Hình học affine và euclide tài liệu giảng dạy

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM TÀI LIỆU GIẢNG DẠY HÌNH HỌC AFFINE VÀ EUCLIDE LÊ NGỌC QUỲNH AN GIANG, 07 - 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM TÀI LIỆU GIẢNG DẠY HÌNH HỌC AFFINE VÀ EUCLIDE LÊ NGỌC QUỲNH AN GIANG, 07 - 2018 Giáo trình tài liệu giảng dạy "Hình học Affine Euclide", tác giả Lê Ngọc Quỳnh, công tác Khoa Sư phạm thực Tác giả báo cáo nội dung Hội đồng Khoa học Đào tạo Khoa thông qua ngày / / Hội đồng Khoa học Đào tạo Trường thông qua ngày / / Tác giả biên soạn Trưởng đơn vị Trưởng môn Hiệu trưởng AN GIANG, 07 - 2018 i LỜI CẢM TẠ Tài liệu giảng dạy thực trường Đại học An Giang Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ủy ban nhân dân tỉnh An Giang, Ban giám hiệu trường Đại học An Giang, Ban chủ nhiệm khoa Sư phạm, Ban chủ nhiệm mơn Tốn phịng ban chức trường Đại học An Giang anh chị, bạn bè đồng nghiệp giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành tài liệu Tác giả xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cơ phản biện dành thời gian đọc đóng góp ý kiến quý báu cho đề tài Lời cuối cùng, tác giả xin gửi lời tri ân sâu sắc đến gia đình, người thân ln tin tưởng, thương yêu, động viên giúp đỡ tác giả vượt qua khó khăn suốt q trình thực tài liệu giảng dạy Long Xuyên, tháng năm 2018 Tác giả TS Lê Ngọc Quỳnh ii LỜI CAM KẾT Tơi xin cam đoan giáo trình, tài liệu giảng dạy riêng tơi Nội dung giáo trình tài liệu giảng dạy có xuất xứ rõ ràng Long Xuyên, tháng năm 2018 Tác giả TS Lê Ngọc Quỳnh iii MỤC LỤC Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian vectơ 1.1.1 Định nghĩa không gian vectơ 1.1.2 Hệ vectơ độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính 1.2 Cơ sở số chiều không gian vectơ 1.2.1 Cơ sở số chiều không gian vectơ 1.2.2 Tọa độ vectơ công thức đổi sở 1.3 Không gian vectơ 1.3.1 Định nghĩa không gian vectơ 1.3.2 Tổng giao không gian vectơ 1.4 Ánh xạ tuyến tính 1.5 Phép biến đổi tuyến tính 1.6 Không gian bất biến - Vectơ riêng giá trị riêng 1.6.1 Không gian bất biến 1.6.2 Vectơ riêng giá trị riêng 1.6.3 Thuật tốn tìm vectơ riêng giá trị riêng 10 1.7 Dạng song tuyến tính dạng toàn phương 10 1.7.1 Dạng song tuyến tính 10 1.7.2 Dạng toàn phương 11 Chương Hình học Affine 12 2.1 Không gian affine 12 2.2 Mục tiêu tọa độ affine 13 2.2.1 Hệ điểm độc lập 13 2.2.2 Mục tiêu affine 14 2.2.3 Tọa độ affine 14 iv 2.2.4 Công thức đổi mục tiêu 15 2.3 Các phẳng không gian affine 16 2.3.1 Cái phẳng không gian affine 17 2.3.2 Phương trình tham số tổng quát m-phẳng 19 2.4 Vị trí tương đối phẳng 21 2.4.1 Phẳng tổng phẳng giao 22 2.4.2 Vị trí tương đối hai phẳng 24 2.5 Tâm tỉ cự - Tỉ số đơn 26 2.5.1 Tâm tỉ cự 26 2.5.2 Tỉ số đơn 27 2.5.3 Công thức tọa độ ý nghĩa hình học tỉ số đơn 28 2.6 Tập lồi không gian affine thực 29 2.6.1 Đoạn thẳng 29 2.6.2 Tập lồi bao lồi 30 2.6.3 Hình hộp m-chiều 33 2.6.4 Đơn hình m-chiều 34 2.7 Ánh xạ affine - Phép biến đổi affine 36 2.7.1 Ánh xạ affine 36 2.7.2 Sự xác định ánh xạ affine 38 2.7.3 Phép biến đổi affine 40 2.7.4 Phép tịnh tiến 41 2.7.5 Phép vị tự 42 2.7.6 Phép chiếu song song 43 2.7.7 Thấu xạ affine 44 2.7.8 Biểu thức tọa độ phép affine 48 2.8 Hình học nhóm - Hình học affine 50 v 2.9 Các siêu mặt bậc hai không gian affine 51 2.9.1 Định nghĩa siêu