Toán rời rạc tài liệu giảng dạy

TRƢỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA KỸ THUẬT – CÔNG NGHỆ – MƠI TRƢỜNG Tài liệu giảng dạy TỐN RỜI RẠC ThS Lê Văn Toán ThS Trƣơng Thị Diễm An Giang, 07-2016 Tài liệu giảng dạy “Toán rời rạc”, tác giả Lê Văn Tốn Trƣơng Thị Diễm, cơng tác Khoa Kỹ thuật – Công nghệ – Môi trƣờng thực Tác giả báo cáo nội dung đƣợc Hội đồng Khoa học đào tạo Khoa thông qua ngày 20/07/2016 Tác giả biên soạn ThS Lê Văn Toán, ThS Trƣơng Thị Diễm Trƣởng đơn vị Trƣởng mơn Hiệu trƣởng An Giang, 07-2016 LỜI NĨI ĐẦU Toán rời rạc lĩnh vực toán học nghiên cứu đối tƣợng rời rạc Nó đƣợc ứng dụng nhiều ngành khoa học khác nhau, đặc biệt tin học q trình xử lý thơng tin máy tính chất q trình rời rạc Phạm vi nghiên cứu Toán rời rạc rộng, chia thành mơn học khác Tài liệu đề cập đến kiến thức nhƣ: Cơ sở logic, Bài toán đếm Đại số Boole Nội dung tài liệu đƣợc chia thành chƣơng: - Chƣơng 1: trình bày vấn đề logic học bao gồm: mệnh đề; quy luật logic; vị từ lƣợng từ; suy luận tốn học - Chƣơng 2: trình bày vấn đề phép đếm giải tích tổ hợp; nguyên lý Dirichlet dùng để chứng minh tồn cấu hình tổ hợp thỏa mãn điều kiện cho trƣớc - Chƣơng 3: trình bày vấn đề hàm Boole, biểu thức Boole; vấn đề tổ hợp cổng logic theo biểu thức Boole cho trƣớc; vấn đề tối thiểu hóa hàm Boole phƣơng pháp biến đổi đại số, phƣơng pháp Karnaugh, phƣơng pháp Quine – Mc.Cluskey Trong chƣơng cố gắng trình bày kiến thức chƣơng ví dụ minh họa cụ thể Cuối chƣơng có tập để ngƣời học ứng dụng, kiểm chứng lý thuyết học Trong q trình biên soạn tác giả có nhiều cố gắng nhƣng chắn tài liệu nhiều thiếu sót Tác giả mong nhận đƣợc ý kiến đóng góp đồng nghiệp bạn đọc để tài liệu đƣợc hoàn thiện Cuối tác giả xin chân thành cảm ơn bạn đồng nghiệp động viên góp ý cho việc biên soạn tài liệu giảng dạy Tốn rời rạc Đặc biệt chúng tơi xin cảm ơn Tiến sĩ Nguyễn Văn Hòa hiệu chỉnh cho nhiều ý kiến đóng góp bổ ích thiết thực Ngày 15 tháng 06 năm 2016 Nhóm thực ThS Lê Văn Toán, ThS Trƣơng Thị Diễm i LỜI CAM KẾT Tôi xin cam đoan tài liệu giảng dạy riêng Nội dung tài liệu giảng dạy có xuất xứ rõ ràng An Giang, ngày 15 tháng 06 năm 2016 Nhóm biên soạn ThS Lê Văn Toán, ThS Trƣơng Thị Diễm ii MỤC LỤC Trang LỜI NÓI ĐẦU i LỜI CAM KẾT ii MỤC LỤC iii DANH SÁCH BẢNG vi DANH SÁCH HÌNH vii CHƢƠNG CƠ SỞ LOGIC 1.1 MỆNH ĐỀ 1.1.1 Khái niệm mệnh đề 1.1.2 Một số quy ƣớc 1.1.3 Phân loại mệnh đề 1.2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MỆNH ĐỀ 1.2.1 Bảng chân trị 1.2.2 Phép phủ định 1.2.3 Phép hội 1.2.4 Phép