Giả sử hàng ngày bạn Tiến dành x phút để tập chạy.[r]
(1)Các dạng phương trình học
1) 3$ − =
2) *+,-. + $ = + *,.+ -3) 2$ − $ + = 4) $ +
+,1 = + +,1
ÞPhương trình bậc ẩn có dạng 2$ + = ÞPhương trình đưa dạng 2$ + =
ÞPhương trình tích
Phương trình có khác so với phương trình cịn lại?
(2)(3)BÀI 5: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU 1 Ví dụ mở đầu
Giải phương trình: ! + $%## = + $%## (*) Chuyển biểu thức chứa ẩn sang vế
! +
! − −
1
! − = Thu gọn vế trái, ta tìm
! =
(4)1 Ví dụ mở đầu
Giải phương trình
! + #
$%# = + #
$%# (*)
Chuyển biểu thức chứa ẩn sang vế
! +
! − −
1
! − = Thu gọn vế trái, ta tìm
! =
Nhận xét: ! = khơng nghiệm phương trình (*) giá trị hai vế không xác định
+ Khi biến đổi PT mà làm mẫu chứa ẩn PT PT nhận khơng tương đương với phương trình ban đầu
+ Khi giải PT chứa ẩn mẫu, ta phải ý đến điều kiện xác
(5)2 Tìm điều kiện xác định phương trình
+ Các giá trị ẩn mà mẫu thức nhận giá trị
nghiệm phương trình
Điều kiện xác định (ĐKXĐ)
của PT điều kiện để tất mẫu thức PT khác
Ví dụ Tìm điều kiện xác định phương trình sau: a) !"#! = !%&!%# b) !"(' = (!"#!"( − *
Ta thấy
* − ≠ ℎ0 * ≠
và * + ≠ ℎ0 * ≠ −1 nên ĐKXĐ phương trình là:
* ≠ ±1
Ta thấy
* − ≠ ℎ0 * ≠
nên ĐKXĐ phương trình là:
(6)3 Giải phương trình chứa ẩn mẫu Ví dụ Giải phương trình !
!"# =
!%&
!%# (*)
Giải ĐKXĐ: ' ≠ ±1
(*) ⇔ !"#! !%#!%# = !%&!"# !"#!%#
⇔ ' =
⇒ ' ' + = ' + ' − (**) (∗∗) ⇔ '4 + ' = '4 + 3' −
⇔ 2' = Tìm ĐKXĐ
Quy đồng mẫu hai vế phương trình khử mẫu
Giải phương trình vừa nhận
Kiểm tra ĐKXĐ kết luận
(Nhận)
Vậy tập nghiệm phương trình (*) là: =
ở bước ta dùng kí hiệu suy ra (=>) khơng dùng kí hiệu
(7)Bước 1: Tìm ĐKXĐ phương trình
Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế phương trình khử mẫu
Bước 3: Giải phương trình vừa nhận
Bước 4: (Kết luận) Trong giá trị ẩn tìm bước 3, giá trị thỏa mãn ĐKXĐ nghiệm phương trình cho
(8)4 Áp dụng
Ví dụ Giải phương trình !
"#$ =
$"#&
"#$ − ( (1) Giải
ĐKXĐ: ( ≠ (1) ⟺ !
"#$ =
$"#& "#$ −
" "#$ "#$
⇒ = 2( − − ( ( − (2) (2) ⟺ = 2( − − ($ + 2(
⟺ − 2( + + ($ − 2( = ⟺ ( = (Loại)
(9)Bài tập 30 Giải phương trình: a) "#$! + = "#($#" ⟺ !
"#$ + =
(#"
"#$ (1)
Giải ĐKXĐ: * ≠
(1) ⟺ "#$! + ( "#$"#$ = (#""#$
⇒ + * − = − * (2) (2) ⟺ + 3* − = − *
⟺ 3* + * = + −
⟺ * = (Loại)
(10)Bài tập 31 Giải phương trình: a) !
"#! −
%"& "'#! =
)"
"&*"*! ⟺ !
"#! −
%"&
"#! "&*"*! =
)"
"&*"*! (1)
Giải
ĐKXĐ: , ≠
(1) ⟺ "&*"*!
"#! "&*"*! −
%"&
"#! "&*"*! =
)" "#! "&*"*! ⇒ ,) + , + − 3,) = 2, , − (2) (2) ⟺ ,) + , + − 3,) − 2,) + 2, =
⟺ −4,) − , + 4, + =
(Loại)
Vậy tập nghiệm phương trình (1) là: = − !
