Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)Định luật Gauss
Lê Quang Nguyên
www4.hcmut.edu.vn/~leqnguyen nguyenquangle@zenbe.com
Nội dung Thơng lượng dịng nước
2 Thơng lượng điện trường (điện thơng) Định luật Gauss
4 Dạng vi phân ñịnh luật Gauss Bài tập áp dụng
1 Thông lượng dịng nước –
• Xét dịng nước chảy thẳng ñều với vận tốc v, mặt phẳng (S), đặt vng góc với dịng chảy
• Thơng lượng Φ nước qua (S) (thể tích nước qua (S) đơn vị thời gian):
• Ф= v.S
v
S
Thểtích nước
trong hình trụ
này qua
(S)
giây
1 Thông lượng dịng nước –
• Nếu (S) tạo góc với dịng nước thẳng đều, • thơng lượng nước qua (S) là:
• Dấu Ф phụ thuộc vào góc α. v
α n
S n v
vS
⋅ = =
Φ cosα
Thểtích nước
trong hình trụ
nghiêng ñi qua (S)
trong
(2)Mặt cong (S)
Dòng nước
1 Thơng lượng dịng nước – • Dịng nước bất kỳ, mặt cong (S) • Chia (S) làm nhiều phần nhỏdiện tích dS.
dS
v n
1 Thơng lượng dịng nước –
• Có thể coi phần dS phẳng, dịng chảy qua thẳng Do đó,
• thơng lượng qua dS là:
• v, n là vectơ vận tốc pháp vectơ dS.
• Thông lượng qua cảmặt cong (S) sẽlà tổng thông lượng qua tất cảcác phần dS:
dS n v vdS
d
⋅ = =
Φ cosα
( )∫ ∫ Φ= ⋅ =
Φ
S
dS n v
d
v
1 Thơng lượng dịng nước –
• Nếu mặt (S) mặt kín ta quy ước chọn n hướng ngồi mặt (S)
• Do thơng lượng nước qua mặt kín = lưu lượng nước ñi bên trừ ñi lưu lượng nước
đi vào phía bên
Thông
lượng
là dương
Thông
lượng
vào âm
n
n v
2 Thơng lượng điện trường – Định nghĩa
• Tương tự, định nghĩa thơng lượng
ñiện trường qua mặt (S) là:
• với E, n là vectơ điện trường pháp vectơ dS.
• Điện thơng số đại số
• Đối với mặt (S) kín, pháp vectơ chọn hướng ngồi
∫ ∫ Φ= ⋅ =
Φ
)
( S E ndS
d
(3)2 Thơng lượng điện trường – Ý nghĩa
• Điện thơng qua mặt dS vng góc với điện trường là dΦ= EdS,
• dΦ= số đường sức đi qua dS.
• Do điện thơng Φ qua (S) tổng số ñường sức qua (S)
• Φ > đường sức theo chiều pháp vectơ,
• Φ< chúng theo chiều ngược lại
• Φ qua mặt kín = số đường sức trừ số đường sức ñi vào
E q1
q3
q2
q5 q4
3a Định luật Gauss –
• Điện thơng qua mặt kín (S) tổng
điện tích bên (S) chia cho ε0:
0 )
( ε
in S
S
Q dS n E⋅ = =
Φ ∫
1 q q q
Qin = + −
Điện trường tất điện tích có mặt tạo ra,
chỉ điện tích bên (S)
đóng góp vào điện thơng qua (S) Tại sao?
3a Định luật Gauss –
Ф>
q > 0
Ф<
q < 0
Ф=
q
3b Định luật Gauss & dòng nước –
Nước vào
Lưu lượng qua (S) =
Mặt kín
(S)
Nước
(4)3b Định luật Gauss & dòng nước –
Nước vào
Lưu lượng qua (S) >
Mặt kín
(S)
Nước
Nước vào < Nước
Cá phun nước ~ điện tích dương
3b Định luật Gauss & dòng nước –
Nước vào
Lưu lượng qua (S) <
Mặt kín
(S)
Nước
Nước vào > Nước
Cá uống nước ~ điện tích âm
3b Định luật Gauss & dòng nước –
Nước vào
Lưu lượng qua (S) =
Mặt kín
(S)
Nước
Nước vào = Nước
Cáở ngồi khơng thể thay ñổi lưu lượng
4a Divergence (div) – ñịnh nghĩa
• Xét mặt kín nhỏ (∆S) bao quanh một điểm M(x,y,z).
