Hình học phẳng Hình học phẳng Cho nửa đờng tròn đờng kính BC bán kính R điểm A nửa đờng tròn (A khác B C) Từ A hạ AH vuông góc với BC Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A vẽ nửa đờng tròn đờng kính BH cắt AB E, nửa đờng tròn đờng kính HC cắt AC F a Tứ giác AFHE hình gì? Tại sao? b Chứng minh BEFC tứ giác nội tiếp c Hãy xác định vị trí điểm A cho tứ giác AFHE có diện tích lớn Tính diện tích lớn theo R (trích ĐTTN THCS 1999- 2000, tỉnh Vĩnh Phúc) Cho tam giác ABC vuông A, có hai đỉnh B, C cố định, đỉnh A thay đổi Gọi O tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC, d tiếp tuyến đờng tròn (O) A Các tiếp tuyến đờng tròn (O) B C theo thứ tự cắt d D E a Chứng minh đờng tròn đờng kính DE qua điểm O b Chứng minh đờng thẳng BC tiếp tuyến đờng tròn đờng kính DE c Chứng minh tứ giác BCED có chu vi nhỏ tứ giác nội tiếp đợc đờng tròn (trích ĐTTN THCS 2000- 2001, tỉnh Vĩnh Phúc) Cho hai đờng tròn (O) (O') cắt A, B Đờng vuông góc với AB kẻ qua B cắt (O) (O') lần lợt điểm C, D Lấy M cung nhỏ BC đờng tròn (O) Gọi giao điểm thứ hai đờng thẳng MB với đờng tròn (O') N giao điểm hai đờng thẳng CM, DN P a Tam giác AMN tam giác gì, sao? b Chứng minh ACPD nội tiếp đợc đờng tròn c Gọi giao điểm thứ hai AP với đờng tròn (O') Q, chứng minh BQ // CP (trích ĐTTS THPT 1999- 2000, tỉnh Vĩnh Phúc) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn tâm O P trung điểm cung AB không chứa C D Hai dây PC PD lần lợt cắt dây AB E F Các dây AD PC kéo dài cắt I, dây BC PD kéo dài cắt K Chứng minh rằng: a Góc CID góc CKD b Tứ giác CDFE nội tiếp đợc dờng tròn c IK // AB (trích ĐTTS THPT 1999- 2000, tỉnh Vĩnh Phúc) Nguyễn Đức Thụy Hình học phẳng Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB, điểm C cố định OA (C không trùng với O, A), điểm M di động đờng tròn, M vẽ đờng thẳng vuông góc với MC cắt tiếp tuyến kẻ từ A B lần lợt D E a Chứng minh tam giác DCE vuông b Chứng minh tích AD.BE không đổi c Tìm vị trí M cho diện tích tứ giác ABED nhỏ (trích ĐTTS THPT 2000- 2001, tỉnh Vĩnh Phúc) Cho hình thang ABCD có đáy lớn AD đáy nhỏ BC nội tiếp đờng tròn tâm O; AB CD kéo dài cắt I Các tiếp tuyến đờng tròn tâm O B D cắt điểm K a Chứng minh tứ giác OBID OBKD tứ giác nội tiếp b Chứng minh IK song song với BC c Hình thang ABCD phải thoả mãn điều kiện để tứ giác AIKD hình bình hành (trích ĐTTS THPT 2000- 2001, tỉnh Vĩnh Phúc) Trên đờng tròn (O; R), đờng kính AB, lấy điểm M cho MA > MB Các tiếp tuyến đờng tròn (O) M B cắt điểm P; Các đờng thẳng AB, MP cắt điểm Q; Các đờng thẳng AM, OM cắt đờng thẳng BP lần lợt điểm R, S a Chứng minh tứ giác AMPO hình thang b Chứng minh MB // SQ (trích ĐTTS THPT 2001- 2002, tỉnh Vĩnh Phúc) Cho tam giác vuông ABC ( A = 900 ); đoạn AC lấy điểm D (D không trùng với điểm A C) Đờng tròn đờng kính DC cắt BC điểm thứ hai E; đờng thẳng BD cắt đờng tròn đờng kính DC điểm F (F không trùng với D) Chứng minh: a Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EDC b Tứ giác ABCF nội tiếp đờng tròn c AC tia phân giác góc EAF (trích ĐTTS THPT 2002- 2003, tỉnh Vĩnh Phúc) Cho đờng tròn tâm O Từ điểm P đờng tròn kẻ hai tiếp tuyến phân biệt PA, PC (A, C tiếp điểm) với đờng tròn (O) a Chứng minh PAOC tứ giác nội tiếp đờng tròn b Tia AO cắt đờng tròn (O) B; đờng thẳng qua P song song với AB cắt BC D Tứ giác AODP hình gì? c Gọi I giao điểm OC PD; J giao điểm PC DO; K trung điểm AD Chứng tỏ điểm I, J, K thẳng hàng (trích ĐTTS THPT 2002- 2003, tỉnh Vĩnh Phúc) Nguyễn Đức Thụy Hình học phẳng 10 Cho tam giác cân ABC (AB = AC; B > 450 ), đờng tròn (O) tiếp xúc với AB AC lần lợt B C Trên cung nhỏ BC lấy điểm M (M không trùng với B C) hạ đờng vuông góc MI, MH, MK xuống cạnh tơng ứng BC, CA, AB a Chỉ cách dựng đờng tròn (O) b Chứng minh tứ giác BIMK nội tiếp c Gọi P giao điểm MB IK; Q giao điểm MC IH Chứng minh PQ MI (trích ĐTTS THPT 2003- 2004, tỉnh Vĩnh Phúc) 11 Cho tứ giác ABCD (AB // CD) nội tiếp đờng tròn (O) Tiếp tuyến A tiếp tuyến D đờng tròn (O) cắt E Gọi I giao điểm AC BD Chứng minh: a CAB = AOD b Tứ giác AEDO nội tiếp c EI // AB (trích ĐTTS THPT 2003- 2004, tỉnh Vĩnh Phúc) 12 Cho đờng tròn (O) đờng kính BC Điểm A thuộc đoạn OB (A không trùng với O B), vẽ đờng tròn (O') đờng kính AC Đờng tròn qua trung điểm M đoạn thẳng AB vuông góc với AB cắt đờng tròn (O) D E Gọi F giao điểm thứ hai CD với đờng tròn (O'), K giao điểm thứ hai CE với đờng tròn (O') Chứng minh: a Tứ giác ADBE hình thoi b AF // BD c Ba điểm E, A, F thẳng hàng d Bốn điểm M, F, C E thuộc đờng tròn e Ba đờng thẳng CM, DK, EF đồng quy (trích ĐTTS THPT 2004- 2005, tỉnh Vĩnh Phúc) 13 Từ điểm P nằm đờng tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến PM PN với đờng tròn (O) (M, N tiếp điểm) Đờng thẳng qua điểm P cắt đờng tròn (O) hai điểm E F Đờng thẳng qua O song song với PM cắt PN Q Gọi H trung điểm đoạn EF Chứng minh rằng: a Tứ giác PMON nội tiếp đờng tròn b Các điểm P, N, O, H nằm đờng tròn c Tam giác PQO cân d PM2 = PE.PF e PHM = PHN (trích ĐTTS THPT 2004- 2005, tỉnh Vĩnh Phúc) Nguyễn Đức Thụy Hình học phẳng 14 Cho đờng tròn (O) có tâm O, đờng kính AB Trên tiếp tuyến đờng tròn O A lấy điểm M (M không trùng với A) Từ M kẻ cát tuyến MCD (C nằm M D; tia MC nằm tia MA tia MO) tiếp tuyến thứ hai MI (I tiếp điểm) với đờng tròn (O) Đờng thẳng BC BD cắt đờng thẳng OM lần lợt tai E F Chứng minh: a Bốn điểm A, M, I O nằm đờng tròn b IAB = AMO c O trung điểm FE (trích ĐTTS THPT 2005- 2006, tỉnh Vĩnh Phúc) 15 Cho tam giác vuông ABC ( A = 900 ; AB > AC) điểm M nằm đoạn AC (M không trùng với A C) Gọi N D lần lợt giao điểm thứ hai BC MB với đơng tròn đờng kính MC; gọi S giao điểm thứ hai AD