C là trung điểm của đoạn thẳng AO, đường thẳng Cx vuông góc với đường thẳng AB, Cx cắt nửa đường tròn trên tại I.. K là một điểm bất kì nằm trên đoạn thẳng CI K khác C ; K khác I, tia AK
Trang 1BÀI TẬP LUYỆN THI VÀO LỚP 10
B µ i 1 : T õ ® i Ó m M n » m n g o µ i ( O ) k Î h a i c ¸ t t u y Õ n M AB , M C D
a ) C h ø n g m i n h M A M B = M C M D
b ) AD c ¾ t B C t ¹ i N C h ø n g m i n h N A N D = N B N C
c ) K Î t i Õ p t u y Õ n M P C h ø n g m i n h M P2 = M A M B = M C M D
B µ i 2 : C h o ® ê n g t r ß n t © m O v µ M l µ ® i Ó m ë n g o µ i ® ê n g t r ß n Q u a M k Î t i Õ p t u y Õ n M P , M Q ( Q , P l µ h a i
t i Õ p ®i Ó m ) v µ m ét c ¸ t t u y Õ n c ¾ t ® ê n g t r ß n t ¹ i A v µ B
a G ä i I l µ t r u n g ®i Ó m A B C h ø n g m i n h 4 ® i Ó m P , Q , O , I n » m t r ª n m ét ® ê n g t r ß n
b P Q c ¾ t A B t ¹ i E C h ø n g m i n h M P 2 = M E M I
c Q u a A k Î m ét ® ê n g t h ¼ n g s o n g s o n g v í i M P c ¾ t P Q , P B l Ç n l î t t ¹ i H , K C h ø n g m i n h t ø g i ¸ c
A H I Q n é i t i Õ p v µ K B = 2 H I
B µ i 3 : C h o ® i Ó m A ë b ª n n g o µ i ® ê n g t r ß n t © m O K Î h a i t i Õ p t u y Õ n A B , A C v íi ® ê n g t r ß n ( B , C l µ t i Õ p
® i Ó m ) M l µ ® i Ó m b Ê t k × t r ª n c u n g n h á B C ( MB , M C ) G ä i D , E , F t ¬ n g ø n g l µ h × n h c h i Õ u v u « n g
g ã c c ñ a M t r ª n c ¸ c ® ê n g t h ¼ n g A B , A C , B C ; H l µ gi a o ® i Ó m c ñ a M B v µ D F ; K l µ g i a o ® i Ó m c ñ a M C v µ
E F C h ø n g m i n h :
a ) M E C F , M H F K l µ t ø g i ¸ c n éi t i Õ p
b ) MF2 = M D M E
c ) M F v u « n g g ã c v í i H K
d ) D F l µ t i Õ p t u y Õ n c ñ a ® ê n g t r ß n ® ê n g k Ý n h M C
B µ i 4 : C h o t a m gi ¸ c A B C c © n t ¹ i A § ê n g t r ß n ( O ) t i Õ p x ó c v íi h a i c ¹ n h A B , A C l Ç n l î t t ¹ i B , C Q u a C
k Î m é t ® ê n g t h ¼ n g s o n g s o n g v í i A B c ¾ t ( O ) t ¹ i D A D c ¾ t ( O ) t ¹ i E C h ø n g m i n h :
a ) A E A D = O A2 – O D2
b ) C E c ¾ t A B t ¹i G C h ø n g m i n h : G A2 = G E G C
c ) C h ø n g m i n h : G A = G B
B µ i 5 : T õ ® i Ó m M n » m n g o ¹ i ( O ) k Î h a i t i Õ p t u y Õ n M A , M B v µ c ¸ t t u y Õ n M CD T i a p h © n gi ¸ c c ñ a g ã c
C A D c ¾ t C D t ¹ i I C h ø n g m i n h
a ) M I = M A
b ) B I l µ t i a p h © n gi ¸ c c ñ a g ã c C B D
B µ i 6 : T õ ® i Ó m M n » m n g o ¹ i ( O ) k Î c ¸ t t u y Õ n M C D T i Õ p t u y Õ n v íi ( O ) t ¹ i C , D c ¾ t n h a u t ¹ i A G äi H
l µ h × n h c h i Õ u c ñ a A t r ª n O M C h ø n g m i n h :
a ) 5 ® i Ó m C , D , O , A , H c ï n g t h u é c m é t ® ê n g t r ß n
b ) M H M O = M C M D
c ) K Î t i Õ p t u y Õ n M B C h ø n g m i n h M H M O = M B2 T õ ® ã H c è ® Þ n h
d ) * A , H , B t h ¼ n g h µ n g
e ) * A H c ¾ t ( O ) t ¹ i E C m : M E l µ t i Õ p t u y Õ n c ñ a ( O )
B µ i 7 : c h o ( O ) v µ ® ê n g t h ¼ n g d c ¾ t ( O ) t ¹ i A , B M t h u é c ® ê n g t h ¼ n g d v µ n » m n g o µ i ( O ) K Î 2 t i Õ p
t u y Õ n M C , M D C h ø n g m i n h :
a ) § ê n g t r ß n n g o ¹ i t i Õ p t a m g i ¸ c M C D l u « n ® i q u a 2 ® i Ó m c è ® Þ n h
b ) X ¸ c ® Þ n h v Þ t rÝ c ñ a M ® Ó t am g i ¸ c M C D v u « n g
Bài 8 : Cho đường tròn (O) có bán kính R và một điểm S ở ngoài đường tròn (O) Từ S vẽ hai tiếp
