Chøng minh tõ gi¸c ABOC néi tiÕp ®îc trong mét ®êng trßn.. Trªn tia ®èi cña tia MC lÊy ®iÓm E sao cho ME=MB..[r]
(1)Phần Hình Học
Bi 1 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn ( O; R), hai đờng cao AD BE cắt H ( D BC; EAC; AB < AC ).
a) Chøng minh c¸c tứ giác AEDB CDHE tứ giác nội tiếp b) Chøng minh CE.CA = CD CB vµ DB.DC = DH.DA
c) Chøng minh OC vu«ng gãc víi DE
d) Đờng phân giác AN BAC cắt BC N đờng tròng ( O ) K ( K khác A) Gọi I tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác CAN Chứng minh KO CI cắt điểm thuộc đờng tròn (O)
Bài 2 Trên đờng tròn (O; R) đờng kính AB lấy hai điểm M, E theo thứ tự A, M, E, B AM cắt BE C; AE cắt MB D
a) Chøng minh MCED lµ tứ giác nội tiếp CD vuông góc với AB
b) Gọi H giao điểm cảu CD AB Chøng minh r»ng BE BC = BH BA
c) Chứng minh tiếp tuyến M E đờng tròn (O) cắt điểm nằm đ-ờng thẳng CD
Bài 3. Cho đờng tròn (O; R) điểm S ngồi đờng trịn Vẽ hai tiếp tuyến SA SB Vẽ đ-ờng thẳng a qua S cắt đđ-ờng tròn (O) M; N với M nằm S N (Oa)
a) Chøng minh SO vu«ng gãc víi AB
b) Gọi H giao điểm SO AB; I trung điểm MN Hai đờng thẳng OI AB cắt E Chứng minh ISHE nội tiếp
c) Chøng minh OI.OE = R2.
d) Cho SO = 2R vµ MN = R TÝnh diÕn tÝch tam gi¸c ESM theo R
Bài 4: Cho tam giác MNP vuông M, đờng cao MH ( H cạnh NP ) Đờng trịn đờng kính MH cắt cạnh MN A cắt cạnh MP B
1 Chứng minh AB đờng kính Đờng trịn đờng kính MH Chứng minh tứ giác NABP tứ giác nội tiếp
3 Từ M kẻ đờng thẳng vng góc với AB cắt cạnh NP I Chứng minh IN = IP
Bài 5: Cho tam giác nhọn ABC, đờng cao kẻ từ đỉnh B đỉnh Ccắt H cắt đờng tròn ngoịa tiếp tam giác ABC lần lợt E F
1 Chng minh AE = AF
2 Chứng minh A tâm đờng trịn ngoại tiếp tam giác EFH Kẻ đờng kính BD Chứng minh tứ giác ADCH hình bình Bài 6: Cho tam giác vuông PQR (
¿ P^ ❑
¿
= 900 ) nội tiết đờng trịn tâm O, kẻ đờng kính PD. Chứng minh tứ giác PQDR hình chữ nhật
2 Gọi M N thứ tự hình chiếu vng góc Q, R PD PH đờng cao tam giác ( H cạnh QR ) Chứng minh HM vng góc với cạnh PR
3 Xác định tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác MHN
4 Gọi bán kính đờng trịn nội, ngoại tiếp tam giác vuông PQR r R Chứng minh: r + R
√
PQ PRBài 7: Cho tam giác vuông ABC vuông C O trung điểm AB D điểm cạnh AB ( D không trùng với A, O, B ) Gọi I J thứ tự tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ACD tam giác BCD
1 Chøng minh OI // BC
2 Chứng minh điểm I, J, O, D nằm đờng tròn
3 Chøng minh r»ng CD phân giác góc ACB OI = OJ Bµi 8:
Cho đờng trịn tâm O M điểm ngồi đờng trịn Qua M kẻ tiếp tuyến MA, MB ( A, B tiếp điểm ) cát tuyến cắt đờng tròn C, D
1 Gọi I trung điểm CD Chứng minh bốn điểm A, B, O, I nằm đờng tròn AB cắt CD E Chứng MA2 = ME.MI
3 Gi¶ sư AD = a C trung điểm MD Tính ®o¹n AC theo a
Bài 9: Cho điểm A bên ngồi đờng trịn tâm O Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đờng tròn(B, C tiếp tuyến) M điểm cung nhỏ BC (M≠B, M≠C) Gọi D, E, F tơng ứng hình chiếu vng góc M đờng thẳng AB, AC, BC; H giao điểm MB DF ; K giao điểm MC EF
(2)a MECF tứ giác nội tiếp b MF vu«ng gãc víi HK
2 Tìm vị trí điểm M cung nhỏ BC để tích MD.ME lớn
Bài 10:Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng (theo thứ tự ấy) Gọi (O) đờng tròn qua B C Từ A vẽ tiếp tuyến AE AF với đờng tròn(O) (E F tiếp điểm) Gọi I trung điểm BC
