Tài liệu giảng dạy toán học 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM TOÁN HỌC ĐINH QUỐC HUY AN GIANG, - 2018 Tài liệu giảng dạy “Toán học 1”, tác giả Đinh Quốc Huy, công tác khoa Sư phạm thực Tác giả báo cáo nội dung Hội đồng Khoa học Đào tạo Khoa thông qua ngày 25/05/2018, Hội đồng Khoa học Đào tạo Trường Đại học An Giang thông qua ngày …/6/2018 Tác giả biên soạn ĐINH QUỐC HUY Trưởng Đơn vị P Trưởng Bộ môn NGUYỄN NGUYỆT NGA Hiệu trưởng AN GIANG, 6-2018 LỜI CẢM TẠ Xin cám ơn đồng nghiệp sinh viên động viên, giúp đỡ tơi hồn thành tài liệu giảng dạy Xin cám ơn tác giả tài liệu mà sử dụng q trình hồn thành tài liệu giảng dạy An Giang, ngày … tháng năm 2018 Người thực ĐINH QUỐC HUY LỜI CAM KẾT Tôi xin cam đoan tài liệu giảng dạy riêng tơi Nội dung tài liệu giảng dạy có xuất xứ rõ ràng An Giang, ngày …., tháng năm 2018 Người biên soạn ĐINH QUỐC HUY MỤC LỤC Chương TẬP HỢP 1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TẬP HỢP 1.1.1 Khái niệm tập hợp 1.1.2 Cách xác định tập hợp .1 1.1.3 Tập hợp 1.1.4 Tập rỗng, tập đơn tử 1.1.5 Sơ đồ Venn 1.2 QUAN HỆ BAO HÀM GIỮA CÁC TẬP HỢP 1.2.1 Tập con, quan hệ bao hàm 1.2.2 Một số tính chất quan hệ bao hàm 1.2.3 Sự liên hệ tập tính chất đặc trưng phần tử 1.3 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP 1.3.1 Giao hai tập hợp .5 1.3.2 Hợp hai tập hợp 1.3.3 Một số tính chất phép hợp, phép giao 1.3.4 Hiệu hai tập hợp .8 1.3.5 Sự liên quan phép hiệu, phép hợp, phép giao tập hợp BÀI TẬP 10 HƯỚNG DẪN 12 Chương QUAN HỆ .16 2.1 TÍCH DESCARTES CỦA CÁC TẬP HỢP 16 2.1.1 Cặp thứ tự 16 2.1.2 Tích Descartes hai tập hợp 16 2.2 QUAN HỆ HAI NGÔI 17 2.2.1 Quan hệ hai hai tập hợp 17 2.2.2 Quan hệ hai xác định tập hợp 19 2.2.3 Một số tính chất thường gặp quan hệ hai 19 2.3 QUAN HỆ TƯƠNG ĐƯƠNG 21 2.3.1 Định nghĩa quan hệ tương đương 21 i 2.3.2 Lớp tương đương 22 2.3.3 Tập thương .23 2.4 QUAN HỆ THỨ TỰ 24 2.4.1 Định nghĩa quan hệ thứ tự 24 2.4.2 Tập thứ tự 25 2.4.3 Phần tử lớn nhất, phần tử nhỏ 25 2.4.4 Chặn trên, chặn .26 2.4.5 Chặn nhỏ nhất, chặn lớn 26 2.4.6 Phần tử tối đại, phần tử tối tiểu 26 BÀI TẬP 28 HƯỚNG DẪN 31 Chương ÁNH XẠ 37 3.1 ĐỊNH NGHĨA VÀ THÍ DỤ 37 3.1.1 Định nghĩa 37 3.1.2 Thí dụ 37 3.1.3 Hai ánh xạ 39 3.2 ẢNH VÀ TẠO ẢNH 39 3.2.1 Ảnh tập qua ánh xạ 39 3.2.2 Tạo ảnh tập hợp ánh xạ 40 3.3 CÁC LOẠI ÁNH XẠ ĐẶC BIỆT TÍCH ÁNH XẠ VÀ ÁNH XẠ NGƯỢC 41 3.3.1 Các loại ánh xạ đặc biệt 41 3.3.2 Tích ánh xạ 45 3.3.3 Ánh xạ ngược 47 3.4 BỔ TÚC VỀ GIẢI TÍCH TỔ HỢP 48 3.4.1 Chỉnh hợp lặp Ánh xạ từ tập hợp hữu hạn đến tập hợp hữu hạn 48 3.4.2 Chỉnh hợp không lặp Đơn ánh từ tập hợp hữu hạn đến tập hợp hữu hạn 49 3.4.3 Hoán vị Song ánh từ tập hợp hữu hạn đến 51 3.4.4 Tổ hợp chập m n phần tử 51 BÀI TẬP 54 HƯỚNG DẪN 59 ii Chương LOGIC MỆNH ĐỀ 70 4.