Nhập môn đa tạp khả vi tài liệu giảng dạy

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM TÀI LIỆU GIẢNG DẠY NHẬP MÔN ĐA TẠP KHẢ VI LÊ NGỌC QUỲNH AN GIANG, 07 - 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM TÀI LIỆU GIẢNG DẠY NHẬP MÔN ĐA TẠP KHẢ VI LÊ NGỌC QUỲNH AN GIANG, 07 - 2018 Giáo trình tài liệu giảng dạy "Nhập môn đa tạp khả vi", tác giả Lê Ngọc Quỳnh, công tác Khoa Sư phạm thực Tác giả báo cáo nội dung Hội đồng Khoa học Đào tạo Khoa thông qua ngày / / Hội đồng Khoa học Đào tạo Trường thông qua ngày / / Tác giả biên soạn Trưởng đơn vị Trưởng môn Hiệu trưởng AN GIANG, 07 - 2018 i LỜI CẢM TẠ Tài liệu giảng dạy thực trường Đại học An Giang Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ủy ban nhân dân tỉnh An Giang, Ban giám hiệu trường Đại học An Giang, Ban chủ nhiệm khoa Sư phạm, Ban chủ nhiệm mơn Tốn phòng ban chức trường Đại học An Giang anh chị, bạn bè đồng nghiệp giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hoàn thành tài liệu Trong q trình biên soạn, tơi có tham khảo số tài liệu, xin tỏ lịng chân thành cảm ơn đến tác giả Tác giả xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô phản biện dành thời gian đọc đóng góp ý kiến quý báu cho đề tài Lời cuối cùng, tác giả xin gửi lời tri ân sâu sắc đến gia đình, người thân ln tin tưởng, thương u, động viên giúp đỡ tác giả vượt qua khó khăn suốt q trình thực tài liệu giảng dạy Long Xuyên, tháng năm 2018 Tác giả TS Lê Ngọc Quỳnh ii LỜI CAM KẾT Tôi xin cam đoan giáo trình, tài liệu giảng dạy riêng tơi Nội dung giáo trình tài liệu giảng dạy có xuất xứ rõ ràng Long Xuyên, tháng năm 2018 Tác giả TS Lê Ngọc Quỳnh iii MỤC LỤC Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian tôpô 1.1.1 Không gian mêtric 1.1.2 Không gian tôpô 1.1.3 Tập không gian tôpô 1.1.4 Ánh xạ liên tục 1.2 Không gian Rn 1.2.1 Không gian vectơ Rn 1.2.2 Không gian vectơ Euclide Rn 1.2.3 Không gian Euclide Rn 1.2.4 Không gian tôpô Rn 1.2.5 Định hướng Rn 1.3 Phép tính vi phân Rn 1.3.1 Định nghĩa hàm vectơ 1.3.2 Hàm vectơ liên tục 1.3.3 Hàm vectơ khả vi 1.3.4 Đạo hàm riêng 11 1.3.5 Ma trận Jacobi 12 1.3.6 Vi phân 13 1.3.7 Định lý hàm ngược định lý hàm ẩn 14 1.4 Trường vectơ - Trường mục tiêu 19 1.4.1 Không gian tiếp xúc - Phân thớ tiếp xúc 19 1.4.2 Ánh xạ cảm sinh 20 1.4.3 Cung tham số hóa 20 1.4.4 Trường vectơ 21 iv 1.4.5 Trường mục tiêu 23 1.4.6 Đạo hàm hàm số trường vectơ theo hướng dọc trường vectơ 24 1.5 Dạng vi phân Rn 26 1.5.1 Tích tenxơ khơng gian vectơ 26 1.5.2 Đại số tenxơ không gian vectơ 30 1.5.3 Đại số ngồi khơng gian vectơ 34 1.5.4 Dạng vi phân Rn 40 1.6 Tích phân Rn 49 1.6.1 Tích phân bội 49 1.6.2 Tích phân dạng vi phân 53 Chương Đa tạp khả vi 61 2.1 Định nghĩa đa tạp khả vi ví dụ 61 2.2 Ánh xạ khả vi 67 2.3 Đa tạp khả vi paracompact phân hoạch đơn vị khả vi 69 2.3.1 Không gian tôpô paracompact 69 2.3.2 Định lí phân hoạch đơn vị khả vi 69 2.3.3 Áp dụng 71 2.4 Không gian tiếp xúc - Phân thớ tiếp xúc - Ánh xạ tiếp xúc - Trường vectơ 73 2.4.1 Không gian tiếp xúc 73 2.4.2 Phân thớ tiếp xúc 80 2.4.3 Ánh xạ tiếp xúc 81 2.4.4 Trường vectơ 84 2.5 Đa tạp - Đa tạp định hướng 88 2.5.1 Đa tạp 88 2.5.2 Đa tạp định hướng 95 v 2.6 Trường tenxơ - Dạng vi phân 98 2.6.1 Trường tenxơ 98 2.6.2 Đạo hàm Lie 100 2.6.3 Dạng vi phân đa tạp khả vi 104 2.6.4 Dạng vi phân lấy giá trị không gian vectơ 109 2.6.5 Nhóm đồng điều De Rham đa tạp 110 2.7 Đa tạp khả vi có bờ 111 2.8 Nhóm Lie 118 2.8.1 Nhóm Lie 118 2.8.2 Đại số Lie nhóm Lie 119 2.8.3 Nhóm nhóm Lie 122 2.8.4 Dạng vi phân bất biến trái phương trình Maurer-Cartan 123 2.9 Nhóm Lie phép biến đổi đa tạp 126 2.10 Không gian phân thớ 128 2.10.1 Phân thớ tầm thường địa phương với nhóm cấu trúc 128 2.10.2 Phân thớ khả vi 131 2.10.3 Khơng gian phân thớ 134 2.10.4 Ánh xạ phân thớ 137 2.11 Định lí Stokes đa tạp 139 2.11.1 Tích phân đa tạp 139 2.11.2 Định lí Stokes đa tạp 140 Tài liệu tham khảo 150 vi DANH MỤC KÝ HIỆU Kí hiệu Ý nghĩa x Chuẩn vectơ x Df (x0 ) Đạo hàm f x0 f (x0 ) Ma trận Jacobi f x0 Jf (x0 ) Jacobien f x0 rankx0 (f ) Hạng f x0 Di f (x0 ) Đạo hàm riêng thứ i f x0 L(Rm , Rn ) Tập axtt từ Rm đến Rn Tx0 Rn KG tiếp xúc với Rn x0 TU Phân thớ tiếp xúc U f∗x0 nh x tip xỳc că ua f ti x0 f Ánh xạ tiếp xúc f X(U ) Tập hợp trường vectơ trơn U F(U ) Tập hợp hàm số trơn U V ∗ Không gian đối ngẫu V L(V k , R) T r (V Tập k - tenxơ V ) KG tenxơ r lần phản biến Ts (V ) KG tenxơ s lần hiệp biến Tsr (V ) KG tenxơ kiểu (r, s) Λk (Rn ) Tập dạng vi phân bậc k Rn Tp M KG tiếp xúc với M p Dp M Tập hợp đạo hàm p ∈ M TM Phân thớ tiếp xúc đa tạp khả vi M Tp f (f∗p ) Ánh xạ tiếp xúc axkv f p T f (f∗ ) Ánh xạ tiếp xúc axkv f X(M ) Tập trường vectơ tiếp xúc với M [X, Y ] Tích Lie hai trường vectơ X Y Tsr (p) Tsr (M ) Trs (M ) KG tenxơ kiểu (r, s) Tp M Tập trường tenxơ kiểu (r, s) M LX K Đạo hàm Lie K ứng với trường vectơ X Λs (M ) Tập dạng vi phân bậc s M Phân thớ tenxơ kiểu (r, s) M vii LỜI NÓI ĐẦU Đa tạp khả vi đối tượng nghiên cứu nhiều ngành Tốn học Vật lý Chúng ta khơng nên nghĩ đa tạp khả vi nằm khơng gian Euclide cố định mà đơi vật thể trừu tượng Chẳng hạn, học thuyết tiếng Thuyết tương đối đa tạp không - thời gian bốn chiều Không - thời gian tồn không phần không gian Euclide rộng lớn Lý thuyết tương đối rộng thừa nhận xác định hệ quy chiếu cục với độ xác định khoảng thời gian hữu hạn vùng không gian hữu hạn Điều tương tự việc vẽ đồ bề mặt Trái Đất mở rộng để bao qt tồn bề mặt mà khơng biến dạng Như ý tưởng cần định nghĩa yếu tố đa tạp điểm, trường vectơ, dạng vi phân mang tính địa phương, tức biểu diễn yếu tố cần xét hệ tọa độ địa phương, nhiên không phụ thuộc vào việc chọn tọa độ Ngoài ra, nội dung phương pháp giải tích đa tạp lý thuyết dạng vi phân Điều giúp nghiên cứu đối tượng trừu tượng đồng thời cung cấp cho ngôn ngữ để diễn tả phương trình vật lý tốn dạng tọa độ tự Trong khuôn khổ tài liệu, trình bày kiến thức đa tạp khả vi để người đọc có nắm bắt khái niệm Cụ thể nội dung, khóa luận gồm lời nói đầu hai chương: Chương I: Trình bày kiến thức phép tính vi phân cần thiết cho chương sau Nội dung nhắc lại kiến thức không gian tơpơ, khơng gian Rn , phép