Đang tải... (xem toàn văn)
Số chính phương tận cùng bằng 1 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn3. Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2.[r]
(1)Chuyên đề 1
SỐ CHÍNH PHƯƠNG
I ĐỊNH NGHĨA: Số phương số bình phương số ngun II TÍNH CHẤT:
1 Số phương có chữ số tận 0, 1, 4, 5, 6, ; khơng thể có chữ số tận 2, 3, 7,
2 Khi phân tích thừa số nguyên tố, số phương chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn
3 Số phương có hai dạng 4n 4n + Khơng có số phương có dạng 4n + 4n + (n N)
4 Số phương có hai dạng 3n 3n + Khơng có số phương có dạng 3n + (n N)
5 Số phương tận chữ số hàng chục chữ số chẵn Số phương tận chữ số hàng chục
Số phương tận chữ số hàng chục chữ số chẵn Số phương tận chữ số hàng chục chữ số lẻ Số phương chia hết cho chia hết cho
Số phương chia hết cho chia hết cho Số phương chia hết cho chia hết cho 25 Số phương chia hết cho chia hết cho 16 III MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG A. DẠNG1 : CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài 1: Chứng minh với số nguyên x, y
A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 số phương.
Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 = (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y4 Đặt x2 + 5xy + 5y2 = t ( t Z) thì
A = (t - y2)( t + y2) + y4 = t2 –y4 + y4 = t2 = (x2 + 5xy + 5y2)2
V ì x, y, z Z nên x2 Z, 5xy Z, 5y2 Z ⇒ x2 + 5xy + 5y2 Z Vậy A số phương
Bài 2: Chứng minh tích số tự nhiên liên tiếp cộng ln số phương.
Gọi số tự nhiên, liên tiêp n, n + 1, n+ 2, n + (n N) Ta có n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + = n.(n + 3(n + 1)(n + 2) +
= (n2 + 3n)( n2 + 3n + 2) + (*)
(2)Vì n N nên n2 + 3n + N Vậy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + số phương. Bài 3: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + + k(k+1)(k+2)
Chứng minh 4S + số phương
Ta có k(k+1)(k+2) = 14 k(k+1)(k+2).4 = 14 k(k+1)(k+2).[(k+3) – (k-1)] = 14 k(k+1)(k+2)(k+3) - 14 k(k+1)(k+2)(k-1)
⇒ S = 14 1.2.3.4 - 14 0.1.2.3 + 14 2.3.4.5 - 14 1.2.3.4 +…+ 14 k(k+1)(k+2) (k+3) - 14 k(k+1)(k+2)(k-1) = 14 k(k+1)(k+2)(k+3)
4S + = k(k+1)(k+2)(k+3) +
Theo kết ⇒ k(k+1)(k+2)(k+3) + số ph ương. Bài 4: Cho dãy số 49; 4489; 444889; 44448889; …
Dãy số xây dựng cách thêm số 48 vào số đứng trước Chứng minh tất số dãy số phương.
Ta có 44…488…89 = 44…488 + = 44…4 10n + 11…1 + 1
n chữ số n-1 chữ số n chữ số n chữ số n chữ số n chữ số
= 10 n−1
9 10
n + 10n−1
9 +
= 102n−4 10n+8 10n−8+9
9 =
4 102n
+4 10n+1
9
= (2 10n+1 )
Ta thấy 2.10n +1=200…01 có tổng chữ số chia hết chia hết cho n-1 chữ số
⇒ (2 10n+1
3 ) Z hay số có dạng 44…488…89 số phương Bài 5: Chứng minh số sau số phương:
A = 11…1 + 44…4 +
2n chữ số n chữ số 4
B = 11…1 + 11…1 + 66…6 + 8
2n chữ số n+1 chữ số n chữ số 6
C = 44…4 + 22…2 + 88…8 +
2n chữ số n+1 chữ số n chữ số 8 Kết quả: A = (10n+2
3 ) ; B = ( 10n+8
3 ) ; C = (
2 10n+7
3 )
Bài 6: Chứng minh số sau số phương:
2
(3)
a A = 22499…9100…09
n-2 chữ số n chữ số 0
b B = 11…155…56 n chữ số n-1 chữ số 5
a A = 224.102n + 99…9.10n+2 + 10n+1 + 9
= 224.102n + ( 10n-2 – ) 10n+2 + 10n+1 + 9 = 224.102n + 102n – 10n+2 + 10n+1 + 9
= 225.102n – 90.10n + 9 = ( 15.10n – ) 2
⇒ A số phương
b B = 111…1555…5 + = 11…1.10n + 5.11…1 + n chữ số n chữ số n chữ số n chữ số
= 10n−1
9 10
n + 10n−1
9 + =
102n−10n
+5 10n−5+9
9
= 102n+4 10n+4
9 = (
10n+2
3 ) số phương ( điều phải chứng minh) Bài 7: Chứng minh tổng bình phương số tự nhiên liên tiếp là số phương
Gọi số tự nhiên liên tiếp n-2, n-1, n , n+1 , n+2 (n N , n ≥2 ) Ta có ( n-2)2 + (n-1)2 + n2 + ( n+1)2 + ( n+2)2 = 5.( n2+2)
Vì n2 tận n2+2 khơng thẻ chia hết cho 5 ⇒ 5.( n2+2) khơng số phương hay A khơng số phương
Bài 8: Chứng minh số có dạng n6 – n4 + 2n3 + 2n2 n N n>1
khơng phải số phương
n6 – n4 + 2n3 +2n2 = n2.( n4 – n2 + 2n +2 ) = n2.[ n2(n-1)(n+1) + 2(n+1) ] = n2[ (n+1)(n3 – n2 + 2) ] = n2(n+1).[ (n3+1) – (n2-1) ]
= n2( n+1 )2.( n2–2n+2)
Với n N, n >1 n2-2n+2 = (n - 1)2 + > ( n – )2 n2 – 2n + = n2 – 2(n - 1) < n2
Vậy ( n – 1)2 < n2 – 2n + < n2 ⇒ n2 – 2n + số phương.
Bài 9: Cho số phương có chữ số hàng chục khác chữ số hàng đơn vị Chứng minh tổng chữ số hàng chục số phương số phương
(4)Cách 1: Ta biết số phương có chữ số hàng đơn vị chữ số hàng chục số lẻ Vì chữ số hàng chục số phương cho 1,3,5,7,9 tổng chúng + + + + = 25 = 52 số phương
Cách 2: Nếu số phương M = a2 có chữ số hàng đơn vị chữ số tận a ⇒ a ⋮ 2 ⇒ a2 ⋮
Theo dấu hiệu chia hết cho hai chữ số tận M 16, 36, 56, 76, 96 ⇒ Ta có: + + + + = 25 = 52 số phương.
Bài 10: Chứng minh tổng bình phương hai số lẻ khơng phải số chính phương.
a b lẻ nên a = 2k+1, b = 2m+1 (Với k, m N)
⇒ a2 + b2 = (2k+1)2 + (2m+1)2 = 4k2 + 4k + + 4m2 + 4m + 1 = 4(k2 + k + m2 + m) + = 4t + (Với t N)
Khơng có số phương có dạng 4t + (t N) a2 + b2 khơng thể số phương
Bài 11: Chứng minh p tích n số nguyên tố p-1 p+1 khơng thể số phương
Vì p tích n số nguyên tố nên p ⋮ p không chia hết cho (1) a Giả sử p+1 số phương Đặt p+1 = m2 (m N)
Vì p chẵn nên p+1 lẻ ⇒ m2 lẻ ⇒ m lẻ.
Đặt m = 2k+1 (k N) Ta có m2 = 4k2 + 4k + ⇒ p+1 = 4k2 + 4k + 1 ⇒ p = 4k2 + 4k = 4k(k+1) ⋮ mâu thuẫn với (1)
⇒ p+1 số phương
b p = 2.3.5… số chia hết cho ⇒ p-1 có dạng 3k+2.
Khơng có số phương có dạng 3k+2 ⇒ p-1 khơng số phương Vậy p tích n số nguyên tố p-1 p+1 khơng số phương Bài 12: Giả sử N = 1.3.5.7…2007.
Chứng minh số nguyên liên tiếp 2N-1, 2N 2N+1 khơng có số số phương.
a 2N-1 = 2.1.3.5.7…2007 –
Có 2N ⋮ ⇒ 2N-1 không chia hết cho 2N-1 = 3k+2 (k N) ⇒ 2N-1 khơng số phương.
b 2N = 2.1.3.5.7…2007
Vì N lẻ ⇒ N khơng chia hết cho 2N ⋮ 2N không chia hết cho 4. 2N chẵn nên 2N không chia cho dư ⇒ 2N không số phương.
c 2N+1 = 2.1.3.5.7…2007 +
(5)2N không chia hết 2N+1 không chia cho dư ⇒ 2N+1 khơng số phương.
Bài 13: Cho a = 11…1 ; b = 100…05
2008 chữ số 2007 chữ số 0
Chứng minh √ab+1 số tự nhiên.
Cách 1: Ta có a = 11…1 = 102008−1
9 ; b = 100…05 = 100…0 + = 10
2008 + 5 2008 chữ số 2007 chữ số 2008 chữ số
⇒ ab+1 = (102008−1)(102008+5)
9 + =
102008
¿2+4 102008−5+9
¿ ¿ ¿
= (102008+2 ) √ab+1 = √(10
2008
+2
3 ) =
102008
+2
3
Ta thấy 102008 + = 100…02 ⋮ nên 102008+2
3 N hay √ab+1 số tự nhiên.
2007 chữ số
Cách 2: b = 100…05 = 100…0 – + = 99…9 + = 9a +6
2007 chữ số0 2008 chữ số 0 2008 chữ số ⇒ ab+1 = a(9a +6) + = 9a2 + 6a + = (3a+1)2 ⇒ √ab+1 = 3a+1¿
2
¿
√¿ = 3a + N
B. DẠNG 2 : TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ BIỂU THỨC LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài1: Tìm số tự nhiên n cho số sau số phương: a n2 + 2n + 12 b n ( n+3 )
c 13n + d n2 + n + 1589
Giải
a Vì n2 + 2n + 12là số phương nên đặt n2 + 2n + 12 = k2 (k N) ⇒ (n2 + 2n + 1) + 11 = k2 ⇔ k2 – (n+1)2 = 11 ⇔ (k+n+1)(k-n-1) = 11
Nhận xét thấy k+n+1 > k-n-1 chúng số nguyên dương, nên ta viết (k+n+1)(k-n-1) = 11.1 ⇔ k+n+1 = 11 ⇔ k = 6
k – n - = n =
b Đặt n(n+3) = a2 (n N) ⇒ n2 + 3n = a2 ⇔ 4n2 + 12n = 4a2 ⇔ (4n2 + 12n + 9) – = 4a2 ⇔ (2n + 3)
❑2 - 4a2 =
⇔ (2n + + 2a)(2n + – 2a) = 9 Nhận xét thấy 2n + + 2a > 2n + – 2a chúng số nguyên dương, nên ta viết (2n + + 2a)(2n + – 2a) = 9.1 ⇔ 2n + + 2a = ⇔ n = 1
2n + – 2a = a = c Đặt 13n + = y2 ( y N) ⇒ 13(n – 1) = y2 – 16
⇔ 13(n – 1) = (y + 4)(y – 4)
⇒ (y + 4)(y – 4) ⋮ 13 mà 13 số nguyên tố nên y + ⋮ 13 y – ⋮ 13 ⇒ y = 13k ± (Với k N)
2
(6)⇒ 13(n – 1) = (13k ± )2 – 16 = 13k.(13k ± 8) ⇒ n = 13k2 ± 8k + 1
Vậy n = 13k2 ± 8k + (Với k N) 13n + số phương. d Đặt n2 + n + 1589 = m2 (m N) ⇒ (4n2 + 1)2 + 6355 = 4m2
⇔ (2m + 2n +1)(2m – 2n -1) = 6355
Nhận xét thấy 2m + 2n +1> 2m – 2n -1 > chúng số lẻ, nên ta viết (2m + 2n +1)(2m – 2n -1) = 6355.1 = 1271.5 = 205.31 = 155.41
Suy n có giá trị sau: 1588; 316; 43; 28 Bài 2: Tìm a để số sau số phương:
a. a2 + a + 43
b. a2 + 81
c. a2 + 31a + 1984
Kết quả: a 2; 42; 13 b 0; 12; 40
c 12; 33; 48; 97; 176; 332; 565; 1728
Bài 3: Tìm số tự nhiên n ≥ cho tổng 1! + 2! + 3! + … + n! số phương
Với n = 1! = = 12 số phương Với n = 1! + 2! = khơng số phương
Với n = 1! + 2! + 3! = 1+1.2+1.2.3 = = 32 số phương
Với n ≥ ta có 1! + 2! + 3! + 4! = 1+1.2+1.2.3+1.2.3.4 = 33 5!; 6!; …; n! tận 1! + 2! + 3! + … + n! có tận chữ số nên khơng phải số phương
Vậy có số tự nhiên n thỏa mãn đề n = 1; n = Bài 4: Tìm n N để số sau số phương:
a n2 + 2004 ( Kết quả: 500; 164)
b (23 – n)(n – 3) ( Kết quả: 3; 5; 7; 13; 19; 21; 23)
c n2 + 4n + 97
d 2n + 15
Bài 5: Có hay khơng số tự nhiên n để 2006 + n2 số phương
Giả sử 2006 + n2 số phương 2006 + n2 = m2 (m N) Từ suy m2 – n2 = 2006 ⇔ (m + n)(m - n) = 2006
Như số m n phải có số chẵn (1)
(7)⇒ (m + n)(m - n) ⋮ Nhưng 2006 không chia hết cho 4 ⇒ Điều giả sử sai
Vậy không tồn số tự nhiên n để 2006 + n2 số phương. Bài 6: Biết x N x>2 Tìm x cho x(x-1).x(x-1) = (x-2)xx(x-1)
Đẳng thức cho viết lại sau: x(x-1) = (x-2)xx(x-1)
Do vế trái số phương nên vế phải số phương
Một số phương tận chữ số 0; 1; 4; 5; 6; nên x tận chữ số 1; 2; 5; 6; 7; (1)
Do x chữ số nên x ≤ 9, kết hợp với điều kiện đề ta có x N < x ≤ (2) Từ (1) (2) ⇒ x nhận giá trị 5; 6; 7.
Bằng phép thử ta thấy có x = thỏa mãn đề bài, 762 = 5776
Bài 7: Tìm số tự nhiên n có chữ số biết 2n+1 3n+1 số phương.
Ta có 10 ≤ n ≤ 99 nên 21 ≤ 2n+1 ≤ 199 Tìm số phương lẻ khoảng ta 25; 49; 81; 121; 169 tương ứng với số n 12; 24; 40; 60; 84
Số 3n+1 37; 73; 121; 181; 253 Chỉ có 121 số phương Vậy n = 40
Bài 8: Chứng minh n số tự nhiên cho n+1 2n+1 số chính phương n bội số 24.
Vì n+1 2n+1 số phương nên đặt n+1 = k2 , 2n+1 = m2 (k, m N) Ta có m số lẻ ⇒ m = 2a+1 ⇒ m2 = 4a (a+1) + 1
⇒ n = m2−1
2 =
4a(a+1)
2 = 2a(a+1)
⇒ n chẵn ⇒ n+1 lẻ ⇒ k lẻ ⇒ Đặt k = 2b+1 (Với b N) ⇒ k2 = 4b(b+1) +1
⇒ n = 4b(b+1) ⇒ n ⋮ (1) Ta có k2 + m2 = 3n + (mod3)
Mặt khác k2 chia cho dư 1, m2 chia cho dư Nên để k2 + m2 (mod3) k2 (mod3)
m2 (mod3)
⇒ m2 – k2 ⋮ hay (2n+1) – (n+1) ⋮ ⇒ n ⋮ (2) Mà (8; 3) = (3)
Từ (1), (2), (3) ⇒ n ⋮ 24
Bài 9: Tìm tất số tự nhiên n cho số 28 + 211 + 2n số phương
Giả sử 28 + 211 + 2n = a2 (a N)
(8)2n = a2 – 482 = (a+48)(a-48)
2p.2q = (a+48)(a-48) Với p, q N ; p+q = n p > q ⇒ a+48 = 2p ⇒ 2p – 2q = 96 ⇔ 2q (2p-q -1) = 25.3
a- 48 = 2q
⇒ q = p-q = ⇒ p = 7 ⇒ n = 5+7 = 12
Thử lại ta có: 28 + 211 + 2n = 802
C.DẠNG 3: TÌM SỐ CHÍNH PHƯƠNG
Bài 1: Cho A số phương gồm chữ số Nếu ta thêm vào chữ số A một đơn vị ta số phương B Hãy tìm số A B.
