Hình học vi phân tài liệu giảng dạy

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM TÀI LIỆU GIẢNG DẠY HÌNH HỌC VI PHÂN LÊ NGỌC QUỲNH AN GIANG, 07 - 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM TÀI LIỆU GIẢNG DẠY HÌNH HỌC VI PHÂN LÊ NGỌC QUỲNH AN GIANG, 07 - 2018 Giáo trình tài liệu giảng dạy "Hình học vi phân", tác giả Lê Ngọc Quỳnh, công tác Khoa Sư phạm thực Tác giả báo cáo nội dung Hội đồng Khoa học Đào tạo Khoa thông qua ngày / / Hội đồng Khoa học Đào tạo Trường thông qua ngày / / Tác giả biên soạn Trưởng đơn vị Trưởng môn Hiệu trưởng AN GIANG, 07 - 2018 i LỜI CẢM TẠ Tài liệu giảng dạy thực trường Đại học An Giang Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ủy ban nhân dân tỉnh An Giang, Ban giám hiệu trường Đại học An Giang, Ban chủ nhiệm khoa Sư phạm, Ban chủ nhiệm mơn Tốn phịng ban chức trường Đại học An Giang anh chị, bạn bè đồng nghiệp giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành tài liệu Tác giả xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô phản biện dành thời gian đọc đóng góp ý kiến quý báu cho đề tài Lời cuối cùng, tác giả xin gửi lời tri ân sâu sắc đến gia đình, người thân ln tin tưởng, thương u, động viên giúp đỡ tác giả vượt qua khó khăn suốt q trình thực tài liệu giảng dạy Long Xuyên, tháng năm 2018 Tác giả TS Lê Ngọc Quỳnh ii LỜI CAM KẾT Tôi xin cam đoan giáo trình, tài liệu giảng dạy riêng tơi Nội dung giáo trình tài liệu giảng dạy có xuất xứ rõ ràng Long Xuyên, tháng năm 2018 Tác giả TS Lê Ngọc Quỳnh iii MỤC LỤC Chương PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG Rn 1.1 Hàm vectơ đạo hàm hàm vectơ Rn 1.1.1 Nhắc lại không gian vectơ Euclide n chiều Rn 1.1.2 Hàm vectơ 1.1.3 Đạo hàm hàm vectơ 1.1.4 Ma trận Jacobi đạo hàm riêng 1.1.5 Vi phôi 1.1.6 Định lý hàm ẩn hàm ngược 1.1.7 Định hướng Rn 1.2 Trường vectơ trường mục tiêu 1.2.1 Không gian tiếp xúc, phân thớ tiếp xúc 1.2.2 Ánh xạ cảm sinh 1.2.3 Trường vectơ 1.2.4 Trường mục tiêu Chương LÝ THUYẾT ĐƯỜNG 10 2.1 Đường Rn (n = 2, 3) 10 2.1.1 Đường (cung) tham số hóa 10 2.1.2 Trường vectơ trường mục tiêu dọc cung tham số 10 2.1.3 Đường (cung) Rn 11 2.1.4 Tiếp tuyến đường cong 12 2.1.5 Độ dài cung 13 2.1.6 Tham số hóa tự nhiên 13 2.1.7 Bao hình họ đường cong phẳng 14 2.2 Các tính chất địa phương đường R2 14 2.2.1 Trường mục tiêu Frenet 14 iv 2.2.2 Độ cong đường cong R2 14 2.2.3 Công thức Frenet 15 2.2.4 Đặc trưng đoạn thẳng cung tròn 16 2.3 Các tính chất địa phương đường R3 18 2.3.1 Khái niệm cung song quy 18 2.3.2 Độ cong đường cong R3 19 2.3.3 Trường mục tiêu Frenet 20 2.3.4 Độ xoắn đường cong R3 21 2.4 Cung hình học đa tạp chiều 23 2.4.1 Cung hình học 23 2.4.2 Đa tạp chiều 24 2.5 Một số tính chất toàn cục đường cong phẳng 25 2.5.1 Bài toán đẳng chu bất đẳng thức đẳng chu 26 2.5.2 Định lý bốn đỉnh 30 Bài tập 36 Chương LÝ THUYẾT MẶT 47 3.1 Mảnh tham số mặt Rn 47 3.1.1 Mảnh tham số 47 3.1.2 Mặt phẳng tiếp xúc 56 3.1.3 Đường thẳng pháp tuyến 58 3.1.4 Mảnh R3 58 3.2 Mảnh hình học đa tạp hai chiều Rn 62 3.2.1 Mảnh hình học 62 3.2.2 Đa tạp hai chiều Rn 62 3.2.3 Mặt định