mặt bậc hai 51 2.9.2 Tâm siêu mặt bậc hai 53 2.9.3 Đường tiệm cận siêu mặt bậc hai 54 2.9.4 Tiếp tuyến siêu tiếp diện siêu mặt bậc hai 56 2.9.5 Siêu phẳng kính liên hợp 59 2.9.6 Phương trình chuẩn tắc siêu mặt bậc hai 61 2.9.7 Phân loại siêu mặt bậc hai 64 Bài tập 66 Chương Hình học Euclide 93 3.1 Không gian vectơ Euclide 93 3.1.1 Định nghĩa không gian vectơ Euclide 93 3.1.2 Khoảng cách góc 94 3.1.3 Trực giao trực chuẩn 96 3.1.4 Phép biến đổi trực giao 98 3.1.5 Phép biến đổi tự liên hợp 102 3.1.6 Ánh xạ tuyến tính đồng dạng không gian vectơ Euclide 104 3.2 Không gian Euclide 105 3.2.1 Định nghĩa không gian Euclide 105 3.2.2 Mục tiêu - Tọa độ trực chuẩn 106 3.2.3 Trực giao không gian Euclide 107 3.2.4 Khoảng cách không gian Euclide 110 3.2.5 Góc khơng gian Euclide 116 3.2.6 Thể tích khơng gian Euclide 116 3.3 Hình học Euclide 118 3.3.1 Phép biến đổi đẳng cự 118 vi 3.3.2 Phép dời hình 119 3.3.3 Hình học Euclide 122 3.3.4 Giải toán affine phương tiện Euclide 123 3.4 Hình học đồng dạng 127 3.4.1 Phép biến đổi đồng dạng 127 3.4.2 Hình học đồng dạng 128 3.5 Siêu mặt bậc hai - Siêu cầu 128 3.5.1 Định nghĩa siêu mặt bậc hai 128 3.5.2 Phân loại Euclide siêu mặt bậc hai 132 3.5.3 Gọi tên số siêu mặt bậc hai 134 3.5.4 Khảo sát siêu mặt bậc hai Euclide bất biến 135 3.5.5 Phương siêu phẳng kính 141 3.5.6 Siêu cầu - Miền miền siêu cầu 143 3.5.7 Phương tích siêu phẳng đẳng phương 145 3.5.8 Giao siêu cầu với siêu phẳng 146 Bài tập 147 Tài liệu tham khảo 164 vii LỜI NĨI ĐẦU Hình học chương trình Để góp phần tài liệu giảng Affine Euclide nội dung trọng yếu học tập sinh viên khoa Toán trường Đại học Sư phạm giúp sinh viên học tập môn thuận lợi, tác giả biên soạn dạy "Hình học Affine Euclide" Tài liệu gồm chương: chương dành cho việc nhắc lại kiến thức tảng Đại số tuyến tính để sinh viên nắm vững tiếp thu tốt kiến thức hình học chương tiếp theo; chương dành cho hình học Affine tập; chương dành cho hình học Euclide tập Tác giả hi vọng tài liệu bổ ích bạn sinh viên theo học khoa Toán trường Đại học Sư phạm Sinh viên trường Cao đẳng Sư phạm ngành Tốn dùng giáo trình làm tài liệu tham khảo, đặc biệt giáo viên Tốn trường trung học phổ thơng dùng giáo trình để ơn tập củng cố kiến thức cần thiết cho việc giảng dạy Mặc dù có nhiều cố gắng biên soạn chắn tài liệu không tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp q báu chân tình q đồng nghiệp bạn đọc để tài liệu hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn Long Xuyên, tháng năm 2018 Tác giả TS Lê Ngọc Quỳnh 17 Trong E3 với mục tiêu trực chuẩn cho trước, cho đường thẳng d mặt phẳng α có phương trình sau:  x + 2x − = d: 2x2 − x3 + = α :x1 − 2x + 2x3 + = Chứng minh d song song với α tính khoảng cách d với α 18 Trong E4 , cho hai phẳng P, Q có phương trình   x + x − x + = 3x + x − x − x − = 3 ; Q: P : x + x − = 2x1 − x4 = a) Chứng minh P Q chéo b) Lập phương trình phẳng lớn qua E(0, 0, 0, 0) song song với P Q 19 Trong E4 với mục tiêu trực chuẩn cho trước, cho mặt phẳng α qua điểm A(1, 1, 1, 1), B(2, 2, 0, 0), C(1, 2, 0, 1) đường thẳng d qua hai điểm D(1, 1, 1, 2), E(1, 1, 2, 1) a Chứng minh α d chéo b Viết phương trình đường vng góc chung α d Tính độ dài đoạn vng góc chung 20 Trong E4 với mục tiêu trực chuẩn cho trước, cho điểm A(1, 1, 1, 1), B(−2, −1, 1, 3), P (2, 