Gọi A = abcd = k2 Nếu thêm vào mỗi chữ số A đơn vị ta có số B = (a+1)(b+1)(c+1)(d+1) = m2 với k, m N 32 < k < m < 100 a, b, c, d N ; ≤ a ≤ ; ≤ b, c, d ≤
⇒ Ta có A = abcd = k2 B = abcd + 1111 = m2
⇒ m2 – k2 = 1111 ⇔ (m-k)(m+k) = 1111 (*)
Nhận xét thấy tích (m-k)(m+k) > nên m-k m+k số nguyên dương Và m-k < m+k < 200 nên (*) viết (m-k)(m+k) = 11.101
Do m – k == 11 ⇔ m = 56 ⇔ A = 2025 m + k = 101 n = 45 B = 3136
Bài 2: Tìm số phương gồm chữ số biết số gồm chữ số đầu lớn số gồm chữ số sau đơn vị.
Đặt abcd = k2 ta có ab – cd = k N, 32 ≤ k < 100
Suy 101cd = k2 – 100 = (k-10)(k+10) ⇒ k +10 ⋮ 101 k-10 ⋮ 101 Mà (k-10; 101) = ⇒ k +10 ⋮ 101
Vì 32 ≤ k < 100 nên 42 ≤ k+10 < 110 ⇒ k+10 = 101 ⇒ k = 91 ⇒ abcd = 912 = 8281
Bài 3: Tìm số phương có chữ số biết chữ số đầu giống nhau, chữ số cuối giống nhau.
Gọi số phương phải tìm aabb = n2 với a, b N, ≤ a ≤ 9; ≤ b ≤ 9 Ta có n2 = aabb = 11.a0b = 11.(100a+b) = 11.(99a+a+b) (1)
Nhận xét thấy aabb ⋮ 11 ⇒ a + b ⋮ 11
Mà ≤ a ≤ ; ≤ b ≤ nên ≤ a+b ≤ 18 ⇒ a+b = 11
(9)Số cần tìm 7744
Bài 4: Tìm số có chữ số vừa số phương vừa lập phương.
Gọi số phương abcd Vì abcd vừa số phương vừa lập phương nên đặt abcd = x2 = y3 Với x, y N
Vì y3 = x2 nên y số phương
Ta có 1000 ≤ abcd ≤ 9999 ⇒ 10 ≤ y ≤ 21 y phương ⇒ y = 16 ⇒ abcd = 4096
Bài 5: Tìm số phương gồm chữ số cho chữ số cuối số nguyên tố, căn bậc hai số có tổng chữ số số phương.
Gọi số phải tìm abcd với a, b, c, d nguyên ≤ a ≤ ; ≤ b,c,d ≤ abcd phương ⇒ d { 0,1,4,5,6,9}
d nguyên tố ⇒ d = 5
Đặt abcd = k2 < 10000 ⇒ 32 ≤ k < 100
k số có hai chữ số mà k2 có tận ⇒ k tận 5 Tổng chữ số k số phương ⇒ k = 45
⇒ abcd = 2025
Vậy số phải tìm 2025
Bài 6: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết hiệu bình phương số viết số hai chữ số số theo thứ tự ngược lại số phương
Gọi số tự nhiên có hai chữ số phải tìm ab ( a,b N, ≤ a,b ≤ ) Số viết theo thứ tự ngược lại ba
Ta có ab - ba = ( 10a + b ) 2 – ( 10b + a )2 = 99 ( a2 – b2 ) ⋮ 11 ⇒ a2 - b2 ⋮ 11
Hay ( a-b )(a+b ) ⋮ 11
Vì < a - b ≤ , ≤ a+b ≤ 18 nên a+b ⋮ 11 ⇒ a + b = 11 Khi ab - ba = 32 112 (a - b)
Để ab - ba số phương a - b phải số phương a-b = hoặc a - b =
Nếu a-b = kết hợp với a+b = 11 ⇒ a = 6, b = 5, ab = 65
Khi 652 – 562 = 1089 = 332
Nếu a - b = kết hợp với a+b = 11 ⇒ a = 7,5 ( loại )
Vậy số phải tìm 65
Bài 7: Cho số phương có chữ số Nếu thêm vào chữ số ta được số phương Tìm số phương ban đầu
( Kết quả: 1156 )
2
2
(10)Bài 8: Tìm số có chữ số mà bình phương số lập phương tổng chữ số nó.
Gọi số phải tìm ab với a,b N ≤ a ≤ , ≤ b ≤ Theo giả thiết ta có : ab = ( a + b )3
⇔ (10a+b)2 = ( a + b )3
⇒ ab lập phương a+b số phương Đặt ab = t3 ( t N ) , a + b = l 2 ( l N )
Vì 10 ≤ ab ≤ 99 ⇒ ab = 27 ab = 64
Nếu ab = 27 ⇒ a + b = số phương
Nếu ab = 64 ⇒ a + b = 10 không số phương ⇒ loại
Vậy số cần tìm ab = 27
Bài 9: Tìm số lẻ liên tiếp mà tổng bình phương số có chữ số giống nhau.
Gọi số lẻ liên tiếp 2n-1, 2n+1, 2n+3 ( n N)
Ta có A= ( 2n-1 )2 + ( 2n+1)2 + ( 2n+3 )2 = 12n2 + 12n + 11
Theo đề ta đặt 12n2 + 12n + 11 = aaaa = 1111.a với a lẻ ≤ a ≤ 9 ⇒ 12n( n + ) = 11(101a – )
⇒ 101a – ⋮ ⇒ 2a – ⋮ 3
Vì ≤ a ≤ nên ≤ 2a-1 ≤ 17 2a-1 lẻ nên 2a – { 3; 9; 15 } ⇒ a { 2; 5; }
Vì a lẻ ⇒ a = ⇒ n = 21 số càn tìm 41; 43; 45
Bài 10: Tìm số có chữ số cho tích số với tổng chữ số tổng lập phương chữ số số đó.
ab (a + b ) = a3 + b3
⇔ 10a + b = a2 – ab + b2 = ( a + b )2 – 3ab ⇔ 3a( + b ) = ( a + b ) ( a + b – ) a + b a + b – nguyên tố a + b = 3a a + b – = 3a a + b – = + b a + b = + b
⇒ a = , b = a = , b = 7 Vậy ab = 48 ab = 37
(11)Chuyên đề 2
A_ĐỒNG DƯ THỨC 1_Định nghĩa:
Cho số nguyên dương Hai số nguyên gọi đồng dư với theo module m hiệu
Ký hiệu gọi đồng dư thức Nếu không chia hết cho , ta viết
2_Các ví dụ:
Điều kiện nghĩa a
3_Một số tính chất bản:
Tính chất 1:
Với số ngun , ta có:
Tính chất 2:
Tính chất
Chứng minh:
Vì
Tính chất
Chứng minh:
Tính chất
Chứng minh:
(12)Nhân vế hai ĐT ta có:
Nhận xét
1, Nếu
, suy ra:
, cịn
Điều có nghĩa : Tổng hai số lẻ số chẵn; Tích hai số lẻ số lẻ 2,Nếu
Có nghĩa: Nếu số chia cho dư bình phương số chia dư Các hệ tính chất 5:
,
3 , với
Chú ý:
1_Chia hai vế cho đẳng thức, nói chung khơng
2 ab đồng dư với theo module m Chẳng hạn :
Phép chia hai vế đồng dư thức đòi hỏi phải kèm thêm số điều kiện
Tính chất Ta chia hai vế đồng dư thức cho ước chung chúng,
ước nguyên tố với modun m
Tính chất Ta nhân hai vế modun đồng dư thức với số nguyên dương
, với c>0
Ta chia hai vế modun đồng dư thức cho ước chung dương chúng Nếu d ước chung dương a,b m
với d>0
Tính chất (from sách )
Đa thức với hệ số nguyên có
(13)Chuyên đề 3
Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử I CÁC PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN
1 Phương pháp đặt nhân tử chung
– Tìm nhân tử chung đơn, đa thức có mặt tất hạng tử.
– Phân tích hạng tử thành tích nhân tử chung nhân tử khác.
– Viết nhân tử chung dấu ngoặc, viết nhân tử lại hạng tử vào trong dấu ngoặc (kể dấu chúng).