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM 70 4.2 CÁC PHÉP TOÁN GIỮA CÁC MỆNH ĐỀ .70 4.2.1 Phép phủ định 70 4.2.2 Phép hội 70 4.2.3 Phép tuyển .71 4.2.4 Phép kéo theo 72 4.2.5 Phép tương đương 73 4.3 CÔNG THỨC VÀ LUẬT CỦA LOGIC MỆNH ĐỀ 74 4.3.1 Khái niệm công thức 74 4.3.2 Giá trị công thức 74 4.3.3 Sự hai công thức .75 4.3.4 Phép biến đổi công thức 77 4.3.5 Luật logic mệnh đề 78 4.3.6 Đẳng thức luật 79 Chương LOGIC VỊ TỪ 80 5.1 HÀM MỆNH ĐỀ MỘT BIẾN 80 5.1.1 Các khái niệm 80 5.1.2 Miền hàm mệnh đề 81 5.2 CÁC PHÉP TOÁN CỦA LOGIC VỊ TỪ 82 5.2.1 Phép phủ định 82 5.2.2 Phép hợp 83 5.2.3 Phép tuyển 83 5.2.4 Phép kéo theo 84 5.2.5 Phép tương đương 84 5.3 CÁC LƯỢNG TỪ .85 5.3.1 Lượng từ tồn  85 5.3.2 Lượng từ với  85 5.3.3 Sự liên hệ lượng từ phép phủ định 86 CHƯƠNG ÁP DỤNG CÁC LUẬT LOGIC VÀO CHỨNG MINH VÀ GIẢI TOÁN .87 iii 6.1 QUI TẮC SUY LUẬN 87 6.1.1 Định nghĩa 87 6.1.2 Luật qui tắc suy luận 87 6.1.3 Các qui tắc suy luận thường gặp 88 6.2 ÁP DỤNG CÁC QUY TẮC SUY LUẬN (CÁC LUẬT LOGIC) VÀO PHÉP CHỨNG MINH VÀ GIẢI TOÁN 88 6.2.1 Phương pháp chứng minh trực tiếp 88 6.2.2 Phương pháp chứng minh phản chứng 89 6.2.3 Phương pháp chứng minh qui nạp 90 BÀI TẬP 92 HƯỚNG DẪN 94 TÀI LIỆU THAM KHẢO 101 iv DANH SÁCH HÌNH STT Chương Trang Hình Tập hợp có phần tử cụ thể Hình Tập hợp khơng có phần tử cụ thể 3 Hình Quan hệ bao hàm 4 Hình Giao hai tập hợp 5 Hình Hợp hai tập hợp 6 Hình + = 7 Hình Hiệu hai tập hợp Chương Hình Hình chữ nhật ABCD 21 Hình Các tập hợp tương đương có lực lượng 1, 2, 23 10 Hình 10 Các tập hợp tương đương có lực lượng 4,5 23 Chương 11 Hình 11 f ánh xạ 37 12 Hình 12 g khơng ánh xạ 37 13 Hình 13 h khơng ánh xạ 38 14 Hình 14 f khơng tồn ánh 42 15 Hình 15 Quan hệ bé 42 16 Hình 16 f khơng đơn ánh 43 17 Hình 17 Quan hệ lớn 43 18 Hình 18 Quan hệ 44 19 Hình 19 Hai ánh xạ f g 45 20 Hình 20 Ánh xạ tích gf Chương 21 Hình 21 Cách phát biểu “Nếu … …” 73 Chương v 22 Hình 22 Biểu thức có chứa chữ 82 23 Hình 23 Biểu thức có chứa chữ 82 Chương 24 Hình 24 Biểu thức có chứa chữ 82 Chương 25 Hình 25 Sơ đồ phân tích vi 89 CHƯƠNG ÁP DỤNG CÁC LUẬT LOGIC VÀO PHÉP CHỨNG MINH VÀ GIẢI TOÁN Phân tích suy luận chứng minh tốn học, ta thấy chứng minh bao gồm số bước đơn giản Mỗi bước tiến hành theo qui tắc định để công nhận mệnh đề hệ trực tiếp mệnh đề khác mà tính đắn chứng minh công nhận 6.1 QUI TẮC SUY LUẬN 6.1.1 Định nghĩa Cho S1, S2, …, S n, T dãy hữu hạn công thức biến mệnh đề p, q,…, r Nếu tất giá trị p, q,…, r làm cho S1, S2, …, S n nhận giá trị đồng thời làm cho T nhận giá trị T gọi hệ logic S1, S 2, …, Sn Khi ta nói có qui tắc suy luận từ tiền đề S1, S2, …, Sn tới S , S , , S n hệ logic T chúng Qui tắc suy luận ký hiệu T p  q, q  r pr Thí dụ 6.1.1.1 Chứng minh có qui tắc suy luận Lập bảng chân trị: p q r pq qr pr 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 