1, Hãy viết phương trình đường vng góc chung đường thẳng AB mặt phẳng (P QR) 21 Trong En cho hai phẳng P, Q chéo Chứng minh có điểm A ∈ P, B ∈ Q cho d(A, B) ≤ d(M, N ), ∀M ∈ P, N ∈ Q đường thẳng AB vng góc với P Q Độ dài đoạn AB gọi khoảng cách từ P tới Q, kí hiệu d(P, Q) Trong trường hợp đường thẳng AB nhất? − 22 Trong VEn cho hệ vectơ {→ }i=1,m Ta kí hiệu định thức Gram hệ → − vectơ { }i=1,m sau: − − Gr(→ a1 , → a2 , · · · , − a→ m) = → − − a1 → a1 → − → − a a → − − a1 → a2 · · · → − → − a2 a2 · · · ··· ··· ··· − → → − − → − am a1 am → a2 · · · 150 → − a1 − a→ m → − − → a a m ··· − → am − a→ m − − → − a) Tính Gr(→ a1 , → a2 , · · · , − a→ m ) { }i=1,m hệ trực giao Xét trường hợp − {→ }i=1,m hệ trực chuẩn − b) Chứng minh hệ {→ a} phụ thuộc tuyến tính i i=1,m − − Gr(→ a1 , → a2 , · · · , − a→ m ) = − c) Chứng minh hệ {→ }i=1,m độc lập tuyến tính − − Gr(→ a1 , → a2 , · · · , − a→ m ) > − − d) Phát biểu điều kiện Gr(→ a1 , → a2 , · · · , − a→ m ) để hệ vectơ cho phụ thuộc tuyến tính độc lập tuyến tính 23 Trong En , cho điểm I m-phẳng α không chứa I với m < n qua − − − điểm S có phương → α nhận m vectơ {→ u1 , → u2 , · · · , − u→ m } làm sở Gọi J hình chiếu vng góc I xuống α Chứng minh: − → − − − →2 |G(→ u1 , → u2 , · · · , − u→ m , SI)| d (I, α) = JI = − − G(→ u1 , → u2 , · · · , − u→ m) − − 24 Trong En cho hai phẳng α β chéo Gọi {→ e1 , → e2 , · · · , − e→ m } → − → − sở không gian vectơ α + β lấy điểm A ∈ α, B ∈ β Chứng minh rằng: −→ − → |G(AB, → e1 , − e2 , · · · , − e→ m )| d (α, β) = → − → − − → G( e1 , e2 , · · · , em ) 25 Hãy tìm cơng thức tính khoảng cách hai siêu phẳng song song En , sau áp dụng cơng thức vừa tìm để tính khoảng cách hai mặt phẳng song song với nhau: a) Trong E3 có phương trình: P : 2x1 − x2 + 2x3 + = 0; Q : 4x1 − 2x2 + 4x3 − 21 = b) Trong E4 có phương trình: α : x1 + x2 − 2x3 + 3x4 = 2; β : 2x1 + 2x2 − 4x3 + 6x4 = 12 26 Trong E4 với mục tiêu trực chuẩn cho trước, tính khoảng cách từ: a Điểm A(1, −2, 4, 1) đến siêu phẳng α : x1 + 4x2 − 8x3 − =   x1 = + t     x = 2t b Điểm B(0, 2, 8, −1) đến đường thẳng d :   x = −1 − t     x4 = 151 27 Trong E3 tìm khoảng cách từ điểm M (1, 3, 5) tới đường thẳng (d) có phương 2x + x + x − = trình 3x1 + x2 + 2x3 − = 28 Trong E3 tìm khoảng cách cặp đường thẳng có phương trình:         x = + t x1 = −u a) d1 : x2 = − t d2 : x2 = + 3u       x3 = − 2t x3 = 3u   x + 2x − x + = x + x + x − = 3 b) m1 : m2 : 2x1 − 3x2 + x3 − = 2x1 − x2 − x3 = 29 Trong E4 , viết phương trình tham số phẳng P qua A(1, 1, −1, −1) x + x + 2x + x = 1 bù vuông góc với phẳng Q : Tính d(A, Q) 2x1 + 2x2 + x3 + x4 = 30 Trong E4 với mục tiêu trực chuẩn cho trước, tính khoảng cách phẳng:  x + x + 2x − = α: ; 2x2 − x3 + 5x4 + =  2x + x − x + 11 = β: x2 − x3 + 2x4 + 17 = 31 Trong E3 tìm điểm đối xứng điểm M (1, 2, 3) đối với: a) Mặt phẳng 2x1 − 2x2 + 5x3 − 68 = x2 − 11 = −x3 + b) Đường thẳng x1 − = 32 Trong E4 , tìm điểm đối xứng điểm A(1, 2, 3, 4) qua: a Siêu phẳng x1 + x2 − x3 + x4 + = b Mặt phẳng  2x − x − 2x + x + = x1 − 2x3 − x3 + 2x4 + = 33 Trong E3 với mục tiêu trực chuẩn cho trước, xác định số đo góc đường thẳng sau: 152   x + 4x − x + = x + 2x − x − = 3 a d1 : ; d2 : x + x − = 2x1 + 2x2 + x3 − 10 =   x − 2x + 2x − = 2x + 2x − x − 10 = 3 b d1 : ; d2 : x1 + 4x2 − x3 + = x1 + 2x2 − = 