tuyến SA, SB với đường tròn (O) (A, B là hai tiếp điểm) Vẽ đường thẳng a đi qua S cắt đường tròn (O) tại hai điểm M, N với M nằm giữa hai điểm S và N (đường thẳng a không đi qua tâm O)
a) Chứng minh SO vuông góc với AB
b) Gọi H là giao điểm của SO và AB, gọi I là trung điểm của MN Hai đường thẳng OI và AB cắt nhau tại điểm E Chứng minh IHSE là một tứ giác nội tiếp
1
Trang 2B µ i 9 : ( ® Ò 0 6 - 0 7 ) T ø g i ¸ c A B C D n é i t i Õ p ® ê n g t r ß n ® ê n g k Ý n h A D H a i ® ê n g c h Ð o A C , BD c ¾ t n h a u t ¹ i
E H × n h c h i Õ u v u « n g g ã c E t r ª n AD l µ F § ê n g t h ¼ n g C F c ¾ t ® ê n g t r ß n t ¹ i ® i Ó m t h ø h a i l µ M G i a o
® i Ó m c ñ a B D v µ CF l µ N C h ø n g m i n h:
a ) C E F D l µ t ø g i ¸ c n é i t i Õ p
b ) T i a F A l µ t i a p h © n g i ¸ c c ñ a g ã c B F M
c ) B E D N = E N BD
B µ i 1 0 : C h o t a m gi ¸ c P Q R n é i t i Õ p ® ê n g t r ß n t © m O , ® ê n g p h © n g i ¸ c t r o n g c ñ a g ã c P c ¾ t c ¹ n h Q R t ¹ i D
v µ ® ê n g t r ß n n g o ¹ i t i Õ p t ¹ i I
a ) C h ø n g m i n h O I v u « n g g ã c v í i c ¹ n h Q R
b ) C h ø n g m i n h ® ¼ n g t h ø c Q I2 = P I D I
c ) G ä i H l µ h× n h c h i Õ u v u « n g g ã c c ñ a P
t r ª n c ¹ n h Q R C m Q Pˆ H = R Pˆ O
d ) C h ø n g m i n h g ã c H Pˆ O = |Q - R|
B µ i 1 1 : C h o t a m gi ¸ c A B C v u « n g t ¹ i A n é i t i Õ p ® ê n g t r ß n t © m O , k Î ® ê n g k Ý n h A D
a ) C h ø n g m i n h t ø gi ¸ c A B D C l µ h × n h c h ÷ n h Ë t
b ) G äi M v µ N t h ø t ù l µ h × n h c h i Õ u v u « n g g ã c c ñ a B, C t r ª n AD ; A H l µ ® ê n g c a o c ñ a t a m gi ¸ c ( H t r ª n c ¹ n h B C ) C h ø n g m i n h H M v u « n g g ã c v í i c ¹ n h A C
c ) X ¸ c ® Þ n h t © m c ñ a ® ê n g t r ß n n g o ¹ i t i Õ p t a m g i ¸ c M H N
d ) G ä i b ¸ n k Ý n h c ñ a ® ê n g t r ß n n é i t i Õ p , n g o ¹ i t i Õ p t am g i ¸ c v u « n g A B C l µ r v µ R
C h ø n g m i n h : r + R AB.AC
B µ i 1 2 : C h o t a m gi ¸ c A B C n h ä n n é i t i Õ p ( O ) § ê n g c a o A H K Î ® ê n g k Ý n h A D
C h ø n g m i n h : a ) A B A C = A H A D
b ) D i Ö n t Ý c h t a m g i ¸ c A B C = ( A B A C B C ) : ( 4 O A )
B µ i 1 3 C h o t a m g i ¸ c A B C c © n t ¹ i A n é i t i Õ p ( O ) T i a p h © n g i ¸ c c ñ a c ¸ c g ã c B , C c ¾ t n h a u ë E v µ c ¾ t
( O ) l Ç n l î t t ¹ i F ,D C h ø n g m i n h :
a ) A D / / B F
b ) T ø g i ¸ c A D E F l µ h× n h t h o i
c ) Q u a E k Î m é t ® ê n g t h ¼ n g s o n g s o n g v íi A C c ¾ t A B t ¹ i G C h ø n g m i n h t ø g i ¸ c B EG D n é i t i Õ p
d ) D F c ¾ t A C t ¹ i H C h ø n g m i n h: H t h u é c ® ê n g t r ß n n g o ¹ i t i Õ p t am g i ¸ c C E F
B µ i 1 4 : C h o A B C n h ä n , n é i t i Õ p ® ê n g t r ß n t © m O T õ B, C k Î t i Õ p t u y Õ n v í i ® ê n g t r ß n , c h ó n g c ¾ t
n h a u t ¹ i D T õ D k Î c ¸ t t u y Õ n s o n g s o n g v í i A B c ¾ t ® ê n g t r ß n t ¹ i E , F v µ c ¾ t A C t ¹ i I
a ) C h ø n g m i n h g ã c D O C b » n g g ã c B A C
b ) C h ø n g m i n h b è n ® i Ó m O , I , D , C n » m t r ª n m é t ® ê n g t r ß n
c ) C h ø n g m i n h I E = I F
d ) C h ø n g m i n h I D l µ p h © n g i ¸ c g ã c B I C
e ) C h o B , C c è ® Þ n h , k h i A c h u y Ó n ® é n g t r ª n c u n g B C l í n t h × I d i c h u y Ó n t r ª n ® ê n g
n µ o ?
