Xác suất thống kê a

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM XÁC SUẤT –THỐNG KÊ A DIỆP HOÀNG ÂN AN GIANG, THÁNG NĂM 2016 Tài liệu “Xác suất – thống kê A” tác giả Diệp Hồng Ân cơng tác khoa Sư phạm thực Tác giả báo cáo nội dung Hội đồng Khoa học Đào tạo Khoa thông qua ngày …/6/2016, Hội đồng Khoa học Trường Đại học An Giang thông qua ngày …./…./2016 Tác giả biên soạn DIỆP HOÀNG ÂN Trưởng đơn vị Trưởng Bộ môn Hiệu trưởng AN GIANG, – 2016 LỜI CẢM ƠN Tác giả xin chân thành cảm ơn bạn đồng nghiệp sinh viên đóng gớp ý kiến động viên để tác giả tiến hành biên soạn tập tài liệu Tác giả chân thành cảm ơn Bộ mơn Tốn Hội đồng Khoa học Khoa Sư phạm tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành tài liệu An Giang, ngày tháng năm 2016 Tác giả DIỆP HOÀNG ÂN i LỜI CAM KẾT Tôi xin cam đoan tài liệu giảng dạy tơi thực Nội dung tài liệu có xuất xứ rõ ràng An Giang, ngày tháng năm 2016 Tác giả DIỆP HOÀNG ÂN ii MỤC LỤC Trang MỤC CHƯƠNG BỔ TÚC VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP 0.1 CÁC QUY TẮC ĐẾM 0.1.1 Quy tắc cộng 0.1.2 Quy tắc nhân 0.2 HOÁN VỊ – CHỈNH HỢP – TỔ HỢP 0.2.1 Hoán vị 0.2.2 Chỉnh hợp 0.2.3 Chỉnh hợp lặp 0.2.4 Tổ hợp 0.3 NHỊ THỨC NEWTON: BÀI TẬP CHƯƠNG CHƯƠNG CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ XÁC SUẤT 1.1 PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ 1.1.1 Phép thử không gian mẫu 1.1.2 Biến cố: 1.1.3 Mối quan hệ biến cố 1.1.4 Các phép toán biến cố 12 1.2 XÁC SUẤT 12 1.2.1 Định nghĩa xác suất (cổ điển) 14 1.2.2 Định nghĩa xác suất theo thống kê 15 1.2.3 Định nghĩa xác suất theo quan điểm hình học 16 1.2.4 Định nghĩa xác suất theo tiên đề 17 1.2.5 Các tính chất xác suất 17 1.3 CÁC CƠNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT 17 1.3.1 Cơng thức cộng xác suất 18 1.3.2 Xác suất điều kiện 20 1.3.3 Công thức nhân xác suất 1.3.4 Hệ đầy đủ biến cố – công thức xác suất đầy đủ - cơng thức 27 Bayes 35 1.4 Q TRÌNH BERNOULLI 35 1.4.1 Định nghĩa 35 1.4.2 Xác suất k lần thành công 37 1.4.3 Số lần thành công nhiều khả 38 1.4.4 Xác suất có lần thành công 40 BÀI TẬP CHƯƠNG CHƯƠNG iii BIẾN NGẪU NHIÊN 2.1 BIẾN NGẪU NHIÊN 2.1.1 Khái niệm biến ngẫu nhiên 2.1.2 Hàm phân phối 2.1.3 Bảng phân phối xác suất 2.1.4 Hàm mật độ xác suất 2.2 CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA MỘT BIẾN NGẪU NHIÊN 2.2.1 Kỳ vọng 2.2.2 Tính chất kỳ vọng 2.2.3 Phương sai 2.2.4 Tính chất phương sai 2.2.5 Độ lệch chuẩn 2.2.6 Các số đặc trưng khác biến ngẫu nhiên 2.3 VECTƠ NGẪU NHIÊN 2.3.1 Vectơ ngẫu nhiên 2.3.2 Phân phối xác suất vectơ ngẫu nhiên 2.3.3 Vectơ ngẫu nhiên hai chiều 2.3.4 Phân phối đồng thời rời rạc 2.3.5 Hàm mật độ biên duyên 2.3.6 Mật độ điều kiện 2.3.7 Đối với trường hợp liên tục 2.3.8 Covarian – Hệ số tương quan 2.4 BẤT ĐẲNG THỨC CHEBYSHEV - LUẬT SỐ LỚN 2.4.1 Bất đẳng thức Chebyshev 2.4.2 Luật số lớn BÀI TẬP CHƯƠNG CHƯƠNG MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƯỜNG DÙNG 3.1 PHÂN PHỐI NHỊ THỨC 3.1.1 Định nghĩa phân phối nhị thức 3.1.2 Kỳ vọng, phương sai mode 3.1.3 Các định lí 3.1.4 Các cơng thức tính xác suất ví dụ 3.2 PHÂN PHỐI SIÊU BỘI 3.2.1 Định nghĩa phân phối siêu bội 3.2.2 Kỳ vọng phương sai 3.3 PHÂN PHỐI POISSON 3.3.1 Định nghĩa phân phối poisson 3.3.2 Kỳ vọng phương sai 3.3.3 Mơ hình 3.3.4 Các định lí iv 47 47 47 48 50 52 54 54 56 58 61 61 62 63 63 63 64 64 65 65 67 68 71 71 72 74 81 81 81 81 81 81 82 86 86 86 87 87 87 87 88 3.3.5 Các cơng thức tính xác suất ví dụ 3.4 PHÂN PHỐI CHUẨN 3.4.1 Định nghĩa phân phối chuẩn 3.4.2 Kỳ vọng phương sai 3.4.3 Tính xác suất phân phối chuẩn 3.4.4 Quy tắc xích ma 3.4.5 Bách phân vị phân phối chuẩn 3.5 MỘT SỐ PHÂN PHỐI KHÁC 3.5.1 Phân phối – bình phương 3.5.2 Phân phối STUDENT 3.5.3 Phân phối Fisher − Snedecor BÀI TẬP CHƯƠNG CHƯƠNG LÝ THUYẾT MẪU 4.1 TỔNG THỂ VÀ MẪU: 4.2 MẪU LÝ THUYẾT VÀ MẪU CỤ THỂ: 4.3 THỐNG KÊ 4.4 PHÂN PHỐI CỦA TRUNG BÌNH MẪU 4.5 PHÂN PHỐI MẪU CỦA PHƯƠNG SAI 4.6 PHÂN PHỐI MẪU CỦA HIỆU HAI THỐNG KÊ 4.7 TRÌNH BÀY DỮ LIỆU: BẢNG THỐNG KÊ 