tính vi phân Rn nội dung chương trình bày trường vectơ - trường mục tiêu, dạng vi phân Rn làm sở cho khái niệm tương tự đa tạp Chương II: Trình bày kiến thức đa tạp khả vi: định nghĩa ví dụ, ánh xạ khả vi, không gian tiếp xúc - phân thớ tiếp xúc - ánh xạ tiếp xúc - trường vectơ, đa tạp dạng vi phân đa tạp Các nội dung trình bày cách với ví dụ cần thiết làm rõ định nghĩa, khái niệm Tác giả hi vọng tài liệu bổ ích bạn sinh viên theo học khoa Toán trường Đại học Sư phạm, đặc biệt học viên cao học Toán Mặc dù có nhiều cố gắng biên soạn chắn tài liệu khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp q báu chân tình q đồng nghiệp bạn đọc để tài liệu hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn Gọi U˜α tập tất mục tiêu r(x, Xi ), ∀x ∈ Uα , ∀(X1 , · · · , Xm ) ∂ ∂ sở Tx M Gọi , · · · , m trường mục tiêu Uα Khi ∂x ∂x m ∂ Xik k |x Xi = ∂x k=1 Từ có ánh xạ φ˜α : U˜α → φα (Uα ) × Rm , r(x, Xi ) → (φα (x), Xik ) 2 Dễ thấy φ˜α song ánh φα (Uα ) × Rm tập mở Rm+m Do chọn L(M ) tôpô để φ˜α đồng phôi Từ dễ thấy {(U˜α , φ˜α ), α ∈ I} tập đồ L(M ) suy L(M ) đa tạp khả vi Bây ta chứng minh L(M ) có cấu trúc phân thớ Xem L(M ) khơng gian tồn thể, M khơng gian đáy Phép chiếu p : L(M ) → M xác định p(r(x, Xi )) = x Dễ thấy p toàn ánh liên tục p−1 (x) tập tất mục tiêu x Nhóm cấu trúc nhóm GL(m, R) Nhóm tác động lên bên trái tác động lên L(M ) bên trái sau: Gọi a = (Aji ) ∈ GL(m, R), u = r(x, Xi ) ∈ L(M ) m Aki Xk La u = au = r x, k=1 Dễ thấy ánh xạ m ϕα : Uα × GL(m, R) → p−1 (Uα ), (x, (Aki )) → r x, Aki k=1 ∂ |x ∂xk đồng phôi ∂ , i = 1, · · · , m ∂xi Nếu x ∈ Uα ∩ Uβ , gọi trường mục tiêu Uβ m ϕα,x (Aki ) = ϕα (x, (Aki )) Aki = r x, k=1 m = Aki x, h,k=1 ∂y h ∂ |x ∂xk ∂y h m ϕ−1 β,x (r(x, Xi )) = ϕ−1 β,x ∂ |x ∂xk Xik (x) x, k=1 136 ∂ |x ∂y k = (Xik (x)) Để ý ma trận (Aji ), ∂y h ∂xk , (Xik (x)) không suy biến nên m k ϕ−1 β,x o ϕα,x (Ai ) = ϕ−1 β,x Aki r x, h,k=1 m = Aki x, k=1 ∂y h (x) ∂xk ∂y h ∂ |x ∂xk ∂y h ∈ GL(m, R) Từ suy ánh xạ aβ,x (x) = ϕ−1 β,x o ϕα,x xác định ma trận không suy biến h ∂y (x) ∈ GL(m, R) ∂xk Dễ thấy ánh xạ aβ,x : x ∈ Uα ∩ Uβ → aβ,x (x) ∈ GL(m, R) khả vi Từ suy (L(M ), p, M, GL(m, R)) phân thớ Phân thớ gọi phân thớ mục tiêu M 2.10.4 Ánh xạ phân thớ Định nghĩa 2.46 Cho hai phân thớ có thớ mẫu nhóm cấu trúc P(P, M, p, F, G, A) P (P , M , p , F, G, A ) Xét ánh xạ liên tục f : P → P thỏa mãn điều kiện sau: ∀x ∈ M, fx = f |p−1 (x) : p−1 (x) → p −1 (f (x)) đồng phôi hai thớ Gọi f˜ : M → M ánh xạ xác định ∀x ∈ M lấy u ∈ p−1 (x) đặt f˜(x) = p(f (u)) f˜ liên tục −1 Giả sử (Ui , ϕi ) ∈ A, (Uj , ϕj ) ∈ A Khi ánh xạ a ˜ji = ϕj,x f ϕ :F →F o x o i,x −1 thuộc G với x ∈ Ui ∩ f˜ (Uj ), x = f˜(x) ∀x ∈ Ui ∩ f˜−1 (Uj ), x = f˜(x), ánh xạ a ˜ji : x → a ˜ji (x) ∈ G liên tục Ta gọi hàm chuyển f Khi f gọi ánh xạ hai phân thớ nói kí hiệu tắt f :P→P Mệnh đề 2.8 Các hàm chuyển a ˜ji ánh xạ phân thớ f : P → P thỏa mãn điều kiện sau: a) ∀x ∈ Ui ∩ Uj ∩ f f˜−1 (Uk ), a ˜kj (x)o aji (x) = a ˜ki (x) b) ∀Ui ∩ f˜−1 (Uj ∩ Uk ), akj (f˜(x))o a ˜ji (x) = a ˜ki (x) aji , a kj hàm cấu trúc phân