6
⟺ −4,) + 3, + =
⟺ −, 4, + + 4, + = ⟺ 4, + + −, + =
⟺ 4, + = ℎ8ặ: − , + = 4, + = ⟺ , = −1
4 −, + = ⟺ , =
(11)(12)1 Biểu diễn đại lượng biểu thức chứa ẩn
Ví dụ 1 Gọi vận tốc ô tô ! (#$/ℎ) Quãng đường ô tô ?
( = * +
* = ! = 5! Quãng đường ô tô 5! (#$)
Thời gian để ô tô quãng đường 100 km?
t = * ( + = 100
(13)?1 Giả sử hàng ngày bạn Tiến dành x phút để tập chạy. Hãy viết biểu thức với viến x biểu thị:
a) Quãng đường Tiến chạy x phút, chạy với vận tốc trung bình 180m/phút
b) Vận tốc trung bình Tiến (tính theo km/h), x phút Tiến chạy quãng đường 4500m
! = # $ℎú! ;
( = 180 ,/$ℎú! ; =?
= 180#
Giải
a) Quãng đường Tiến chạy x phút, chạy
với vận tốc trung bình 180 m/phút 180 #(,) ! = # $ℎú! ; = 4500 (,)
( =? ,/$ℎú! ;
! = # $ℎú!
= #
60 (ℎ);
= 4500 , = 4,5 7,
( = 4,5# 60
= 270 # b) Vận tốc trung bình Tiến (tính theo km/h),
trong x phút Tiến chạy quãng đường 4500m
:,; < =>
(14)?2 Gọi x số tự nhiên có chữ số
Hãy lập biểu thức biểu thị số tự nhiên có cách:
a) Viết thêm chữ số vào bên trái số x b) Viết thêm chữ số vào bên phải số x
Ví dụ số ban đầu là 12
Ví dụ số ban đầu 12 Số 512=5.100+12
Giải
a) Số tự nhiên có viết thêm
chữ số vào bên trái số x 5.100+x Ví dụ số ban đầu là 12 Ví dụ số ban đầu 12 Số 125=12.10+5 b) Số tự nhiên có viết thêm
(15)2 Ví dụ giải tốn cách lập phương trình Ví dụ 2: (Bài tốn cổ)
Vừa gà vừa chó Bó lại cho trịn Ba mươi sáu Một trăm chân chẵn
Hỏi có gà, chó?
Các đại lượng
Số
Số chân
Số gà Số chó
Số chân gà Số chó
Mối quan hệ đại lượng:
Tổng số gà chó: 36
Tổng số chân gà chân chó:100 chân Hỏi số gà, số chó?
Gà Chó
Số Số chân
! 36 − !
2! 36 − !
(16)Gà Chó
Số Số chân
! 36 − !
2! 36 − ! Giải
Gọi số gà x (con, ! ∈ Ν∗; ! < 36) Khi số chân gà 2x (chân)
Cả gà chó có 36 nên số chó 36 − ! (con) Số chân chó 36 − ! ,ℎâ/
Vì tổng số chân 100 nên ta có phương trình:
2! + 36 − ! = 100
Giải phương trình
2! + 36 − ! = 100 ⇔ 2! + 144 − 4! = 100 ⇔ −2! = 100 − 144
⇔ −2! = −44 ⇔ ! = 22 Nhận
Vậy số gà 22 (con)
Từ suy số chó 36-22=14 (con)
Bước 1: Lập phương trình
Bước 2: Giải phương trình
(17)Các bước giải tốn bằng cách lập phương trình:
Bước 1: Lập phương trình:
ü Chọn ẩn số đặt điều kiện cho ẩn số
ü Biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn đại lượng biết
ü Lập phương trình biểu thị mối quan hệ đại lượng Bước 2: Giải phương trình
(18)2 Ví dụ giải tốn cách lập phương trình
Các đại lượng
Số Số chân
Số gà Số chó
Mối quan hệ đại lượng: Tổng số gà chó: 36
Tổng số chân gà chân chó:100 chân Hỏi số gà, số chó?
Nếu gọi số chó x
Gà Chó
Số Số chân
! 36 − !
4! 36 − !
Phương trình 36 − ! + 4! = 100
Gà Chó
Số Số chân
100 − ! !
100 − ! ! Nếu gọi số chó x
Phương trình + , +
- /+
(19)Bài tập 34 (SGK-Tr.25)
Mẫu số phân số lớn tử số 3 đơn vị. Nếu tăng cả tử và mẫu thêm 2 đơn vị phân số mới bằng phân số !" Tìm phân số ban đầu
Giải
Gọi x tử số phân số cần tìm Điều kiện # ∈ % Khi phân số cần tìm &'(&
Theo đề ta có phương trình: # +
# + =
2 ⟹ # + = # + ⟺ # = Vậy phân số cần tìm !