hướng Rn 65 v 3.3 Ánh xạ Weingarten dạng mặt 68 3.3.1 Ánh xạ Weingarten 68 3.3.2 Các dạng thứ thứ hai 70 3.4 Các độ cong mặt 73 3.5 Mặt kẻ mặt cực tiểu 80 3.5.1 Mặt kẻ 80 3.5.2 Mặt cực tiểu 82 3.6 Phương trình Lagrange 83 3.6.1 Phương trình Lagrange 83 3.6.2 Các tính chất địa phương 84 3.7 Đường mặt R3 86 3.7.1 Đường khúc 86 3.7.2 Đường tiệm cận 88 3.7.3 Đường (tiền) trắc địa 90 Bài tập 92 Tài liệu tham khảo 107 vi LỜI NÓI ĐẦU Hình học vi phân nội dung trọng yếu chương trình học tập sinh viên khoa Toán trường Đại học Sư phạm Để góp phần giúp sinh viên học tập mơn thuận lợi, tác giả biên soạn tài liệu giảng dạy "Hình học vi phân" Khác với mơn hình học Affine Euclide hình học xạ ảnh, cơng cụ chủ yếu đại số tuyến tính hình học vi phân, cơng cụ chủ yếu phép tính vi tích phân Sinh viên khảo sát lớp đường mặt rộng (đường tham số, mặt tham số, đa tạp chiều chiều) Các vấn đề khảo sát hàm số nhìn lại góc nhìn tổng qt chi tiết Đây mơn học khó địi hỏi sinh viên phải cố gắng nhiều Nhiều tính chất địa phương toàn cục đường mặt khảo sát Đây điều mẻ sinh viên Tài liệu gồm chương: chương dành cho việc nhắc lại kiến thức tảng phép tính vi phân Rn để sinh viên nắm vững tiếp thu tốt kiến thức hình học chương tiếp theo, chương dành cho lý thuyết đường, chương dành cho lý thuyết mặt Tác giả hi vọng tài liệu bổ ích bạn sinh viên theo học khoa Toán trường Đại học Sư phạm Sinh viên trường Cao đẳng Sư phạm ngành Tốn dùng giáo trình làm tài liệu tham khảo, đặc biệt giáo viên Toán trường trung học phổ thơng dùng giáo trình để ơn tập củng cố kiến thức cần thiết cho việc giảng dạy Mặc dù có nhiều cố gắng biên soạn chắn tài liệu khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp quý báu chân tình quý đồng nghiệp bạn đọc để tài liệu hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn Long Xuyên, tháng năm 2018 Tác giả TS Lê Ngọc Quỳnh CHƯƠNG PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG RN Phép tính vi phân cơng cụ chủ yếu hình học vi phân Trong chương nghiên cứu chi tiết số khái niệm phép tính vi phân Rn để ứng dụng nghiên cứu hình học HÀM VECTƠ VÀ ĐẠO HÀM CỦA HÀM VECTƠ TRONG RN 1.1 1.1.1 Nhắc lại không gian vectơ Euclide n chiều Rn Kí hiệu R tập hợp tất số thực Rn tích Descartes n phiên tập số thực, tức Rn = {(x1 , · · · , xn )|xi ∈ R, i = 1, n} − − Cho hai vectơ → x = (x1 , · · · , xn ); → y = (y1 , · · · , yn ) ∈ Rn , ta có mệnh đề sau: Mệnh đề 1.1 Tập hợp Rn không gian vectơ Euclide n chiều với phép tốn: − − • → x +→ y = (x1 + y1 , · · · , xn + yn ), − • λ.→ x = (λx1 , · · · , λxn ), • → − − x ;→ y = n xi yi i=1 Mệnh đề 1.2 Mọi không gian vectơ Euclide n chiều đẳng cấu với không gian vectơ Euclide Rn Do việc nghiên cứu khơng gian vectơ Euclide n chiều tùy ý hoàn toàn tương đương với việc nghiên cứu không gian vectơ Euclide Rn với sai khác đẳng cấu Mệnh đề 1.3 Không gian Rn không gian Euclide n chiều Thật vậy, ta ln ln xét Rn khơng gian affine với cấu trúc affine tắc xác định qua ánh xạ liên kết → = y − x, ∀x, y ∈ Rn (x, y) → − xy Khi đó, phần tử Rn gọi điểm khơng gian affine Rn với tích vơ hướng tắc trở thành khơng gian Euclide n chiều Trong không gian Euclide n chiều, khoảng cách hai điểm x y định nghĩa d(x, y) = x − y = x − y, x − y 11 Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với S : x2 + y + 2z = biết y −z vng góc với d : x = = 12 Xác định phươngtrình mặt phẳng tiếp xúc với S : z − xy = biết chứa x = đường thẳng d : y = 3z + 13 Tìm dạng tồn phương thứ thứ hai mặt a) S+2 = {(x, y, z) ∈ R3 |x2 + y + z = 1, ≤ z ≤ 1} b) S(u, v) = (u cos v, u sin v, v) 14 Tính diện tích mặt S+2     x = au cos v 15 Hãy tìm diện tích tứ giác mặt y = au sin v    z = bv b đường cong u = 0, u = , v = 0, v = a  x + y + z = 16 Tính độ dài đường vĩ tuyến c : z = giới hạn 17 Hãy tìm độ dài cung đường cong cho phương trình u = v mặt có dạng tồn phương thứ I = du2 + sh2 udv 18 Hãy tính độ cong Gauss độ cong trung bình S+2 19 Hãy tính độ cong Gauss độ cong trung bình paraboloit z = axy P (0, 0) Hỏi P (0, 0) điểm gì? 20 Hãy xác định độ cong mặt z = a(x2 + y ) điểm (0, 0, 0)     x = u cos v 21 Hãy chứng minh độ cong trung bình mặt 22 Tìm đường tiệm cận mặt x y a) z = + y x b) S(u, v) = (chu cos v, chu sin v, u) 93 y = u sin v    z = cv     x = u cos v 23 Chứng minh mặt y = u sin v    z = cv (c = 0) có hai họ đường tiệm cận họ bao gồm đường thẳng, họ bao gồm đường xoắn ốc 24 Chứng minh đường thắt không phụ thuộc vào đường chuẩn α 25 Chứng minh điểm kỳ dị mặt kẻ nằm đường thắt 26 Chứng minh điểm qui, độ cong Gauss mặt kẻ thỏa mãn K < độ cong Gauss K = dọc theo đường sinh qua điểm kỳ dị đường thắt 27 Chứng minh mặt sau mặt kẻ Hãy xác định mặt mặt kẻ khơng trụ tìm đường thắt chúng a Mặt phẳng b Mặt trụ x2 + y = c Mặt nón x2 + y − z = d Mặt hyperboloid tròn xoay tầng x2 + y − z = e Mặt paraboloid hyperbolic (mặt yên ngựa) x2 + y − z = −1 f Mặt Helicoid với tham số hóa X(u, v) = (u cos v, u sin v, v) 28 Mặt kẻ X(u, v) = α(u) + vω(u) gọi mặt kẻ khả triển det(ω, ω , α ) = Chứng minh điểm qui mặt kẻ khả triển, độ cong Gauss K = Nu , Xv = Nv , Xu = Từ suy mặt phẳng tiếp xúc (tại điểm qui) mặt khả triển dọc đường sinh cố định 29 Chứng minh mặt trụ C = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y = 1} mặt qui tìm họ đồ mà lân cận tọa độ phủ 30 Tập {(x, y, z) ∈ R3 : z = 0, x2 + y ≤ 1} có phải mặt qui khơng? Tập {(x, y, z) ∈ R3 : z = 0, x2 + y < 1} có phải mặt qui khơng? 31 Cho f (x, y, z) = x2 Chứng minh khơng phải giá trị qui hàm f f −1 (0) lại mặt qui 94 32 Cho P = {(x, y, z) ∈ R3 : x = y} ánh xạ f : U ⊂ R2 → R3 xác định X(u, v) = (u + v, u + v, uv) với U = {(u, v) ∈ R2 : u > v} Rõ ràng X(u, v) ⊂ P Có phải X tham số hóa P khơng? 33 Cho hàm f (x, y, z) = (x + y + z − 1)2 a) Tìm điểm tới hạn xác định giá trị tới hạn hàm f b) Với giá trị c tập f (x, y, z) = c mặt qui c) Cùng câu hỏi tương tự cho hàm (x, y, z) = xyz 34 Cho X : U ⊂ R2 → R3 mặt qui Chứng minh X đơn ánh {Xu , Xv } độc lập tuyến tính 35 Cho V tập mở mặt phẳng Oxy Chứng minh tập S = {(x, y, z) ∈ R3 : z = 0, (x, y) ∈ V } mặt qui 36 Chứng minh tập S = {(x, y, z) ∈ R3 : z = x2 − y } mặt qui kiểm tra ánh xạ sau tham số hóa S a) X(u, v) = (u + v, u − v, 4uv), (u, v) ∈ R2 b) X(u, v) = (u cosh v, u sinh v, u2 ), (u, v) ∈ R2 , u = 37 Tìm tham số hóa hyperbolic hai tầng x2 + y − z = −1 38 Cho C hình số tám mặt phẳng Oxy S mặt trụ đứng C nghĩa S = {(x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ C} S có phải mặt qui không? 