thớ P, P tương ứng Chứng minh: Ta có: −1 −1 a) a ˜kj (x).aji (x) = ϕ−1 ˜ki (x) k,x fx ϕj,x ϕj,x ϕi,x = ϕk,x fx ϕi,x = a b) Chứng minh tương tự 137 Từ định nghĩa mệnh đề trên, ta có mệnh đề sau Mệnh đề 2.9 Tập hợp phân thớ có thớ mẫu F nhóm cấu trúc G với ánh xạ chúng làm thành phạm trù, kí hiệu F ibF,G Định nghĩa 2.47 Hai phân thớ P P có chung đáy M , thớ mẫu F nhóm cấu trúc G gọi tương đương tồn ánh xạ phân thớ f : P → P cho f˜ = idM Phân thớ tương đương với phân thớ tích gọi phân thớ tầm thường Định lý 2.28 Điều kiện cần đủ để hai phân thớ P(P, M, p, F, G, A) P (P , M , p , F, G, A tương đương tồn ánh xạ liên tục a ˜ji : Ui ∩ Uj → G thỏa mãn điều kiện sau: a) ∀x ∈ Ui ∩ Uj ∩ Uk , a ˜kj (x).aji (x) = a ˜ki (x) aji (x) = a ˜ki (x) b) ∀Ui ∩ Uj ∩ Uk , akj (x).˜ Định lý 2.29 ( Định lí cấu trúc phân thớ) Cho không gian tôpô M , {Ui , i ∈ I} phủ G nhóm tôpô phép biến đổi không gian tôpô F , G tác động có hiệu lên F , aji : Ui ∩ Uj → G họ ánh xạ liên tục thỏa mãn điều kiện ∀x ∈ Ui ∩ Uj ∩ Uk , akj (x).aji (x) = aki (x) (∗) Khi tồn phân thớ P với không gian đáy M , thớ mẫu F , nhóm cấu trúc G, nhận {aji } họ hàm chuyển Phân thớ P xác định sai khác phép tương đương Nghĩa có phân thớ P thỏa mãn điều kiện P tương đương với P Chú ý: Đối với phân thớ khả vi ta có định lí tương tự Định nghĩa 2.48 ( Phân thớ kết hợp) Hai phân thớ P(P, M, p, F, G, A) P (P , M , p , F , G , A ) gọi kết hợp với M = M , G = G tập đồ tầm thường hóa địa phương A = {(Ui , ϕi ), i ∈ I} A = {(Uj , ϕj ), j ∈ J} chọn cho I = I với i, j ∈ I, Ui = Ui , aji = aji aji , a ji họ hàm cấu trúc P P tương ứng A A gọi tập đồ kết hợp Ví dụ 2.11 Hai phân thớ tương đương kết hợp với Định lý 2.30 Cho phân thớ P, tồn phân thớ P kết hợp với P Ngược lại, cho phân thớ P (P , M , p , G , A ) F không gian tơpơ cho G tác động có hiệu lên F tồn phân thớ P(P, M, p, F, G, A) sai khác phép tương đương kết hợp với P 138 Chú ý: Đối với phân thớ khả vi có định lí tương tự Ví dụ 2.12 Cho M đa tạp khả vi T M phân thớ vectơ kết hợp với phân thớ L(M ) mục tiêu M Mệnh đề 2.10 Giả sử P(P, M, p, F, G, A) phân thớ khả vi kết hợp với phân thớ khả vi P (P , M , p , G , A ) Với u ∈ P , ζ ∈ F gọi x = p (u) Kí hiệu uζ = [u, ζ] ánh xạ u : F → p−1 (x), ζ → [u, ζ] vi phơi (ua)ζ = u(aζ) 2.11 2.11.1 ĐỊNH LÍ STOKES TRÊN ĐA TẠP Tích phân đa tạp Cho M đa tạp k chiều có bờ, M ⊂ Rn ω dạng vi phân bậc p M , c lập phương kì dị p chiều M Tích phân ω lấy theo c định nghĩa giống trước c∗ ω ω= [0,1]p c Tích phân theo dây chuyền p chiều ω= ci định nghĩa trước ai ci ω ci Trong trường hợp p = k ta giả thiết hình lập phương kì dị k chiều M thỏa mãn điều kiện có đồ địa phương (u, ϕ), ϕ : U → U ⊂ Rk cho [0, 1]k ⊂ U c(x) = ϕ−1 (x), ∀x ∈ [0, 1]k Nếu M định hướng lập phương kì dị k chiều c M gọi có hướng ϕ bảo tồn hướng, hướng Rk hướng xác định sở tắc Mệnh đề 2.11 M đa tạp k chiều định hướng, c1 , c2 hai lập phương kì dị k chiều có hướng M ω dạng bậc k M triệt tiêu c1 [0, 1]k ∩ c2 [0, 1]k Khi ω= c1 ω c2 Chứng minh: Ta có ω= c1 [0,1]k c∗1 ω = 139 [0,1]k c∗2 ω = ω c2 Giả sử c∗2 