4.8 TRÌNH BÀY DỮ LIỆU: BIỂU ĐỒ 4.9 TÍNH CÁC GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH VÀ PHƯƠNG SAI MẪU BÀI TẬP CHƯƠNG CHƯƠNG ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ 5.1 ƯỚC LƯỢNG ĐIỂM 5.1.1 Ước lượng điểm 5.1.2 Phương pháp ước lượng hợp lý cực đại 5.2 ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG 5.2.1 Khoảng tin cậy cho trung bình tổng thể 5.2.2 Khoảng tin cậy cho tỉ lệ tổng thể (mẫu lớn) 5.2.3 Khoảng tin cậy cho hiệu hai trung bình 5.2.4 Khoảng tin cậy cho phương sai tổng thể 5.3 CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN KHOẢNG TIN CẬY 5.3.1 Bài tốn xác định độ tin cậy 5.3.2 Bài toán xác định kích thước mẫu BÀI TẬP CHƯƠNG CHƯƠNG KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT THỐNG KÊ 6.1 CÁC KHÁI NIỆM v 89 90 90 91 92 93 94 95 95 96 97 99 103 103 103 104 104 105 107 109 110 113 116 118 121 121 121 121 123 124 125 126 127 129 130 130 132 134 143 143 143 6.1.1 Giả thiết thống kê 6.1.2 Mức ý nghĩa, miền bác bỏ 6.1.3 Sai lầm loại sai lầm loại 6.2 CÁC TIÊU CHUẨN KIỂM ĐỊNH GIẢ THIẾT THỐNG KÊ 6.2.1 Kiểm định giả thiết trung bình 6.2.2 Kiểm định giả thiết tỉ lệ tổng thể (mẫu lớn) 6.2.3 Kiểm định giả thiết phương sai 6.2.4 So sánh hai trung bình với hai mẫu lớn độc lập 6.2.5 So sánh hai trung bình với dãy số liệu cặp 6.2.6 So sánh hai tỉ lệ với hai mẫu lớn độc lập: 6.2.7 Trắc nghiệm chi – bình phương BÀI TẬP CHƯƠNG CHƯƠNG TƯƠNG QUAN VÀ HỒI QUY 7.1 TƯƠNG QUAN 7.1.1 Hệ số tương quan mẫu 7.1.2 Kiểm định giả thiết tương quan 7.2 HỒI QUY 7.2.1 Hàm hồi quy 7.2.2 Hàm hồi quy tuyến tính mẫu BÀI TẬP CHƯƠNG PHỤ LỤC: CÁC BẢNG XÁC SUẤT TÀI LIỆU THAM KHẢO vi 143 144 144 145 145 147 149 151 154 155 156 161 167 167 167 167 167 169 169 171 174 178 183 CHƯƠNG BỔ TÚC VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP 0.1 CÁC QUY TẮC ĐẾM 0.1.1 Quy tắc cộng Định nghĩa 0.1 Một cơng việc thể tiến hành theo hai phương án khác Phương án thứ thực theo n cách khác Phương án thứ hai thực theo m cách khác Mỗi cách phương án không trùng với phương án phương án Khi cơng việc thực theo n + m cách khác Ví dụ 0.1 Đi từ địa điểm A đến địa điểm B có hai phương án Phương án 1: đường thủy ba cách khác gồm: chèo thuyền, xuồng máy ca nô Phương án 2: Đường gồm bốn cách khác nhau: bộ, xe buýt, xe máy xe khách Như vậy, có tất cách khác để từ A đến B Chú ý 0.1 Nếu đặt A tập hợp cách phương án B tập hợp cách phương án Do hai phương án khơng có cách trùng nên tập hợp A, B khơng có phần tử chung Khi ta có quy tắc sau: n ( A ∪ B ) = n ( A) + n ( B ) , n ( A ) số phần tử tập A Mở rộng quy tắc cộng: Định nghĩa 0.2 Nếu công việc có k phương án thực Phương án có n1 cách thực Phương án có n2 cách thực hiện; … Phương án k có nk cách thực Trong khơng có hai phương án có cách thực hiên trùng Khi có n1 + n2 + + nk cách thực công việc Ví dụ 0.2 Một hộp có cầu xanh, cầu đỏ cầu màu vàng Hỏi có cách lấy lúc hai cầu màu? Giải: Để lấy hai cầu màu ta làm theo phương án Phương án 1: Lấy hai cầu màu xanh có cách lấy Phương án 2: Lấy hai cầu màu đỏ có cách lấy Phương án 3: Lấy hai cầu màu vàng có 10 cách lấy, Vậy theo quy tắc cộng có 19 cách lấy hai cầu màu Ví dụ 0.3 Một hộp có cầu có cầu đỏ cầu xanh Lấy lúc hai cầu Hỏi có cách lấy mà cách có từ đến cầu xanh? Giải: Để lấy hai cầu theo yêu cầu có hai phương án Phương án 1: Lấy hai cầu có xanh Phương án 2: Lấy hai cầu màu xanh Số cách lấy theo phương án cách Số cách lấy theo phương án cách Như vậy, theo quy tắc cộng có cách lấy hai cầu thỏa yêu cầu 0.1.2 Quy tắc nhân Định nghĩa 0.3 Một công việc tiến hành hai giai đoạn Giai đoạn có n cách thực Giai đoạn có m cách thực Khi có n.m cách thực cơng việc Ví dụ 0.4 Để từ điểm A đến điểm C phải qua điểm B Từ A đến B có cách đi, từ B đến C có cách Khi ta có 3.4 = 12 cách từ A đến C Ví dụ 0.5 Lập số có hai chữ số khác từ chữ số {1, 2,3, 4} Gọi số có hai chữ số khác ab Để lập số ta chia làm bước (giai đoạn) Bước chọn chữ số a có cách chọn Bước 2: chọn chữ số b có cách (vì phải trừ chữ số