39 Chứng minh X : U ⊂ R2 → R3 cho X(u, v) = (a sin u cos v, b sin u sin v, c cos u), a, b, c = với < u < 2π, < v < 2π tham số hóa ellipsoid x2 y z + + = a2 b c Mô tả đường cong u = const ellipsoid 95 40 Cho p(t) q(t) hai điểm di chuyển vận tốc Điểm p điểm (0, 0, 0) di chuyển dọc trục Oz q điểm (a, 0, 0) di chuyển song song trục Oy Chứng minh đường thẳng nối p q tạo nên tập R3 cho đẳng thức y(x − a) + xz = Nó có phải mặt qui khơng? 41 Một phương pháp khác để thành lập hệ tọa độ địa phương mặt cầu S xét mặt cầu x2 +y +(z −1)2 = phép chiếu π : S \{N } → R2 chiếu điểm mặt cầu S trừ cực bắc N (0, 0, 2) thành giao điểm mặt phẳng Oxy với đường thẳng nối cực bắc điểm p Gọi (u, v) = π(x, y, z), với (x, y, z) ∈ S \ {N } vào (u, v) ∈ R2 a) Chứng minh π −1 : R2 → S \ {N } xác định biểu thức  4u  x=    u + v2 +  4v π −1 : y = u + v2 +   2   z = x = 2(u + v ) u2 + v + b) Chứng minh dùng phép chiếu để phủ mặt cầu S hệ tọa độ địa phương 42 Định nghĩa đường cong qui tương tự mặt qui Chứng minh a) Nghịch ảnh giá trị qui hàm khả vi f : R2 → R đường cong phẳng qui Cho ví dụ đường cong mà khơng liên thơng b) Nghịch ảnh giá trị qui hàm khả vi f : R3 → R đường cong qui R3 Chỉ mối quan hệ mệnh đề với cách định nghĩa cổ điển đường cong qui giao hai mặt qui c) Chứng minh tập C = {(x, y) ∈ R2 : x2 = y } khơng phải đường cong qui 43 Cho S mặt cầu đơn vị không gian R3 Chứng minh ánh xạ A : S → S , (x, y, z) → (−x, −y, −z) vi phôi 44 Cho S mặt qui π : S → R2 biến điểm p thành hình chiếu trực giao lên mặt phẳng R2 = {(x, y, z) ∈ R3 : z = 0} Ánh xạ π có khả vi khơng? 45 Chứng minh parabolid (P ) : z = x2 + y đồng phôi với mặt phẳng R2 96 46 Xây dựng vi phôi từ ellipsoid (E) : x2 y z + + = a2 b c vào mặt cầu đơn vị S 47 Cho S mặt qui, d hàm khoảng cách từ điểm p ∈ S đến điểm cố định p ∈ S, nghĩa d : S → R+ , p → |p − p0 | Chứng minh hàm f khả vi 48 Chứng minh định nghĩa ánh xạ khả vi hai mặt qui khơng phụ thuộc vào việc chọn tham số 49 Chứng minh quan hệ đồng phôi quan hệ tương đương tập mặt qui 50 Cho S mặt cầu đơn vị H = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y − z = 1} Gọi N (1, 0, 0) S(0, 0, −1) cực bắc cực nam mặt cầu S Xét ánh xạ F : S \ {N ∪ S} → H xác định bởi: với p ∈ S \ {N ∪ S} dựng mặt phẳng α qua p vuông góc với trục Oz, cắt trục Oz q Gọi l tia qp F (p) = l ∩ H Chứng minh F ánh xạ khả vi 51 Cho C đường cong phẳng nằm phía đường thẳng r cắt r hai điểm p, q Với điều kiện C mặt sinh mặt trịn xoay mở rộng 52 Chứng minh phép quay mặt tròn xoay S quanh trục vi phơi mặt S 53 Chứng minh định nghĩa hàm khả vi f : V ⊂ S → R, với S mặt qui tương đương với định nghĩa: hàm f khả vi p thu hẹp ánh xạ khả vi lên tập V chứa p 54 Cho A ⊂ S tập mặt qui S Chứng minh A mặt qui A tập mở S Nghĩa A = U ∩ S với U tập mở R3 55 