ω = f dx1 ∧ · · · ∧ dxk , đặt g = c−1 c1 ta có ∗ k ∗ ∗ (c−1 c1 ) c2 ω = g (f dx ∧ · · · ∧ dx ) = (f.g) det g dx1 ∧ · · · ∧ dxk Vì det g = det(c−1 c1 ) > c1 , c2 có hướng Theo cơng thức đổi biến ta có kết cần chứng minh Định nghĩa 2.49 Cho ω dạng bậc k đa tạp k chiều định hướng M Nếu M tìm lập phương kì dị k chiều có hướng cho ω = ngồi c([0, 1]k ) tích phân ω đa tạp M xác định theo công thức ω= M ω c Chú ý rằng, định nghĩa số M ω không phụ thuộc vào việc chọn c Định nghĩa 2.50 Cho ω dạng bậc k đa tạp k chiều định hướng M Giả sử M có phủ mở lân cận tọa độ cho tập mở U phủ có lập phương kì dị k chiều có hướng c Giả sử Φ phân hoạch đơn vị phù hợp với phủ Ta đặt f.ω ω= M f ∈Φ M với giả thiết tổng hội tụ Người ta chứng minh tổng ln hội tụ M compact Chú ý: Mọi định nghĩa nêu làm đa tạp khả vi k chiều có bờ Nếu c lập phương kì dị, c(k,0) có hướng k chẵn khơng có hướng k lẻ Như vậy, dạng vi phân k − chiều M khơng ngồi c([0, 1]k ) ta có ω = (−1)k c(k,0) ω ∂M Vì c(k,0) tham gia vào ∂c với hệ số (−1)k nên ω = (−1)k ω= ∂c 2.11.2 (−1)k c ω= c(k,0) (k,0) ω ∂M Định lí Stokes đa tạp Định lý 2.31 Cho M đa tạp khả vi k chiều định hướng, compact có bờ ω dạng bậc k − M Khi dω = M ω ∂M 140 Chứng minh: Trước tiên giả sử M \ ∂M có lập phương kì dị k chiều có hướng c cho ω = ngồi c([0, 1]k ) Theo định lí Stokes Rn ta có: c∗ (dω) = dω = d(c∗ ω) = [0,1]k c [0,1]k c∗ ω = ∂I k ω ∂c Khi dω = dω = M ω=0 c ∂c ω = ∂c Mặt khác, ta có ∂M ω = ω = ∂M Vậy trường hợp dω = ω M ∂c Bây giả sử M có lập phương kì dị k chiều có hướng c cho mặt bên nằm ∂M c(k,0) ω = ngồi c([0, 1]k ) Khi dω = dω = ω= ω M c ∂c ∂M Cuối ta xét trường hợp tổng quát, M thừa nhận phủ phân hoạch đơn vị phù hợp Φ cho với f ∈ Φ dạng f ω thuộc hai loại xét Ta có = d(1) = d f df = f ∈Φ f ∈Φ nên df ∧ ω = f ∈Φ Vì M compact nên tổng hữu hạn, df ∧ ω = f ∈Φ M Vậy dω = M df ∧ ω + f dω f dω = f ∈Φ f ∈Φ = M d(f ω) = f ∈Φ M fω = f ∈Φ 141 ∂M ω ∂M Hệ 2.3 (Định lí Grin) Giả sử M ⊂ R2 đa tạp compact định hướng hai chiều có bờ Giả sử P, Q : M → R ánh xạ khả vi Khi (D1 Q − D2 P )dx ∧ dy P dx + Qdy = ∂M M = M ∂Q ∂P − ∂x ∂y dxdy Chứng minh: Ta có d(P dx + Qdy) = (D1 Q − D2 P )dx ∧ dy Cũng chứng minh hệ trên, ta có Hệ 2.4 (Định lí Ostrogradski) Giả sử M ⊂ R3 đa tạp compact định hướng ba chiều có bờ S Giả sử P, Q, R : M → R ánh xạ khả vi Khi P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy = 142 ∂Q ∂R ∂P + + ∂x ∂y ∂z dx ∧ dy ∧ dz BÀI TẬP Xét mặt phẳng R2 , M tập R2 xác định M = {(x, y) ∈ R2 ; x(x2 − y ) = 0} Coi M không gian tôpô R2 Chứng minh M khơng đa tạp tơpơ, khơng thể trang bị cấu trúc khả vi M để M trở thành đa tạp khả vi Hãy hai cấu trúc khả vi khác Rn Hãy trang bị cấu trúc khả vi tập M = {(x, y) ∈ R2 ; y − 2x = 0} Hãy trang bị cấu trúc khả vi tập S = {(x, y) ∈ R2 ; x2 + y = 1} Cấu trúc khả vi gồm hai đồ Từ đó, trang bị cho xuyến T = S ×S cấu trúc khả vi gồm đồ Chứng minh nhúng T vào R3 a) Cho quan hệ tương đương ρ đa tạp khả vi M cho không gian thương M/ρ không gian Hausdorff với x ∈ M, Π : M → M/ρ phép chiếu, có tập mở V chứa Π(x) ánh xạ liên tục