a ) Theo quy tắc nhân ta có 12 cách lập số ab từ chữ số cho Ví dụ 0.6 Một hộp có cầu có đỏ xanh Lấy ngẫu nhiên Có cách lấy mà cách có đỏ hai xanh? Giải Tạm thời xem cách lấy cầu theo yêu cầu làm hai bước Bước 1: lấy cầu màu đỏ Bước lấy hai cầu màu xanh Ở bước ta có cách lấy Ở bước ta có cách lấy Như vậy, theo quy tắc nhân ta có 18 cách lấy cầu theo yêu cầu Mở rộng quy tắc nhân: Định nghĩa 0.4 Nếu công việc tiến hành qua k giai đoạn Giai đoạn có n1 cách thực Giai đoạn có n cách thực hiện… Giai đoạn k có nk cách thực Khi đó, có n1.n nk cách thực cơng việc 0.2 HỐN VỊ – CHỈNH HỢP – TỔ HỢP 0.2.1 Hoán vị Định nghĩa 0.5 Cho tập hợp n phần tử Mỗi cách xếp n phần tử gọi hốn vị n phần tử Số hốn vị n phần tử Pn = n ! = n (n − 1) 2.1 (0.1) Ví dụ 0.7 Xếp bạn A, B C ngồi vào bàn dài có ba chỗ ngồi Mỗi cách xếp hoán vị phần tử Số hoán vị số cách xếp chỗ ngồi bằng: 3! = cách Tương tự xếp n bạn vào n vị trí ngồi phân biệt có n ! cách xếp 0.2.2 Chỉnh hợp Định nghĩa 0.6 Cho tập A gồm n phần tử, tập gồm k phần tử thứ tự A gọi chỉnh hợp chập k n phần tử Số chỉnh hợp chập k n phần tử, ký hiệu Ank , tính cơng thức: Ank = n! = n (n − 1) ( n − k + 1) , ≤ k ≤ n , k! (0.2) Ví dụ 0.8 Một lớp có 20 bạn, chọn ngẫu nhiên bạn đảm nhận nhiệm vụ: lớp trưởng, lớp phó thủ quỹ Mỗi cách chọn chỉnh hợp chập 20 20! = = 20.19.18 = 6840 cách phần tử Do đó, số cách chọn A20 ( 20 − 3)! Ví dụ 7.2 Từ mẫu có kích thước n = 35 vectơ ngẫu nhiên ( X ,Y ) ta tính r = 0,8 Với mức ý nghĩa α = 5% , kiểm định: H : ρ = 0,9 đối thiết H : ρ ≠ 0,9 Giải Ta có u = µ = ln 1 + r 1 + 0,8 ln = ln = 1, 0986 − r − 0,8 + 0,9 1 = 1, 4722 σ = = = 0,1768 − 0,9 n −3 32 Do đó, z = u−µ σ = 1, 0986 − 1, 4722 = 2,1131 0,1768 Với mức α = 5% , gtth = z 0,025 = 1,96 Vì z > gtth nên H bị bác bỏ, chấp nhận H 7.2 HỒI QUY 7.2.1 Hàm hồi quy Có nhiều toán lĩnh vực kinh tế, kỹ thuật, sinh học, giáo dục, y tế,… biết số giá trị thực nghiệm đại lượng ( X1 ,Y1 ) ; ( X ,Y )2 ; ; ( Xn ,Yn ) cần biểu thị đại lượng Y thông qua đại lượng X (hoặc ngược lại), nghĩa ta cần tìm hàm y = ϕ ( x ) x = ψ (y ) , gọi hàm hồi quy y theo x x theo y Hàm hồi quy phục vụ cho dự báo đại lượng có kết quan sát đại lượng khác Ở phần ta xét dạng hồi quy tuyến tính đơn Tức ϕ ( x ) = a + bx ψ (y ) = c + dy a ,b ,c , d số Định nghĩa 7.2 Cho hai biến ngẫu nhiên X ,Y xác định không gian xác suất Kì vọng điều kiện Y biết X lấy giá trị x , ký hiệu E (Y / x ) , xác định +∞ E (Y / x ) = ∫ y.f (y / x )dy (nếu Y biến ngẫu nhiên liên tục), với f (y / x ) −∞ hàm mật độ điều kiện biến ngẫu nhiên Y X nhận giá trị x Hoặc E (Y / x ) = ∑ yP (Y = y / x ) (nếu Y biến ngẫu nhiên rời rạc), với y P (Y = y / x ) xác suất điều kiện Y X nhận giá trị x 169 Tương tự, ta có kỳ vọng điều kiện X với điều kiện Y nhận giá trị y là: +∞ E (X / y ) = ∫ x f (x / y )dx (nếu X biến ngẫu nhiên liên tục) −∞ E ( X / y ) = ∑ xP ( X = x / y ) (nếu X biến ngẫu nhiên rời rạc) x Định nghĩa 7.3 Hàm số ϕ ( x ) = E (Y / x ) gọi hàm hồi quy Y theo X đồ thị ϕ ( x ) gọi đường hồi quy Y theo X Hàm số ψ (y ) = E ( X / y ) hàm hồi quy Y theo X đồ thị hàm ψ (y ) gọi đường hồi quy Y theo X Định nghĩa 7.4 Cho ϕ ( x ) hàm hồi quy Y theo X , S (ϕ ) = E (Y − ϕ ( X ) ) gọi độ sai dự báo Như vậy, lấy hàm y = ϕ ( x ) làm hàm hồi quy Y theo X ta ln mắc sai số trung bình sai số dự báo Vấn đề đặt chọn hàm ϕ để sai số dự báo nhỏ Định lí 7.1 Cho ϕ ( x ) hàm hồi quy Y theo X , sai số dự báo S (ϕ ) bé ϕ ( x ) = E (Y / x ) Chứng minh S (ϕ ) = E (Y − ϕ ( X ) ) = E (Y − E (Y / x ) + E (Y / x ) − ϕ ( X ) ) 2 = E (Y − E (Y / x ) ) + E ( E (Y / x ) − ϕ ( X ) ) + 2E (Y − E (Y / x ) ) ( E (Y / x ) − ϕ ( X ) ) Do số hạng thức bàng 0, nên 2 S (ϕ ) = E (Y − E (Y / x ) ) + E ( E (Y / x ) − ϕ ( X ) ) → ⇔ E ( E (Y / x ) − ϕ ( X ) ) = ⇔ E (Y / x ) = ϕ ( X ) Định nghĩa 7.5 Nếu hàm ϕ ( x ) có dạng ϕ ( x ) = a + bx ta nói ϕ hàm hồi quy tuyến tính Y theo X , b gọi hệ số hồi quy tuyến tính (hệ số góc) Y theo X Một cách tương tự, Nếu hàm ψ (y ) có dạng ψ (y ) = c + dy ta