tuyển 1.2.5 Phéo kéo theo 1.2.6 Phép tƣơng đƣơng 10 1.3 BIỂU THỨC LOGIC 11 1.3.1 Ðịnh nghĩa 11 1.3.2 Bảng chân trị biểu thức logic 11 1.3.3 Biểu thức đúng, biểu thức sai 13 1.3.4 Biểu thức tiếp liên 14 1.3.5 Mệnh đề hệ 14 1.3.6 Sự tƣơng đƣơng logic 15 1.3.7 Ðộ ƣu tiên phép toán 16 1.4 CÁC QUI LUẬT LOGIC 17 1.4.1 Các luật logic 17 1.4.2 Các qui tắc thay 19 1.5 DỊCH NHỮNG CÂU THÔNG THƢỜNG 22 1.6 CÁC ỨNG DỤNG CỦA LOGIC 23 1.7 VỊ TỪ VÀ LƢỢNG TỪ 24 1.7.1 Vị từ 25 iii 1.7.2 Các phép toán vị từ 26 1.7.3 Lƣợng từ 26 1.7.4 Phủ định mệnh đề 28 1.7.5 Quy tắc đặc biệt hóa phổ dụng 29 1.7.6 Quy tắc tổng quát hóa phổ dụng 29 1.7.7 Dịch câu thông thƣờng thành biểu thức logic 30 1.8 QUI TẮC SUY DIỄN 30 1.8.1 Ðịnh nghĩa qui tắc suy diễn 31 1.8.2 Kiểm tra qui tắc suy diễn 32 1.8.3 Các qui tắc suy diễn 33 1.8.4 Kiểm tra phép suy luận cụ thể 37 BÀI TẬP CHƢƠNG 39 CHƢƠNG BÀI TOÁN ĐẾM 47 2.1 NHỮNG NGUYÊN LÝ ĐẾM CƠ BẢN 47 2.1.1 Nguyên lý cộng 47 2.1.2 Nguyên lý nhân 49 2.1.3 Những toán đếm phức tạp 52 2.2 NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ 54 2.3 GIẢI TÍCH TỔ HỢP 56 2.3.1 Hoán vị, chỉnh hợp tổ hợp 56 2.3.2 Hoán vị, chỉnh hợp tổ hợp lặp 60 2.4 NGUYÊN LÝ DIRICHLET (NGUYÊN LÝ CHUỒNG BỒ CÂU) 63 2.4.1 Nguyên lý Dirichlet 64 2.4.2 Nguyên lý Dirichlet tổng quát 65 BÀI TẬP CHƢƠNG 68 CHƢƠNG ĐẠI SỐ BOOLE 72 3.1 HÀM BOOLE 72 3.1.1 Mở đầu 72 3.1.2 Hàm Boole 73 3.2 BIỂU THỨC BOOLE 76 3.2.1 Định nghĩa 76 3.2.2 Các đẳng thức đại số Boole 77 3.2.3 Tính đối ngẫu 79 3.2.4 Quy tắc thay 80 3.3 ĐỊNH NGHĨA TRỪU TƢỢNG CỦA ĐẠI SỐ BOOLE 80 3.4 BIỂU DIỄN CÁC HÀM BOOLE 81 3.4.1 Khai triển tổng tích 82 iv 3.4.2 Định nghĩa 83 3.5 CÁC CỔNG LOGIC VÀ TỔ HỢP CÁC CỔNG LOGIC 87 3.5.1 Các cổng logic 87 3.5.2 Tổ hợp cổng logic 88 3.6 TỐI THIỂU HÓA HÀM BOOLE 92 3.6.1 Phƣơng pháp biến đổi đại số 92 3.6.2 Phƣơng pháp bảng Karnaugh 94 3.6.3 Phƣơng pháp Quine – McCluskey 101 BÀI TẬP CHƢƠNG 106 TÀI LIỆU THAM KHẢO 109 v DANH SÁCH BẢNG Bảng 1.1 Bảng chân trị phép phủ định mệnh đề Bảng 1.2 Bảng chân trị mệnh đề p Bảng 1.3 Bảng chân trị hội hai mệnh đề Bảng 1.4 Bảng chân trị phép tuyển hai mệnh đề Bảng 1.5 Bảng chân trị mệnh đề p  p Bảng 1.6 Bảng chân trị mệnh đề p  q Bảng 1.7 Bảng chân trị phép kéo theo p  q Bảng 1.8 Bảng chân trị mệnh đề tƣơng đƣơng p  q 10 Bảng 1.9 Bảng minh họa số trƣờng hợp chân trị theo số biến n 11 Bảng 1.10 Bảng chân trị mệnh đề p  q p  q 12 Bảng 1.11 Bảng chân trị mệnh đề p  (q  r) 12 Bảng 1.12 Bảng chân trị mệnh đề p  p p  p 13 Bảng 1.13 Bảng chân trị mệnh đề  p  q   q 14 Bảng 1.14 