Đang tải... (xem toàn văn)
1 Không gian riêng của ma trận và tự đồng cấu. 2 Chéo hóa ma trận[r]
(1)Giá trị riêng vec-tơ riêng
(2)Nội dung
1 Không gian riêng ma trận tự đồng cấu
2 Chéo hóa ma trận
3 Chéo hóa trực giao
Ma trận trực giao
(3)Không gian riêng ma trận tự đồng cấu
Nội dung
1 Không gian riêng ma trận tự đồng cấu
2 Chéo hóa ma trận
3 Chéo hóa trực giao Ma trận trực giao
(4)Giá trị riêng, vec-tơ riêng, không gian riêng
ChoA∈Mn,n, tự đồng cấu tuyến tínhT:Rn→Rn,v7→Av
Nếu tồn tạiλ∈Rvàx∈Rn\{0} sao cho
Ax=λx,
thìλđược gọi mộtgiá trị riêng ma trậnA(hay tự đồng cấuT),
vàxđược gọi mộtvec-tơ riêng ma trậnA(hay tự đồng cấuT)
tương ứng vớiλ
Nếuλlà giá trị riêng củaA, tập hợp
{0} ∪ {x| xlà vec-tơ riêngAtương ứng vớiλ}
được gọi làkhông gian riêng ma trậnA(hay tự đồng cấuT)
(5)Không gian riêng ma trận tự đồng cấu
Phương pháp tính
ChoAlà ma trận cỡn×n
Giả sửλlà giá trị riêng củaA Khi tồn x∈Rn\{0}sao cho
Ax=λx,
hay tương đương
(λIn−A)x=0.
Dox̸=0, nên ta có
det(λIn−A) =0.
Phương trình gọi làphương trình đặc trưng ma trậnA
Như vậy:
Giá trị riêng củaAlà nghiệmλcủa phương trình đặc trưng củaA
Mỗi vec-tơ riêng củaAtương ứng với λlà nghiệm x̸=0của
(λIn−A)x=0.
Không gian riêng củaAtương ứng vớiλlà tập nghiệm
(6)Ví dụ
Câu hỏi: Tìm giá trị riêng khơng gian riêng tương ứng ma trận
A= [
−1 0
] .
Trả lời: Phương trình đặc trưng củaAlà det(λI2−A) =0⇔
λ+1 0 λ−1
=0⇔(λ+1)(λ−1) =0.
Ta suy giá trị riêng củaAlàλ1=−1 vàλ2=1 Vớiλ1=−1, ta có
(λ1I2−A)x=0⇔00 −02x=0⇔x=
[ t
0
]
(vớit∈R) Không gian riêng tương ứng vớiλ1=−1 là{[t 0]T : t∈R
}
Vớiλ2=1, ta có
(λ2I2−A)x=0⇔20 00x=0⇔x=
[
0
s ]
(vớis∈R) Không gian riêng tương ứng vớiλ2=1 là{[0 s]T : s∈R
}
(7)Không gian riêng ma trận tự đồng cấu
Tính chất
NếuAvàBlà hai ma trận đồng dạng, chúng có giá trị riêng
Chứng minh:
DoAvàBđồng dạng, nên tồn ma trận khả nghịchPsao cho
B=P−1AP.
Theo tính chất định thức, ta có
|λI−B|=|λI−P−1AP|=|P−1(λI)P−P−1AP| =|P−1(λI−A)P|
=|P−1||λI−A||P|
=
|P||λI−A||P| =|λI−A|.
Như vậyAvàBcó phương trình đặc trưng,
(8)Tính chất
ChoAlà ma trận vuông
Giả sửλ1, , λklà giá trị riêng đôi khác củaA,
vớiv1, ,vklà vec-tơ riêng tương ứng
Khi đó, vec-tơv1, ,vkđộc lập tuyến tính
Chứng minh:Quy nạp theok
Vớik=1: Dov1̸=0, nên{v1}độc lập tuyến tính Giả sửv1, ,vk−1độc lập tuyến tính Xét hệ thức
c1v1+ .+ckvk=0 (c1, ,ck∈R).
NhânAvào hai vế hệ thức trên, ta nhận
c1Av1+ .+ckAvk=0 ⇔ c1λ1v1+ .+ckλkvk=0.
Hệ
c1(λ1−λk)v1+ .+ck−1(λk−1−λk)vk−1=0.
Dov1, ,vk−1độc lập tuyến tính, vàλ1, , λkđơi khác nhau, nên ta có
c1= .=ck−1=0. Như vậyckvk=0, dovk̸=0, nênck=0
(9)Không gian riêng ma trận tự đồng cấu
Hệ quả
ChoA∈Mn,n, tự đồng cấu tuyến tínhT:Rn→Rn,v7→Av
NếuAcóngiá trị riêng đôi khác nhauλ1, , λn,
vàv1, ,vnlà vec-tơ riêng tương ứng,
thì véc-tơ lập thành sở củaRn.
Ma trận củaT sở ma trận đường chéo
D=diag(λ1, , λn),
và nữa, ma trậnAđồng dạng với ma trậnD
NếuAlà ma trận tam giác,
(10)Nội dung
1 Không gian riêng ma trận tự đồng cấu
2 Chéo hóa ma trận
3 Chéo hóa trực giao Ma trận trực giao