nói ψ hàm hồi quy tuyến tính X theo Y , d gọi hệ số hồi quy tuyến tính (hệ số góc) X theo Y Định lí 7.2 Cho ( X ,Y ) vectơ ngẫu nhiên có phân phối chuẩn hai chiều với kỳ vọng X , Y µ1 , µ ; phương sai X ,Y σ 12 , σ 22 hệ số tương quan X , Y ρ Khi 170 a) Hàm hồi quy tuyến tính Y theo X là: σ2 a = µ − b µ1 σ1 ϕ ( x ) = a + bx với b = ρ b) Tương tự, hàm hồi quy tuyến tính X theo Y là: ψ (y ) = c + dy với c = ρ σ1 c = µ1 − c µ σ2 Chứng minh a) Giả sử ϕ ( x ) = a + bx hàm hồi quy tuyến tính Y theo X Ta tìm hệ số a ,b cho S (a ,b ) = E (Y − a − bX ) bé Đạo hàm S (a ,b ) theo hai biến a ,b cho Sa′ (a ,b ) = −2E (Y − a − bX ) =  Sb′ (a ,b ) = −2E (Y − a − bX ) X = a + bEX = EY ⇔ bE ( X ) + aEX = E ( XY ) a = EY − bEX = µ − b µ1  ⇔  E ( XY ) − EXEY Cov ( X ,Y ) σ = ρ 2 b = EX − EX = σ1 σ1 ( )  b) chứng minh tương tự Định lí 7.3 Giả sử ϕ ( x ) = a + bx hàm hồi quy Y theo X Định lí 7.2, độ sai dự báo S (ϕ ) = DY (1 − ρ ) Chứng minh Ta có: 2 S (ϕ ) = E (Y − a − bX ) = E (Y − EY + bEX − bX ) (Do a = EY − bEX ) 2 = E (Y − EY ) + b E ( X − EX ) − 2bE (Y − EY )( X − EX ) = DY + b 2DX − 2bCov ( X ,Y ) = DY + ρ 2DY − ρ 2DY = DY (1 − ρ ) (Do b = ρ σ2 ) σ1 7.2.2 Hàm hồi quy tuyến tính mẫu Trong thực tế, không khảo sát hết tổng thể, chưa biết phân phối vectơ ngẫu nhiên (X,Y) nên khó xác định dạng tốn học hàm hồi quy tổng thể Chúng ta phải dựa mẫu để xây dựng hàm hồi quy mẫu cho ước lượng tốt hàm hồi quy tổng thể 171 ( x1 , y1 ) , ( x , y ) , , (x n , yn ) n cặp quan sát mẫu thành lập từ vectơ ngẫu nhiên ( X ,Y ) Người ta xây dựng đường hồi quy tuyến tính Giả sử mẫu cách thay số đặc trưng tổng thể ước lượng điểm tương ứng: Hàm hồi quy tuyến tính mẫu Y theo X: y = A + Bx, với B = r ssYX A = y − Bx , với độ sai dự báo mẫu: S (ϕ ) = (1 − r ) sY2 Hàm hồi quy tuyến tính mẫu X theo Y: x = C + Dy với D = r ssYX C = x − Dy với độ sai dự báo mẫu: S (ψ ) = (1 − r ) sX2 Ví dụ 7.3 Giả sử giá trị quan sát mẫu VTNN (X,Y) tuân theo luật phân phối chuẩn hai chiều cho bảng sau: xi 11 14 yi 4 a) Hãy tính giá trị hệ số tương quan mẫu b) Viết phương trình đường thẳng hồi quy mẫu Y theo X Hãy dự báo giá trị Y X lấy giá trị 12 Giải x (a) Chúng ta lập bảng tính sau: ∑x 172 i xi yi x i2 x i yi yi2 1 1 4 16 16 16 36 24 16 64 40 25 81 63 49 11 121 88 64 14 196 126 81 = 56 ∑y i = 40 ∑x i = 524 ∑x y i i = 364 ∑y i = 256 Các giá trị trung bình mẫu độ lệch chuẩn nẫu: x = 7, sX = 4,342, y = 5, sY = 2,828 Giá trị hệ số tương quan mẫu: r = ∑x y i i − n x y (n − 1) sX sY = 364 − × × = 0,977 × 4,342 × 2,828 r = 0,977 b) VTNN (X,Y) tuân theo luật phân phối chuẩn hai chiều nên hàm hồi quy mẫu Y theo X hàm tuyến tính y = A + Bx, với B = r ssYX = 6364 Và A = y − Bx = 0,5455 Phương trình đường hồi quy mẫu Y theo X là: y = 0,6364x + 0,5455 Khi X lấy giá trị 12 dự báo Y có giá trị là: y = 0,6364 × 12 + 0,5455 = 8,1823 173 BÀI TẬP CHƯƠNG 7 Xem vectơ ngẫu nhiên (X,Y) tuân theo luật phân phối chuẩn hai chiều mà mẫu ngẫu nhiên gồm cặp chọn sau: xi yi 11 17 21 25 29 32 a) Hãy tính giá trị hệ số tương quan mẫu X Y b) Hãy kiểm định giả thiết tương quan X Y mức α = 5% c) Hãy lập hàm hồi quy tuyến tính mẫu dự đốn X lấy giá trị 20 Y nhận giá trị bao nhiêu? Một sở sản xuất ghi lại số tiền chi cho việc nghiên cứu phát triển lợi nhuận hàng năm sở năm vừa qua sau: (đơn vị 106 VNĐ): Chi nghiên cứu 11 Lợi nhuận 31 40 30 34 25 20 a) Hãy tính giá trị hệ số tương quan mẫu chi nghiên cứu lợi nhuận b) Chi nghiên cứu lợi nhuận có thực tương quan khơng? (kết luận mức ý nghĩa α = 2%) c) Viết phương trình đường hồi quy tuyến tính mẫu lợi nhuận theo chi phí nghiên cứu Đo chiều cao Y (cm) chiều dài chi X (cm) nhóm niên, người ta thu số liệu sau: yi 160 161,5 163 165 167 168 171 172 xi 78 79 80 81 82 83 84 85 a) Tính giá trị hệ số tương quan mẫu X Y b) Ở mức ý nghĩa α = 5%, cho nhận xét tài liệu cho hệ số tương quan X Y 0,9 c) Viết phương trình đường hồi quy mẫu Y theo X Một giảng viên dạy môn thống kê yêu cầu sinh viên phải làm đồ án phân tích liệu dự kỳ thi