với đờng tròn đờng kính MC; T giao điểm MN AB Chứng minh: a Bốn điểm A, M, N B thuộc đờng tròn b CM phân giác góc BCS c TA TC = TD TB (trích ĐTTS THPT 2005- 2006, tỉnh Vĩnh Phúc) 16 Cho đờng tròn (O), đờng kính AB cố định, điểm I nằm A O cho AI = AO Kẻ dây MN vuông góc với AB I Gọi C điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN, cho C không trùng với M, N B Nối AC cắt MN E a Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp đợc đờng tròn b Chứng minh V AME đồng dạng với V ACM AM2 = AE.AC c Chứng minh AE.AC AI.IB = AI2 d Hãy xác định vị trí điểm C cho khoảng cách từ N đến tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác CME nhỏ (trích ĐTTN THCS Hà Nội 2002- 2003) 17 Cho tam giác ABC vuông A (AB > AC), đờng cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A vẽ nửa đờng tròn đờng kính BH cắt AB E nửa đờng tròn đờng kính CH cắt AC F Chứng minh rằng: a Tứ giác àEH hình chữ nhật b EF tiếp tuyến chung hai đờng tròn đờng kính BH CH c Tứ giác BCFE nội tiếp (trích ĐTTN THCS tỉnh Bắc Giang 2002- 2003) Nguyễn Đức Thụy Hình học phẳng 18 Cho đờng tròn (O) bán kính R, đờng thẳng d không qua O cắt đờng tròn hai điểm A, B Từ điểm C d (C nằm đờng tròn), kẻ hai tiếp tuyến CM, CN với đờng tròn (M, N thuộc (O)) Gọi H trung điểm AB, đờng thẳng OH cắt tia CN K a Chứng minh bốn điểm C, O, H, N nằm đờng tròn b Chứng minh KN.KC = KH.KO c Đoạn thẳng CO cắt đờng tròn (O) I, chứng minh I cách CM, CN MN d Một đờng thẳng qua O song song với MN cắt tia CM, CN lần lợt E F Xác định vị trí C d cho diện tích tam giác Cè nhỏ (trích ĐTTN THCS Hà Nội 2003- 2004) 19 Trên đờng tròn (O; R) đờng kính AB, lấy hai điểm M, E theo thứ tự A, M, E, B (hai điểm M, E khác hai điểm A, B) AM cắt BE C; AE cắt BM D a Chứng minh MCED tứ giác nội tiếp CD vuông góc với AB b Gọi H giao điểm CD AB Chứng minh BE.BC = BH.BA c Chứng minh tiếp tuyến M E đờng tròn (O) cắt điểm nằm đờng thẳng CD d Cho biết BAM = 450 BAE = 300 Tính diện tích tam giác ABC theo R (trích ĐTTN THCS TP HCM 2003- 2004) 20 Cho đờng tròn tâm O bán kính R, hai điểm C D thuộc đờng tròn, B trung điểm cung nhỏ CD Kẻ đờng kính BA; tia đói tia AB lấy điểm S, nối S với C cắt (O) M; MD cắt AB K; MB cắt AC H a Chứng minh: BMD = BAC , từ suy tứ giác AMHK nội tiếp b Chứng minh: HK // CD c Chứng minh: OK.OS = R2 (trích ĐTTS THPT tỉnh Bắc Giang 2003- 2004) 21 Cho hai đờng tròn (O) (O') cắt A B Đờng tiếp tuyến với (O') vẽ từ A cắt (O) điểm M; đờng tiếp tuyến với (O) vẽ từ A cắt (O') N Đờng tròn tâm I ngoại tiếp tam giác MAN cắt AB kéo dài P a Chứng minh tứ giác OAO'I hình bình hành b Chứng minh bốn điểm O, B, I, O' nằm đờng tròn c Chứng minh rằng: BP = BA (trích ĐTTS THPT NK Trần Phú, Hải Phòng 2003- 2004) Nguyễn Đức Thụy Hình học phẳng 22 Cho đờng tròn (O; R) dây cung BC = R A điểm cung lớn BC cho