Bảng chân trị E = ( p → q ) ∧ ( q → r ) F = (p → r) 14 Bảng 1.15 Bảng chân trị biểu thức p  q p  q 15 Bảng 1.16 Bảng chân trị biểu thức E = p  q F = p  q 16 Bảng 1.17 Độ ƣu tiên phép toán logic 16 Bảng 1.18 Các tƣơng đƣơng logic 17 Bảng 1.19 Bảng chân trị cặp vị từ P(a,b) 27 Bảng 1.20 Bảng chân trị biểu thức ((p  q)  p)  q 32 Bảng 3.1 Bảng chân trị hàm Boole f(x, y) 74 Bảng 3.2 Bảng chân trị hàm Boole f (x1, x2, x3) 74 Bảng 3.3 Số hàm Boole bậc n 75 Bảng 3.4 Số hàm Boole bậc 76 Bảng 3.5 Số hàm Boole bậc 76 Bảng 3.6 Các giá trị hàm Boole f(x, y, z) = xy+ z 77 Bảng 3.7 Các đẳng thức đại số Boole 77 Bảng 3.8 Bảng giá trị ngắt điện f(a,b,c) 82 Bảng 3.9 Bảng giá trị hàm f ( x, y, z)  ( x  y) z 85 Bảng 3.10 Bảng giá trị hàm f ( x, y, z)  ( x  y) z 86 Bảng 3.11: Bảng Karnaugh hàm Boole biến 94 Bảng 3.12: Bảng Karnaugh hàm Boole biến 96 Bảng 3.13: Bảng Karnaugh hàm Boole biến 99 vi Chúng ta nhận dạng đƣợc tiểu hạng tổ hợp đƣợc từ bảng Karnaugh Bất có số hai kề nhau, tiểu hạng đƣợc biểu diễn tổ hợp lại thành tục biến Chẳng hạn, x y x y đƣợc biểu diễn hai ô kề tổ hợp lại thành y (vì x y + x y = (x + x ) y = y ) Chúng ta khoanh khối bảng Karnaugh, biểu diễn tiểu hạng tổ hợp lại sau tìm tổng tƣơng ứng tích Ví dụ 2: Dùng bảng Karnaugh để tối thiểu hóa hàm Boole f(x, y) = xy + x y Giải Bảng Karnaugh hàm f(x, y): y x x y Có kề Vậy dạng tối thiểu hóa hàm f(x, y) f(x, y) = xy + x y = y Ví dụ 3: Dùng bảng Karnaugh để tối thiểu hóa hàm Boole f(x, y) = x y + x y + x y Giải Bảng Karnaugh hàm f(x, y): y y x x 1 Từ bảng Karnaugh ta nhóm đƣợc khối (mỗi nhóm tổ hợp kề nhau): - Khối 1: nhóm tiểu hạng xy x y (ứng ô kề nhau) ta đƣợc x y 95 y x 1 x - Khối 2: nhóm tiểu hạng x y x y ta đƣợc y y y x 1 x Vậy dạng tối thiểu hóa hàm f(x, y) f(x, y) = x  y 3.6.2.2 Mô tả phương pháp rút gọn hàm Boole biến Bảng Karnaugh cho hàm Boole biến cần 23 = ô biểu diễn tiểu hạng biến x, y, z Vì bảng Karnaugh hàm Boole biến hình chữ nhật đƣợc chia thành ô Bảng 3.12: Bảng Karnaugh hàm Boole biến yz yz y z yz x x Các ô vuông đƣợc gọi kề tiểu hạng mà chúng biểu diễn khác tục biến Nếu tiểu hạng có mặt biểu thức biểu diễn hàm Boole tƣơng ứng bảng Karnaugh đƣợc ghi số 1, cịn khơng có mặt bỏ trống Để rút gọn khai triển tổng tích ba biến ta dùng bảng Karnaugh để nhận dạng tiểu hạng tổ hợp lại - Các khối gồm ô kề biểu diễn cặp tiểu hạng tổ hợp thành tích hai tục biến - Các khối gồm ô kề biểu diễn cặp tiểu hạng tổ hợp thành tục biến - Khối gồm biểu diễn tích khơng có tục biến nào, cụ thể biểu thức Nguyên tắc rút gọn