Chứng tỏ phương trình mặt phẳng tiếp xúc điểm p = (x0 , y0 , z0 ) mặt qui cho phương trình f (x, y, z) = với giá trị qui f có dạng fx (p)(x − x0 ) + fy (p)(y − y0 ) + fz (p)(z − z0 ) = 56 Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt x2 + y − z = điểm (x, y, 0) chứng minh chúng song song với trục Oz 97 57 Cho mặt qui S đồ thị hàm z = f (x, y) a) Chứng tỏ phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt điểm p = (x0 , y0 , f (x0 , y0 )) cho z = f (x0 , y0 ) + fx (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy (x0 , y0 )(y − y0 ) b) Xem lại định nghĩa đạo hàm Df hàm f : R2 → R chứng tỏ mặt phẳng tiếp xúc đồ thị đạo hàm Dfq , với q = (x0 , y0 ) 58 Chứng minh mặt phẳng tiếp xúc mặt cho z = xf (y/x), x = 0, với f hàm khả vi, qua gốc tọa độ 59 Giả sử lân cận tọa độ mặt qui có tham số hóa dạng X(u, v) = α(u) + β(v) với α β đường tham số qui Hãy chứng tỏ mặt phẳng tiếp xúc dọc đường tọa độ lân cận song song với đường thẳng 60 Cho α : I → R3 đường tham số qui với độ cong k = Xét mặt tiếp xúc α X(u, v) = α(u) + vα (u); u ∈ I, v = Chứng minh mặt phẳng tiếp xúc dọc theo đường cong X(const, v) trùng 61 Cho f : S → R cho f (p) = |p − p0 |2 , với p ∈ S p0 điểm cố định R3 Chứng tỏ Dfp (v) = 2v(p − p0 ), với v ∈ Tp S 62 Chứng minh L : R3 → R3 ánh xạ tuyến tính S ⊂ R3 mặt qui bất biến L, tức L(S) ⊂ S Khi L|S ánh xạ khả vi DLp (v) = L(v), với p ∈ S, v ∈ Tp S 63 Chứng minh mặt tham số X(u, v) = (v cos u, v sin u, au), a = mặt qui Tính pháp vectơ N (u, v) xác định mặt phẳng tiếp xúc X dọc đường thẳng u = u0 64 Cho α : I → R3 đường tham số có độ cong khác với tham số độ dài cung Xét X(s, v) = α(s) + r(N (s) cos v + B(s) sin v), r = const, s ∈ I 98 mặt tham số hóa (ống bán kính r dọc đường a), với N pháp tuyến B trùng pháp tuyến α Chứng tỏ X qui, pháp vectơ N (s, v) = −(N (s) cos v + B(s) sin v) 65 Chứng tỏ pháp tuyến mặt xác định tham số hóa X(u, v) = (f (u) cos v, f (u) sin v, g(u)); f (u) = 0, g(u) = 0, qua trục Oz 66 Chứng tỏ phương trình sau x2 + y + z = ax x2 + y + z = by x2 + y + z = cz xác định mặt qui chúng trực giao với 67 Một điểm tới hạn hàm khả vi f : S → R xác định mặt qui S điểm p ∈ S cho Dfp = a) Cho f : S → R xác định f (p) = |p − p0 |, p ∈ S, p0 ∈ S Chứng tỏ p điểm tới hạn f đường thẳng nối p với p0 trực giao với S p b) Cho h : S → R xác định h(p) = p.v với v ∈ R3 vectơ đơn vị Chứng tỏ p ∈ S điểm tới hạn f v vectơ pháp S p 68 Cho Q hợp ba mặt phẳng tọa độ x = 0, y = 0, z = Lấy p = (x, y, z) ∈ R3 \ Q a) Chứng minh phương trình theo t x2 y2 z2 + + = f (t), a > b > c > a−t b−t c−t có nghiệm thực phân biệt t1 , t2 , t3 b) Chứng minh với p ∈ R3 \ Q, tập f (t1 ) − = 0, f (t2 ) − = 0, f (t3 ) − = mặt qui, đơi trực giao với 69 Chứng minh vectơ pháp tuyến mặt qui liên thơng S qua điểm cố định nằm mặt cầu 70 Hai mặt qui S1 S2 gọi giao ngang với p ∈ S1 ∩ S2 Tp S1 = Tp S2 Chứng minh S1 S2 có giao ngang S1 ∩ S2 đường cong qui 99 71 Chứng minh mặt phẳng P cắt mặt qui S điểm mặt phẳng mặt tiếp S 72 Cho S ⊂ R3 mặt qui P mặt phẳng R3 Nếu tất điểm S nằm phía P Chứng minh P mặt phẳng tiếp