σ : V → N cho Πo σ = 1V Hãy trang bị cấu trúc khả vi tập thương M/ρ để phép chiếu Π ngập b) Cho quan hệ tương đương S n sau, với x = (x1 , · · · , xn+1 ), y = (y , · · · , y n+1 ) ∈ S n x ∼ y ⇔ xi = −y i , i = 1, · · · , n + Hãy trang bị cấu trúc khả vi tập thương S n /ρ để phép chiếu ngập Cho f : R3 → R2 , f = (f , f ) Chứng minh định thức Di f Dj f Di f Dj f khác O = (0, 0, 0) f −1 (0) đa tạp khả vi chiều Xác định cấu trúc khả vi f −1 (0) 143 Cho M, N hai đa tạp khả vi lớp C k , (k ≥ 1) a) Chứng minh f : N → M nhúng f (N ) đa tạp đa tạp N b) Chứng minh f : N → M dìm, đơn ánh ánh xạ riêng f nhúng Chú ý: Ánh xạ f gọi riêng tạo ảnh tập compact M tập compact N c) Nếu dim M = dim N , f : N → M dìm f ánh xạ mở Từ suy khơng tồn dìm từ mặt cầu S n vào không gian Rn a) Cho S n = {x ∈ Rn+1 : x = 1} Hãy viết không gian tiếp xúc S n điểm x b) Cho hyperboloid H ⊂ R4 H = {(x, y, z, t) ∈ R4 : x2 + y + z − t2 = −1} Hãy viết không gian tiếp xúc H điểm (x, y, z, t) ∈ H Gọi SO(n) tập ma trận vng cấp n, trực giao có định thức Hãy chứng tỏ SO(n) đa tạp khả vi Viết không gian tiếp xúc với SO(n) In A ∈ SO(n) 10 Xét đồ S với hai đồ địa cầu V1 = S \ {(0, 0, 1)}; ψ1 (x, y, z) = V2 = S \ {(0, 0, −1)}; ψ2 (x, y, z) = y x , 1−z 1−z x y , 1+z 1+z , Cho u = (u1 , u2 ) vectơ Tm R2 , m ∈ R2 Gọi ζ ∈ Tψ1−1 (m) S vectơ tiếp xúc biểu diễn u đồ (V1 , ψ1 ) nghĩa (ψ1−1 )∗ (u) = ζ Hỏi ζ biểu diễn đồ (V2 , ψ2 ) vectơ v nào? Hãy tìm v √ , m= 2 11 Giả sử (U, x) (V, y) hai đồ địa cầu (phép chiếu nổi) S n ; X1 , X2 hai trường vectơ x(U ) y(V ) tương ứng x(U ) y(V ) tập mở Rn với hệ tọa độ tắc Với điều kiện X1 , X2 chúng biểu diễn trường vectơ S n 144 12 Chứng minh T S n = {(b, x) ∈ S n × Rn+1 ; b, x = 0} Hãy xây dựng trường vectơ tiếp xúc khả vi khác không điểm S 2n+1 13 Chứng tỏ phân thớ tiếp xúc đa tạp SO(n) tầm thường 14 Gọi F (p) tập mầm hàm liên tục lân cận p ∈ M Ta gọi đạo hàm F (p) ánh xạ tuyến tính δ : F (p) → R cho với f, g ∈ F (p) δ(f.g) = f (p).δ(g) + δ(f ).g(p) Chứng minh F (p) đạo hàm 15 Cho M, N đa tạp khả vi lớp C k , số chiều m, n tương ứng Chứng tỏ trang bị cho tập hợp tích Đề-các M × N cấu trúc khả vi để M × N trở thành đa tạp khả vi lớp C k số chiều m + n 16 Cho M đa tạp khả vi Chứng tỏ phân thớ tiếp xúc T M định hướng 17 Cho X trường vectơ khả vi đa tạp M Dòng địa phương trường X ánh xạ (xác định nhất) c : V × I → M , V lân cận M , I khoảng mở chứa O cho c nhẵn biến thứ hai với x ∈ V, cx (0) = x, cx (t) = X(cx (t)) cx (t) = c(x, t) a) Hãy tìm dịng trường vectơ xác định R X(x) = x2 d dx n b) Chứng tỏ dòng trường vectơ Y (x) = i=1 n xi ∂ xác định trêm ∂xi t R cho cx (t) = e x 18 Trên không gian R3 với tọa độ x, y, z cho trường vectơ X, Y, Z xác định sau X=z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − y ;Y = x − z ;Z = y −x ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y Chứng tỏ ánh xạ f : R3 → V (R3 ) cho f (a, b, c) = aX + bY + cZ với (a, b, c) ∈ R3 đơn cấu tuyến tính từ R3 vào không gian − − trường vectơ R3 Chứng minh với u, v ∈ R3 f (→ u ∧→ v)= → − → − [f ( u ), f ( v )] Hãy tính dịng trường vectơ aX + bY + cZ 145 19 Trong mặt sau đây, mặt đa tạp Rn Tại sao? a) Mặt nón x21 + x22 + · · · + x2q − x2q+1 − · · · − x2n = (1 ≤ q < n) a) Mặt hyperboloid x21 + x22 + · · · + x2q − x2q+1 − · · · − x2n = a) Mặt trụ x21 + x22 + · · · + x2q = (1 ≤ q < n) 20 Cho M đa tạp khả vi Kí hiệu T M phân thớ tiếp xúc M Xét tập hợp T M ⊕ T M = {(v, ω) : v, ω ∈ T M, Π(u) = Π(ω)} Hãy xây dựng cấu trúc khả vi T M ⊕ T M để đa tạp khả vi số chiều 3m với m dim M Đó đa tạp đóng T M × T M gọi tổng Whitney đa tạp M 21 a) Chứng tỏ tích hai đa tạp định hướng đa tạp định hướng b) Giả sử f : Rn → R ngập Chứng tỏ với y ∈ f (Rn ), f −1 (y) đa tạp n − chiều Rn định hướng ˜ ∈ X (N ) gọi f 22 Cho f : M → N ánh xạ khả vi X ∈ X (M ), X ˜ f (x) tương thích f ∗ (Xx ) = X Hãy chứng minh X, Y thuộc X (M ) theo thứ tự f - tương thích ˜ Y˜ X (N ) [X, Y ] f - tương thích với [X, ˜ Y˜ ] với X, 23 Cho G nhóm Lie Trường vectơ X G gọi bất biến trái (λg )∗ (Xg ) = Xgg , g, g ∈ G λg : G → G, λg (g ) = gg a) Cho v ∈ Te G (e đơn vị G) Chứng minh trường vectơ X G xác định Xg = (λg )∗ (v) bất biến trái b) Chứng minh X, Y trường bất biến trái [X, Y ] trường bất biến trái c) Chứng minh đại số trường bất biến trái nhóm GL(n, R) đẳng cấu với M at(n, R) phép tốn [A, B] = AB − BA, A, B ∈ M at(n, R) 146 24 Cho nhóm Lie G, U (p) lân cận điểm p ∈ G Chứng minh ∀q ∈ G, U (p).U (q) = {ab, a ∈ U (p), b ∈ U (q)} lân cận p.q 25 Cho nhóm Lie G, U lân cận phần tử đơn vị e ∈ G Chứng minh tồn lân cận W e cho ∀a, b ∈ W, ab ∈ U 26 Cho nhóm Lie G, U lân cận phần tử đơn vị e ∈ G Chứng minh tồn lân cận W e cho ∀a ∈ W, a−1 ∈ U 27 Giả sử U lân cận phần tử đơn vị e nhóm Lie liên thơng G Chứng minh phần tử G tích số hữu hạn phần tử thuộc U 28 Chứng minh nhóm O(n), SO(n), U (n), SU (n) nhóm Lie xác định đại số Lie chúng 29 Giả sử G nhóm Lie tác động có hiệu lên đa tạp khả vi M Chứng minh tập H = {a ∈ G : Ra ánh xạ đồng M } tạo thành chuẩn tắc G 30 Cho A, B trường vectơ bất biến trái nhóm Lie G Giả sử {at } nhóm tham số sinh A Chứng minh B − ad(a−1 t )B t→0 t [A, B] = lim 31 Cho i i : Rn → Rn × Rn , i (x) = (x, ei ) = (0, · · · , 1, · · · , 0), vị trí thứ i Tính [ i , j ] 32 Giả sử V không gian vectơ trường R Kí hiệu F s (V ) khơng gian tenxơ s lần hiệp biến V (cũng kí hiệu Ts (V )) Alt toán tử phản xứng hóa Hãy chứng minh khẳng định sau: a) Alt(T ) ∈ Λs (V ), T ∈ F s (V ) b) Alt(Alt(T )) = Alt(T ), T ∈ F s (V ) c) Alt(ω) = ω, ω ∈ Λs (V ) d) Nếu Alt(T ) = Alt(T ⊗ S) = Alt(S ⊗ T ) = 33 Giả sử V không gian vectơ trường số thực R Hãy chứng minh tính chất sau hai tích ngồi tenxơ hiệp biến phản đối xứng V a) (ω1 + ω2 ) ∧ η = ω1 ∧ η + ω2 ∧ η 147 b) ω ∧ (η1 + η2 ) = ω ∧ η1 + ω ∧ η2 c) (aω) ∧ η = ω ∧ (aη) = a(ω ∧ η), a ∈ R d) ω ∧ η = (−1)kl η ∧ ω, ω ∈ Λk (V ), η ∈ Λl (V ) e) (ω ∧ η) ∧ θ = ω ∧ (η ∧ θ) 34 a) Dạng vi phân bậc f M có thành phần fi Tính thành phần df b) Dạng vi phân phản đối xứng bậc hai ω M có thành phần ωij Tính thành phần dω 35 Cho f : M → R ánh xạ khả vi Cho c ∈ R mà f −1 (c) = ∅ với x inf −1 (c), df |Tx M = Chứng minh