Dựa vào dịng tơ đậm ta có điều phải chứng minh 6.1.2 Luật qui tắc suy luận Định lý 6.1.2.1 Giả sử S1, S2, …, Sn, T công thức biến mệnh đề p, q,…, r Ta có luật logic luận 87 S1 , S , , S n T ((S1 S2  … Sn)  T) có qui tắc suy  Chú ý: Mọi công thức hệ công thức sai, công thức hệ công thức 6.1.3 Các qui tắc suy luận thường gặp a) Qui tắc kết luận: để chứng minh q mệnh đề đúng, có định lý (p1p2…pn)  q cần chứng minh p1, p2, …, pn mệnh đề p1 , p2 , , pn , ( p1  p   pn )  q q b) Qui tắc bắc cầu: p suy p1, p1 suy p2,…, pn suy q p suy q p  p1 , p1  p2 , , pn 1  pn , pn  q pq c) Qui tắc suy luận phản chứng: – Nếu từ phủ định mệnh đề p suy hai mệnh đề phủ định q q ta có p mệnh đề p  (q  q ) p – Giả sử cho q mệnh đề Nếu từ phủ định mệnh đề p suy mệnh đề phủ định q ta có p mệnh đề q, p  q p 6.2 ÁP DỤNG CÁC QUY TẮC SUY LUẬN (CÁC LUẬT LOGIC) VÀO PHÉP CHỨNG MINH VÀ GIẢI TOÁN 6.2.1 Phương pháp chứng minh trực tiếp Là phương pháp áp dụng qui tắc suy luận để thẳng từ giả thiết đến kết luận Cơ sở phép chứng minh qui tắc bắc cầu p  p1 , p1  p2 , , pn 1  pn , pn  q pq Để chứng minh mệnh đề p  q mệnh đề đúng, ta lập n mệnh đề p1, p2,…, pn (n  1) sau chứng minh mệnh đề p  p1, p1  p2, …, pn  q Khi ta kết luận mệnh đề p  q mệnh đề Thí dụ 6.2.1.1 Chứng minh a > b c > ac > bc (a, b, c số thực) Giải a > b  a – b >  (a – b)c >  ac – bc >  ac > bc 88 Các mệnh đề trung gian tìm là: a – b > ; (a –b)c > ; ac – bc > Thí dụ 6.2.1.2 Xem tốn sau: “Có 35l mật ong đựng vào can Nếu có 10l mật ong đựng vào can thế?” (Sách giáo khoa Toán 3, trang 166) Có thể hướng dẫn học sinh giải sau: – Từ giả thiết số lít mật ong có giả thiết số can đựng mật ong, cách đựng mật ong can tìm kết trung gian số lít mật ong đựng can – Từ kết trung gian vừa tìm giả thiết số lít mật ong có tìm câu trả lời cho câu hỏi tốn Có 35l mật ong Đựng can Số lít mật ong can Có 10l mật ong Số can cần dùng Hình 25 Sơ đồ phân tích 6.2.2 Phương pháp chứng minh phản chứng Phương pháp chứng minh phản chứng phương pháp chứng minh gián p  (q  q ) tiếp Cơ sở phép chứng minh qui tắc suy luận phản chứng p Để chứng minh mệnh đề p mệnh đề đúng, ta giả sử p sai, tức giả sử p Xuất phát từ giả thiết p , áp dụng qui tắc suy luận ta hai mệnh đề mâu thuẫn hay mâu thuẫn với giả thiết Điều chứng tỏ giả thiết p sai nghĩa p Thí dụ 6.2.2.1 Chứng minh rằng: mặt phẳng, hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ ba song song Giải Gọi đường thẳng a, b, c, mặt phẳng , a b vng góc với c 89 Có thể tóm tắt đề tốn sau: a ,b  a / b  a || b ac , bc Giả sử a khơng song song b, a / b nên a cắt b M Vậy từ điểm M vẽ hai đường thẳng phân biệt a, b vng góc với đường thẳng c, điều vơ lý Vậy a không song song b sai, tức a || b 6.2.3 Phương pháp chứng minh quy nạp 6.2.3.1 Quy nạp hoàn toàn từ số hữu hạn trường hợp biết Nếu hàm mệnh đề (x) xác định tập hữu hạn X = {a1, a2, …, an} ta có đẳng thức logic:  x  X : (x)  (a1)  (a2) …(an) n Thí dụ 6.2.3.1 Chứng minh với số tự nhiên nhỏ 4, số 2  số nguyên tố Giải Khi n = ta có : 2  = + = số nguyên tố Khi n = ta có : 2  = 22 + = số nguyên tố Khi n = ta có : 2  = 24 + = 17 số nguyên tố Khi n = ta có : 2  = 28 + = 257 số nguyên tố Vậy ta có điều phải chứng minh 6.2.3.2 Phương pháp quy nạp toán học Để chứng minh mệnh đề (n) với n   ta làm sau: – Bước 1: chứng minh (0) mệnh đề – Bước 2: giả sử (k) đúng, chứng minh (k + 1) – Bước 3: kết luận (n) với số tự nhiên n Phép chứng minh qui nạp sử dụng trường hợp chứng minh mệnh đề (n) với số tự nhiên n  m Các bước tiến hành sau: – Bước 1: chứng minh (m) mệnh đề – Bước 2: giả sử (k) đúng, chứng minh (k + 1) – Bước 3: kết luận (n) với số tự nhiên n  m Thí dụ 6.2.3.2 Chứng minh với số tự nhiên n 2n > n 90 Giải Bước 1: Khi n = 0: 2n = 20 = > bất đẳng thức n = Bước 2: Giả sử 2k > k ta chứng minh 2k+1 > k + 2k+1 = 2k.2 = 2k + 2k Vì 2k > k (giả thiết qui nạp) 2k  nên 2k + 2k > k +  2k+1 > k + Bước 3: Vậy  n  : 2n > n - 91 BÀI TẬP CHƯƠNG 4, 5, 6.1 a) Cho hàm mệnh đề p  x  : " x  x   0" với x   Tìm miền hàm mệnh đề đặt trước hàm mệnh đề lượng từ thích hợp để mênh đề b) Cho p, q, r mệnh đề Dùng bảng chân trị chứng minh : p   q  r   ( p  q)  ( p  r ) 6.2 a) Cho A  B mệnh đề đúng, tìm chân trị mệnh đề B  A, A  B, A  B b) Tìm chân trị mệnh đề (115  191  3)  (4,   21) 6.3 a) Tìm chân trị p  q biết p  q mệnh đề b) Chứng minh với số tự nhiên n   4n  15n  1 chia hết cho 6.4 a) Cho hai mệnh đề p :"  1" , q : "  3" Phát biểu mệnh đề p  q xác định chân trị mệnh đề b) Dùng bảng chân trị chứng minh: p   q  r   ( p  q )  ( p  r ) 6.5 11  " , q : "(4)  0" Phát biểu mệnh đề p  q xác định chân trị mệnh đề a) Cho hai mệnh đề p :" b) Cho p, q mệnh đề Dùng bảng chân trị chứng minh: p  q  p  q 6.6 a) Cho hai mệnh đề p :"5 12   6" , q : "  10" Phát biểu mệnh đề p  q xác định chân trị mệnh đề b) Cho p, q mệnh đề Dùng bảng chân trị chứng minh: p  q  p  q 6.7 a) Cho p, q, r mệnh đề Bằng cách biến đổi đồng chứng minh: ( p  q)  r  p  q  r 92 b) Chứng minh với số nguyên dương n thì: 12  2   n  n  n  1 2n  1 6.8 a) Cho p, q, r mệnh đề Bằng cách biến đổi đồng chứng minh: q  r   p  p  q  p  r b) Chứng minh với số nguyên dương n thì: 1     n  3n  1  n  n  1 6.9 a) Viết mệnh đề sau khơng cịn dấu "  " :  a  b   c b) Với số nguyên dương n chứng minh n3  2n chia hết cho 6.10 a ) Cho p, q mệnh đề Dùng bảng chân trị chứng minh: p  q  ( p  q)  (q  p) b) Với số nguyên dương n chứng minh: n n2     n   n 2 6.11 a) Xét xem công thức sau đồng hay đồng sai: p  q   q  p b) Chứng minh với số nguyên dương n, ta ln có :     2n  n  n  1 6.12 a) Xét xem công thức sau đồng hay đồng