xúc S điểm S ∩ P 73 Chứng minh phép trực giao từ tâm O(0, 0, 0) ellipsoid x2 y z + + = a2 b c lên mặt phẳng tiếp xúc tạo nên mặt qui {(x, y, z) ∈ R3 : (x2 + xy + z )2 = a2 x2 + b2 y + c2 z } \ {(0, 0, 0)} 74 Cho f : S → R hàm khả vi mặt qui liên thơng S Giả sử Dfp = với p ∈ S, chứng minh f hàm S 75 Chứng minh tất pháp tuyến mặt qui liên thơng S ln cắt đường thẳng cố định S mặt trịn xoay 76 Chứng minh ϕ : S1 → S2 ϕ : S2 → S3 hàm khả vi p ∈ S ta có D(ψo ϕ)p = Dψϕ(p) o Dϕp 77 Chứng minh C1 C2 hai đường cong qui nằm mặt S, tiếp xúc p ϕ : S → S ánh xạ khả vi p ϕ(C1 ) ϕ(C2 ) hai đường cong qui tiếp xúc ϕ(p) 78 Cho S đồ thị hàm z = f (x, y) p ∈ S, chứng minh chọn hệ trục tọa độ cho mặt phẳng tiếp xúc S p mặt phẳng Oxy 79 a) Định nghĩa giá trị qui hàm khả vi f : S → R mặt qui S b) Chứng minh nghịch ảnh giá trị qui hàm khả vi mặt qui S đường cong qui S 80 Xác định dạng thứ mặt tham số qui a) X(u, v) = (a sin u cos v, b sin u sin v, c cos u) ellipsoid b) X(u, v) = (au cos v, au sin v, u2 ) elliptic paraboloid c) X(u, v) = (au cosh v, bu sinh v, u2 ) hyperbolic paraboloid d) X(u, v) = (a sinh u cos v, a sinh u sin v, c cosh u) hyperboloid hai tầng 81 Tìm dạng thứ mặt cầu đơn vị S theo tham số hóa phép chiếu cầu từ S lên mặt phẳng R2 100 82 Cho tham số hóa mặt qui (S) X(u, v) = (u cos v, u sin v, ln cos v + u), −π/2 < v < π/2 Chứng tỏ hai đường cong X(u1 , v), X(u2 , v) xác định đoạn thẳng có độ dài tất đường tham số X(u, const) 83 Cho P = {(x, y, z) ∈ R3 : z = 0} mặt phẳng Oxy, chọn tham số X : U → P cho X(ρ, θ) = (ρ cos θ, ρ sin θ, 0) U = {(ρ, θ) ∈ R2 : ρ > 0, < θ < 2π} Xác định dạng thứ P theo tham số hóa 84 Trong R3 với mục tiêu trực chuẩn, cho parabol (P ) : z = 3x2 a) Viết phương trình mặt tròn xoay (S) sinh (P ) quay quanh trục Oz b) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc S điểm tùy ý c) Tìm hệ số dạng thứ thứ hai (S) d) Xác định độ cong Gauss độ cong trung bình (S) e) Tìm độ cong phương (S) 85 Xác định điểm hyperbolic, eliptic, parabolic, umbulic (rốn) mặt xuyến 86 Cho (S) mặt qui có tham số hóa dạng X(u, v) = (u sin v, u cos v, u + v) a) Xác định độ cong trung bình độ cong Gauss (S) b) Tìm độ cong phương (S) điểm X(0, 0) 87 Chứng minh X(u, v) = (u sin α cos v, u sin α sin v, u cos α), < u < ∞, < V < 2π, α = const tham số hóa mặt nón với gốc đỉnh 2α, hệ tọa độ địa phương tương ứng, chứng minh đường cong X(cesin α cot β , v), c = const, β = const tạo với đường sinh mặt nón (v = const) góc 101 88 Cho S1 , S2 hai mặt qui định hướng S1 ∩ S2 liên thông Chứng minh S = S1 ∩ S2 mặt qui S định hướng 89 Cho S mặt qui phủ hai hệ tọa độ địa phương V1 , V2 Giả sử V1 ∩ V2 có hai thành phần liên thơng W1 , W2 định thức Jacobi phép đổi tọa độ dương W1 âm W2 Chứng minh S không định hướng 90 Cho S2 mặt qui định hướng ϕ : S1 → S2 ánh xạ khả vi, đồng phôi địa phương p ∈ S1 Chứng minh S1 mặt định hướng 91 Cho f : S1 → S2 vi phôi Chứng minh S1 định hướng S2 định hướng 92 Chứng minh mặt qui S chứa tập mở vi phơi với dãy Mobius khơng định hướng 93 Chứng minh mặt qui tiếp xúc với mặt phẳng α dọc theo đường cong điểm đường cong điểm paraboliod điểm phẳng 94 Chứng tỏ điểm hyperboliod phương phân giác đường tiệm cận 95 Cho C đường cong qui nằm mặt S với độ cong Gauss K > Chứng minh độ cong k C điểm p thỏa mãn k ≥ min{|k1 |, |k2 |} với k1 k2 độ cong S p 96 Giả sử mặt qui S có tính chất |k1 | ≤ |k2 | ≤ điểm p ∈ S Khi đó, kết luận độ cong k đường cong mặt S thỏa mãn |k| ≤ không? 