34 Với hệ tọa độ trực chuẩn E3 , cho ba điểm A(3, 4, −1).B(2, 0, 3) C(−3, 5, 4) Hãy chứng tỏ ba điểm khơng thẳng hàng tính diện tích tam giác ABC 35 Trong E3 cho tứ diện ABCD Các đỉnh có tọa độ trực chuẩn A(0, 0, 2), B(3, 0, 5), C(1, 1, 0), D(4, 1, 2) Tính chiều cao tứ diện hạ từ đỉnh D tới mặt ABC 36 Trong E3 , tìm tập hợp điểm cách a Hai đường thẳng chéo cho trước b Một điểm siêu phẳng cho trước c Một điểm đường thẳng cho trước 37 Trong En , tìm tập hợp tất điểm M cách đều: a Hai điểm phân biệt cho trước b Hai siêu phẳng cho trước c Một siêu phẳng α cho trước khoảng cách h cho trước 38 Trong En , cho hai điểm phân biệt A, B số thực dương k Tìm tập hợp điểm M ∈ En cho: a d(M, A) + d(M, B) = k b d(M, A) − d(M, B) = k c d(M, A)2 + d(M, B)2 = k 39 Một m-đơn hình S(P0 , P1 , · · · , Pm ) không gian Euclide En gọi khoảng cách hai đỉnh a Chứng minh trọng tâm m-đơn hình cách đỉnh đơn hình b Biết khoảng cách hai đỉnh đơn hình đều, tính khoảng cách từ trọng tâm đến đỉnh c Biết khoảng cách hai đỉnh đơn hình đều, tính thể tích đơn hình 153 − − 40 Trong En với mục tiêu trực chuẩn {O; → e1 , · · · , → en }, gọi Pi điểm mà −−→ → − OPi = ei , i = 1, n Tính thể tích (n − 1)-đơn hình S(P1 , P2 , · · · , Pn ) 41 Trong không gian Euclide E3 , cho hai đường thẳng chéo d1 d2 Hai đoạn thẳng AB CD có độ dài khơng đổi nằm d1 d2 Chứng minh thể tích tứ diện ABCD khơng phụ thuộc vào vị trí đoạn thẳng AB CD d1 d2 → − → − − → − 42 Phép chiếu (affine) lên phẳng α theo phương β (với → α ⊕ β = En ) → − − gọi phép chiếu vng góc → α⊥β a) Chứng minh f phép chiếu vng góc En lên m-phẳng α − − với mục tiêu trực chuẩn {O; → e1 , → e2 , · · · , − e→ m } α ta có −−→ OM = m −−→ − → (OM → ei ).− ei đóM = f (M ) i=1 b) Cho f phép chiếu (affine) từ En lên phẳng α Chứng minh với cặp điểm M, N ∈ En M = f (M ), N = f (N ) điều kiện d(M , N ) ≤ d(M, N ) xảy f phép chiếu vng góc 43 Hai siêu phẳng α β gọi đối vuông góc hai khơng gian bù → − − vng góc → α β vng góc với Chứng minh tích hai phép đối xứng qua hai siêu phẳng α β phép đối xứng qua phẳng α ∩ β α β hai siêu phẳng đối vng góc 44 Trong E2 , chứng minh rằng: a Hợp hai phép đối xứng qua hai điểm A B phép tịnh tiến theo −→ − − vectơ → v = 2AB Ngược lại, phép tịnh tiến theo vectơ → v phân tích thành hợp hai phép đối xứng qua hai điểm A B −→ − cho → v = 2AB − b Hợp phép tịnh tiến theo vectơ → v phép đối xứng qua điểm B −→ − v phép đối xứng qua điểm A cho AB = → − c Hợp phép đối xứng qua điểm A phép tịnh tiến theo vectơ → v −→ → − phép đối xứng qua điểm B cho AB = v d Hợp số chẵn phép đối xứng qua điểm phép tịnh tiến Hợp số lẻ phép đối xứng qua điểm phép đối xứng qua điểm 45 Trong E2 , chứng minh rằng: a Hợp hai phép đối xứng qua hai đường thẳng song song phép tịnh − − tiến theo vectơ → v , xác định → v Ngược lại, phép tịnh tiến theo 154 − vectơ → v phân tích thành hợp hai phép đối xứng qua hai đường thẳng song song b Hợp hai phép đối xứng qua hai đường thẳng cắt vng góc phép đối xứng qua đường thẳng Hãy xác định phép đối xứng c Hợp phép đối xứng qua hai đường thẳng cắt phép quay (quanh điểm), xác định phép quay Ngược lại, phép quay (quanh điểm) phân tích thành hợp hai phép đối xứng qua hai đường thẳng cắt d Hợp hai phép đối xứng qua hai đường thẳng chéo phép đối xứng quay Hãy xác định phép đối xứng