B µ i 1 5 : C h o t a m g i ¸ c A B C n éi t i Õ p ® ê n g t r ß n ( O ) D , E l µ ®i Ó m c h Ý n h gi ÷ a c ñ a c u n g A B , A C D E c ¾ t A B
v µ A C t ¹ i H ,K
a ) C h ø n g m i n h r » n g : t a m g i ¸ c A H K c © n
b ) B E c ¾ t C D t ¹ i I , C h ø n g m i n h r » n g A I v u « n g g ã c v í i D E
c ) C h ø n g m i n h r » n g : C E K I n éi t i Õ p
d ) C h ø n g m i n h r » n g I K / / A B
e ) t a m g i ¸ c A B C c ã t h ª m ® i Ò u k i Ö n g × ? t h × A I / / E C
B µ i 1 6 : C h o t ø g i ¸ c A B C D n é i t i Õ p t r o n g m é t ® ê n g t r ß n P l µ ® i Ó m c h Ý n h g i ÷ a c ñ a c u n g A B ( p h Ç n k h « n g
c h ø a C ,D ) H a i ® © y P C , PD l Ç n l î t c ¾ t d © y A B t ¹ i E v µ F C ¸ c d © y A D , P C k Ð o d µ i c ¾ t n h a u t ¹ i I C ¸ c
d © y B C , P D k Ð o d µ i c ¾ t n h a u t ¹i K C h ø n g m i n h r » n g :
a ) G ã c C I D b » n g g ã c C K D
b ) T ø g i ¸ c C D E F n éi t i Õ p ® î c
c ) P C P E = PD F
d ) I K C D n é i t i Õ p
e ) I K / / A B
f ) P A l µ t i Õ p t u y Õ n c ñ a ® ê n g t r ß n n g o ¹ i t i Õ p t a m g i ¸ c A F D
B µ i 1 7 : C h o h × n h c h ÷ n h Ë t A B CD n é i t i Õ p t r o n g ® ê n g t r ß n ( O ) T i Õ p t u y Õ n t ¹ i C v íi ® ê n g t r ß n c ¾ t
A B , A D k Ð o d µ i l Ç n l î t t ¹i E v µ F
a ) C h ø n g m i n h A B A E = A D A F b » n g h a i p h ¬ n g p h ¸ p
b ) G ä i M l µ t r u n g ®i Ó m c ñ a E F C h ø n g m i n h A M v u « n g g ã c v í i B D
c ) T i Õ p t u y Õ n t ¹ i B v µ D v í i ® ê n g t r ß n ( O ) c ¾ t E F l Ç n l î t t ¹i I , J C h ø n g m i n h I v µ J l Ç n l î t l µ t r u n g
® i Ó m c ñ a C E v µ C F
2
Trang 3d ) T Ý n h di Ö n t Ý c h p h Ç n h × n h t r ß n g i í i h ¹ n b ë i d © y A D v µ c u n g n h á A D , b i Õ t A B = 6 v µ A D = 6 3.
B µ i 1 8 : C h o t ø g i ¸ c A B C D n éi t i Õ p t r o n g ® ê n g t r ß n ® ê n g k Ý n h B D ( A C c ¾ t B O ) K Ð o d µ i A B v µ D C c ¾ t
n h a u ë E ; C B v µ D A c ¾ t n h a u t ¹ i F
a ) C h ø n g m i n h D B v u « n g g ã c v í i E F ( g ä i c h © n ® ê n g v u « n g g ã c l µ G )
b ) C h ø n g m i n h B C G F , A B G F n é i t i Õ p
c ) C h ø n g m i n h : B A B E = B C B F = B D BG
d ) C h ø n g m i n h B l µ t © m ® ê n g t r ß n n é i t i Õ p t a m g i ¸ c A C G
e ) C h o g ã c A B C b » n g 1 3 50, h · y t Ý n h ® é d µ i A C t h e o BD
B µ i 1 9 : C h o t a m g i ¸ c A B C c © n t ¹ i A ( g ã c A < 9 00) n éi t i Õ p ® ê n g t r ß n ( O ) M é t ® i Ó m M t u ú ý t r ª n c u n g
n h á A C T i a B x v u « n g g ã c v í i A M c ¾ t t i a C M t ¹ i D C h ø n g m i n h r » n g :
a ) G ã c A M D b » n g g ã c A B C
b ) T a m g i ¸ c B M D c © n
c ) K h i M di ® é n g t r ª n c u n g n h á A C t h × D c h ¹ y t r ª n m é t c u n g t r ß n c è ® Þ n h v µ ® é l í n c ñ a g ã c B D C
k h « n g ® æ i
B µ i 2 0 : C h o h a i ® ê n g t r ß n ( O1) v µ ( O2) c ¾ t n h a u t ¹ i A v µ B , t i Õ p t u y Õ n c h u n g v í i h a i ® ê n g t r ß n ( O1) v µ ( O
2) v Ò p h Ý a n ö a m Æ t p h ¼ n g b ê O
1O
2 c h ø a ® i Ó m B, c ã t i Õ p ®i Ó m t h ø t ù l µ E v µ F Q u a A k Î c ¸ t t u y Õ n
s o n g s o n g v í i E F c ¾ t ® ê n g t r ß n O
1, O