97 Chứng minh độ cong trung bình H điểm p ∈ S cho đẳng thức π kn (θ)dθ, H= π − với kn (θ) độ cong pháp dạng p theo phương → v mà tạo thành với phương cố định góc θ 102 98 Chứng minh tổng độ cong pháp dạng theo hai phương trực giao với nhau, điểm p, số 99 Chứng minh điểm có độ cong K = khơng phải điểm phẳng ln có hai phương trực giao với 100 Mô tả miền mặt cầu đơn vị phủ ảnh ánh xạ Gauss mặt sau đây: a) Paraboloid tròn xoay z = x2 + y b) Hyperboloid tầng tròn xoay x2 + y − z = c) Catenoid x2 + y = cosh z 101 Giả sử mặt phẳng mật tiếp đường cong C ⊂ S, khơng có vectơ tiếp xúc vectơ phương tiệm cận, tạo với mặt phẳng tiếp xúc dọc theo C góc Chứng minh C đường cong phẳng 102 Cho p điểm hyperbolic mặt S, r phương nằm mặt phẳng tiếp xúc Tp S Mô tả minh họa cách dựng tia r liên hợp với phương r đồ Dupin 103 Chứng minh S1 giao S2 theo đường cong qui C, độ cong k C p cho biểu thức k sin2 θ = λ21 + λ22 − 2λ1 λ2 cos θ với λ1 , λ2 tương ứng hai độ cong pháp dạng p, dọc theo đường cong C, hai mặt S1 , S2 θ góc hai pháp vectơ S1 S2 p 104 Chứng minh đường kinh tuyến trung tâm mặt xuyến đường 105 Chứng minh H ≡ S khơng có điểm phẳng ánh xạ Gauss N có tính chất DNp (ω1 ), DNp (ω2 ) = −K(p) ω1 , ω2 với điểm p ∈ S với ω1 , ω2 ∈ Tp S 106 Chứng tỏ điểm gốc O(0, 0, 0) mặt yên ngựa (hyperbolic paraboloid) z = axy độ cong Gauss K = −a2 , độ cong trung bình H = 107 Xác định đường tiệm cận đường khúc mặt z = xy 103 108 Xác định đường tiệm cận đường khúc mặt helicoid có tham số hóa X(u, v) = (v cos u, v sin u, cu) độ cong trung bình 109 Xác định đường tiệm cận Catenoid X(u, v) = (cosh v sin u, cosh v cos u, v) 110 Cho tham số hóa mặt Enneper X(u, v) = u− v3 u3 + uv , v − + u2 v, u2 − v 3 a) Hãy tính hệ số dạng thứ thứ hai b) Tính độ cong Từ suy mặt Enneper mặt cực tiểu c) Các đường khúc đường tọa độ d) Các đường đường tiệm cận đường u + v = const u − v = const 111 (Mặt giả cầu (pseudosphere), K ≡ −1) a) Xác định phương trình đường cong C thỏa điều kiện: khoảng cách tiếp tuyến của đến đường thẳng cố định r không cắt C b) Quay đường tractrix quanh trục Oz ta nhận mặt tròn xoay gọi mặt giả cầu Hãy xác định tham số hóa mặt giá cầu lân cận điểm qui c) Chứng minh độ cong Gauss mặt giả cầu điểm qui −1 112 Cho S mặt tròn xoay xác định tham số hóa X(u, v) = (f (v) sin u, f (v) cos u, g(v)) có độ cong Gauss K số (f )2 + (g )2 = Chứng minh a) f thỏa điều kiện f + Kf = g cho g = miền v cho tích phân xác định − (f )2 dv b) Các mặt tròn xoay có độ cong Gauss K = mà trực giao với mặt phẳng xOy xác định v − C sin2 vdv, f (v) = C cos v, g(v) = 104 với C số c) Xác định mặt trịn xoay có độ cong Gauss −1 d) Chỉ có mặt trụ đứng qui, nón trịn mặt phẳng có hàm độ cong Gauss 113 Xác định đường độ cong (đường chính) mặt giả cầu 114 Định nghĩa độ cong Gauss mặt không định hướng được? Có thể định nghĩa độ cong trung bình mặt không định hướng hay không? 