sai: pq pq b) Chứng minh với số ngun dương n, ta ln có n  chia hết cho 93 HƯỚNG DẪN 6.1 a) E p x    x   / x  x   0  1; 2 Ta có E p x    nên mệnh đề x   : p  x  mệnh đề b) p q r qr pq pr p  q  r  ( p  q)  ( p  r ) 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6.2 a) A  B mệnh đề suy A B có chân trị * A B có chân trị suy B  A mệnh đề * A B có chân trị suy A B không chân trị nên A  B mệnh đề sai * A B có chân trị suy A B không chân trị nên A  B mệnh đề sai b) (115  191  3) mệnh đề sai (4,   21) mệnh đề sai Do (115  191  3)  (4,   21) mệnh đề 6.3 a) p  q mệnh đề suy p q hai mệnh đề Do p mệnh đề q mệnh đề sai, suy p  q mệnh đề sai b) Với n = ta có 4n  15n   18 , 18 chia hết mệnh đề với n = 94 Giả sử mệnh đề với n  k  , tức  4k  15k  1 , ta chứng minh mệnh đề với n = k + 1, tức chứng minh  4k 1  15  k  1  1  Thật vậy: 4k 1  15  k  1   4.4k  15k  14   k  15k  1   5k   Vì  4k  15k  1  5k   nên  4k 1  15  k  1  1  Từ có điều phải chứng minh 6.4 a) Mệnh đề p :"  1" mệnh đề đúng, Mệnh đề q : "  3" mệnh đề sai Vậy "    3" mệnh đề sai b) Chứng minh cách lập bảng chân trị : p q r qr pq pr p  (q  r ) ( p  q)  ( p  r ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 6.5 a) Phát biểu mệnh đề p  q : " Mệnh đề p :" 11  (4)2  0" 11  " mệnh đề Mệnh đề q : "(4)  0" mệnh đề sai Vậy mệnh đề p  q : " 11  (4)2  0" mệnh đề b) Chứng minh cách lập bảng chân trị : 95 p q p q pq pq pq 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 6.6 a) Phát biểu mệnh đề p  q : " Nếu 12     10" Mệnh đề p :"5 12   6" mệnh đề Mệnh đề q :"  10" mệnh đề Vậy mệnh đề p  q : " Nếu 12     10" mệnh đề b) Chứng minh cách lập bảng chân trị: p q p pq pq 1 1 0 0 1 1 0 1 6.7 a) ( p  q )  r  p  q  r  p  q  r  p  q  r b) 12  2   n  n  n  1 2n  1 (1) Với n = 1: (1) (Cả hai vế 1) Giả sử (1) với n  k , tức 12  2   k  Ta chứng minh 12  22   k  (k  1)  Vế trái = 12  22   k  (k  1)  96 k  k  1 2k  1 (k  1)  k   2k  3 k (k  1)  2k  1  (k  1)  k (k  1)  2k  1  6( k  1) ( k  1)[k  2k  1  6( k  1)] (k  1)(2k  k  6)]   6 Vế phải  (k  1)  2k  7k   Do Vế trái = Vế phải Kết luận: (1) với số tự nhiên n  6.8 a)  q  r   p   q  r   p     q p  r p   q pr p  pq pr  p  q p r b) 1     n  3n  1  n  n  1 (1) Khi n = 1: (1) (hai vế 4) Giả sử (1) với n = k , tức 1     k  3k  1  k  k  1 Cần chứng minh: 1     k  3k  1   k  1 3k    (k  1)  k   Thật vậy: Vế trái = 1     k  3k  1   k  1 3k    k (k  1)   k  1 3k    (k  1)[k (k  1)  (3k  4)]  (k  1)(k  4k  4)  (k  1)(k  2)2 = Vế phải Vậy (1) với n = k Từ có điều phải chứng minh 6.9 a)  a  b   c  a  b  c   a  b   c  a  b  c b) Đặt A  n3  2n Khi n = 1, A  chia hết cho 97 Giả sử A chia hết cho với n  k , tức k  2k chia hết cho Cần chứng minh (k  1)3  2(k  1) chia hết cho Thật vậy: (k  1)3  2(k  1)  k  3k  3k   2k   (k  2k )  (3k  3k  3) Theo