quay 46 Trong E3 , chứng minh rằng: a Hợp phép đối xứng qua điểm A phép đối xứng qua mặt phẳng α chứa A phép đối xứng qua đường thẳng Hãy xác định phép đối xứng b Hợp hai phép đối xứng qua hai mặt phẳng song song phép tịnh − − tiến theo vectơ → v Hãy xác định → v chứng minh điều ngược lại c Hợp phép đối xứng qua hai mặt phẳng cắt phép quay (quanh đường thẳng) Hãy xác định phép quay chứng minh điều ngược lại 47 Chứng minh rằng: a Phép quay (quanh điểm) E2 có biểu thức tọa độ dạng tắc sau:  x = x cos θ − x sin θ + a 1 x = x1 sin θ + x2 cos θ + a2 b Phép quay (quanh đường thẳng) E3 có biểu thức tọa độ dạng tắc sau:     x1 = x1 cos θ − x2 sin θ +a1 x2 = x1 sin θ + x2 cos θ    x = x 3 +a2 +a3 48 Trong E2 , cho đa giác n cạnh Hãy tìm tất phép quay biến đa giác thành chứng minh chúng lập thành nhóm 49 Trong E3 , chứng minh rằng: 155 a Mọi phép dời loại hợp hai phép đối xứng qua hai đường thẳng b Mọi phép dời loại hợp phép đối xứng qua đường thẳng phép đối xứng qua mặt phẳng 50 Chứng minh rằng: a Mỗi phép đẳng cự E2 phân tích thành hợp không ba phép đối xứng qua đường thẳng b Mỗi phép đẳng cự E3 phân tích thành hợp khơng q bốn phép đối xứng qua mặt phẳng c Tổng quát, phép đẳng cự En phân tích thành hợp không n + phép đối xứng qua siêu phẳng 51 Trong E3 , cho hình chữ nhật ABCD a Hãy xác định phép hợp bốn phép đối xứng qua đường thẳng AB, BC, CD, DA b Hãy xác định phép biến đổi đẳng cự (khác phép đồng nhất) biến hình chữ nhật ABCD thành Hãy tìm tất phép đẳng cự chứng minh chúng lập thành nhóm 52 Trong E2 cho hai tam giác ABC A B C Hãy chứng tỏ có phép biến đổi đẳng cự biến tam giác ABC thành tam giác A B C Có phép biến đổi đẳng cự nếu: −→ −−→ −→ a ABC tam giác thường ( AB = BC = CA ) b ABC tam giác cân c ABC tam giác 53 Trong E2 cho hai hình bình hành ABCD A B C D Hãy chứng tỏ có phép biến đổi đẳng cự biến hình bình hành ABCD thành hình bình hành A B C D Có phép biến đổi đẳng cự nếu: −→ −→ −→ −→ a ABCD hình bình hành thường ( AB = AC ; AB.AC = 0) b ABCD hình thoi −→ −→ c ABCD hình chữ nhật ( AB = AC ) d ABCD hình vng 156 54 Trong E3 , cho hình hộp chữ nhật Hãy tìm tất phép đẳng cự E3 biến hình hộp thành chứng minh chúng lập thành nhóm Câu hỏi tương tự, có phép biến đổi đẳng cự E3 biến hình lập phương thành 55 Chứng minh rằng: a Mọi phép biến đổi đẳng cự En khơng có điểm bất động phải có đường thẳng bất động (tức đường thẳng biến thành nó) b Có phép biến đổi đẳng cự En (n ≥ 2) có điểm bất động khơng có đường thẳng bất động 56 Cho phép đẳng cự f : En → En khơng có điểm bất động Chứng minh I điểm mà d(I, f (I)) ≤ d(M, f (M )), ∀M ∈ En đường thẳng qua I f (I) đường thẳng bất động 57 Cho mục tiêu trực chuẩn {O; E0 , E1 , · · · , En } không gian Euclide En Chứng minh phép biến đổi đẳng cự f giữ bất động điểm Ei , i = 1, · · · , m; m < n f giữ bất động điểm m-phẳng E0 +E1 +· · ·+Em 58 Chứng minh phép biến đổi đẳng cự giữ bất động điểm siêu phẳng α phép đồng phép đối xứng qua siêu phẳng α 59 Trong En , chứng minh hợp phép vị tự tâm O1 tỉ số k1 phép vị tự tâm O2 tỉ số k2 với k1 k2 = phép vị tự tâm O3 thẳng hàng với O1 O2 với tỉ số k1 k2 60 Trong En , chứng minh hợp phép vị tự tỉ số k = − phép tịnh tiến theo vectơ → v phép vị tự tỉ số k Hợp giao hoán → − → − v = Phát biểu kết k = −1 61 Chứng tỏ phép vị tự phép đồng dạng 62 