115 Xác định điểm rốn ellipsoid x2 y z + + = a2 b c 116 Cho S mặt qui với định hướng N , lấy V ⊂ S tập S, f : V → R hàm khả vi, khác không điểm V , chọn v1 , v2 hai trường vectơ tiếp xúc, khả vi, trực giao v1 ∧ v2 = N điểm V a) Chứng minh độ cong Gauss S V cho biểu thức K= D(f N )(v1 ) ∧ D(f N )(v2 ), f N f3 Ý nghĩa biểu thức chọn hàm f cách khéo léo tính độ cong Gauss cách đơn giản Câu b) ví dụ minh họa b) Áp dụng kết để thu hẹp hàm f f= x2 y z + + a4 b c lên ellipsoid x2 y z + + = a2 b c ta có độ cong Gauss ellipsoid K = a2 b c f4 117 Chứng minh Helicoid mặt kẻ, đường thắt trục Oz đường tham số hóa phân bố 118 Chứng minh hyperboloid x2 + y − z = 1, đường vĩ tuyến có bán kính nhỏ đường thắt, tạo với đường kẻ, đường tham số phân bố góc 105 119 Cho a mơt đường cong qui mặt S, xét mặt kẻ sinh họ môt tham số {a(t), N (t)}, với N (t) pháp vectơ mặt S α(t) Chứng minh α(I) ⊂ S đường cong mặt kẻ thu mặt khả triển 120 Cho X(t, v) = α(t) + vβ(t) môt mặt kẻ khả triển Chứng minh điểm qui có Nv , Xv = Nv , Xt = Từ rút kết luận: mặt phẳng tiếp xúc mặt kẻ khả triển dọc theo đường kẻ cố định 121 Cho S mặt qui khơng có điểm rốn, chứng minh S mặt cực tiểu ánh xạ Gauss thỏa điều kiện, với điểm p ∈ S vectơ ω1 , ω2 ∈ Tp S, ta có DNp (ω1 ), DNp (ω2 ) = λ(p) ω1 , ω2 với λ(p) số khác phụ thuộc vào p 122 Cho X, Y hai tham số hóa hai mặt cực tiểu S S , hàm thành phần chúng đơi liên hiệp điều hịa với ta nói X, Y mặt cực tiểu liên hợp với Chứng minh a) Helicoid Catenoid hai mặt cực tiểu liên hợp với b) Nếu X, Y hai mặt cực tiểu liên hợp với mặt có tham số hóa Z = cos tX + sin tY mặt cực tiểu 106 TÀI LIỆU THAM KHẢO Đoàn Quỳnh (2007) Hình học vi phân Hà Nội: NXB Đại học Sư phạm Đồn Quỳnh Trần Đình Viện Trương Đức Hinh Nguyễn Hữu Quang (1993) Bài tập hình học vi phân Hà Nội: NXB Giáo dục Trần Đạo Dõng Trần Vui Lê Anh Vũ (2006) Hình học vi phân Hà Nội: NXB Giáo dục A Pressley (Phó Đức Tài dịch) (2007) Cơ sở hình học vi phân Internet: https://pdanghai.files.wordpress.com/2011/03/hinh-hoc-vi-phan-pressley.pdf M Spivak (1985) Giải tích đa tạp (Bản dịch tiếng Việt) Hà Nội: NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp Y Aminov (2001) Differential geometry and topology of curves London: CRC Press 107 ... TS Lê Ngọc Quỳnh CHƯƠNG PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG RN Phép tính vi phân công cụ chủ yếu hình học vi phân Trong chương nghiên cứu chi tiết số khái niệm phép tính vi phân Rn để ứng dụng nghiên cứu hình... giảng dạy "Hình học vi phân" Khác với mơn hình học Affine Euclide hình học xạ ảnh, cơng cụ chủ yếu đại số tuyến tính hình học vi phân, cơng cụ chủ yếu phép tính vi tích phân Sinh vi? ?n khảo sát lớp... r2o fo r1 khả vi Nếu f khả vi điểm p ∈ (Γ1 ) ta nói f khả vi Trường hợp f khả vi song ánh cho f −1 khả vi ta nói f vi phơi từ (Γ1 ) lên (Γ2 ) Ví dụ 2.4 a) Trong R3 đường thẳng vi phơi với đường