hết mơn Sau đó, mẫu gồm 10 sinh viên chọn ngẫu nhiên, điểm số ghi lại sau: Điểm thi 81 62 74 78 93 69 72 83 90 84 Điểm đồ án 76 71 69 76 87 62 80 75 92 79 a) Tìm khoảng tin cậy 95% cho điểm thi trung bình sinh viên (giả thiết điểm thi sinh viên tuân theo luật phân phối chuẩn) b) Ở mức ý nghĩa 5%, đánh giá tương quan hai loại điểm 174 Để thực cơng trình nghiên cứu mối quan hệ chiều cao Y(m) đường kính X(cm) loại cây, người ta quan sát mẫu ngẫu nhiên có kết sau: xi 28 28 24 30 60 30 32 42 43 49 yi 6 10 10 (a) Hãy tính giá trị hệ số tương quan mẫu X Y (b) Kiểm định giả thiết tương quan X Y mức ý nghĩa 1% (c) Viết phương trình đường thẳng hồi quy mẫu Y theo X Hãy dự báo chiều cao có đường kính 45 cm X (%) Y(kg/mm2) hai tiêu chất lượng loại sản phẩm Điều tra số sản phẩm, bảng sau: xi 2 6 8 yi 10 10 10 15 15 15 20 20 25 25 Tần số 2 3 a) Hãy tính giá trị trung bình mẫu X, Y; phương sai mẫu X, Y hệ số tương quan mẫu X Y b) Viết phương trình hồi quy mẫu Y theo X Từ dự đốn xem tiêu X tiêu Y bao nhiêu? 7 X (%) Y(kg/mm2) hai tiêu chất lượng loại sản phẩm Điều tra số sản phẩm, bảng sau: xi 2 6 8 yi 10 10 10 15 15 15 20 20 25 25 T ần s ố 2 3 a) Tính giá trị hệ số tương quan mẫu giữ X Y Viết Viết phương trình hồi quy mẫu Y theo X b) Kiểm định giả thiết xem X Y có tương quan không mức ý nghĩa 5%? X (%) Y(kg/mm2) hai tiêu chất lượng loại sản phẩm Điều tra số sản phẩm, bảng sau: xi 2 6 8 yi 10 10 10 15 15 15 20 20 25 25 Tần số 2 3 a) Tìm khoảng tin cậy 95% cho tiêu Y (giả thiết tiêu Y tuân theo luật phân phối chuẩn) b) Viết phương trình hồi quy mẫu Y theo X Từ dự đốn xem tiêu X tiêu Y bao nhiêu? 175 X (%) Y(kg/mm2) hai tiêu chất lượng loại sản phẩm Điều tra số sản phẩm, bảng sau: xi 2 6 8 yi 10 10 10 15 15 15 20 20 25 25 Tần số 2 3 a) Có tài liệu cho trung bình tiêu X 6,5% Hãy cho nhận xét tài liệu mức ý nghĩa 5% Giả thiết tiêu X, Y tuân theo luật phân phối chuẩn b) Tính giá trị hệ số tương quan mẫu X Y Viết phương trình đường thẳng hồi quy mẫu Y theo X 10 Nghiên cứu lượng phân bón (X kg) dùng để bón cho ruộng vụ; Y(kg/1000m2) suất lúa Thống kê 30 hộ gia đình, kết sau: Số hộ xi 40 40 50 50 50 60 60 60 yi 270 280 280 290 300 300 310 320 a) Tính giá trị hệ số tương quan mẫu X Y Viết phương trình hồi quy mẫu Y theo X b) Kiểm định giả thiết cho hệ số tương quan X Y 0,9 mức ý nghĩa α = 5% 11 Để nghiên cứu tương quan chiều cao X (cm) sức nặngY (kg) người, quan sát mẫu ngẫu nhiên, người ta có kất sau: yk xi [140, 145) [145, 150) [40, 45) [45, 50) [55, 60) [60, 65) [150, 155) 10 [155, 160) 1 [160, 165) [50, 55) a) Hãy lập bảng phân bố tần số, tần suất cho giá trị X, Y b) Tính giá trị trung bình mẫu, độ lệch chuẩn mẫu hệ số tương quan mẫu X Y Viết phương trình đường thẳng hồi quy tuyến tính mẫu Y theo X 12 176 Để nghiên cứu tương quan chiều cao X (cm) sức nặngY (kg) người, quan sát mẫu ngẫu nhiên, người ta có kất sau: yk xi [140, 145) [145, 150) [40, 45) [45, 50) [55, 60) [60, 65) [150, 155) 10 [155, 160) 1 [160, 165) [50, 55) a) Tính giá trị hệ số tương quan mẫu X Y Viết phương trình đường hồi quy tuyến tính mẫu Y theo X b) Có tài liệu cho biết hệ số tương quan X Y 0,65 Hãy cho nhận xét tài liệu đó, mức α = 5% 177 PHỤ LỤC: CÁC BẢNG XÁC SUẤT BẢNG 1: Giá trị hàm phân phối phân phối N(0,1) Φ ( x) = 2π x ∫ exp( − t / 2) dt ( ≤ x < 4) −∞ x 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5190 0,5239 0,5279 0,5319 0,0359 5398 5438 5478 5517 5557 5596 5636 5675 5714 0753 5832 5871 5910 5948 5987 6026 6064 6103 6141 5793 6179 6217 6255 6293 6331 6368 6406 6443 6480 6517 6591 6628 6664 6700 6736 6772 6808 6844 6879 6554 6915 6950 6985 7019 7054 7088 7123 7157 7190 7224 7257 7291 7324 7357 7389 7422 7454 7486 7517 7549 7611 7642 7673 7704 7734 7764 7794 7823 7852 7580 7881 7910 7939 7967 7995 8023 8051 8078 8106 8133 8186 8212 8238 8264 8289 8315 8340 8365 8389 8159 8413 8438 8461 8485 8508 8531 8554 8577 8599 8621 8643 8665 8686 8708 8729 8749 8770 8790 8810 8830 8849 8869 8888 8907 8925 8944 8962 