2 t h ø t ù t ¹ i C , D § ê n g t h ¼ n g C E v µ ® ê n g t h ¼ n g D F c ¾ t n h a u t ¹ i I
1 C h ø n g m i n h I A v u « n g g ã c v í i C D
2 C h ø n g m i n h t ø g i ¸ c I E B F l µ t ø g i ¸ c n é i t i Õ p
3 C h ø n g m i n h ® ê n g t h ¼ n g A B ® i q u a t r u n g ®i Ó m EF
B µ i 2 1 : C h o h a i ® ê n g t r ß n ( O
1) v µ ( O
2) c ¾ t n h a u t ¹ i A v µ B Q u a B v Ï c ¸ t t u y Õ n c h u n g C BD v u « n g g ã c
v í i A B , v Ï c ¸ t t u y Õ n c h u n g E BF b Ê t k ú ( C , E t h u é c ( O
1) , E t h u é c c u n g B C )
a ) C h ø n g m i n h A , O1, C t h ¼ n g h µ n g v µ A D ® i q u a O2
b ) G ä i K l µ gi a o ® i Ó m c ñ a c ¸ c ® ê n g t h ¼ n g C E v µ F D C h ø n g m i n h t ø g i ¸ c A E K F n é i t i Õ p v µ K t h u é c
® ê n g t r ß n n g o ¹ i t i Õ p t a m g i ¸ c A C D
c ) K hi E di c h u y Ó n t r ª n c u n g B C t h × K d i c h u y Ó n t r ª n ® ê n g n µ o
B µ i 2 2 : C h o t am g i ¸ c A B C v u « n g t ¹ i A § ê n g t r ß n t © m I ® ê n g k Ý n h A B c ¾ t ® ê n g t r ß n t © m K ® ê n g k Ý n h
A C t ¹ i ®i Ó m t h ø h a i H Q u a A k Î c ¸ t t u y Õ n E F ( E t h u é c ( I ) .G ä i M l µ t r u n g ® i Ó m c ñ a EF , N l µ t r u n g
® i Ó m c ñ a B C C h ø n g m i n h
a ) B , H , C t h ¼ n g h µ n g
b ) 6 ®i Ó m A , I , H , N , K , M c ï n g t h u é c ® ê n g t r ß n
c ) A B l µ t i Õ p t u y Õ n c ñ a ( K ) v µ A C l µ t i Õ p t u y Õ n c ñ a ( I )
d ) K h i E F q u a y q u a n h A t h × M d i c h u y Ó n t r ª n m é t ® ê n g t r ß n c è ® Þ n h
e ) H á i r » n g ë v Þ t r Ý n µ o t h × c ¸ t t u y Õ n EF c ã ® é d µ i l í n n h Ê t
B µ i 2 3 : C h o ( O ; R ) v µ ( I ; r ) t i Õ p x ó c n g o µ i t ¹ i A G ä i B C l µ m ét t i Õ p t u y Õ n c h u n g n g o µ i B C ë O I c ¾ t
( O ) t ¹ i D c ¾ t ( I ) t ¹ i E C h ø n g m i n h
a ) A , B , C c ï n g t h u é c m é t ® ê n g
b ) B t h u é c ® ê n g t r ß n n é i t i Õ p t a m g i ¸ c C D E
c ) O I l µ t i Õ p t u y Õ n c ñ a ® ê n g t r ß n ® ê n g k Ý n h B C v µ n g î c l ¹ i
d ) C h o R = 6 c m ; r = 2 c m t Ý n h d i Ö n t Ý c h c ñ a h × n h g i íi h ¹ n b ë i ® o ¹ n t h ¼ n g B C v í i c ¸ c c u n g A B , A C
B µ i 2 4 : C h o ( O ) v µ ( P ) t i Õ p x ó c n g o µ i t ¹ i A § ê n g t h ¼ n g O P c ¾ t ( O ) , ( P ) l Ç n l î t t ¹ i B , C T i Õ p t u y Õ n
c h u n g M N ( M t h u é c ( O ) ) c ¾ t t i Õ p t u y Õ n c h u n g t ¹ i A ë I C h ø n g m i n h:
a ) I t h u é c ® ê n g t r ß n ® ê n g k Ý n h O P
b ) M N2 = 4 O A P N
c ) B M v u « n g g ã c v íi C N
d ) A M c ¾ t ( O ) t ¹ i E v µ A N c ¾ t ( P ) t ¹ i F c h ø n g m i n h : B C2 = M E2 + N F2
B µ i 2 5 : H a i ® ê n g t r ß n ( O ; R ) v µ ( O ’ ; r ) t i Õ p x ó c n g o µ i t ¹ i ®i Ó m A ( R > r ) G ä i B C l µ t i Õ p t u y Õ n c h u n g
n g o µ i ( B Î ( O ) ; C Î ( O ’ ) M l µ t r u n g ® i Ó m c ñ a O O ’ , H l µ h × n h c h i Õ u c ñ a M t r ª n B C
a ) T Ý n h g ã c O H O ’
b ) C h ø n g m i n h O H l µ t i a p h © n gi ¸ c c ñ a g ã c A O B
c ) C h ø n g m i n h A H l µ t i Õ p t u y Õ n c h u n g c ñ a h a i ® ê n g t r ß n ( O ) v µ ( O ’ )
d ) C h o R = 4 c m ; r = 1 c m T Ý n h c ¸ c ® é d µ i B C ; A M
B µ i 2 6 : C h o h a i ® ê n g t r ß n ( O
1) , ( O