khối lớn kề có chứa số 96 Ví dụ 1: Dùng bảng Karnaugh để tối thiểu hóa hàm Boole f(x, y, z) = xyz  x yz  xyz  x yz Giải Bảng karnaugh f(x, y, z) là: yz x x yz y z 1 yz Từ bảng Karnaugh ta nhóm đƣợc khối nhƣ sau: - Khối 1: Tổ hợp ô kề xyz  x yz  xz yz x x yz y z 1 yz - Khối 2: Tổ hợp ô kề x yz  x yz  yz yz x x yz y z 1 yz - Khối 3: yz x x yz y z 1 yz Vậy dạng tối thiểu hóa f(x, y, z) = xz  yz  xyz Ví dụ 2: Dùng bảng Karnaugh để tối thiểu hóa hàm Boole f(x, y, z) = x yz  x yz   xyz  x yz  x yz 97 Giải Bảng karnaugh f(x, y, z) là: yz yz y z yz 1 1 x x Từ bảng Karnaugh ta nhóm đƣợc khối nhƣ sau: - Khối 1: Tổ hợp ô kề yz yz y z yz 1 1 y z yz 1 1 x x - Khối 2: Tổ hợp ô kề yz yz x x Vậy dạng tối thiểu hóa f(x, y, z) = y  xz Ví dụ 3: Dùng bảng Karnaugh để tối thiểu hóa hàm Boole f ( x, y, z)  xyz  xyz  xyz  xyz  xyz  xyz  xyz Giải Bảng karnaugh f(x, y, z) là: yz yz y z yz x 1 1 x 1 Từ bảng Karnaugh ta nhóm đƣợc khối nhƣ sau: - Khối 1: Tổ hợp ô kề yz 98 yz y z yz x x 1 1 1 - Khối 2: Tổ hợp ô kề yz yz y z yz x 1 1 x 1 - Khối 3: Tổ hợp ô kề yz yz y z yz x 1 1 x 1 Vậy dạng tối thiểu hóa f  x, y, z   x  y  z 3.6.2.3 Mô tả phương pháp rút gọn hàm Boole biến Một bảng Karnaugh hàm Boole biến hình chữ nhật đƣợc chia thành 16 Các ô biểu diễn 16 tiểu hạng biến w, x, y, z Một cách lập bảng Karnaugh biến đƣợc cho hình dƣới Bảng 3.13: Bảng Karnaugh hàm Boole biến yz yz y z yz wx wx wx wx Hai ô đƣợc gọi kề tiểu hạng mà chúng biểu diễn khác tục biến Do đó, kề với bốn khác Sự rút gọn khai triển tổng tích bốn biến đƣợc thực cách nhận dạng khối gồm 2, 4, 16 ô biểu diễn tiểu hạng tổ hợp lại đƣợc Để rút gọn khai triển tổng tích bốn biến ta dùng bảng Karnaugh để nhận dạng tiểu hạng tổ hợp lại 99 - Các khối gồm ô kề biểu diễn cặp tiểu hạng tổ hợp thành tích tục biến - Các khối gồm ô kề biểu diễn cặp tiểu hạng tổ hợp thành tích tục biến - Các khối gồm ô kề biểu diễn cặp tiểu hạng tổ hợp thành tục biến - Khối gồm 16 biểu diễn tích khơng có tục biến nào, cụ thể biểu thức  Nhận xét Cũng nhƣ trƣờng hợp bảng Karnaugh hai ba biến, mục tiêu cần phải nhận dạng khối lớn có chứa số bảng phủ tất số cách dùng số khối, mà trƣớc hết khối lớn Ví dụ 1: Dùng bảng Karnaugh để tối thiểu hóa hàm Boole f(w, x, y, z) = wxyz  w xyz  w xyz  wxyz  w xyz  wxyz  wxyz Giải Bảng karnaugh f(w, x, y, z) là: yz yz wx wx wx 1 wx 1 y z yz Từ bảng Karnaugh ta nhóm đƣợc khối nhƣ sau: - Khối yz yz wx wx y z wx 1 wx 1 yz yz y z yz - Khối 100 yz wx wx wx 1 wx 1 yz yz y z - Khối wx wx wx 1 wx 1 yz Vậy dạng tối thiểu hóa f(x, y, z) = yz  