f −1 (c) đa tạp M Điều ngược lại hay sai? 36 Cho đa tạp khả vi M Với p ∈ M , kí hiệu Tp∗ M không gian đối ngẫu Tp M Gọi T ∗ M = ∪p∈M Tp∗ M , chứng minh T ∗ M có cấu trúc phân thớ s M không gian tenxơ 37 Cho đa tạp khả vi M Với p ∈ M , kí hiệu Tr,p s kiểu (r, s) sinh không gian vectơ Tp M Gọi Trs M = ∪p∈M Tr,p M , chứng s minh Tr M có cấu trúc phân thớ 38 Cho đa tạp khả vi M Với p ∈ M , kí hiệu Arp (M ) tập ánh xạ đa tuyến tính thay phiên ωp : Tp M × · · · Tp M (r lần) → R Gọi Ar (M ) = ∪p∈M Arp (M ), chứng minh Ar M có cấu trúc phân thớ 39 Cho phân thớ P(P, M, p, F, G, A) ánh xạ liên tục f : M ∗ → M Chứng minh tồn (sai khác phép tương đương) phân thớ f ∗ (P) có khơng gian đáy M ∗ , thớ mẫu F nhóm cấu trúc G Phân thớ gọi phân thớ cảm sinh từ P qua ánh xạ f 40 Với giả thiết trên, chứng minh tồn ánh xạ phân thớ ϕ : f ∗ (P) → P cho ϕ˜ = f 41 Cho P không gian xạ ảnh thực chiều Hãy nghiên cứu mặt mức điểm tới hạn hàm f : P → R, f (x0 , x1 , x2 , x3 ) = 148 −x21 + x22 + x23 x20 + x21 + x22 + x23 42 Chứng minh khơng gian tồn thể P phân thớ P (ζ) xác định ζ đa tạp khả vi 43 Xét không gian R4 mà ta đồng với mặt phẳng phức C2 nhờ (x1 , x2 , x3 , x4 ) → (x1 + ix2 , x3 + ix4 ) = (z, u) a) Chứng minh phương trình (zz)a + (uu)b = r (a, b nguyên dương, r > 0) xác định đa tạp khả vi chiều vi phôi với S b) Phương trình z a + uB = z a + ub xác định đa tạp ba chiều X R4 Nghiên cứu điểm tới hạn hàm F : R4 → R thu hẹp X xác định F (z, u) = (zz)a + (uu)b + 2z a + 2ub 149 TÀI LIỆU THAM KHẢO Đồn Quỳnh (2007) Hình học vi phân Hà Nội: NXB Đại học Sư phạm Đồn Quỳnh Trần Đình Viện Trương Đức Hinh Nguyễn Hữu Quang (1993) Bài tập hình học vi phân Hà Nội: NXB Giáo dục Khu Quốc Anh Nguyễn Doãn Tuấn (2004) Lý thuyết liên thơng hình học Riemann Hà Nội: NXB Đại học Sư phạm Nguyễn Văn Đoành (2006) Đa tạp khả vi Hà Nội: NXB Đại học Sư phạm Trần Đạo Dõng Trần Vui Lê Anh Vũ (2006) Hình học vi phân Hà Nội: NXB Giáo dục Chris J Isham (2001) Modern differential geometry for physicists Second edition: World Scientific Publishing Jie Wu Lecture notes on Differentiable Manifolds matwujie/Spring04/Topics1-4.pdf www.math.nus.edu.sg/∼ M Spivak (1985) Giải tích đa tạp (Bản dịch tiếng Việt) Hà Nội: NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp S Chern, W Chen and K Lam (2001) Lectures on Differential Geometry World Scientific Publishing S Kobayashi and K.Nomizu (1963) Foundation of Differential Geometry Vol I: Interscience W.Michor (1997) Foundation of Differential Geometry Austria 150 ... AN GIANG KHOA SƯ PHẠM TÀI LIỆU GIẢNG DẠY NHẬP MÔN ĐA TẠP KHẢ VI LÊ NGỌC QUỲNH AN GIANG, 07 - 2018 Giáo trình tài liệu giảng dạy "Nhập môn đa tạp khả vi" , tác giả Lê Ngọc Quỳnh, công tác Khoa Sư... Dạng vi phân đa tạp khả vi 104 2.6.4 Dạng vi phân lấy giá trị không gian vectơ 109 2.6.5 Nhóm đồng điều De Rham đa tạp 110 2.7 Đa tạp... Λs (M ) Tập dạng vi phân bậc s M Phân thớ tenxơ kiểu (r, s) M vii LỜI NÓI ĐẦU Đa tạp khả vi đối tượng nghiên cứu nhiều ngành Toán học Vật lý Chúng ta không nên nghĩ đa tạp khả vi nằm không gian