2) t i Õ p x ó c n g o µ i t ¹ i A M ét ® ê n g t h ¼ n g ( d ) t i Õ p x ó c v í i ( O
1) , ( O
2) l Ç n
l î t t ¹ i B , C
a ) C h ø n g m i n h t a m g i ¸ c A B C v u « n g
b ) G ä i M l µ t r u n g ®i Ó m c ñ a B C C h ø n g m i n h A M l µ t i a t i Õ p t u y Õ n c h u n g c ñ a h a i ® ê n g t r ß n
c ) C h ø n g m i n h g ã c O1M O2 b » n g 9 00
d ) C ¸ c t i a B A , C A l Ç n l î t c ¾ t ( O1) , ( O2) t ¹ i c ¸ c gi a o ®i Ó m t h ø h a i D , E C h ø n g m i n h d i Ö n t Ý c h t a m
g i ¸ c A D E b » n g d i Ö n t Ý c h t a m g i ¸ c A B C
B µ i 2 7 : C h o M t h u é c n ö a ® ê n g t r ß n t © m O ® ê n g k Ý n h A B T õ A v µ B k Î 2 t i Õ p t u y Õ n Ax v µ B y T i Õ p
t u y Õ n t ¹ i M c ¾ t Ax , B y l Ç n l î t ë C , D C ¸ c ® ê n g t h ¼ n g A D , B C c ¾ t n h a u ë N C h ø n g m i n h :
a ) C D - A C = BD
b ) T a m g i ¸ c C D O v u « n g
3
Trang 4c ) M N / / A C
d ) CD M N = C M D B
e ) X ¸ c ® Þ n h v Þ t r Ý c ñ a M ® Ó D i Ö n t Ý c h ® ê n g t r ß n ® ê n g k Ý n h CD n h á n h Ê t
g ) M N c ¾ t A B t ¹i H C h ø n g m i n h : M N = N H
B µ i 2 8 : C h o C t h u é c n ö a ® ê n g t r ß n ® ê n g k Ý n h A B I l µ ®i Ó m c h Ý n h gi ÷ a c ñ a c u n g A C A I c ¾ t B C t ¹i
M C h ø n g m i n h :
a ) M I M A = M C M B
b ) t a m gi ¸ c A B M c © n
c ) A C c ¾ t B I t ¹ i H , M H c ¾ t A B t ¹ i N C h ø n g m i n h H l µ t © m ® ê n g t r ß n n é i t i Õ p t a m g i ¸ c N I C d )
G ä i K l µ ® i Ó m ® è i x ø n g v í i H q u a I C h ø n g m i n h K A l µ t i Õ p t u y Õ n c ñ a ® ê n g t r ß n ® ê n g k Ý n h A B
B µ i 2 9 : C h o n ö a ® ê n g t r ß n ® ê n g k Ý n h A B L Ê y ® i Ó m D t u ú ý t r ª n n ö a ® ê n g t r ß n
( D A v µ D B ) D ù n g h × n h b × n h h µ n h A B C D T õ D k Î D M v u « n g g ã c v í i ® ê n g t h ¼ n g A C t ¹ i M v µ
t õ B k Î B N v u « n g g ã c v í i ® ê n g t h ¼ n g A C t ¹ i N
a C h ø n g m i n h b è n ® i Ó m D , M , B , C n » m t r ª n m é t ® ê n g t r ß n
b C h ø n g m i n h A D N D = B N D C
c T × m v Þ t r Ý c ñ a D t r ª n n ö a ® ê n g t r ß n s a o c h o B N A C l í n n h Ê t
Bài 30 : Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R C là trung điểm của đoạn thẳng AO, đường
thẳng Cx vuông góc với đường thẳng AB, Cx cắt nửa đường tròn trên tại I K là một điểm bất kì nằm trên đoạn thẳng CI (K khác C ; K khác I), tia AK cắt nửa đường tròn đã cho tại M Tiếp tuyến với nửa đường tròn tâm O tại điểm M cắt Cx tại N, tia BM cắt Cx tại D
1) Chứng minh rằng bốn điểm A, C, M, D cùng nằm trên một đường tròn
2) Chứng minh ΔMNK cân MNK cân
3) Tính diện tích ΔMNK cân ABD khi K là trung điểm của đoạn thẳng CI
4) Chứng minh rằng : Khi K di động trên đoạn thẳng CI thì tâm của đường tròn ngoại tiếp ΔMNK cân AKD nằm trên một đường thẳng cố định
B µ i 3 1 : C h o n ö a ® ê n g t r ß n t © m O , ® ê n g k Ý n h A B = 2 R v µ m é t ®i Ó m M b Ê t k × n » m t r ª n n ö a ® ê n g t r ß n ( M
k h ¸ c A v µ B ) § ê n g t h ¼ n g d t i Õ p x ó c v íi n ö a ® ê n g t r ß n t ¹ i M v µ c ¾ t ® ê n g t r u n g t r ù c c ñ a ® o ¹ n A B t ¹ i
I D ê n g t r ß n t © m I t i Õ p x ó c v í i A B c ¾ t ® ê n g t h ¼ n g d t ¹ i C v µ D ( D n » m t r o n g g ã c B O M )