tam giác ABC có ba góc nhọn Gọi H trực tâm tam giác ABC, tia BH cắt AC E, tia CH cắt AB F a Gọi I trung điểm đoạn thẳng AH, D trung điểm đoạn thẳng BC Chứng minh đờng thẳng ID đờng trung trực đoạn thẳng EF b Tính đọ dài đờng tròn ngoại tiếp tam giác HEF theo R c Xác định điểm Q thuộc đoạn thẳng BC cho BQ = CQ (trích ĐTTS THPT chuyên Nguyễn Huệ, Hà Tây 2003- 2004) 23 Cho tam giác ABC vuông A có AB > AC, đờng cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ nửa đờng tròn đờng kính BH cắt AB E, vẽ nửa đờng tròn đờng kính HC cắt AC F a Chứng minh tứ giác AEHF hình chữ nhật b Chứng minh AE.AB = AF.AC c Chứng minh BEFC tứ giác nội tiếp 24 Cho đờng tròn tâm O dây AB, M điểm chuyển động đờng tròn, từ M kẻ MH vuông góc với AB (H AB), gọi E F hình chiếu vuông góc H MA MB Qua M kẻ đờng thẳng vuông góc với EF cắt dây Ab D a Chứng minh đờng thẳng MD qua điểm cố định M thay đổi đờng tròn b Chứng minh: MA2 AH AD = MB BD BH (trích ĐTTS THPT Nguyễn Trãi, Hải Dơng 2003- 2004) 25 Cho hai đờng tròn (O1) (O2) cắt A B, tiếp tuyến chung với hai đờng tròn (O1) (O2) phía nửa mặt phẳng bờ O1O2 chứa điểm B, có tiếp điểm thứ tự E F Qua A kẻ cát tuyến song song với EF cắt đờng tròn (O1), (O2) thứ tự C, D Đờng thẳng CE đờng thẳng DF cắt I a Chứng minh IA vuông góc với CD b Chúng minh tứ giác IEBF tứ giác nội tiếp c Chứng minh đờng thẳng AB qua trung điểm EF (trích đề thi tuyển sinh THPT tỉnh Hải Dơng, năm 2003 - 2004) 26 Cho tam giác vuông ABC ( A = 900) Từ B dựng đoạn thẳng BD phía tam giác ABC cho BC = BD ABC = CBD; gọi I trung điểm CD; AI cắt BC E a Chứng minh CAI = DBI b Chứng minh ABE tam giác cân c Chứng minh AB.CD = BC.AE (trích đề thi tuyển sinh THPT tỉnh Hải Dơng, năm 2004 - 2005) Nguyễn Đức Thụy Hình học phẳng 27 Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC) có đờng cao AH trung tuyến AM Vẽ đờng tròn tâm H bán kính AH, cắt AB điểm D, cắt AC điểm E (D E khác điểm A) a Chứng minh D, H, E thẳng hàng b Chứng minh MAE = ADE MA DE c Chứng minh bốn điểm B, C, D, E thuộc đờng tròn tâm O Tứ giác AMOH hình gì? d Cho ACB = 300 AH = a Tính diện tích tam giác HEC theo a (trích ĐTTS THPT Chuyên Lê Hồng Phong, TP HCM 2003- 2004) 28 Cho tam giác ABC Phân giác AD góc A cắt đờng tròn ngoại tiếp P a Chứng minh rằng: AP.AD = AB.AC PD.PA = PB2 b Gọi I tâm đờng tròn nội tiếp, J tâm đờng tròn bàng tiếp góc A (J giao điểm AD phân giác góc B C) Chứng tỏ bốn điểm B, I, C, J nằm đờng tròn c Chứng minh rằng: AI.AJ = AB.AC 29 Một hình vuông ABCD nội tiếp đờng tròn tâm O, bán kính R Một điểm M di động cung ẳ ADC ; MB cắt AC P a Chứng minh MB phân giác góc AMC; tam giác MBC, MAP đồng dạng b.Các tam giác MBC MAP M vị trí đặc biệt M' Hãy xác định M' c Tia M'B cắt AC P' Tính góc tam giác M'P'C 30 Cho tam giác ABC, M trung điểm BC Giả sử BAM = BCA a Chứng minh