w y  wxz n n Bảng Karnaugh hàm Boole n biến có 2n gồm 2 cột 2 hàng n n1 n1 chẵn; cịn n lẻ có cột hàng; 2k (1  k n) ô kề đƣợc rút gọn thành tiểu hạng có n-k tục biến Nhƣ bảng Karnaugh hàm Boole biến gồm 16 cột hàng khơng có khả quan sát hết ô Trong thực tế bảng Karnaugh biến khó sử dụng Phƣơng pháp Quine – Mc Cluskey sau khắc phục đƣợc tình trạng 3.6.3 Phƣơng pháp Quine – McCluskey Phƣơng pháp bảng Karnaugh có hạn chế khó sử dụng dựa việc rà soát trực quan để nhận dạng số hạng cần đƣợc nhóm lại Hơn nữa, số biến hàm Boole lớn việc sử dụng khó khăn Phƣơng pháp Quine – McCluskey khắc phục đƣợc nhƣợc điểm trên, đƣợc W.V Quine, E.J McCluskey phát triển vào năm 1950 Phƣơng pháp Quine – McCluskey áp dụng để rút gọn hàm Boole có số biến Phƣơng pháp đƣợc thực qua bƣớc  Bước 1: Gán xâu bit cho tiểu hạng hàm cho cách thay biến bit phần bù biến bit  Bước 2: Tổ hợp cặp xâu bit thành xâu bit ngắn Bƣớc đƣợc lặp cho cặp xâu bit ngắn thu đƣợc bƣớc lặp trƣớc không tổ 101 hợp đƣợc dừng Cuối đƣợc xâu bit ứng viên để đƣa vào dạng tuyển chuẩn tắc tối thiểu  Bước 3: Xác định xem ứng viên chọn ứng viên thực dùng đƣợc Ta mô tả phƣơng pháp thơng qua ví dụ dƣới đây: Ví dụ 1: Dùng phƣơng pháp Quine-McCluskey để tối thiểu hóa hàm Boole f(x, y, z) = xyz  x yz  xyz  x yz  x yz Giải  Bước 1: Trƣớc hết ta biểu diễn tiểu hạng hàm f xâu bit theo nguyên tắc sau: biến Boole khơng có dấu phủ định thay bit có dấu phủ định thay bit Sau liệt kê tiểu hạng theo thứ tự giảm dần số bit xâu bit tƣơng ứng nhƣ bảng sau: Tiểu hạng Xâu bit Số số xyz 111 x yz 101 xyz 011 x yz 001 x yz 000  Bước 2: Có thể tổ hợp hai tiểu hạng lại với nhƣ hai xâu bit tƣơng ứng khác bit vị trí Khi tổ hợp hai xâu bit nhƣ vậy, hai bit khác vị trí hai xâu bit đƣợc loại bỏ xâu bit tổ hợp đƣợc thay dấu gạch ngang (-), bit khác đƣợc giữ nguyên Chẳng hạn, x yz x yz đƣợc biểu diễn hai xâu bit 101 001 đƣợc tổ hợp lại thành xâu bit -01 Tƣơng tự với cặp lại tiếp tục nhƣ bƣớc lặp Có thể trình bày bƣớc bảng sau: 102 Khởi đầu Tiểu STT Tổ hợp Xâu bit hạng Tổ hợp Tiểu hạng Xâu bit Tiểu Xâu hạng bit xyz 111* (1,2) xz 1-1* (1,2,3,4) z x yz 101* (1,3) yz -11* (1,3,2,4) z xyz 011* (2,4) yz -01* x yz 001* (3,4) xz 0-1* x yz 000* (4,5) xy 00-  Chú ý: - Các xâu biết nên đƣợc viết thành nhóm cho xâu bit nhóm có số bít nhóm đƣợc xếp theo thứ tự số bit giảm dần - Xâu bit có tham gia tổ hợp đƣợc ghi nhận dấu * bên cạnh Kết nhận đƣợc đƣợc ghi vào cột Khi tất xâu bit khơng có dấu * cho ta tất ứng viên đƣợc sử dụng tối thiểu hàm Boole f Các ứng viên đƣa