a ) C h ø n g m i n h c ¸ c t i a O C , O D l µ c ¸ c t i a p h © n g i ¸ c c ñ a c ¸ c g ã c A C M v µ B O M
b ) C h ø n g m i n h C A v µ D B v u « n g g ã c v í i A B
c ) C h ø n g m i n h A C B D = R2
d ) T × m m ét v Þ t rÝ c ñ a M t r ª n n ö a ® ê n g t r ß n ( O ) ® Ó t æ n g A C + B D ® ¹ t g i ¸ t r Þ n h á n h Ê t ? T × m g i ¸ t r Þ ® ã
t h e o R
B µ i 3 2 : C h o ® ê n g t r ß n ( O ) ® ê n g k Ý n h A B , m é t ® i Ó m M d i ® é n g t r ª n ® ê n g t r ß n G ä i N l µ ® i Ó m ® è i x ø n g
v í i A q u a M , P l µ g i a o ® i Ó m t h ø h a i c ñ a ® ê n g t h ¼ n g B N v í i ® ê n g t r ß n ( O ) ; Q R l µ g i a o ®i Ó m c ñ a ® ê n g
t h ¼ n g B M l Ç n l î t v íi A P v µ t i Õ p t u y Õ n t ¹ i A c ñ a ® ê n g t r ß n ( O )
a ) C h ø n g m i n h r » n g ® i Ó m N l u « n l u « n n » m t r ª n ® ê n g t r ß n c è ® Þ n h t i Õ p x ó c v í i ® ê n g t r ß n ( O )
X ¸ c ® Þ n h t © m v µ BK c ñ a ® ê n g t r ß n ® ã
b ) C h ø n g m i n h R N l µ t i Õ p t u y Õ n c ñ a ® ê n g t r ß n ( B ; A B )
c ) T ø g i ¸ c A R N Q l µ h × n h g × ? T ¹ i s a o ?
B µ i 3 3 : C h o ® ê n g t r ß n ( O ) ® ê n g k Ý n h A B D © y CD k h « n g q u a O v u « n g g ã c v íi A B t ¹ i H D © y C A c ¾ t ®
-ê n g t r ß n ® -ê n g k Ý n h A H t ¹ i E v µ ® -ê n g t r ß n ® -ê n g k Ý n h B H c ¾ t d © y C B t ¹ i F C h ø n g m i n h r » n g :
a ) C E H F l µ h× n h c h ÷ n hË t
b ) E F l µ t i Õ p t u y Õ n c h u n g c ñ a c ¸ c ® ê n g t r ß n ® ê n g k Ý n h A H v µ ® ê n g k Ý n h B H
c )
2 2 2
1 1 1
CB CA
B µ i 3 4 C h o t a m g i ¸ c v u « n g A B C ( Cˆ = 900) , O l µ t r u n g ®i Ó m c ñ a A B v µ D l µ ® i Ó m t r ª n c ¹ n h A B ( D
k h « n g t r ï n g v í i A , O , B ) G ä i I v µ J t h ø t ù l µ t © m ® ê n g t r o n g n g o ¹ i t i Õ p t a m g i ¸ c A C D v µ B CD
1 C h ø n g m i n h O I s o n g s o n g v íi B C
2 C h ø n g m i n h 4 ® i Ó m I , J , O , D n » m t r ª n m é t ® ê n g t r ß n
3 C h ø n g m i n h r » n g C D l µ p h © n gi ¸ c c ñ a g ã c A C B k h i v µ c h Ø k h i O I = O J
B µ i 3 5 : C h o t a m g i ¸ c v u « n g M N P ( Mˆ = 900) , § ê n g c a o M H ( H t r ª n c ¹ n h N P ) § ê n g t r ß n ® ê n g k Ý n h
M H c ¾ t c ¹ n h M N t ¹ i A v µ c ¾ t c ¹ n h M P t ¹ i B
1 ) C h ø n g m i n h A B l µ ® ê n g k Ý n h c ñ a ® ê n g t r ß n ® ê n g k Ý n h M H
2 ) C h ø n g m i n h t ø g i ¸ c N A B P l µ t ø g i ¸ c n éi t i Õ p
3 ) T õ M k Î ® ê n g t h ¼ n g v u « n g g ã c v í i A B c ¾ t c ¹ n h N P t ¹ i I
C h ø n g m i n h I N = I P
4
Trang 5B à i 3 6 : C h o t a m gi á c v u ô n g A B C ( A C > A B , Aˆ = 900) G ọi I l à t â m đ ờ n g t r ò n n ộ i t i ế p t a m g i á c A B C ,
c á c t i ế p đi ể m c ủ a đ ờ n g t r ò n n ộ i t i ế p v ớ i c ạ n h A B , B C , C A l ầ n l ợ t t ại M , N , P
1 C h ứ n g m i n h t ứ g i á c A M I P l à h ì n h v u ô n g
2 Đ ờ n g t h ẳ n g A I c ắ t P N t ạ i D C h ứ n g m i n h 5 đ i ể m M , B , N , D , I n ằ m t r ê n m ộ t đ ờ n g t r ò n
3 * Đ ờ n g t h ẳ n g B I v à C I k é o d à i c ắ t A C , A B l ầ n l ợ t t ạ i E v à F
C h ứ n g m i n h B E C F = 2 B I C I
B à i 3 7 : C h o đ ờ n g t r ò n t â m ( O ) A B l à d â y c ố đị n h c ủ a đ ờ n g t r ò n k h ô n g đ i q u a t â m M l à m ộ t đi ể m t r ê n