a) Chứng minh năm điểm A, E, O, I, F năm đờng thẳng b) Đờng thẳng FI cắt đờng tròn (O) G Chứng minh EG//AB c) Nối EF cắt AC K Chứng minh AK.AI = AB.AC
Bài 11:Cho hình vngABCD, M điểm đờng chéo BD, gọi H, I K lần lợt hình chiếu vng góc M AB, BC, AD
1 Chøng minh tam gi¸c MIC tam giác HMK Chứng minh CM vuông gãc víi HK
3 Xác định vị trí M để diện tích tam giác CHK đạt giá trị nhỏ
Bài 12: Cho hai đờng tròn (O1) (O2) cắt M N, tiếp tuyến chung với hai đờng tròn (O1) (O2) phía nửa mặt phẳng bờ O1O2 chứa điểm N, có tiếp điểm thứ tự A B Qua M kẻ cát tuyến song song với AB cắt đờng tròn (O1), (O2) thứ tự C, D Đờng thẳng CA đờng thẳng DB cắt I
1 Chøng minh IM vu«ng gãc víi CD
2 Chøng minh tứ giác IANB tứ giác nội tiếp
3 Chứng minh đờng thẳng MNđi qua trung điểm AB
Bài 13: Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự Dựng đờng trịn đờng kính AB, BC, gọi D E thứ tự hai tiếp điểm tiếp tuyến chung với đờng tròn đờng kính AB BC, M giao điểm AD với CE
1 Chøng minh tø gi¸c ADEC tứ giác nội tiếp
2 Chng minh MB tiếp tuyến hai đờng trịn đờng kính AB BC
3 Kẻ đờng kính DK đờng trịn đờng kính AB Chứng minh K, B, E thng hng
Bài 14: Cho tam giác vuông MNP (góc M = 900) Từ N dựng đoạn thẳng NQ vỊ phÝa tam gi¸c MNP cho NP = NQ vµ gãc MNP = gãc PNQ, vµ gäi I lµ trung điểm PQ, MI cắt NP E
1.Chøng minh gãc PMI vµ gãc QNP b»ng Chứng minh tam giác MNE tam giác cân Chøng minh MN.PQ = NP.ME
Bài 15: Cho nửa đờng trịn đờng kính AB Lấy điểm D tuỳ ý nửa đờng trịn (D≠A D≠B) Dựng hình bình hành ABCD Từ D kẻ DM vng góc với đờng thẳng AC M từ B kẻ BN vuông góc với đờng thẳng AC N
a) Chứng minh bốn điểm D, M, B, C nằm đờng tròn b) Chứng minh AD.ND = BN.DC
c) Tìm vị trí D nửa đờng trịn cho BN.AC lớn Bài 16:
Tứ giác ABCD nội tiếp đờng trịn đờng kính AD Hai đờng chéo AC, BD cắt E Hình chiếu vng góc E AD F Đờng thẳng CF cắt đờng tròn điểm thứ hai M Giao điểm BD CF N
Chøng minh:
a) CEFD tứ giác nội tiếp
b) Tia FA tia phân giác góc BFM c) BE.DN = EN.BD
Bài 17: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB Một dây CD cắt AB H Tiếp tuyến B đờng tròn (O) cắt tia AC, AD lần lợt M N
1 Chứng minh tam giác ACB đồng dạng với tam giác ABM
2 Các tiếp tuyến C D đờng tròn (O) cắt MN lần lợt E F Chứng minh EF = MN/2
3 Xác định vị trí dây CD để tam giác AMN tam giác
Bài 18: Cho đờng tròn (O) đờng thẳng a khơng có điểm chung với đờng tròn(O) Từ điểm A thuộc đờng thẳng a, kẻ hai tiếp tuyến AB AC với đờng tròn (O) (B, C thuộc đờng tròn (O)) Từ O kẻ OH vng góc với đờng thẳng a H Dây BC cắt OA D cắt OH E
1 Chứng minh từ giác ABOC nội tiếp đợc đờng tròn Gọi R bán kính đờng trịn (O) Chứng minh OH.OE = R2
(3)1 Chøng minh r»ng:
a BE song song với DM
b Tứ giác DCKI tứ giác nội tiếp
2 Không dùng máy tính bảng lợng giác, hÃy tính theo R thể tích hình tam giác ACD quay vòng quanh c¹nh AC sinh
Bài 20: Cho đờng thẳng (O) đờng kính AB = 2R, C trung điểm OA dây MN vng góc với OA C Gọi K điểm tuỳ ý cung nhỏ BM, H giao điểm AK MN
1 Chứng minh BCHK tứ giác nội tiếp TÝnh tÝch AH.AK theo R
Bài 21: Cho hình thoi ABCD , có góc A = 600, M điểm cạnh BC, đờng thẳng AM cắt cạnh DC kéo dài N