Ví dụ 1 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 28a2b2 - 21ab2 + 14a2b = 7ab(4ab - 3b + 2a)
2x(y – z) + 5y(z –y ) = 2(y - z) – 5y(y - z) = (y – z)(2 - 5y) xm + xm + 3 = xm (x3 + 1) = xm( x+ 1)(x2 – x + 1)
2 Phương pháp dùng đẳng thức
- Dùng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử.
- Cần ý đến việc vận dụng đẳng thức.
Ví dụ 2 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 9x2 – = (3x)2 – 22 = ( 3x– 2)(3x + 2)
8 – 27a3b6 = 23 – (3ab2)3 = (2 – 3ab2)( + 6ab2 + 9a2b4) 25x4 – 10x2y + y2 = (5x2 – y)2
3 Phương pháp nhóm nhiều hạng tử
– Kết hợp hạng tử thích hợp thành nhóm.
– Áp dụng liên tiếp phương pháp đặt nhân tử chung dùng đẳng thức.
Ví dụ 3 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
2x3 – 3x2 + 2x – = ( 2x3 + 2x) – (3x2 + 3) = 2x(x2 + 1) – 3( x2 + 1) = ( x2 + 1)( 2x – 3)
x2 – 2xy + y2 – 16 = (x – y)2 - 42 = ( x – y – 4)( x –y + 4) 4.Phối hợp nhiều phương pháp
- Chọn phương pháp theo thứ tự ưu tiên.
- Đặt nhân tử chung.
- Dùng đẳng thức.
- Nhóm nhiều hạng tử.
Ví dụ 4 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
(14)= 3xy(x2 – 2y – y2 – 2ay – a2 + 1) = 3xy[( x2 – 2x + 1) – (y2 + 2ay + a2)] = 3xy[(x – 1)2 – (y + a)2]
= 3xy[(x – 1) – (y + a)][(x – 1) + (y + a)] = 3xy( x –1 – y – a)(x – + y + a)
II PHƯƠNG PHÁP TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ 1 Đối với đa thức bậc hai (f(x) = ax2 + bx + c)
a) Cách (tách hạng tử bậc bx):
Bước 1: Tìm tích ac, phân tích ac tích hai thừa số nguyên cách. a.c = a1.c1 = a2.c2 = a3.c3 = … = ai.ci = …
Bước 2: Chọn hai thừa số có tổng b, chẳng hạn chọn tích a.c = ai.ci với b = + ci
Bước 3: Tách bx = aix + cix Từ nhóm hai số hạng thích hợp để phân tích tiếp.
Ví dụ 5 Phân tích đa thức f(x) = 3x2 + 8x + thành nhân tử. Hướng dẫn
- Phân tích ac = 12 = 3.4 = (–3).(–4) = 2.6 = (–2).(–6) = 1.12 = (–1).(–12)
- Tích hai thừa số có tổng b = tích a.c = 2.6 (a.c = ai.ci).
- Tách 8x = 2x + 6x (bx = aix + cix)
Lời giải
3x2 + 8x + = 3x2 + 2x + 6x + = (3x2 + 2x) + (6x + 4)= x(3x + 2) + 2(3x + 2) = (x + 2)(3x +2)
b) Cách (tách hạng tử bậc hai ax2) - Làm xuất hiện hiệu hai bình phương :
f(x) = (4x2 + 8x + 4) – x2 = (2x + 2)2 – x2 = (2x + – x)(2x + + x) = (x + 2)(3x + 2)
- Tách thành số hạng nhóm :
f(x) = 4x2 – x2 + 8x + = (4x2 + 8x) – ( x2 – 4) = 4x(x + 2) – (x – 2)(x + 2) = (x + 2)(3x + 2)
f(x) = (12x2 + 8x) – (9x2 – 4) = … = (x + 2)(3x + 2)
c) Cách 3 (tách hạng tử tự c)
- Tách thành số hạng nhóm thành hai nhóm:
f(x) = 3x2 + 8x + 16 – 12 = (3x2 – 12) + (8x + 16) = … = (x + 2)(3x + 2)
d) Cách (tách số hạng, số hạng)
(15)e) Cách (nhẩm nghiệm): Xem phần III.
Chú ý : Nếu f(x) = ax2 + bx + c có dạng A2 ± 2AB + c ta tách sau :
f(x) = A2 ± 2AB + B2 – B2 + c = (A ± B)2 – (B2 – c)
Ví dụ 6 Phân tích đa thức f(x) = 4x2 - 4x - thành nhân tử. Hướng dẫn
Ta thấy 4x2 - 4x = (2x)2 - 2.2x Từ ta cần thêm bớt 12 = để xuất đẳng thức. Lời giải
f(x) = (4x2 – 4x + 1) – = (2x – 1)2 – 22 = (2x – 3)(2x + 1) Ví dụ 7 Phân tích đa thức f(x) = 9x2 + 12x – thành nhân tử. Lời giải
Cách 1 : f(x) = 9x2 – 3x + 15x – = (9x2 – 3x) + (15x – 5) = 3x(3x –1) + 5(3x – 1) = (3x – 1)(3x + 5)
Cách 2 : f(x) = (9x2 + 12x + 4) – = (3x + 2)2 – 32 = (3x – 1)(3x + 5)
2 Đối với đa thức bậc từ trở lên (Xem mục III Phương pháp nhẩm nghiệm) 3.Đối với đa thức nhiều biến
Ví dụ 11 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử a) 2x2 - 5xy + 2y2 ;
b) x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y). Hướng dẫn
a) Phân tích đa thức tương tự phân tích đa thức f(x) = ax2 + bx + c. Ta tách hạng tử thứ :
2x2 - 5xy + 2y2 = (2x2 - 4xy) - (xy - 2y2) = 2x(x - 2y) - y(x - 2y) = (x - 2y)(2x - y)
a) Nhận xét z - x = -(y - z) - (x - y) Vì vậy ta tách hạng tử thứ hai của đa thức : x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = x2(y - z) - y2(y - z) - y2(x - y) + z2(x - y) =
= (y - z)(x2 - y2) - (x - y)(y2 - z2) = (y - z)(x - y)(x + y) - (x - y)(y - z)(y + z) = (x - y)(y - z)(x - z)
Chú ý :
1) Ở câu b) ta tách y -z = -(x-y)-(z-x) (hoặc z-x=-(y-z)-(x -y))
2) Đa thức ở câu b) đa thức có dạng đa thức đặc biệt Khi ta thay x = y (y = z z = x) vào đa thức giá trị đa thức Vì vậy, ngồi cách phân tích bằng cách tách trên, ta cịn cách phân tích cách xét giá trị riêng (Xem phần VII).
III PHƯƠNG PHÁP NHẨM NGHIỆM
(16)Định lí : Nếu f(x) có nghiệm x = a f(a) = Khi đó, f(x) có nhân tử x – a f(x) có thể viết dạng f(x) = (x – a).q(x)
Lúc tách các số hạng của f(x) thành các nhóm, nhóm chứa nhân tử x – a Cũng cần lưu ý rằng, nghiệm nguyên của đa thức, có, phải ước của hệ số tự
Ví dụ 8 Phân tích đa thức f(x) = x3 + x2 + thành nhân tử. Lời giải
Lần lượt kiểm tra với x = ± 1, ± 2, 4, ta thấy f(–2) = (–2)3 + (–2)2 + = Đa thức f(x) có nghiệm x = –2, chứa nhân tử x + Từ đó, ta tách sau
Cách 1 : f(x) = x3 + 2x2 – x2 + = (x3 + 2x2) – (x2 – 4) = x2(x + 2) – (x – 2)(x + 2) = (x + 2)(x2 – x + 2).
Cách 2 : f(x) = (x3 + 8) + (x2 – 4) = (x + 2)(x2 – 2x + 4) + (x – 2)(x + 2) = (x + 2)(x2 – x + 2).
Cách 3 : f(x) = (x3 + 4x2 + 4x) – (3x2 + 6x) + (2x + 4)
= x(x + 2)2 – 3x(x + 2) + 2(x + 2) = (x + 2)(x2 – x + 2).
Cách 4 : f(x) = (x3 – x2 + 2x) + (2x2 – 2x + 4) = x(x2 – x + 2) + 2(x2 – x + 2) = (x + 2)(x2 – x + 2).
Từ định lí trên, ta có các hệ sau :
Hệ Nếu f(x) có tổng hệ số f(x) có nghiệm x = Từ f(x) có một nhân tử x – 1.