8980 8997 9015 9032 9049 9066 9082 9099 9115 9131 9147 9162 9177 9192 9207 9222 9236 9251 9265 9279 9292 9306 9319 9332 9345 9357 9370 9382 9394 9406 9418 9429 9441 9452 9463 9474 9484 9495 9505 9515 9525 9535 9545 9554 9564 9573 9582 9591 9599 9608 9616 9625 9633 9649 9656 9664 9671 9678 9686 9693 9699 9706 9641 9713 9719 9726 9732 9738 9744 9750 9756 9761 9767 9772 9778 9783 9788 9793 9798 9803 9808 9812 9817 9821 9826 9830 9834 9838 9842 9846 9850 9854 9857 9861 9864 9868 9871 9875 9878 9881 9884 9887 9890 9896 9898 9901 9904 9906 9909 9911 9913 9916 9893 9918 9920 9922 9925 9927 9929 9931 9932 9934 9936 9938 9940 9941 9943 9945 9945 9948 9949 9951 9952 9953 9955 9956 9957 9959 9960 9961 9962 9963 9964 9965 9966 9967 9968 9969 9970 9971 9972 9973 9974 9974 9975 9976 9977 9977 9978 9979 9979 9980 9981 9981 9982 9982 9983 9984 9984 9985 9985 9986 9986 9987 9987 9987 9988 9988 9989 9989 9989 9990 9990 9990 9991 9991 9991 9992 9992 9992 9992 9993 9993 9993 9993 9994 9994 9994 9994 9994 9995 9995 9995 9995 9995 9995 9996 9996 9996 9996 9996 9996 9997 9997 9997 9997 9997 9997 9997 9997 9997 9997 9998 9998 9998 9998 9998 9998 9998 9998 9998 9998 9998 9998 9998 9999 9999 9999 9999 9999 9999 9999 9999 9999 9999 9999 9999 9999 9999 9999 9999 9999 9999 9999 9999 9999 9999 9999 9999 9999 9999 9999 9999 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 178 ( n) BẢNG 2: Giá trị tới hạn mức α phân phối Student: t α (P α n 0,2 0,15 0,1 n (T > t ( ) ) = α với T ~ t ( n ) ) α 0,05 0,04 0,025 0,02 0,015 0,01 0,005 1,3764 1,9626 3,0777 6,3137 7,9158 12,7062 15,8945 21,2051 31,8210 63,6559 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 1,0607 0,9785 0,9410 0,9195 0,9057 0,8960 0,8889 0,8834 0,8791 0,8755 0,8726 0,8702 0,8681 0,8662 0,8647 0,8633 0,8620 0,8610 0,8600 0,8591 0,8583 0,8575 0,8569 0,8562 0,8557 0,8551 0,8546 0,8542 0,8538 0,8534 0,8530 0,8526 0,8523 1,3862 1,2498 1,1896 1,1558 1,1342 1,1192 1,1081 1,0997 1,0931 1,0877 1,0832 1,0795 1,0763 1,0735 1,0711 1,0690 1,0672 1,0655 1,0640 1,0627 1,0614 1,0603 1,0593 1,0584 1,0575 1,0567 1,0560 1,0553 1,0547 1,0541 1,0535 1,0530 1,0525 1,8856 1,6377 1,5332 1,4759 1,4398 1,4149 1,3968 1,3830 1,3722 1,3634 1,3562 1,3502 1,3450 1,3406 1,3368 1,3334 1,3304 1,3277 1,3253 1,3232 1,3212 1,3195 1,3178 1,3163 1,3150 1,3137 1,3125 1,3114 1,3104 1,3095 1,3086 1,3077 1,3070 2,9200 2,3534 2,1318 2,0150 1,9432 1,8946 1,8595 1,8331 1,8125 1,7959 1,7823 1,7709 1,7613 1,7531 1,7459 1,7396 1,7341 1,7291 1,7247 1,7207 1,7171 1,7139 1,7109 1,7081 1,7056 1,7033 1,7011 1,6991 1,6973 1,6955 1,6939 1,6924 1,6909 3,3198 2,6054 2,3329 2,1910 2,1043 2,0460 2,0042 1,9727 1,9481 1,9284 1,9123 1,8989 1,8875 1,8777 1,8693 1,8619 1,8553 1,8495 1,8443 1,8397 1,8354 1,8316 1,8281 1,8248 1,8219 1,8191 1,8166 1,8142 1,8120 1,8100 1,8081 1,8063 1,8046 179 4,3027 3,1824 2,7765 2,5706 2,4469 2,3646 2,3060 2,2622 2,2281 2,2010 2,1788 2,1604 2,1448 2,1315 2,1199 2,1098 2,1009 2,0930 2,0860 2,0796 2,0739 2,0687 2,0639 2,0595 2,0555 2,0518 2,0484 2,0452 2,0423 2,0395 2,0369 2,0345 2,0322 4,8487 3,4819 2,9985 2,7565 2,6122 2,5168 2,4490 2,3984 2,3593 2,3281 2,3027 2,2816 2,2638 2,2485 2,2354 2,2238 2,2137 2,2047 2,1967 2,1894 2,1829 2,1770 2,1715 2,1666 2,1620 2,1578 2,1539 2,1503 2,1470 2,1438 2,1409 2,1382 2,1356 5,6428 3,8961 3,2976 3,0029 2,8289 2,7146 2,6338 2,5738 2,5275 2,4907 2,4607 2,4358 2,4149 2,3970 2,3815 2,3681 2,3562 2,3457 2,3362 2,3278 2,3202 2,3132 2,3069 2,3011 2,2958 2,2909 2,2864 2,2822 2,2783 2,2746 2,2712 2,2680 2,2650 6,9645 4,5407 3,7469 3,3649 3,1427 2,9979 2,8965 2,8214 2,7638 2,7181 2,6810 2,6503 2,6245 2,6025 2,5835 2,5669 2,5524 2,5395 2,5280 2,5176 2,5083 2,4999 2,4922 2,4851 2,4786 2,4727 2,4671 2,4620 2,4573 2,4528 2,4487 2,4448 2,4411 9,9250 5,8408 4,6041 4,0321 3,7074 3,4995 3,3554 3,2498 3,1693 3,1058 3,0545 3,0123 2,9768 2,9467 2,9208 2,8982 2,8784 2,8609 2,8453 2,8314 2,8188 2,8073 2,7970 2,7874 2,7787 2,7707 2,7633 2,7564 2,7500 