1 Chứng minh đẳng thc: AD2 = BM.DN.
2 Đờng thẳng DM cắt BN E Chứng minh tứ giác BECD tø gi¸c néi tiÕp
3 Khi hình thoi ABCD cố định Chứng minh điểm E năm cung tròn cố định điểm M thay đổi cạnh BC
Bài 22:Cho đờng tròn tâm ( ), AB dây cố định đờng trịn khơng qua tâm M điểm cung lớn AB cho tam giác MAB tam giác nhọn Gọi D C thứ tự điểm cung nhỏ MA, MB, đờng thẳng AC cắt đờng thẳng BD I, đờng thẳng CD cắt cạnh MA MB thứ tự P, Q
1 Chøng minh tam giác BCI tam giác cân Chứng minh tứ giác BCQI tứ giác nội tiếp Chứng minh QI = MP
4 Đờng thẳng MI cắt đờng tròn N, M chuyển động cung lớn AB trung điểm MN chuyển động đờng ?
Bµi 23
Cho tam giác vuông cân ABC ( AB = AC ), cạnh BC lấy điểm M Gọi (O1) tâm đờng tròn tâm 01qua M tiếp xúc với AB B, gọi ( O2 ) tâm đờng tròn tâm O2 qua M tiếp xúc với AC C Đờng tròn ( O1) ( O2 ) cắt D ( D M )
1 CMR tam giác BDC tam giác vuông
2 Chng ming 01D tiếp tuyến đờng tròn tâm ( O2 )
3 B01 cắt C02 E Chứng minh điểm A, B, D, E, C năm đờng trịn Xác định vị trí M cho đoạn thẳng O102 ngắn
Bµi 24: Cho tam giác vuông ABC ( AC > AB,
¿
A❑^
¿
= 900 ) Gọi I tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC, tiếp điểm đờng tròn nội tiếp với cạnh AB, BC, AC lần lợt M, N, P
1 Chứng minh tứ giác AMIP hình vuông
2 ng thng AI ct PN tai D Chứng minh điểm M, B, N, D, I nằm đờng tròn Đờng thẳng BI CI kéo dài cắt AC, AB lần lợt E F
Chøng minh BE CF = BI CI
Bài 25:
Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB Trên đờng trịn (O) lấy điểm C (C không trùng
với A, B CA > CB) Các tiếp tuyến đờng tròn (O) A, C cắt điểm D, kẻ
CH vng góc với AB ( H thuộc AB), DO cắt AC E.
1) Chøng minh tø gi¸c OECH néi tiÕp.
2) Đờng thẳng CD cắt đờng thẳng AB F Chứng minh
2BCF CFB 90 0.
3) BD cắt CH M Chứng minh EM//AB
Bài 26: Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn tâm , đờng phân giác góc A cắt cạnh BC D đờng tròn ngoại tiếp I
1 chứng minh OI vng góc vứi cạnh BC Chứng minh đẳng thức BI 2 = AI DI.
3 Gäi H lµ hình chiếu vuông góc A cạnh BC Chứng minh gãc BAH CAO 4.Chøng minh gãc H¢O =
^
❑ B ^ ❑−C❑
¿