Chẳng hạn, đa thức x3 – 5x2 + 8x – có + (–5) + + (–4) = nên x = nghiệm của đa thức Đa thức có nhân tử x – Ta phân tích sau :
f(x) = (x3 – x2) – (4x2 – 4x) + (4x – 4) = x2(x – 1) – 4x(x – 1) + 4(x – 1) = (x – 1)( x – 2)2
Hệ Nếu f(x) có tổng hệ số luỹ thừa bậc chẵn tổng hệ số các luỹ thừa bậc lẻ f(x) có nghiệm x = –1 Từ f(x) có nhân tử x + 1.
Chẳng hạn, đa thức x3 – 5x2 + 3x + có + = –5 + nên x = –1 nghiệm của đa thức. Đa thức có nhân tử x + Ta phân tích sau :
f(x) = (x3 + x2) – (6x2 + 6x) + (9x + 9) = x2(x + 1) – 6x(x + 1) + 9(x + 1) = (x + 1)( x – 3)2
Hệ Nếu f(x) có nghiệm nguyên x = a f(1) f(–1) khác và đều là
số nguyên.
Ví dụ 9 Phân tích đa thức f(x) = 4x3 - 13x2 + 9x - 18 thành nhân tử. Hướng dẫn
Các ước của 18 ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 9, ± 18
(17)Dễ thấy không số nguyên nên –3, ± 6, ± 9, ± 18 không nghiệm của f(x) Chỉ –2 Kiểm tra ta thấy nghiệm của f(x) Do đó, ta tách các hạng tử sau :
= (x – 3)(4x2 – x + 6)
Hệ Nếu ( là số nguyên) có nghiệm hữu tỉ , p, q
Z (p , q)=1, p ước a0, q ước dương an
Ví dụ 10 Phân tích đa thức f(x) = 3x3 - 7x2 + 17x - thành nhân tử. Hướng dẫn
Các ước của –5 ± 1, ± Thử trực tiếp ta thấy các số không nghiệm của f(x) Như vậy f(x) khơng có nghiệm nghun Xét các số , ta thấy nghiệm của đa thức, đa thức có nhân tử 3x – Ta phân tích sau :
f(x) = (3x3 – x2) – (6x2 – 2x) + (15x – 5) = (3x – 1)(x2 – 2x + 5). IV PHƯƠNG PHÁP THÊM VÀ BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ
1 Thêm bớt hạng tử làm xuất hiệu hai bình ph ương Ví dụ 12 Phân tích đa thức x4 + x2 + thành nhân tử
Lời giải
Cách 1 : x4 + x2 + = (x4 + 2x2 + 1) – x2 = (x2 + 1)2 – x2 = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1).
Cách 2 : x4 + x2 + = (x4 – x3 + x2) + (x3 + 1) = x2(x2 – x + 1) + (x + 1)(x2 – x + 1) = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1).
Cách 3 : x4 + x2 + = (x4 + x3 + x2) – (x3 – 1) = x2(x2 + x + 1) + (x – 1)(x2 + x + 1) = (x2 – x + 1)(x2 + x + 1).
Ví dụ 13 Phân tích đa thức x4 + 16 thành nhân tử Lời giải
Cách 1 : x4 + = (x4 + 4x2 + 4) – 4x2 = (x2 + 2)2 – (2x)2 = (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2)
Cách 2 : x4 + = (x4 + 2x3 + 2x2) – (2x3 + 4x2 + 4x) + (2x2 + 4x + 4) = (x2 – 2x + 2)(x2 + 2x + 2)
2 Thêm bớt hạng tử làm xuất nhân tử chung Ví dụ 14 Phân tích đa thức x5 + x - thành nhân tử
Lời giải Cách 1.
(18)Cách 2 Thêm bớt x2 :
x5 + x - = x5 + x2 - x2 + x - = x2(x3 + 1) - (x2 - x + 1) = (x2 - x + 1)[x2(x + 1) - 1] = (x2 - x + 1)(x3 - x2 - 1). Ví dụ 15 Phân tích đa thức x7 + x + thành nhân tử Lời giải
x7 + x2 + = x7 – x + x2 + x + = x(x6 – 1) + (x2 + x + 1)
= x(x3 – 1)(x3 + 1) + (x2+ x + 1) = x(x3 + 1)(x - 1)(x2 + x + 1) + ( x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x5 - x4 – x2 - x + 1)
Lưu ý : Các đa thức dạng x3m + 1 + x3n + 2 + x7 + x2 + 1, x4 + x5 + chứa nhân tử là x2 + x + 1.
V PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN
Đặt ẩn phụ để đưa dạng tam thức bậc hai sử dụng phương pháp bản.
Ví dụ 16 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128
Lời giải
x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = (x2 + 10x)(x2 + 10x + 24) + 128 Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức đã cho có dạng :
(y - 12)(y + 12) + 128 = y2 - 16 = (y + 4)(y - 4) = (x2 + 10x + 16)(x2 + 10x + 8) = (x + 2)(x + 8)(x2 + 10x + 8)
Nhận xét: Nhờ phương pháp đổi biến ta đã đưa đa thức bậc x thành đa thức bậc y
Ví dụ 17 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : A = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1.
Lời giải
Cách 1 Giả sử x ≠ Ta viết đa thức dạng :
Đặt thì Do : A = x2(y2 + + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2 = = (x2 + 3x - 1)2. Dạng phân tích với x =
(19)VI PHƯƠNG PHÁP HỆ SỚ BẤT ĐỊNH
Ví dụ 18 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : x4 - 6x3 + 12x2 - 14x - 3
Lời giải
Thử với x= ±1; ±3 khơng nghiệm của đa thức, đa thức khơng có nghiệm ngun khơng có nghiệm hữu tỷ Như vậy đa thức phân tích thành nhân tử thì phải có dạng (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 +(a + c)x3 + (ac+b+d)x2 + (ad+bc)x + bd
= x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + 3. Đồng các hệ số ta :
Xét bd= với b, d Ỵ Z, b Ỵ {± 1, ± 3} Với b = thì d = 1, hệ điều kiện trở thành
2c = -14 - (-6) = -8 Do c = -4, a = -2 Vậy x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1). VII PHƯƠNG PHÁP XÉT GIÁ TRỊ RIÊNG
Trong phương pháp này, trước hết ta xác định dạng các nhân tử chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến các giá trị cụ thể để xác định các nhân tử lại
Ví dụ 19 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : P = x2(y – z) + y2(z – x) + z(x – y).
Lời giải
Thay x y P = y2(y – z) + y2( z – y) = Như P chứa thừa số (x – y).
Ta thấy thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì p không đổi (đa thức P hoán vị vịng quanh) Do P đã chứa thừa số (x – y) thì chứa thừa số (y – z), (z – x) Vậy P có dạng k(x – y)(y – z)(z – x)
Ta thấy k phải số P có bậc tập hợp biến x, y, z, cịn tích (x – y)(y – z)(z – x) có bậc tập hợp biến x, y, z
Vì đẳng thức x2(y – z) + y2(z – x) + z2(x – y) = k(x – y)(y – z)(z – x) với x, y, z nên ta gán cho biến x ,y, z giá trị riêng, chẳng hạn x = 2, y = 1, z = ta được: 4.1 + 1.(–2) + = k.1.1.(–2) suy k =1
Vậy P = –(x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x – z)
VIII PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ MỘT SỐ ĐA THỨC ĐẶC BIỆT 1 Đưa đa thức : a3 + b3 + c3-3abc
Ví dụ 20 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) a3 + b3 + c3 - 3abc.
(20)Lời giải
a) a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b)3 - 3a2b - 3ab2 + c3 - 3abc = [(a + b)3 + c3] - 3ab(a + b + c)
= (a + b + c)[(a + b)2 - (a + b)c + c2] - 3ab(a + b + c) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc -ca)
b) Đặt x - y = a, y - z = b, z - x = c thì a + b + c Theo câu a) ta có : a3 + b3 + c3 - 3abc = Þ a3 + b3 + c3 = 3abc.
Vậy (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 = 3(x - y)(y - z)(z - x) 2 Đưa đa thức : (a + b + c)3-a3-b3-c3
Ví dụ 21 Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3.
b) 8(x + y + z)3 - (x + y)3 - (y + z)3 - (z + x)3. Lời giải
a) (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = [(a + b) + c]3 - a3 - b3 - c3 = (a + b)3 + c3 + 3c(a + b)(a + b + c) - a3 - b3 - c3
= (a + b)3 + 3c(a + b)(a + b + c) - (a + b)(a2 - ab + b2) = (a + b)[(a + b)2 + 3c(a + b + c) - (a2 - ab + b2)]
= 3(a + b)(ab + bc + ca + c2) = 3(a + b)[b(a + c) + c(a + c)] = 3(a + b)(b + c)(c + a)
b) Đặt x + y = a, y + z = b, z + x = c thì a + b + c = 2(a + b + c) Đa thức đã cho có dạng : (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3
Theo kết câu a) ta có :
(a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a) Hay 8(x + y + z)3 - (x + y)3 - (y + z)3 - (z + x)3 = 3(x + 2y + z)(y + 2z + x)(z + 2x + y)
II Bài tập:
Bài tập 1: Phân tích đa thức thành nhân tử.