2,7440 2,7385 2,7333 2,7284 ( n) BẢNG (TT): Giá trị tới hạn mức α phân phối Student: t α (P α n 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 0,2 0,8520 0,8517 0,8514 0,8512 0,8509 0,8507 0,8505 0,8503 0,8501 0,8499 0,8497 0,8495 0,8493 0,8492 0,8490 0,8489 0,8487 0,8486 0,8485 0,8483 0,8482 0,8481 0,8480 0,8479 0,8478 0,8477 0,8476 0,8475 0,8474 0,8473 0,8472 0,8471 0,8470 0,8469 0,8469 0,8468 180 0,15 1,0520 1,0516 1,0512 1,0508 1,0504 1,0500 1,0497 1,0494 1,0491 1,0488 1,0485 1,0482 1,0480 1,0478 1,0475 1,0473 1,0471 1,0469 1,0467 1,0465 1,0463 1,0461 1,0459 1,0458 1,0456 1,0455 1,0453 1,0452 1,0450 1,0449 1,0448 1,0446 1,0445 1,0444 1,0443 1,0442 0,1 1,3062 1,3055 1,3049 1,3042 1,3036 1,3031 1,3025 1,3020 1,3016 1,3011 1,3007 1,3002 1,2998 1,2994 1,2991 1,2987 1,2984 1,2980 1,2977 1,2974 1,2971 1,2969 1,2966 1,2963 1,2961 1,2958 1,2956 1,2954 1,2951 1,2949 1,2947 1,2945 1,2943 1,2941 1,2939 1,2938 n (T > t ( ) ) = α với T ~ t ( n ) ) α 0,05 1,6896 1,6883 1,6871 1,6860 1,6849 1,6839 1,6829 1,6820 1,6811 1,6802 1,6794 1,6787 1,6779 1,6772 1,6766 1,6759 1,6753 1,6747 1,6741 1,6736 1,6730 1,6725 1,6720 1,6716 1,6711 1,6706 1,6702 1,6698 1,6694 1,6690 1,6686 1,6683 1,6679 1,6676 1,6672 1,6669 0,04 1,8030 1,8015 1,8001 1,7988 1,7975 1,7963 1,7952 1,7941 1,7931 1,7921 1,7911 1,7902 1,7894 1,7885 1,7878 1,7870 1,7863 1,7856 1,7849 1,7843 1,7836 1,7830 1,7825 1,7819 1,7814 1,7808 1,7803 1,7799 1,7794 1,7789 1,7785 1,7781 1,7776 1,7772 1,7769 1,7765 0,025 2,0301 2,0281 2,0262 2,0244 2,0227 2,0211 2,0195 2,0181 2,0167 2,0154 2,0141 2,0129 2,0117 2,0106 2,0096 2,0086 2,0076 2,0066 2,0057 2,0049 2,0040 2,0032 2,0025 2,0017 2,0010 2,0003 1,9996 1,9990 1,9983 1,9977 1,9971 1,9966 1,9960 1,9955 1,9949 1,9944 0,02 2,1332 2,1309 2,1287 2,1267 2,1247 2,1229 2,1212 2,1195 2,1179 2,1164 2,1150 2,1136 2,1123 2,1111 2,1099 2,1087 2,1076 2,1066 2,1055 2,1046 2,1036 2,1027 2,1018 2,1010 2,1002 2,0994 2,0986 2,0979 2,0971 2,0965 2,0958 2,0951 2,0945 2,0939 2,0933 2,0927 0,015 2,2622 2,2595 2,2570 2,2546 2,2524 2,2503 2,2483 2,2463 2,2445 2,2428 2,2411 2,2395 2,2380 2,2365 2,2351 2,2338 2,2325 2,2313 2,2301 2,2289 2,2279 2,2268 2,2258 2,2248 2,2238 2,2229 2,2220 2,2212 2,2203 2,2195 2,2188 2,2180 2,2173 2,2166 2,2159 2,2152 0,01 2,4377 2,4345 2,4314 2,4286 2,4258 2,4233 2,4208 2,4185 2,4163 2,4141 2,4121 2,4102 2,4083 2,4066 2,4049 2,4033 2,4017 2,4002 2,3988 2,3974 2,3961 2,3948 2,3936 2,3924 2,3912 2,3901 2,3890 2,3880 2,3870 2,3860 2,3851 2,3842 2,3833 2,3824 2,3816 2,3808 0,005 2,7238 2,7195 2,7154 2,7116 2,7079 2,7045 2,7012 2,6981 2,6951 2,6923 2,6896 2,6870 2,6846 2,6822 2,6800 2,6778 2,6757 2,6737 2,6718 2,6700 2,6682 2,6665 2,6649 2,6633 2,6618 2,6603 2,6589 2,6575 2,6561 2,6549 2,6536 2,6524 2,6512 2,6501 2,6490 2,6479 BẢNG 3: Giá trị tới hạn mức α phân phối χ2: χ α2 ( n) (P n α 0,995 0,005 (X > χ α ( n) ) = α 0,990 với 0,010 X ~ χ ( n) ) 0,975 0,025 0,950 0,050 0,000 7,879 0,000 6,635 0,001 5,024 0,004 3,841 0,010 10,597 0,020 9,210 0,051 7,378 0,103 5,991 0,072 12,838 0,115 11,345 0,216 9,348 0,352 7,815 0,207 14,860 0,297 13,277 0,484 11,143 0,711 9,488 0,412 16,750 0,554 15,086 0,831 12,833 1,145 11,071 0,676 18,548 0,872 16,812 1,237 14,449 1,635 12,592 0,989 20,278 1,239 18,475 1,690 16,013 2,167 14,067 1,344 21,955 1,646 20,090 2,180 17,535 2,733 15,507 1,735 23,589 2,088 21,666 2,700 19,023 3,325 16,919 10 2,156 25,188 2,558 23,209 3,247 20,483 3,940 18,307 11 2,603 26,757 3,053 24,725 3,816 21,920 4,575 19,675 12 3,074 28,299 3,571 26,217 4,404 23,337 5,226 21,026 13 3,565 29,819 4,107 27,688 5,009 24,736 5,892 22,362 14 4,075 31,319 4,660 29,141 5,629 26,119 6,571 23,685 15 4,601 32,801 5,229 30,578 6,262 27,488 7,261 24,996 16 5,142 34,267 5,812 32,000 6,908 28,845 7,962 26,296 17 5,697 35,718 6,408 33,409 7,564 30,191 8,672 27,587 18 6,265 37,156 7,015 34,805 8,231 31,526 9,390 28,869 19 6,844 38,582 7,633 36,191 8,907 32,852 10,117 30,144 20 7,343 39,997 