(20)Ví dụ 3: Một xa máy khởi hành từ Hà Nội Nam Định với vận tốc 35km/h Sau 24 phút, tuyến đường đó, tô xuất phát từ Nam Định Hà Nội với vận tốc 45km/h Biết quãng đường Nam Định -Hà Nội dài 90km Hỏi sau bao lâu, kể từ xe máy khởi hành, hai xe gặp nhau?
Xe máy: V = 35km/h Ơtơ: V = 45km/h
24 ph 90km
Hà Nội Nam Định
Quãng đường = Vận tốc x Thời gian
Vận tốc (km/h)
Thời gian (h)
Quãng đường (km)
Xe máy Ơ tơ
35 45
! ! −
5
35! 45 ! −
5
Hai xe chuyển
động ngược chiều
Đến gặp tổng quãng đường hai xe
quãng đường Hà Nội – Nam Định
35! + 45 ! −
(21)Ví dụ 3: Một xa máy khởi hành từ
Hà Nội Nam Định với vận tốc 35km/h Sau 24 phút, tuyến đường đó, tô xuất phát từ Nam Định Hà Nội với vận tốc 45km/h Biết quãng đường Nam Định - Hà Nội dài 90km Hỏi sau bao lâu, kể từ xe máy khởi hành, hai xe gặp nhau?
Vận tốc (km/h)
Thời gian (h)
Quãng đường (km) Xe máy Ơ tơ 35 45 !
! −
35! 45 ! −
5
Giải Đổi: 24 phút =' ( (h)
- Gọi thời gian xe máy từ Hà Nội đến gặp ô tô x (h)
- (Đk: ! > '
( )
- Thời gian ô tô từ Nam định đến gặp xe máy ! − '
( (h)
- Quãng đường xe máy từ Hà Nội đến gặp ô tô 35! (km)
- Quãng đường ô tô từ Nam Định đến gặp xe máy 45 ! − '(
(km)
Vì hai xe chuyển động ngược chiều
nên đến gặp nhau, tổng quãng
đường hai xe quãng
(22)Vận tốc (km/h) Thời gian (h) Quãng đường (km) Xe máy Ơ tơ 35 45 !
! −
35!
45 ! −
Giải Đổi: 24 phút = ' ( (h)
- Gọi thời gian xe máy từ Hà Nội đến gặp ô tô x (h)
- (Đk: ! > ' ( )
- Thời gian ô tô từ Nam định đến gặp xe máy ! − '
( (h)
- Quãng đường xe máy từ Hà Nội đến gặp ô tô 35! (km)
- Quãng đường ô tô từ Nam Định đến gặp xe máy 45 ! − '(
(km)
Vì hai xe chuyển động ngược chiều nên đến gặp nhau, tổng quãng
đường hai xe quãng
đường Hà Nội – Nam Định, ta có phương trình: 35! + 45 ! − '( = 90 Giải phương trình:
35! + 45 ! −
5 = 90 ⟺ 35! + 45! − 18 = 90
⟺ x = 27 20 Vậy sau '3
'4 giờ, kể từ lúc xe máy khởi hành hai xe gặp
⟺ 80! =108
(23)Vận tốc (km/h)
Thời gian
(h) Qng (km)đường Xe máy
Ơ tơ
35 45
! ! −
5
35! 45 ! −
5
Vận tốc (km/h)
Thời gian
(h) Quãng (km)đường Xe máy
Ơ tơ
35 45
' 90 − '
' 35 90 − '
45
35! + 45 ! −
5 = 90
' 35 −
90 − ' 45 =
(24)Bài tập 37: Lúc giờ, xe máy khởi hành từ A Sau ô tô xuất phát từ A với vận tốc lớn vận tốc xe máy 20km/h Biết hai xe gặp lúc 30 phút ngày, hỏi hai xe gặp điểm cách A km?
Vận tốc (km/h) Thời gian
(h)
Quãng đường (km)
Xe máy Ô tô
3,5 2,5
! ! + 20
3,5! 2,5 ! + 20
Hai xe chiều
Đến gặp nhau, quãng đường hai xe nhau, ta có phương trình
(25)Bài tập 37: Lúc giờ, xe máy khởi hành từ A Sau ô tô xuất phát từ A với vận tốc lớn vận tốc xe máy 20km/h Biết hai xe gặp lúc 30 phút ngày, hỏi hai xe gặp điểm cách A km?