d â y c u n g l ớ n A B s a o c h o t a m g i á c M A B l à t am g i á c n h ọ n G ọ i D v à C t h ứ t ự l à đi ể m c h í n h gi ữ a c ủ a
c u n g n h ỏ M A , M B , đ ờ n g t h ẳ n g A C c ắ t đ ờ n g t h ẳ n g BD t ạ i I , đ ờ n g t h ẳ n g C D c ắ t c ạ n h M A v à M B t h ứ t ự
t ạ i P , Q
1 C h ứ n g m i n h t a m g i á c A D I l à t am g i á c c â n
2 C h ứ n g m i n h t ứ g i á c A D P I l à t ứ g i á c n ộ i t i ế p
3 C h ứ n g m i n h P I = M Q
4 Đ ờ n g t h ẳ n g M I c ắ t đ ờ n g t r ò n t ạ i N K h i M c h u y ể n đ ộ n g t r ê n c u n g l ớ n A B t h ì t r u n g đi ể m c ủ a M N
c h u y ể n đ ộ n g t r ê n đ ờ n g n à o
Bài 38 : Cho 3 điểm A, B , C thẳng hàng ( theo thứ tự ấy) Gọi (O) là đ ờng tròn đi qua B và C Từ A vẽ
c á c t i ế p t u y ế n A E v à A F v ớ i đ ờ n g t r ò n ( O ) ( E v à F l à c á c t i ế p đ i ể m ) G ọ i I l à t r u n g đ i ể m c ủ a B C
a ) C h ứ n g m i n h n ă m đ i ể m A , E , O , I , F
b ) Đ ờ n g t h ẳ n g F I c ắ t đ ờ n g t r ò n ( O ) t ạ i G C h ứ n g m i n h E G / / A B
c ) N ố i E F c ắ t A C t ạ i K , C h ứ n g m i n h A K A I = A B A C
B à i 3 9 : C h o đ ờ n g t r ò n ( O ; R ) v à d â y A C c ố đ ị n h k h ô n g đi q u a t â m B l à m ột đ i ể m b ấ t k ì t r ê n đ ờ n g
t r ò n ( O ; R ) ( B k h ô n g t r ù n g v ớ i A v à C ) K ẻ đ ờ n g k í n h BB , G ọ i H l à t r ự c t â m c ủ a c ủ a t am g i á c A B C
1 ) C h ứ n g m i n h A H / / B C
2 ) C h ứ n g m i n h r ằ n g H B đ i q u a t r u n g đ i ể m c ủ a A C
3 ) K h i đi ể m B c h ạ y t r ê n đ ờ n g t r ò n ( 0 ; R ) ( B k h ô n g t r ù n g v ớ i A v à C ) C h ứ n g m i n h r ằ n g đ i ể m H
l u ô n n ằ m t r ê n m ộ t đ ờ n g t r ò n c ố đ ị n h
B à i 4 0 : C h o đ ờ n g t r ò n t â m O , b á n k í n h O A = R V ẽ d â y B C v u ô n g g ó c v ới O A t ạ i t r u n g đi ể m H c ủ a O A
a ) T ứ gi á c A B O C l à hì n h g ì ?
b ) G ọ i K l à đi ể m đ ối x ứ n g v ớ i O q u a A C h ứ n g m i n h r ằ n g : K B O C t ứ g i á c n ộ i t i ế p v à K B , K C l à t i ế p
t u y ế n c ủ a ( O )
c ) T a m gi á c K B C l à t a m g i á c g ì ?
d ) T r ự c t â m t a m gi á c A B C l à đi ể m n à o t r ê n hì n h v ẽ ?
e ) T í n h đ ộ d à i B C
f ) T í n h d i ệ n t í c h p h ầ n t r u n g c ủ a h ì n h t r ò n ( O ; R ) v à hì n h t r ò n n g o ạ i t i ế p t ứ g i á c K B O C
B à i 4 1 : C h o ( O ; R ) v à d â y A B < 2 R T r ê n t i a A B l ấ y C s a o c h o A C > A B T ừ C k ẻ h a i t i ế p t u y ế n v ớ i ( o ) t ạ i
P , K G ọi I l à t r u n g đ i ể m c ủ a A B
a ) C h ứ n g m i n h r ằ n g T ứ g i á c C P O K n ộ i t i ế p
b ) C h ứ n g m i n h r ằ n g : C , P , I , O , K c ù n g n ằ m t r ê n m ộ t đ ờ n g t r ò n
c ) C h ứ n g m i n h r ằ n g t am g i á c A C P đ ồ n g d ạ n g v ớ i t a m g i á c P C B s u y r a C P2= C B C A
d ) g ọi H t r ự c t â m t a m g i á c C P K T í n h P H t h e o R
e ) G i ả s ử P A / / C K C h ứ n g m i n h r ằ n g t i a đ ố i c ủ a t i a B K l à p h â n g i á c c ủ a g ó c C B P
B à i 4 2 : C h o đ ờ n g t r ò n ( O ; R ) đ ờ n g k í n h A B , k ẻ t i a t i ế p t u y ế n Ax v à t r ê n đ ó l ấ y đi ể m P s a o c h o A P > R ,
t ừ P k ẻ t i ế p t u y ế n t i ế p x ú c v ớ i đ ờ n g t r ò n t ạ i M