1 16x3y + 0,25yz3 21 (a + b + c)2 + (a + b – c)2 – 4c2 x 4 – 4x3 + 4x2 22 4a2b2 – (a2 + b2 – c2)2
(21)6 x 3 – x2 – x + 1 26 (a + b)3 – (a – b)3 x 4 + x3 + x2 - 1 27 X 3 – 3x2 + 3x – – y3 x 2y2 + – x2 – y2 28 X m + 4 + xm + 3 – x - 1 10 x 4 – x2 + 2x - 1 29 (x + y)3 – x3 – y3
11 3a – 3b + a2 – 2ab + b2 30 (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 12 a 2 + 2ab + b2 – 2a – 2b + 1 31 (b – c)3 + (c – a)3 + (a – b)3 13 a 2 – b2 – 4a + 4b 32 x3 + y3+ z3 – 3xyz
14 a 3 – b3 – 3a + 3b 33 (x + y)5 – x5 – y5
15 x 3 + 3x2 – 3x - 1 34 (x2 + y2)3 + (z2 – x2)3 – (y2 + z2)3 16 x 3 – 3x2 – 3x + 1
17 x 3 – 4x2 + 4x - 1 18 4a2b2 – (a2 + b2 – 1)2 19 (xy + 4)2 – (2x + 2y)2
20 (a2 + b2 + ab)2 – a2b2 – b2c2 – c2a2
Bài tập 2: Phân tích đa thức thành nhân tử.
1 x2 – 6x + 8 23. x3 – 5x2y – 14xy2 x2 – 7xy + 10y2 24. x4 – 7x2 + 1
3 a2 – 5a - 14 25. 4x4 – 12x2 + 1
4 2m2 + 10m + 8 26. x2 + 8x + 7
5 4p2 – 36p + 56 27. x2 – 13x + 36
6 x3 – 5x2 – 14x 28. x2 + 3x – 18
7 a4 + a2 + 1 29. x2 – 5x – 24
8 a4 + a2 – 2 30. 3x2 – 16x + 5
9 x4 + 4x2 + 5 31. 8x2 + 30x + 7
10 x3 – 10x - 12 32. 2x2 – 5x – 12
11 x3 – 7x - 6 33. 6x2 – 7x – 20
12 x2 – 7x + 12 34. x2 – 7x + 10
13 x2 – 5x – 14 35. x2 – 10x + 16
14 x2 – 3x – 1 36. 3x2 – 14x + 11
15 x2 – 7x + 4 37. 5x2 + 8x – 13
16 x2 – 7x + 3 38. x2 + 19x + 60
(22)19 x4 – 34x2 + 225 41. x3 + 9x2 + 26x + 24 20 4x4 – 37x2 + 9 42. 4x2 – 17xy + 13y2 21 x4 + 3x3 + x2 – 12x - 20 43. - 7x2 + 5xy + 12y2 22 2x4 + 5x3 + 13x2 + 25x + 15 44. x3 + 4x2 – 31x - 70 Bài tập 3: Phân tích đa thức thành nhân tử.
1 x4 + x2 + 1 17. x5 - x4 - 1
2 x4 – 3x2 + 9 18. x12 – 3x6 + 1
3 x4 + 3x2 + 4 19. x8 - 3x4 + 1
4 2x4 – x2 – 1 20. a5 + a4 + a3 + a2 + a + 1
5 x4y4 + 4 21. m3 – 6m2 + 11m - 6
6 x4y4 + 64 22. x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1
7 x4y4 + 1 23. x3 + 4x2 – 29x + 24
8 32x4 + 1 24. x10 + x8 + x6 + x4 + x2 + 1
9 x4 + 4y4 25. x7 + x5 + x4 + x3 + x2 + 1
10 x7 + x2 + 1 26. x5 – x4 – x3 – x2 – x - 2
11 x8 + x + 1 27. x8 + x6 + x4 + x2 + 1
12 x8 + x7 + 1 28. x9 – x7 – x6 – x5 + x4 + x3 + x2 + 1
13 8 + 3x4 + 1 29. a(b3 – c3) + b(c3 – a3) + c(a3 – b3)
14 x10 + x5 + 1
15 x5 + x + 1
16 x5 + x4 + 1
Bài tập 4: Phân tích đa thức thành nhân tử.
1 x2 + 2xy – 8y2 + 2xz + 14yz – 3z2
2 3x2 – 22xy – 4x + 8y + 7y2 + 1
3 12x2 + 5x – 12y2 + 12y – 10xy – 3
4 2x2 – 7xy + 3y2 + 5xz – 5yz + 2z2
5 x2 + 3xy + 2y2 + 3xz + 5yz + 2z2
6 x2 – 8xy + 15y2 + 2x – 4y – 3
7 x4 – 13x2 + 36
8 x4 + 3x2 – 2x + 3
9 x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1
Bài tập 5: Phân tích đa thức thành nhân tử:
1 (a – b)3 + (b – c)3 + (c – a)3
2 (a – x)y3 – (a – y)x3 – (x – y)a3
3 x(y2 – z2) + y(z2 – x2) + z(x2 – y2)
4 (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3
5 3x5 – 10x4 – 8x3 – 3x2 + 10x + 8
(23)7 15x3 + 29x2 – 8x – 12
8 x4 – 6x3 + 7x2 + 6x – 8
9 x3 + 9x2 + 26x + 24
Bài tập 6: Phân tích đa thức thành nhân tử.
1 a(b + c)(b2 – c2) + b(a + c)(a2 – c2) + c(a + b)(a2 – b2)
2 ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a) a(b2 – c2) – b(a2 – c2) + c(a2 – b2)
4 (x – y)5 + (y – z)5 + (z – x)5
5 (x + y)7 – x7 – y7
6 ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) + abc (x + y + z)5 – x5 – y5 – z5
8 a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) + 2abc
9 a3(b – c) + b3(c – a) + c3(a – b)
10 abc – (ab + bc + ac) + (a + b + c) –
Bài tập 7: Phân tích đa thức thành nhân tử.