Vận tốc (km/h) Thời gian
(h) Qng đường (km) Xe máy Ơ tơ 3,5 2,5 ! ! + 20
3,5! 2,5 ! + 20
Giải
Gọi vận tốc xe máy x (km/h) (Đk: ! > )
Vận tốc ô tô ! + 20 (km/h)
Thời gian xe máy đến lúc hai xe gặp
9 30 phút – = 3giờ 30 phút = 3,5 Thời gian ô tô đến lúc hai xe gặp
3,5 – = 2,5
Quãng đường xe máy đến lúc hai xe gặp 3,5! (km)
Quãng đường ô tô đến lúc hai xe gặp 2,5 ! + 20 (km)
Vì hai xe chuyển động chiều nên đến gặp nhau, quãng đường hai xe nhau, ta có phương trình:
(26)Vận tốc (km/h) Thời gian
(h) Quãng đường (km) Xe máy Ơ tơ 3,5 2,5 ! ! + 20
3,5! 2,5 ! + 20
Giải
Gọi vận tốc xe máy x (km/h) (Đk: ! > )
Vận tốc ô tô ! + 20 (km/h)
Thời gian xe máy đến lúc hai xe gặp
9 30 phút – = 3giờ 30 phút = 3,5 Thời gian ô tô đến lúc hai xe gặp
3,5 – = 2,5
Quãng đường xe máy đến lúc hai xe gặp 3,5! (km)
Quãng đường ô tô đến lúc hai xe gặp 2,5 ! + 20 (km)
Vì hai xe chuyển động chiều nên đến gặp nhau, quãng đường hai xe nhau, ta có phương trình:
3,5! = 2,5 ! + 20
Giải phương trình:
3,5! = 2,5 ! + 20
⟺ 3,5! − 2,5 = 50
Vậy hai xe gặp điểm cách A là:
50.3,5 = 175 (km)
(27)Bài tập 46: Một người lái ô tô dự định từ A đến B với vận tốc 48 km/h Nhưng sau với vận tốc ấy, ô tô bị tàu hỏa chắn
đường 10 phút Do đó, để kịp đến B thời gian định, người
đó phải tăng tốc thêm km/h Tính độ dài quãng đường AB?
Vận tốc (km/h)
Quãng đường
(km)
Thời gian Dự
định AB
Thực tế
AC BC
48 48 54
! 48 ! − 48
! 48 ! − 48
54 Người đến B thời gian
(28)Bài tập 46: Một người lái ô tô dự định từ A đến B với vận tốc 48 km/h Nhưng sau với vận tốc ấy, ô tô bị tàu hỏa chắn đường 10 phút Do đó, để kịp đến B thời gian định, người phải tăng tốc thêm km/h Tính độ dài quãng đường AB?
Vận tốc (km/h) Quãng đường (km) Thời gian Dự định AB Thực tế AC BC 48 48 54 ! 48 ! − 48
! 48
1 ! − 48
54
Giải Đổi: 10 phút = '
( (h)
Gọi độ dài quãng đường AB
! (km) (Đk: ! > 48 )
Thời gian người dự định quãng
đường AB +,* (h)
Thực tế, đầu, người với vận tốc 48 km/h nên quãng
đường lại là:
! − 48.1 = ! − 48
Trên quãng đường cịn lại, người
đi với vận tốc: 48+6=54 (km/h)
Thời gian người qng đường cịn lại với vận tốc là: */+,0+ (h)
Thời gian thực tế người quãng đường AB (kể thời gian bị
tàu hỏa chắn) là:
! 48 =
! − 48
(29)Giải Đổi: 10 phút = ! " (h) Gọi độ dài quãng đường AB # (km) (Đk: # > 48 )
Thời gian người dự định quãng đường AB ()' (h)
Thực tế, đầu, người với vận tốc 48 km/h nên quãng đường lại là:
# − 48.1 = # − 48
Trên quãng đường cịn lại, người với vận tốc: 48+6=54 (km/h)
Thời gian người qng đường cịn lại với vận tốc là: '.()/( (h) Thời gian thực tế người quãng đường AB (kể thời gian bị tàu hỏa chắn) là:
# − 48
54 + +
6 (ℎ)
Vận tốc (km/h)
Quãng
đường (km)
Thời gian Dự
định AB Thực
tế AC BC 48 48 54 # 48 # − 48
# 48
1 # − 48
54
Người đến B thời gian định nên ta có pt:
# 48 =
# − 48
54 + + Giải phương trình:
# 48 =
# − 48
54 + + ⇔ 54# = 48 # + 15
⇔ 6# = 720 ⇔ x = 120 (TMĐK)
(30)(31)