vào dạng tuyển chuẩn tắc tối thiểu tiểu hạng chƣa đƣợc dùng đến để tổ hợp thành tiểu hạng có số biến Trong bảng ví dụ z x y Các ứng viên không thiết phải có mặt dạng tuyển chuẩn tắc tối tiểu hàm Boole  Bước 3: Cuối kiểm tra xem ứng viên có phủ hết tiểu hạng ban đầu hàm Boole f cho không Khái niệm phủ có nghĩa ứng viên có mặt tiểu hạng ban đầu thay đƣợc cho tiểu hạng Nếu ứng viên có mặt tiểu hạng ban đầu ta gạch chéo cho tiểu hạng Theo ví dụ ta có bảng sau đây: Tiểu hạng gốc Ứng viên z xy 103 xyz x yz xyz x yz x x x x x x yz x Từ bảng ta thấy rằng: z có mặt tiểu hạng hàm f cịn x y có mặt hai tiểu hạng cuối hàm f Nhƣ hai ứng viên z x y phủ hết tiểu hạng ban đầu hàm f Vậy tối thiểu hàm f f(x, y, z) = z + x y Ví dụ 2: Dùng phƣơng pháp Quine-McCluskey để tối thiểu hóa hàm Boole f(w, x, y, z) = wxyz  w xyz  w xyz  wxyz  wx yz  w xyz  w x yz Giải Quá trình tối thiểu hóa hàm f(w, x, y, z) đƣợc thực thơng qua bƣớc:  Bước 1: Gán xâu bit cho tiểu hạng STT Tiểu hạng Xâu bit Số số 1 wxyz 1110 wxyz 1011 3 wxyz 0111 wxyz 1010 wx yz 0101 wxyz 0011 wx yz 0001  Bước 2: Tổ hợp tiểu hạng Khởi tạo STT Tiểu hạng Tổ hợp Tiểu hạng Xâu bit Tổ hợp Xâu Tiểu hạng Xâu bit bit wxyz 1110* (1,4) wyz 1-10 (3,5,6,7) wz wxyz 1011* (2,4) wxy 101- (3,6,5,7) wz wxyz 0111* (2,6) xyz -011 104 Khởi tạo STT Tiểu hạng Tổ hợp Tổ hợp Tiểu hạng Xâu bit Tiểu hạng Xâu Xâu bit bit wxyz 1010* (3,5) wxz 01-1* wx yz 0101* (3,6) wyz 0-11* wxyz 0011* (5,7) w yz 0-01* wx yz 0001* (6,7) w xz 00-1* Các ứng viên (các tiểu hạng khơng tổ hợp đƣợc tiếp) đƣợc sử dụng biểu thức tối thiểu hóa hàm Boole là: wz , wyz , wxy xyz  Bước 3: Xét có mặt ứng viên tiểu hạng ban đầu: Tiểu hạng gốc wxyz wxyz wxyz wxyz wx yz wxyz wx yz x x x Ứng viên x wz wyz x x wxy x xyz x x x Các tiểu hạng: wz , wyz wxy phủ hết tiểu hạng ban đầu Vì dạng tối thiểu f là: f(w, x, y, z) = wz + wyz + wxy Hoặc tiểu hạng: wz , wyz xyz phủ hết tiểu hạng ban đầu Do có dạng tối thiểu hóa thứ hai f là: f(w, x, y, z) = wz + wyz + xyz Vậy có biểu thức tối thiểu hóa hàm Boole f là: f(w, x, y, z) = wz + wyz + wxy Hoặc f(w, x, y, z) = wz + wyz + xyz 105 BÀI TẬP CHƢƠNG Tìm giá trị biểu thức sau: a) 1.0 b)  c) 0.0 d)  Tìm giá trị biểu thức Boole dƣới biến w, x, y z tƣơng ứng 1,1,1 a) xy  x y b) w  xy c) wx  y  yz d) wx  xy  yz Tìm đối ngẫu biểu thức sau: a) x y.z  x y.z b) x.z  x.0  x.1 Một phịng có cửa vào, cửa có cơng tắc đèn, chuyển trạng thái công tắc chuyển trạng thái đèn từ ON sang OFF (nếu ON) ngƣợc lại Thiết kế mạch điện theo yêu cầu trên, với giả thiết sau: - Nếu công tắc bật đèn ON - Nếu cơng tắc tắt đèn OFF Tìm đầu mạch tổ hợp sau: a) x y z b) x y z x y z x y z 106 Dựng mạch gồm đảo, cổng AND OR tạo đầu sau:   a) ( x  y) x b) x y  z c) ( x  y  z)( x yz ) d) x  z   y  z  Vẽ bảng Karnaugh khai triển tổng tích hai biến sau: a) x y b) xy  x y c) xy  xy  x y Dùng bảng Karnaugh để tối thiểu hóa hàm Boole hai biến sau: a) f(x,y) = x.y + xy ; b) f(x,y) = x.y + xy ; c) f(x,y) = x.y + xy + xy + xy ; Cho hàm Boole f(x, y) = xy  xy  x y a) Tìm dạng tối thiểu hóa hàm Boole f(x, y) b) Thiết kế mạch tổ hợp f(x, y) mạch tối thiểu hóa 10 Cho hàm Boole f(x, y) = xy  x y  x y a) Tìm dạng tối thiểu hóa hàm Boole f(x, y) b) Thiết kế mạch tổ hợp f(x, y) mạch tối thiểu hóa 11 Vẽ bảng Karnaugh khai triển tổng tích Boole ba biến sau: a) xyz; b) x y z + zyz ; c) x y z + x yz + x yz + xy z ; 12 Dùng bảng Karnaugh để tối thiểu hóa hàm Boole biến sau: a) f ( x, y, z)  xyz  x yz b) f ( x, y, z)  xyz  xyz   xyz  xyz c) f ( x, y, z)  xyz   x yz  x yz  xyz  x yz d) f ( x, y, z)  xyz  xyz  xyz  xyz  xyz  xyz 13 Dùng bảng Karnaugh để tối thiểu hóa hàm Boole biến sau: a) f (w, x, y, z)  wxyz  wx yz  wx yz  wxyz  wx yz b) f (w, x, y, z)  wxyz  wxyz  wxyz  wxyz  wxyz  wxyz 107 c) f (w, x, y, z)  wxyz  wxyz  wxyz  wx yz  wx yz  wxyz  wxyz  wx yz d) f (w, x, y, z)  wxyz  wxyz  wx yz  wxyz  wxyz  wxyz  wxyz  wxyz  wx yz 14 Dùng phƣơng pháp Quine-McCluskey để tối thiếu hóa hàm Boole f ( x, y, z)  xyz  xyz  xyz  xyz 15 Dùng phƣơng pháp Quine-McCluskey, tìm dạng tối thiểu hàm Boole ba biến cho Bài tập 12 vẽ mạch thực dạng tối thiểu tìm đƣợc 16 Dùng phƣơng pháp Quine-McCluskey, tìm dạng tối thiểu hàm Boole bốn biến cho Bài tập 13 vẽ mạch thực dạng tối thiểu tìm đƣợc 108 TÀI LIỆU THAM KHẢO  Đỗ Đức Giáo (2008) Toán rời rạc ứng dụng tin học Hà Nội: Nhà xuất Giáo dục Đỗ Đức Giáo (2009) Hướng dẫn giải tập toán rời rạc Hà Nội: Nhà xuất Giáo dục Việt Nam Đỗ Văn Nhơn (2000) Giáo trình tốn rời rạc Hồ Chí Minh: Nhà xuất đại học Quốc gia thành phố Hồ Chí Minh Nguyễn Hữu Anh (1999) Tốn rời rạc Hồ Chí Minh: Nhà xuất Lao động xã hội Phạm Văn Thiều & Đặng Hữu Thịnh (2003) Toán rời rạc ứng dụng tin học (Phạm Văn Thiều & Đặng Hữu Thịnh, Biên dịch) Hà Nội: Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật (Quyển sách gốc đƣợc xuất năm 1994) Phạm Tiến Sơn (2008) Toán rời rạc Đà Lạt: Trƣờng Đại học Đà Lạt Võ Văn Tuấn Dũng (2007) Giáo trình tốn rời rạc Hồ Chí Minh: Nhà xuất Thống kê Vũ Kim Thành (2008) Giáo trình Tốn rời rạc Hà Nội: Trƣờng Đại học Nông nghiệp Hà Nội 109