1 (x2 + x)2 + 4x2 + 4x – 12
2 (x2 + 4x + 8)2 + 3x(x2 + 4x + 8) + 2x2
3 (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12
4 (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) – 24 (x2 + 2x)2 + 9x2 + 18x + 20
6 x2 – 4xy + 4y2 – 2x + 4y – 35
7 (x + 2)(x + 4)(x + 6)(x + 8) + 16 (x2 + x)2 + 4(x2 + x) – 12
9 4(x2 + 15x + 50)(x2 + 18x + 72) – 3x2
Chuyên đề
Tính chia hết với số nguyên
I Mục tiêu
Sau học xong chuyên đề học sinh có khả năng:
1.Biết vận dụng tính chất chia hÕt cđa sè nguyªn dể chng minh quan hệ chia hết, tìm số d tìm điều kiện chia hết
2 Hiu cỏc bc phân tích tốn, tìm hướng chứng minh Có kĩ vận dụng kiến thức trang bị để giải toán II Các tài liệu hỗ trợ:
- Bài tập nâng cao số chuyên đề toán - Toán nâng cao chuyên đề đại số - Bồi dưỡng toán
- Nâng cao phát triển toán - …
III Nội dung
1 Kiến thức cần nhớ
1 Chøng minh quan hÖ chia hÕt
Gäi A(n) lµ mét biĨu thøc phơ thc vµo n (nN hc n Z)
a/ Để chứng minh A(n) chia hết cho m ta phân tích A(n) thành tích có thừa số m
(24)+ Trong k sè liªn tiÕp bao giê cịng tồn số bội k
b/ Khi chøng minh A(n) chia hÕt cho n ta cã thĨ xÐt mäi trêng hỵp vỊ sè d chia m cho n
* VÝ dô1:
C/minh r»ng A=n3(n2- 7)2– 36n chia hÕt cho 5040 víi mäi sè tự nhiên n
Giải:
Ta có 5040 = 24 32.5.7
A= n3(n2- 7)2– 36n = n.[ n2(n2-7)2 – 36 ] = n [n.(n2-7 ) -6].[n.(n2-7 ) +6]
= n.(n3-7n – 6).(n3-7n +6)
Ta l¹i cã n3-7n – = n3 + n2 –n2 –n – 6n -6 = n2.(n+1)- n (n+1) -6(n+1)
=(n+1)(n2-n-6)= (n+1 )(n+2) (n-3)
T¬ng tù : n3-7n+6 = (n-1) (n-2)(n+3) d
Do A= (n-3)(n-2) (n-1) n (n+1) (n+2) (n+3)
Ta thÊy : A tích số nguyên liên tiếp mà số nguyên liên tiếp:
- Tồn bội số (nên A ) - Tồn bội (nên A ) - Tån t¹i hai béi cđa (nªn A )
- Tồn bội có bội (nên A 16)
Vậy A chia hết cho 5, 7,9,16 đôi nguyên tố A 5.7.9.16=
5040
VÝ dô 2: Chng minh với số nguyên a : a/ a3 –a chia hÕt cho
b/ a5-a chia hÕt cho
Gi¶i:
a/ a3-a = (a-1)a (a+1) tích số nguyên liên tiếp nªn tÝch chia hÕt cho
b/ A= a5-a = a(a2-1) (a2+1)
C¸ch 1:
Ta xÕt mäi trêng hỵp vỊ sè d chia a cho
- NÕu a= k (kZ) th× A 5 (1)
- NÕu a= 5k 1 th× a2-1 = (5k21) 2 -1 = 25k2 10k5 A 5 (2) - NÕu a= 5k 2 th× a2+1 = (5k2)2 + = 25 k220k +5 A 5 (3)
Tõ (1),(2),(3) A 5, n Z
Cách 2:
Phân tích A thành mét tỉng cđa hai sè h¹ng chia hÕt cho : + Một số hạng tích số nguyên liên tiếp
+ Một số hạng chứa thừa sè
Ta cã : a5-a = a( a2-1) (a2+1) = a(a2-1)(a2-4 +5) = a(a2-1) (a2-4) + 5a(a2-1)
= a(a-1)(a+1) (a+2)(a-2)- 5a (a2-1)
Mà = a(a-1)(a+1) (a+2)(a-2) 5 (tích số nguyên liªn tiÕp ) 5a (a2-1) 5
Do a5-a 5
* Cách 3: Dựa vào cách 2: Chứng minh hiệu a5-a tích số nguyên liªn
tiÕp chia hÕt cho Ta cã:
a5-a – (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) = a5-a – (a2- 4)a(a2-1) = a5-a - (a3- 4a)(a2-1)
= a5-a - a5 + a3 +4a3 - 4a = 5a3 – 5a 5
a5-a – (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) 5
Mµ (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) 5 a5-a 5(TÝnh chÊt chia hÕt cđa mét
hiƯu)
c/ Khi chứng minh tính chia hết luỹ thừa ta cịn sử dụng đẳng thức:
an – bn = (a – b)( an-1 + an-2b+ an-3b2+ …+abn-2+ bn-1) (H§T 8)
an + bn = (a + b)( an-1 - an-2b+ an-3b2 - …- abn-2+ bn-1) (HĐT 9)
- Sử dụng tam giác Paxcan:
(25)
…
Mỗi dòng bắt đầu kết thúc
Mỗi số dòng (kể từ dòng thứ 2) số liền cộng với số bên trái số liền
Do đó: Với a, b Z, n N:
an – bn chia hÕt cho a – b( ab)
a2n+1 + b2n+1 chia hÕt cho a + b( a-b)
(a+b)n = Bsa +bn ( BSa:Béi sè cña a)
(a+1)n = Bsa +1
(a-1)2n = Bsa +1
(a-1)2n+1 = Bsa -1
* VD3: CMR víi mäi sè tù nhiªn n, biÓu thøc 16n – chia hÕt cho 17 chỉ
khi n số chẵn Giải:
+ Cách 1: - Nếu n chẵn: n = 2k, kN th×:
A = 162k – = (162)k – chia hÕt cho 162 – 1( theo nhÞ thức Niu Tơn)
Mà 162 = 255 17 Vậy A17
- Nếu n lẻ : A = 16n – = 16n + – mà n lẻ 16n + 116+1=17 (HĐT
9)
A kh«ng chia hÕt cho 17
+C¸ch 2: A = 16n – = ( 17 – 1)n – = BS17 +(-1)n – (theo công thức Niu
Tơn)
- Nếu n chẵn th× A = BS17 + – = BS17 chia hết cho 17
- Nếu n lẻ A = BS17 – – = BS17 – Kh«ng chia hÕt cho 17
VËy biĨu thøc 16n – chia hÕt cho 17 vµ chØ n số chẵn, n N
d/ Ngồi cịn dùng phơng pháp phản chứng, ngun lý Dirichlê để chứng minh quan hệ chia hết
VD 4: CMR tån t¹i mét béi cđa 2003 cã dạng: 2004 2004.2004
Giải: Xét 2004 số: a1 = 2004
a2 = 2004 2004
a3 = 2004 2004 2004
……… a2004 = 2004 2004…2004
2004 nhãm 2004
Theo nguyên lý Dirichle, tồn hai số có số d chia cho 2003 Gọi hai số am an ( n <m 2004) am - an 2003
Ta cã: am - an = 2004 2004……2004 000…00
m-n nhãm 2004 4n
hay am - an = 2004 2004……2004 104n m-n nhãm 2004
mµ am - an 2003 (104n, 2003) =1 nên 2004 20042004 2003
m-n nhãm 2004
2 T×m sè d
* VD1:T×m sè d chia 2100
a/ cho b/ cho 25 Giải:
a/ Luỹ thừa sát với béi cđa lµ 23 = = – 1
Ta cã : 2100 = 299= (23)33 = 2(9 – )33 = 2(BS9 -1) ( theo nhị thức Niu Tơn)
= BS9 = BS9 + VËy 2100 chia cho d 7
b/ L thõa cđa gÇn víi béi cđa 25 lµ 10 = 1024 =1025 – 1
(26)2100 =( 210)10 = ( 1025 – )10 = BS 1025 + = BS 25 +1 (theo nhị thức Niu Tơn)
Vậy 2100 chia cho 25 d 1
* VD2: T×m ch÷ sè tËn cïng cđa 51994 viÕt hƯ thập phân
Giải:
- Cách 1: Ta có: 1994 = 4k + vµ 54 = 625
Ta thấy số tận 0625 nâng lên luỹ thừa nguyên dơng tận 0625
Do đó: 51994 = 54k+2=(54)k 52 = 25 (0625)k = 25 (0625)= 5625
- Cách 2: Tìm sè d chia 51994 ch 10000 = 24.54
Ta thÊy 54k – = (54)k – 1k chia hÕt cho 54 – = (52 + 1) (52 - 1) 16
Ta cã 51994 = 56(51988 – 1) + 56 mµ 56 54 vµ 51988 – 1= (54)497 – chia hÕt cho
16
( 51994)3 56(51988 – 1)chia hÕt cho 10000 cßn 56= 15625