Cho f phép đồng dạng tỉ số k En Chứng minh f có điểm bất động với k = 63 Chứng tỏ phép đồng dạng En bảo tồn góc hai đường thẳng, hai siêu phẳng, đường thẳng với siêu phẳng biến hai phẳng trực giao (bù trực giao) thành hai phẳng trực giao (bù trực giao) 64 Chứng minh phép đồng dạng tỉ số k phân tích thành hợp phép vị tự tỉ số k phép biến đổi đẳng cự hợp phép biến đổi đẳng cự phép vị tự tỉ số k 157 65 Trong En , cho phép đẳng cự f phép đồng dạng g Chứng minh go fo g −1 phép đẳng cự Nếu f phép tịnh tiến go fo g −1 phép tịnh tiến − → 66 Trong E3 với sở trực chuẩn, cho vectơ: → − → − −c = (3, 1, 1); a = (1, −2, 0), b = (3, 1, 0), → → − → − −c = (−6, 2, 2); a = (−2, −4, 0), b = (−6, 2, 0), → a) Xác định phép biến đổi tuyến tính ϕ cho: → − → − − → − − −c ) = → ϕ(→ a ) = a , ϕ( b ) = b , ϕ(→ c b) Giả sử ϕ liên kết với phép affine f Chứng tỏ f phép đồng dạng xác định tỉ số đồng dạng f 67 Chứng minh rằng: a Khái niệm tương đương đẳng cự không gian Euclide bất biến đồng dạng b Khái niệm đường trung tuyến, đường cao, đường phân giác, đường trung trực không gian Euclide hai chiều thông thường bất biến đồng dạng c Hệ hình đa diện lồi không gian Euclide thông thường ba chiều hệ hình bất biến đồng dạng Hãy phân loại đồng dạng hệ hình 68 Trên En chứng minh định lí hình học affine định lí hình học đồng dạng định lí hình học Euclide, ngược lại khơng 69 Trong E2 , chứng minh khái niệm đa giác lồi n cạnh khái niệm đồng dạng Hãy phân loại đồng dạng tập hợp đa giác lồi 70 Trong E2 chứng minh đường trung tuyến, đường cao, đường phân giác, đường trung trực tam giác khái niệm đồng dạng Trong khái niệm nêu trên, khái niệm khái niệm affine? Vì sao? 71 Trong khái niệm liệt kê sau đây, khái niệm hình học affine, hình học đồng dạng, hình học Euclide: đường trịn, đường elip, đường hyperbol, đường parabol, đường thẳng, chéo hai đường thẳng, khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau, hình vng, hình bình hành, trọng tâm tam giác, khối tứ diện 158 72 Cho tam giác ABC điểm A , B , C nằm ba cạnh BC, CA, AB cho (BCA ) = (CAB ) = (ABC ) Chứng minh tam giác tạo ba đường thẳng AA , BB , CC tam giác ABC có trọng tâm 73 Cho tam giác ABC, cạnh chia làm ba phần nối điểm chia với đỉnh đối diện cạnh Ta sáu đường thẳng làm thành lục giác, chứng minh đường chéo hình lục giác đồng quy điểm 74 Trong E2 , cho tam giác ABC Trên cạnh BC, CA, AB, lấy M, N, P cho (M BC) = (N CA) = (P AB) = Chứng minh hai đường thẳng qua hai ba đỉnh A, B, C song song với hai ba đường thẳng CP, AM, BN ứng với hai đỉnh đồng quy đường thẳng cịn lại 75 Cho tam giác ABC En , cạnh BC, CA, AB lấy điểm M, N, L cho (M BC) = (N CA) = (LBA) = Chứng minh đoạn thẳng ba đoạn thẳng AM, BN, CL bị hai đoạn chắn thành ba đoạn thẳng có độ dài tỉ lệ với : : 76 Cho tam giác ABC nội tiếp elip tâm O, M, N trung điểm AC, CA Kẻ AK, BH song song với OM, ON (K ∈ BC, H ∈ CA) Chứng minh hai phương KH OC liên hợp 77 Trong mặt phẳng cho tam giác ABC nội tiếp elip tâm O Gọi M, N, P trung điểm BC, CA, AB Từ điểm elip, ta kẻ đường thẳng song song với OM, ON, OP cắt BC, CA < AB M , N , P Chứng minh M , N , P thẳng hàng 78 Chứng minh elip nội tiếp hình tam giác cho trọng tâm tam giác tâm elip 79 Cho hình bình hành có đỉnh nằm ellipse Chứng minh tâm hình bình hành trùng với tâm ellipse cạnh hình bình