8,260 37,566 9,591 34,170 10,851 31,410 21 8,034 41,401 8,897 38,932 10,283 35,479 11,591 32,671 22 8,643 42,796 9,542 40,289 10,982 36,781 12,338 33,924 23 9,260 44,181 10,196 41,638 11,689 38,076 13,091 35,172 24 9,886 45,559 10,856 42,980 12,401 39,364 13,848 36,415 25 10,520 46,928 11,524 44,314 13,120 40,646 14,611 37,652 26 11,160 48,290 12,198 45,642 13,844 41,923 15,379 38,885 27 11,808 49,645 12,879 46,963 14,573 43,194 16,151 40,113 28 12,461 50,993 13,565 48,278 15,308 44,461 16,928 41,337 29 13,121 52,336 14,257 49,588 16,047 45,722 17,708 42,557 30 13,787 53,672 14,954 50,892 16,791 46,979 18,493 43,773 40 20,707 66,766 22,164 63,691 24,433 59,342 26,509 55,758 50 27,991 79,490 29,707 76,154 32,357 71,420 34,764 67,505 60 35,534 91,952 37,485 88,379 40,482 83,289 43,188 79,082 181 BẢNG 4: Giá trị tới hạn mức α theo phân phối N(0,1) (giá trị zα thỏa điều kiện P ( Z > zα ) = α với Z ~ N ( 0,1) ) Ví dụ: Nếu α = 0,05 zα = z0,05 = 1,6449 zα / = z0,025 = 1,96 182 α zα α zα α zα α zα 0.500 0,0000 0.300 0,5244 0.100 1,2816 0.020 2,0537 0.490 0,0251 0.290 0,5534 0.095 1,3106 0.019 2,0748 0.480 0,0502 0.280 0,5828 0.090 1,3408 0.018 2,0969 0.470 0,0753 0.270 0,6128 0.085 1,3722 0.017 2,1201 0.460 0,1004 0.260 0,6433 0.080 1,4051 0.016 2,1444 0.450 0,1257 0.250 0,6745 0.075 1,4395 0.015 2,1701 0.440 0,1510 0.240 0,7063 0.070 1,4758 0.014 2,1973 0.430 0,1764 0.230 0,7388 0.065 1,5141 0.013 2,2262 0.420 0,2019 0.220 0,7722 0.060 1,5548 0.012 2,2571 0.410 0,2275 0.210 0,8064 0.055 1,5982 0.011 2,2904 0.400 0,2533 0.200 0,8416 0.050 1,6449 0.010 2,3263 0.390 0,2793 0.190 0,8779 0.045 1,6954 0.009 2,3656 0.380 0,3055 0.180 0,9154 0.040 1,7507 0.008 2,4089 0.370 0,3319 0.170 0,9542 0.035 1,8119 0.007 2,4573 0.360 0,3585 0.160 0,9945 0.030 1,8808 0.006 2,5121 0.350 0,3853 0.150 1,0364 0.025 1,9600 0.005 2,5758 0.340 0,4125 0.140 1,0803 0.024 1,9773 0.004 2,6521 0.330 0,4399 0.130 1,1264 0.023 1,9953 0.003 2,7478 0.320 0,4677 0.120 1,1750 0.022 2,0140 0.002 2,8782 0.310 0,4959 0.110 1,2265 0.021 2,0335 0.001 3,0902 TÀI LIỆU THAM KHẢO Đặng Hùng Thắng (2009) Bài tập Thống kê NXB Giáo dục Đặng Hùng Thắng (2009) Bài tập Xác suất NXB Giáo dục Đặng Hùng Thắng (2009) Thống kê Ứng dung NXB Giáo dục Đào Hữu Hồ (1997) Xác suất – Thống kê NXB Giáo dục Đinh Văn Gắng (1999) Lí thuyết Xác suất Thống kê NXB Giáo dục Việt Nam Đinh Văn Gắng (2000) Bài tập Xác suất Thống kê NXB Giáo dục Hồng Ngọc Nhậm (2003) Giáo trình Lý thuyết Xác suất Thống kê toán NXB Thống kê Kai Lai Chung (2001) A course in Probability Theory (3ed) Academic Press Lê Khánh Trai & Hoàng Hữu Như (1979) Ứng dụng Xác suất Thống kê Y, Sinh học NXB Khoa học & Kỹ thuật Lê Sĩ Đồng (2013) Bài tập Xác suất – Thống kê NXB Giáo dục Việt Nam Lê Sĩ Đồng (2013) Giáo trình Xác suất – Thống kê NXB Giáo dục Việt Nam Nguyễn Cao Văn (cb) (2009) Bài tập Xác suất Thống kê toán NXB Đại học Kinh tế Quốc dân Nguyên Đình Hiền (2006) Giáo trình Xác suất thống kê NXB Đại học Sư phạm Nguyễn Duy Tiến & Vũ Viết Yên (2009) Lí thuyết Xác suất NXB Giáo dục Phạm Đức Thông (2008) Lý thuyết Xác suất Thống kê toán (Dùng cho lớp Đại học chuyên ngành Toán) Phạm Văn Kiều (2008) Giáo trình Xác suất Thống kê NXB Giáo dục Robert V Hogg & Alln T Craig Introduction to Mathematical Statistics (4ed) Macmillan Publising Co., Inc NewYork Vũ Viết Yên (2009) Bài tập Lí thuyết Xác suất NXB Đại học Sư phạm 183 ... P AA = ; P A3 / AA = P ( A1 ) P A2 / A1 = =1 3 ( ) ( ) ( ) 1 P AA = ; P A3 / AA = P A1 P A2 / A1 = =1 3 ( ) ( ) ( ) ( ) Do đó: P ( A3 ) = P ( AA ) P ( A3 / AA ) + P AA P A3 / AA + P AA P A3 ... ) = 1 = ; P ( A3 / AA 2) = 10 15 P AA = P ( A1 ) P A2 / A1 = 7 = ; P A3 / AA = 10 30 P AA = P A1 P A2 / A1 = 7 = ; P A3 / AA = 10 30 P AA = P A1 P A2 / A1 = 7 = ; P A3 / AA = 10 15 ( ) (... A3 ) = P ( AA ) P ( A3 / AA ) + P AA P A3 / AA ( ) ( ) + P ( AA ) P ( A / AA ) + P ( AA ) P ( A / AA ) = 2 1 7 3 + + + = 15 30 30 15 10 Chú ý: Ở ví dụ này, ta tính P ( A3 ) d? ?a vào hệ AA