51994 = BS10000 + 15625 51994 chia cho 10000 d 15625
VËy chữ số tận 51994 5625 3 Tìm điều kiện chia hết
* VD1: Tỡm s nguyên n để giá trị biểu thức A chia hết cho giá trị biểu thức B:
A = n3 + 2n2- 3n + 2; B = n2 – n
Gi¶i:
n3 + 2n2- 3n + n2 – n
n3 – n2 n + 3
3n2 - 3n +
3n2 – 3n
Ta cã: n3 + 2n2- 3n + = (n2 – n)(n + 3) + 2 n n
Do Giá trị A chia hết cho giá trị B n2 – n Ư(2)
2 chia hÕt cho n(n – 1) 2 chia hÕt cho n
Ta cã b¶ng:
n -1 -2
n – -2 -3
n(n – 1) 2
Lo¹i T/m T/m Lo¹i
VËy víi n = -1, n = th× giá trị biểu thức A chia hết cho giá trị biểu thức B
VD 2: Tìm sè nguyªn n dĨ n5 + chia hÕt cho n3 + 1
Gi¶i:
n5 + n3 + 1n5 + n2 – n2 + n3 + 1
n2(n3 + 1)- ( n2 – 1) n3 + 1
(n – 1)(n + 1) (n+1)(n2 – n + 1)
n – n2 – n + 1
n(n – 1) n2 – n + 1
Hay n2 – n n2 – n + 1
(n2 – n + 1) – n2 – n + 1
1n2 – n + 1
XÐt hai trêng hỵp:
+ n2 – n + = n2 – n = n(n – 1) = n = 0, n = thư l¹i thÊy t/m
đề
(27) VD 3: Tìm số tự nhiên n cho 2n - chia hÕt cho 7
Gi¶i:
Ta cã luỹ thừa gần với bội 23 = = + 1
- NÕu n = 3k (k N) th× 2n - 1= 23k – = (23)k – = 8 k - 1k8 – = 7
NÕu n = 3k + 1(k N) th× 2n - = 23k+1 – = 8k – 1= 2(8k – 1) + 1
= BS7 +
2n - kh«ng chia hÕt cho 7
- NÕu n = 3k +2(k N) th× 2n - = 23k+2 – 1= 4.23k –
= 4( 8k – 1) + = 4.BS7 +
2n - kh«ng chia hÕt cho 7
VËy 2n - 17 n = 3k (k N) 2 Bµi tËp
Bµi 1: Chøng minh r»ng:
a/ n3 + 6n2 + 8n chia hªt ch 48 víi mäi sè n ch½n
b/ n4 – 10n2 + chia hÕt cho 384 víi số n lẻ
Giải
a/ n3 + 6n2 + 8n = n(n2 + 6n + 8) = n( n2 + 4n + 2n + 8) = n[n(n + 4) + 2(n + 4)]
= n(n+2)(n + 4) Víi n ch½n, n = 2k ta cã:
n3 + 6n2 + 8n = 2k(2k + 2)(2k + 4) = 8.k (k + 1)k + 2) 8
b/ n4 – 10n2 + = n4 – n2 – 9n2 + = n2(n2 – 1)- 9(n2 – 1) = (n2 – 1)(n2
-9)
= (n – 1)(n+1)(n-3)(n+3) Víi n lỴ, n = 2k +1, ta cã:
n4 – 10n2 + = (2k +1 – 1)(2k + 1+1)(2k + – 3)( 2k + +3)
= 2k(2k+2)(2k-2)(2k+4)= 16k(k+1)(k-1)(k+2) 16 Bµi 2: Chøng minh r»ng
a/ n6 + n4 -2n2 chia hÕt cho 72 víi mäi sè nguyªn n
b/ 32n – chia hết cho 72 với số nguyên dơng n
Gi¶i:
Ta cã: A= n6 + n4 -2n2 = n2(n4+n2 -2)= n2(n4 + 2n2 –n2 – 2)= n2[(n2 +2)- (n2 +2)]
= n2(n2 + 2)(n2 – 1).
Ta l¹i cã: 72 = 8.9 với (8,9) = Xét trờng hợp:
+ Víi n = 2k A = (2k)2(2k + 1) (2k -1)(4k2 +2) = 8k2(2k + 1) (2k -1)(2k2 +1)
8
+ Víi n = 2k +1 A = (2k + 1)2(2k +1 – 1)2= (4k2 + 4k +1)4k2 8
Tơng tự xét trờng hợp n = 3a, n= 3a để chứng minh A9 Vậy A8.9 hay A72
Bµi 3: Cho a lµ số nguyên tố lớn Chứng minh a2 chia hết cho 24
Giải:
Vì a2 số nguyên tố lớn nên a lẻ a2 số phơng lẻ
a2 chia cho d 1
a2 – chia hÕt cho (1)
MỈt khác a số nguyên tố lớn a không chia hết cho a2 số phơng không chia hết cho 3 a2 chia cho d 1
a2 – chia hÕt cho (2)
Mµ (3,8) = (3)
Tõ (1), (2), (3) a2 – chia hÕt cho 24
Bµi 4: Chøng minh r»ng:
Nếu số tự nhiên a không chia hết cho a6 -1 chia hết cho 7
Giải:
Bài toán trờng hợp đặc biệt định lý nh Phộc ma:
- Dạng 1: Nếu p số nguyên tố a số nguyên ap – a chia hÕt cho p
- D¹ng 2: Nếu a số nguyên không chia hết cho số nguyên tố p ap-1-1
chia hết cho p
ThËt vËy, ta cã a6 -1 = (a3 + 1) (a3 - 1)
(28)- NÕu a = 7k 2 (k N) th× a3 = ( 7k 2)3 = BS7 23 = BS7 8 a3 - 17 - NÕu a = 7k 3 (k N) th× a3 = ( 7k 3)3 = BS7 33 = BS7 27 a3 + 17
Ta lu«n cã a3 + hc a3 – chia hÕt cho VËy a6 – chia hÕt cho 7
Bµi 5: Chứng minh rằng:
Nếu n lập phơng số tự nhiên (n-1)n(n + 1) chia hết cho 504 Gi¶i:
Ta có 504 = 32 7.8 7,8,9 nguyên tố đôi một
Vì n lập phơng số tự nhiên nên đặt n = a3
CÇn chøng minh A=(a3-1)a3(a3 + 1) chia hÕt cho 504
Ta cã: + NÕu a ch½n a3 chia hÕt cho 8
Nếu a lẻ a3-1và a3 + hai số chẵn liên tiếp (a3-1) (a3 + 1) chi hết cho 8
VËy A8 , 19 9a nN (1)
+ NÕu a7 a37 A7
Nếu a không chia hết cho a6 17 (a3-1) (a3 + 1) 7(Định lí Phéc
ma)
VËy A7 , nN (2)
+ NÕu a3 a39 A9
NÕu a kh«ng chia hÊe cho a = 3k 1 a3 = ( 3k 3)3= BS91
a3 – = BS9+1 – 9
a3 + = BS9- + 9
VËy A9 , nN (3)
Tõ (1), (2), (3) A9 , nN
Bài 6: Tìm số tự nhiên n để giá trị biểu thức sau số nguyên tố: a/ 12n2 – 5n – 25
b/ 8n2 + 10n +3
c/
3 3
4 n n
Giải:
a/ Phân tích thành nhân tử: 12n2 – 5n – 25 = 12n2 +15n – 20n – 25
= 3n(4n + 5) – 5(4n +5) = (4n +5)(3n –5)
Do 12n2 – 5n – 25 số nguyên tố 4n +5 > nªn 3n – > 0.
Ta lại có: 3n – < 4n +5(vì n 0) nên để 12n2 – 5n – 25 số ngyên tố thì
thõa sè nhá ph¶i b»ng hay 3n – = n =
Khi đó, 12n2 – 5n – 25 = 13.1 = 13 số nguyên tố.
VËy víi n = giá trị biểu thức 12n2 5n 25 số nguyên tố 13
b/ 8n2 + 10n +3 = (2n – 1)(4n + 3)
Biến đổi tơng tự ta đợc n = Khi đó, 8n2 + 10n +3 số nguyên tố 3
c/ A =
3 3
4 n n
Do A số tự nhiên nªn n(n + 3) 4
Hai sè n n + chẵn Vậy n , hc n + chia hÕt cho - Nếu n = A = 0, không số nguyên tố
- Nếu n = A = 7, số nguyên tố
-Nếu n = 4k víi kZ, k > th× A = k(4k + 3) lµ tÝch cđa hai thõa sè lớn 1
nên A hợp số
- NÕu n + = th× A = 1, không số nguyên tố
- Nếu n + = 4k víi kZ, k > th× A = k(4k - 3) lµ tÝch cđa hai thõa số lớn hơn
1 nên A hợp số
VËy víi n = th×
3 3
4 n n
số nguyên tố Bài 7: Đố vui: Năm sinh hai b¹n
Một ngày thập kỷ cuối kỷ XX, nhờ khách đến thăm trờng gặp hai học sinh Ngời khách hỏi:
- Cã lÏ hai em tuổi nhau?
Bạn Mai trả lời:
- Không, em bạn em tuổi Nhng tổng chữ số năm sinh
(29)- Vậy em sinh năm 1979 1980, không? Ngời khách suy luận no?
Giải:
Chữ số tận năm sinh hai bạn phảI trờng hợp ngựoc lại tổng chữ số năm sinh hai bạn 1, số chẵn
Gọi năm sinh Mai 19 9a +9+a+9 = 19 + a Muốn tổng số chẵn
thì a{1; 3; 5; 7; 9} Hiển nhiên Mai sinh năm 1959 1999 Vậy Mai
sinh năm 1979, bạn Mai sinh năm 1980