hai tam giác ABM CBA đồng dạng b Chứng minh hệ thức: BC2 = 2AB2 So sánh BC đờng chéo hình vuông cạnh AB c Chứng tỏ BA tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMC d Đờng thẳng qua C song song với MA cắt đòng thẳng AB D Chứng tỏ đờng tròn ngoại tiếp tam giác ACD tiếp xúc với BC 31 Cho đờng tròn tâm O, bán kính R hai đờng kính vuông góc AB CD Trên AO lấy điểm E mà OE = AO, CE cắt (O) M a Tính CE theo R b Chứng minh tứ giác MEOD nội tiếp đựơc Xác định tâm bán kính đờng tròn ngoại tiếp tứ giác c Chứng minh hai tam giác CEO CDM đồng dạng Tính độ dài đờng cao MH tam giác CDM Nguyễn Đức Thụy Hình học phẳng 32 Cho đoạn thẳng AD cố định có độ dài a (a số dơng), I trung điểm AD; tia Ix vuông góc với AD Một đờng tròn bán kính R, a R > ữtiếp xúc với AD A cắt Ix B, C (B nằm I C) a Chứng minh tam giác BID đồng dạng với tam giác AIC tích IB.IC không đổi b Chứng minh B trực tâm tam giác ADC; Tìm trực tâm tam giác ABC Có nhận xét trực tâm tam giác ABC? c Nối BD cắt đờng tròn (O) D' Chứng minh tam giác CDD' ADD' cân (trích ĐTTS THPT 1996- 1997, tỉnh Vĩnh Phúc) 33 Từ điểm A đờng tròn(O), ta kẻ tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn (O) (B, C tiếp điểm) M điểm cung nhỏ BC, ( M B; M C ) Từ M hạ đờng vuông góc MI, MH, MK tơng ứng xuống BC, AC, AB Gọi P giao MB IK; Q giao MC IH a Chứng minh tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp đợc đờng tròn b Chứng minh tia đối tia MI phân giác góc KMH c Chứng minh PQ // BC (trích ĐTTS THPT 1996- 1997, tỉnh Vĩnh Phúc) 34 Cho đờng tròn (O), bán kính R Một đờng thẳng d cắt đờng tròn hai điểm A B Từ điểm M d (M nằm hình tròn) kẻ tiếp tuyến MP, MQ tới đờng tròn (O) a Chứng minh QMO = QPO M di động d (M nằm hình tròn) đờng tròn ngoại tiếp tam giác MPQ qua điểm cố định b Xác định vị trí M để tam giác MPQ tam giác c Với vị trí điểm M cho, tìm tâm đờng tròn nội tiếp tam giác MPQ (trích ĐTTS THPT 1997- 1998, tỉnh Vĩnh Phúc) 35 Cho tam giác ABC vuông A Trên AC lấy điểm D, dựng CE vuông góc với BD a Chứng minh tứ giác ABCE nội tiếp đờng tròn b Chứng minh AD.CD = ED.BD c Từ D kẻ DK vuông góc với BC Chứng minh AB, DK, EC đồng quy điểm DKE = ABE (trích ĐTTS THPT 1997- 1998, tỉnh Vĩnh Phúc) Nguyễn Đức Thụy Hình học phẳng 36 Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kẻ hai tia tiếp tuyến Ax By Qua điểm M thuộc nửa đờng tròn (M khác A B) kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By theo thứ tự C, D a Chứng minh: CD = AC + BD AC.BD = R2 b Xác định vị trí điểm M để tứ giác ABDC có diện tích nhỏ c Cho biết R = cm, diện tích tứ giác ABDC 32 cm Tình diện tích tam giác ABM (trích ĐTTS THPT 2005- 2006, tỉnh Thái Bình) Nguyễn Đức Thụy ... BC.AE (trích đề thi tuyển sinh THPT tỉnh Hải Dơng, năm 2004 - 2005) Nguyễn Đức Thụy Hình học phẳng 27 Cho tam giác ABC vuông A (AB