hai cơng việc

• Ví dụ: Cần chọn đại biểu nam sinh viên có điểm trung bình từ 8.0 trở lên nữ sinh viên có điểm trung bình từ 7.5 trở lên Biết có 20 sinh viên nam thỏa mãn tiêu chuẩn, 25 nữ sinh viên thỏa mãn tiêu chuẩn Như có 20 + 25 cách chọn đại biểu

• Quy tắc phát biểu dạng ngôn ngữ tập hợp sau: Nếu 𝐴1, 𝐴2, … , 𝐴𝑛 tập rời nhau, số phần tử hợp tập tổng số phần tử tập thành phần

Quy tắc nhân

• Quy tắc nhân: Giả sử có nhiệm vụ tách làm hai cơng việc Việc thứ làm 𝑛1 cách, việc thứ hai làm 𝑛2 cách, có 𝑛1 × 𝑛2 cách làm nhiệm vụ

• Ví dụ: Cần chọn hai đại biểu, nam sinh viên có điểm trung bình từ 8.0 trở lên nữ sinh viên có điểm trung bình từ 7.5 trở lên Biết có 20 sinh viên nam thỏa mãn tiêu chuẩn, 25 nữ sinh viên thỏa mãn tiêu chuẩn Như có 2025 cách chọn đại biểu

• Quy tắc phát biểu dạng ngơn ngữ tập hợp sau: Chọn phần tử tích Đề-các 𝐴1 × 𝐴2 × ⋯ × 𝐴𝑛 tiến hành cách chọn phần tử 𝐴1, phần tử 𝐴2, …, phần tử 𝐴𝑛

1) Đếm số cách khác đặt mật thỏa mãn điều kiện sau:

Độ dài ký tự khơng vượt ký tự; Mỗi ký tư lấy từ tập [‘0’ ’9’,’a’ ’z’]

2) Hãy cho biết biến k nhận giá trị sau chạy đoạn chương trình đây:

Các ngun lí phép đếm (3)

• Quy tắc cộng dẫn đến trùng lặp số trường hợp bị tính hai lần Để tính số cách thực nhiệm vụ, ta cộng số cách làm hai việc trừ số cách làm bị tính hai lần  nguyên lý bù trừ

• Ví dụ: đếm số lượng xâu nhị phân độ dài 8, bắt đầu bit kết thúc hai bit 00

128 (số xâu bắt đầu 1) + 64 (số xâu kết thúc 00) – 32 (số xâu bắt đầu kết thúc 00) = 160

• Theo nguyên lý tập hợp: 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝐴 + 𝐵 − |𝐴 ∩ 𝐵|

• Hốn vị tập đối tượng khác cách xếp có thứ tự đối tượng

• Một cách xếp có thứ tự 𝑟 (𝑟 ≤ 𝑛) phần tử 𝑛 phần tử gọi chỉnh hợp chập 𝒓 của 𝒏 phần tử Hoán vị trường hợp đặc biệt 𝑟 = 𝑛

• Cho 𝑆 = {1,2,3} Cách xếp (3,1,2) hoán vị 𝑆, cách xếp (3,1) chỉnh hợp chập 𝑆

• Định lý: Số chỉnh hợp chập 𝑟 𝑛 phần tử

𝑃 𝑛, 𝑟 = 𝑛 𝑛 − 𝑛 − … 𝑛 − 𝑟 + 𝑃 𝑛, 𝑛 = 𝑛!