• Thể tích giới hạn mặt kín ∆V và điện thơng qua (∆S) là∆Φ
M(x,y,z) (∆S)
∆V
(5)4a Divergence (div) – định nghĩa (tt)
• Giới hạn ∆Ф/∆V (∆S) tiến gần tới M
ñược gọi divergence ñiện trường M:
• Như divergence thơng lượng tính
đơn vị thể tích (∆S) V
E
V ∆
∆Φ =
→ ∆lim0 div
4b Divergence tọa ñộ Descartes
• Trong tọa độ Descartes divE tại M(x,y,z) có biểu thức:
• đạo hàm riêng ñược thực vịtrí M(x,y,z).
z E y
E x
E
E x y z
∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =
div
4c Dạng vi phân ñịnh luật Gauss
• Áp dụng định luật Gauss cho (∆S), có chứa điện tích ∆Q:
• Chia hai vế cho thể tích ∆V mặt kín lấy giới hạn ∆V tiến tới không:
0
ε Q ∆ = ∆Φ
V Q V V
V ∆
∆ =
∆ ∆Φ
→ ∆ →
∆lim0 lim0
0 div
ερ = E
Mật độ điện tích
ởM
5a Bài tập – ñối xứng trụ
• Cho dây khơng dẫn điện, dài vơ hạn, tích
điện với mật độ λ > Tìm điện trường ở khoảng cách r tính từtrục dây
• Nhận xét:
• Dây có tính đối xứng trụ, tức đối xứng trục
(6)5a Trảlời BT –
• Do tính đối xứng trụ, điện trường có tính chất
sau:
• Đường sức ñiện trường ñường thẳng xuyên tâm mặt phẳng cắt trục đối xứng • Xét mặt trụ đồng trục với dây;
• Điện trường vng góc với mặt trụ có độ
lớn khơng đổi
5a Trảlời BT –
E
λ
E E
l
Nhìn từtrên
xuống
Nhìn ngang
Mặt trụ ñồng trục
r
5a Trảlời BT –
• Xét mặt kín (S) gồm mặt trụ đồng trục với dây, có bán kính r chiều cao l và hai đáy
• Điện thơng qua (S) điện thơng qua mặt bên hình trụ:
• Mặt khác, theo định luật Gauss thì:
• Do đó:
rl E dS
E = ⋅2π =
Φ ∫
0 ε
λ ε
l Qin ⋅
= = Φ
r E
0 2πε
λ =
5b Bài tập – ñối xứng phẳng
• Cho phẳng vơ hạn, khơng dẫn điện, tích
điện với mật độσ > Xác ñịnh ñiện trường ở khoảng cách r tính từbản phẳng
• Nhận xét:
• Hệcó tính đối xứng mặt phẳng qua tích điện,
(7)5b Trả lời BT – • Điện trường có đặc điểm:
• Đường sức đường thẳng song song vng góc với phẳng tích điện, có chiều đối xứng qua
• Trên mặt phẳng song song với điện trường có độlớn khơng đổi
5b Trảlời BT –
E Mặt trụkín vng góc với
Đáy (A) E
A
Nhìn ngang
5b Trả lời BT –
• Xét mặt kín (S) mặt trụvng góc với bản, nhận làm mặt phẳng đối xứng
• Điện thơng qua (S) hai lần điện thơng qua mặt đáy (A):
• Mặt khác, theo định luật Gauss thì: EA dS
E dS n E
A A
S =2 ( ) ⋅ =2 ( ) =2
Φ ∫ ∫
0 ε
σ ε
A Qin
S = =
Φ
0 2ε
σ = E
5c Bài tập – đối xứng cầu
• Một vỏ cầu mỏng bán kính R có điện tích q > phân bố bề mặt Tìm điện trường vỏ
cầu tạo bên bên ngồi • Nhận xét:
• Hệcó tính đối xứng cầu tâm vỏcầu, • điện trường hệ tạo có tính đối xứng