hành song song với hai đường kính liên hợp ellipse 80 Cho hình bình hành có cạnh tiếp xúc với ellipse Chứng minh đường chéo hình bình hành hai đường kính liên hợp ellipse 81 Gọi AB, CD cặp đường kính liên hợp ellipse cho trước Các tiếp tuyến ellipse A C cắt M Tìm quỹ tích điểm M AB CD thay đổi ellipse 159 82 Cho ellipse có đường kính (trục lớn) AB Trên nửa cung ellipse, ta lấy hai điểm M, N Gọi C = AM ∩ BN, D = AN ∩ BM Chứng minh phương đường thẳng CD phương liên hợp với phương đường kính AB 83 Cho elip đường kính AB, đường thẳng a song song với phương liên hợp AB điểm L cố định nằm elip khác A, B Từ điểm K AL, ta vẽ đường KH song song với a cắt BL H Chứng minh M = AH × KB nằm elip − − 84 Trong E2 với mục tiêu trực chuẩn {O; → e1 , → e2 } tìm phương trình tắc mục tiêu trực chuẩn tương ứng đường bậc hai sau: a (C1 ) : 6x1 x2 + 8x22 − 12x1 − 26x2 + 11 = b (C2 ) : x21 + x1 x2 + x22 − 81 + = c (C3 ) : 4x21 + 4x1 x2 + x22 + 12x1 + 6x2 + = − − − 85 Trong E3 với mục tiêu trực chuẩn {O; → e1 , → e2 , → e3 }, tìm phương trình tắc mục tiêu trực chuẩn tương ứng mặt bậc hai sau: a (S1 ) : 2x1 x2 + 2x2 x3 + 2x1 x3 + 4(x1 + x2 + x3 ) − = b (S2 ) : x21 + 2x22 + x23 + 2x1 x2 + 2x2 x3 + 2x1 − 2x2 + 2x3 − = c (S3 ) : 3x21 + 2x22 + 2x23 + 4x1 x2 − 28x1 x3 − 4(2x1 − x2 + 2x3 ) − 18 = 86 Dùng phép biến đổi tọa độ trực chuẩn để đưa phương trình đường bậc hai E2 sau dạng tắc: a) 5x21 + 4x1 x2 + 8x22 − 32x! − 56x2 + 80 = b) 5x21 + 12x1 x2 − 22x1 − 12x2 − 19 = c) x21 − 4x1 x2 + 4x22 + 4x1 − 3x2 − = 87 Dùng phép biến đổi tọa độ trực chuẩn để đưa phương trình mặt bậc hai E3 sau dạng tắc: a) x21 + 4x22 + 6x23 + 4x1 x3 + 4x3 = b) x21 + 2x1 + 3x2 + 4x3 + = c) x21 + 2x1 x2 + x22 − x23 + = 88 Dùng bất biến, xác định dạng đường bậc hai có phương trình sau: a) 9x2 + 24xy + 16y − 230x + 110y − 475 = b) 3x2 + xy − 2y − 5x + 5y − = c) 4x2 − 12xy + 9y − 20x + 30y + 16 = 160 89 Trong không gian Euclide En , chứng minh phương đặc biệt phương 90 Tìm phương đường kính đường bậc hai E2 có − − phương trình với mục tiêu trực chuẩn {O; → e1 , → e2 } là: a (C1 ) : x21 − 2x1 x2 + x22 − 10x1 − 6x2 + 25 = b (C2 ) : 2x21 − 5x1 x2 − 10x22 − x1 + 26x2 − 10 = c (C3 ) : 4x21 − 4x1 x2 + x22 − x1 + 3x2 − = d (C4 ) : 2x21 + 4x1 x2 − 5x22 − 6x1 − 8x2 − = − − − 91 Trong E3 với mục tiêu trực chuẩn {O; → e1 , → e2 , → e3 }, cho mặt bậc hai (S): x21 + 2x22 + 2x23 + 2x1 x2 + 2x1 x3 − 2(3x1 + 5x2 + x3 ) − = a Hãy xác định phương trình tắc (S) b Tìm phương siêu phẳng kính (S) − 92 Trong E3 với mục tiêu trực chuẩn {O; → ei }i=1,3 cho mặt cầu: C : (x1 + 2)2 + (x2 − 1)2 + (x3 + 1)2 = a Chứng tỏ siêu phẳng α có phương trình 2x1 + 2x2 − x3 + = siêu phẳng kính C tìm phương tương ứng b Viết phương trình siêu phẳng β tiếp xúc với C song song với α 93 Trong En , siêu phẳng α gọi siêu phẳng đối xứng siêu mặt bậc hai (S) phép đối xứng trực giao qua α giữ bất biến (S) Chứng minh siêu phẳng kính siêu mặt bậc hai (S) siêu phẳng đối xứng (S) 94 Trong E2 , cho (S) : 3x21 − 2x1 x2 + x22 + 6x1 − = a) Chứng tỏ (S) đường elip b) Viết phương trình đường elip có trục đối xứng với (S) có bán trục gấp đơi bán trục elip cho 95 Trong E3 cho mặt bậc hai (S) : x2 + y + z + 2axy + 2axz + 2ayz = a) Chứng tỏ với a = 1, (S) mặt tròn xoay b) Với giá trị a (S) mặt elipxoit trịn xoay? 96 Với giá trị k