giả thiết quy nạp k  2k chia hết cho 3, rõ ràng (3k  3k  3) chia hết cho 3, (k  1)3  2(k  1) chia hết cho Từ có điều phải chứng minh 6.10 a) b) p q pq pq q p ( p  q)  (q  p) 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 n n2     n   n 2 (1) Khi n = 1: (1) (vì hai vế Giả sử (1) với n  k tức Cần chứng minh ) 2 k k 2     k   k 2 k k 1 k 3     k  k 1   k 1 2 Thật vậy: Vế trái = k k 1 k  k 1     k  k 1   k  k 1 2 2  2 k 1 k  k   2(k  2) k  k 3  k  2   k 1   k 1 k 1 k 1 2 2 = Vế phải Từ có điều phải chứng minh 6.11 a) Lập bảng chân trị để có kết luận tính chất hay sai công thức 98 p q pq q p qp ( p  q)  (q  p ) 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 b) Chứng minh     2n  n  n  1 (1) Khi n = 1: (1) (vì hai vế 2) Giả sử (1) với n  k tức     2k  k  k  1 Cần chứng minh     2k  2( k  1)  ( k  1)( k  2) Thật vây: Vế trái =     2k  2( k  1)  k ( k  1)  2( k  1)  k  3k   (k  1)(k  2) = Vế phải Từ có điều phải chứng minh 6.12  a) p  q  p  q  p  q  p  q   pq q p      p qq  p  p0 p  Vậy công thức đồng sai b) Đặt A  n  Khi n = 1, A  chia hết cho Giả sử A chia hết cho với n  k tức k  chia hết cho 6, cần chứng minh k 1  chia hết cho Ta có: k 1   7.7 k   7(7 k  1)  99 Theo giả thiết quy nạp k  chia hết cho ; rõ ràng chia hết cho suy k 1  chia hết cho Từ có điều phải chứng minh 100 TÀI LIỆU THAM KHẢO Đỗ Đình Hoan (chủ biên), Nguyễn Áng, Đỗ Trung Hiệu & Phan Thanh Tâm (2002) Toán Hà Nội: Nhà xuất Giáo dục Đỗ Đình Hoan (chủ biên), Nguyễn Áng, Đỗ Tiến Đạt, Đào Thái Lai, Đỗ Trung Hiệu, Trần Diên Hiển, Phạm Thanh Tâm & Vũ Dương Thuỵ (2007) Toán Hà Nội: Nhà xuất Giáo dục Đỗ Đình Hoan (chủ biên), Nguyễn Áng, Vũ Quốc Chung, Đỗ Tiến Đạt, Đỗ Trung Hiệu, Trần Diên Hiển, Đào Thái Lai, Phạm Thanh Tâm, Kiều Đức Thành, Lê Tiến Thành & Vũ Dương Thuỵ (2006) Toán Hà Nội: Nhà xuất Giáo dục Ngô Thúc Lanh (1986) Đại số số học tập Hà Nội: Nhà xuất Giáo dục Ngô Thúc Lanh (1986) Đại số số học tập Hà Nội: Nhà xuất Giáo dục Nguyễn Tiến Quang (2002) Bài tập Số học Hà Nội: Nhà xuất Giáo dục Phan Hữu Chân – Nguyễn Tiến Tài (1998) Tập hợp lôgic, số học Hà Nội: Nhà xuất Giáo dục Trần Diên Hiển (2015) Thực hành giải toán tiểu học Hà Nội: Nhà xuất Đại học sư phạm - 101 ... 1. 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ TẬP HỢP 1. 1 .1 Khái niệm tập hợp 1. 1.2 Cách xác định tập hợp .1 1 .1. 3 Tập hợp 1. 1.4 Tập rỗng, tập đơn tử 1. 1.5 Sơ... nhật ABCD 21 Hình Các tập hợp tương đương có lực lượng 1, 2, 23 10 Hình 10 Các tập hợp tương đương có lực lượng 4,5 23 Chương 11 Hình 11 f ánh xạ 37 12 Hình 12 g khơng ánh xạ 37 13 Hình 13 h khơng... Hình 13 h khơng ánh xạ 38 14 Hình 14 f khơng tồn ánh 42 15 Hình 15 Quan hệ bé 42 16 Hình 16 f khơng đơn ánh 43 17 Hình 17 Quan hệ lớn 43 18 Hình 18 Quan hệ 44 19 Hình 19 Hai ánh xạ f g 45 20 Hình