mặt x2 − 2xy + kz = mặt nón trịn xoay? Tìm trục mặt nón trịn xoay 161 97 Hãy thiết lập phương trình mặt bậc hai (S) chứa đường hyperbol sau:    yz = a2 xz = b2 xy = c2 2 ; ; x = y = z = Xác định dạng mặt đưa phương trình tắc a = b = c = 98 Viết phương trình mặt nón chứa hai đường trịn sau:   y + z − 2by = x2 + z − 2ax = ; x = y − − 99 Trong E3 với mục tiêu trực chuẩn {O; → ei }i=1,3 , xét tương giao mặt 2 cầu C : (x1 + 2) + (x2 − 1) + (x3 + 1)2 = đường thẳng  x − x = d: x1 − 4x2 + x3 = − 100 Trong E3 với mục tiêu trực chuẩn {O; → ei }i=1,3 cho mặt cầu: C(I, r) : x21 + x22 + x23 + 6x1 − 4x3 + = 0, mặt phẳng (α) : 2x1 + x2 − 2x3 + = a Xác định tâm I bán kính r C(I, r) b Xét tương giao C(I, r) (α) 101 Chứng minh phép biến đổi affine En biến siêu cầu thành siêu cầu phép đồng dạng 102 Trong En , cho hai điểm phân biệt A, B k = số thực dương Chứng minh rằng, tập hợp điểm M ∈ En cho d(M, A) = kd(M, B) siêu cầu có tâm nằm đường thẳng AB, cắt đường thẳng AB (ABC) = −1 Ta gọi siêu cầu hai điểm C, D cho tỉ số kép (ABCD) = (ABD) siêu cầu Apolonius − 103 Trong En với mục tiêu trực chuẩn {O; → ei }i=1,n , cho hai siêu cầu: S1 : x21 + · · · + x2n + 2(a1 x1 + · · · + an xn ) + c = 0, S2 : x21 + · · · + x2n + 2(b1 x1 + · · · + bn xn ) + d = 0, 162 Ta nói S1 S2 trực giao a1 b1 + · · · + an bn = − (c + d) Chứng minh S1 S2 trực giao phương tích tâm siêu cầu S1 S2 bình phương bán kính S1 104 Trong E3 cho bốn mặt cầu có phương trình x2 + y + z = 9; (x + 5)2 + (y − 1)2 + (z + 2)2 = 53; (x + 1)2 + y + (z + 3)2 = 39; x2 + (y + 1)2 + (z − 2)2 = 10; Viết phương trình mặt cầu trực giao với bốn mặt cầu 105 Viết phương trình siêu phẳng đẳng phương hai mặt cầu E3 : C : x21 + x22 + x23 − 6x1 + 4x2 + = 0, C : (x1 − 1)2 + (x2 + 2)2 + (x3 + 1)2 = 163 TÀI LIỆU THAM KHẢO Đoàn Quỳnh Văn Như Cương Hồng Xn Sính (1989) Đại số tuyến tính hình học Hà Nội: NXB Giáo dục Hà Trầm (2005) Bài tập hình học Afin hình học Ơclit Hà Nội: NXB Đại học Sư phạm Nguyễn Văn Đồnh Phạm Bình Đơ Trần Lê Tường (1984) Bài tập hình học cao cấp (Tập I) Hà Nội: NXB Giáo dục Nguyễn Mộng Hy (2000) Hình học cao cấp Hà Nội: NXB Giáo dục Nguyễn Mộng Hy (2007) Bài tập hình học cao cấp Hà Nội: NXB Giáo dục Nguyễn Cảnh Tồn (1979) Hình học cao cấp Nơi: NXB Phạm Khắc Ban Phạm Bình Đơ (2007) Hình học Afin hình học Ơclit ví dụ tập Hà Nội: NXB Đại học Sư phạm Văn Như Cương Kiều Huy Luân (1976) Hình học cao cấp Hà Nội: NXB Giáo dục Văn Như Cương Tạ Mân (1998) Hình học Afin hình học Ơclit Hà Nội: NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội Vietmaths.net (2011) Bài giảng hình học affine hình học Euclide Internet: http://www.vietmaths.net/2011/07/bai-giang-hinh-hoc-affineva-hinh-hoc.html 164 ... cấu trúc affine" từ không gian affine vào không gian nhờ song ánh; tích hai khơng gian affine không gian affine, không gian affine thương số định nghĩa khác (tương đương) không gian affine Tính... (ii) Tích hai phép biến đổi affine phép biến đổi affine Đảo ngược phép biến đổi affine phép biến đổi affine (iii) Phép affine biến m - phẳng thành m - phẳng 40 (iv) Phép affine bảo tồn tỉ số đơn... cấu affine ta nói A A đẳng cấu affine với nhau, kí hiệu A A Nếu A = A f tự đẳng cấu affine A, quan hệ tương đương hai không gian affine đẳng cấu chúng có số chiều (ii) Nếu f : A → A đẳng cấu affine