a ) C h ứ n g m i n h A P M O n ội t i ế p
b ) C h ứ n g m i n h r ằ n g B M/ / O P
c ) Đ ờ n g t h ẳ n g v u ô n g g ó c v ới A B t ạ i O c ắ t t i a B M t ạ i N C h ứ n g m i n h t ứ gi á c O B N P l à h ì n h b ì n h
h à n h
d ) C h ứ n g m i n h r ằ n g P N M O l à h ì n h t h a n g c â n
e ) B i ế t A N c ắ t O P t ạ i K , P M c ắ t O N t ạ i I , P N v à O M k é o d à i c ắ t n h a u t ạ i J C h ứ n g m i n h I , J, K
t h ẳ n g h à n g
B à i 4 3 : C h o đ o ạ n A B v à M n ằ m g i ữ a A B T r ê n c ù n g n ử a m ặt p h ẳ n g b ờ A B d ự n g hì n h v u ô n g A M C D ,
M B E F AF c ắ t B C t ạ i N
a ) C h ứ n g m i n h r ằ n g : A F v u ô n g g ó c v ới B C , s u y r a N n ằ m t r ê n h a i đ ờ n g t r ò n n g o ạ i t i ế p A M C D , M B EF
b ) C h ứ n g m i n h : D , N , E t h ẳ n g h à n g v à M N v u ô n g g ó c v ới D E
c ) C h o A B c ố đ ị n h M di đ ộ n g C h ứ n g m i n h : M N l u ô n đ i q u a đ i ể m c ố đ ị n h ,
B à i 4 4 : C h o đ ờ n g t r ò n ( O ) đ ờ n g k í n h A B = 2 R v à m ộ t đ i ể m M d i đ ộ n g t r ê n m ột n ử a đ ờ n g t r ò n N g ờ i t a v ẽ
m ộ t đ ờ n g t r ò n t â m E t i ế p x ú c v ới n ử a đ ờ n g t r ò n ( O ) t ạ i M v à t i ế p x ú c v ớ i đ ờ n g k í n h A B t ại N Đ ờ n g
n à y c ắ t M A , M B l ầ n l ợ t t ạ i c á c đ i ể m t h ứ h a i C , D
a ) C h ứ n g m i n h C D / / A B
b ) C h ứ n g m i n h M N l à t i a p h â n g i á c c ủ a g ó c A M B v à đ ờ n g t h ẳ n g M N l u ô n đi q u a m ộ t đ i ể m K c ố
đ ị n h
5
Trang 6c ) C h ứ n g m i n h : t í c h K M K N k h ô n g đ ổ i
d ) G ọ i g i a o đ i ể m c ủ a c á c t i a C N , D N v ớ i K B , K A l ầ n l ợ t l à C,, D, T ì m v ị t rí c ủ a M đ ể c h u v i t a m g i á c
N C,D, đ ạ t g i á t r ị n h ỏ n h ấ t
B à i 4 5 : C h o t a m g i á c A B C v u ô n g t ạ i A Đ ờ n g c a o A H Đ ờ n g t r ò n đ ờ n g k í n h A H c ắ t c á c c ạ n h A B , A C , l ầ n
l ợ t t ạ i E , F
a ) C h ứ n g m i n h t ứ g i á c A E H F l à h ì n h c h ữ n hậ t
b ) C h ứ n g m i n h A E A B = A F A C
c ) C h ứ n g m i n h r ằ n g B EF C n ội t i ế p
d ) Đ ờ n g t h ẳ n g q u a A v u ô n g g ó c v ớ i EF c ắ t B C t ạ i I , C h ứ n g m i n h I l à t r u n g đ i ể m c ủ a đ o ạ n B C
e ) C h ứ n g m i n h r ằ n g n ế u d i ệ n t í c h c ủ a A B C g ấ p đ ôi d i ệ n t í c h h ì n h c h ữ n h ậ t A E H F t h ì t a m g i á c A B C
v u ô n g c â n
B à i 4 6 : C h o đ ờ n g t r ò n t â m ( O ; R ) , h a i đ ờ n g k í n h A B , CD v u ô n g g ó c v ớ i n h a u T r o n g đ o ạ n A B l ấ y m ộ t
đ i ể m M ( k h á c O ) Đ ờ n g t h ẳ n g C M c ắ t đ ờ n g t r ò n ( O ) t ạ i đi ể m t h ứ h a i l à N Đ ờ n g t h ẳ n g v u ô n g g ó c v ới
A B t ạ i M c ắ t t i ế p t u y ế n t ạ i N v ớ i đ ờ n g t r ò n ở đ i ể m P C h ứ n g m i n h r ằ n g :
a ) t ứ g i á c O M N P n ộ i t i ế p đ ợ c
b ) T ứ g i á c C M P O l à h ì n h b ì n h h à n h
c ) T ứ g i á c O M N P n ộ i t i ế p
d ) T í c h C M C N k h ô n g p h ụ t h u ộ c v à o v ị t r í c ủ a đi ể m M
e ) K h i M di đ ộ n g t r ê n đ o ạ n A B t h ì P c h ạ y t r ê n m ộ t đ o ạ n t h ẳ n g c ố đ ị n h
B à i 4 7 : C h o b a đ i ể m A , B , C t r ê n m ộ t đ ờ n g t h ẳ n g t h e o t h ứ t ự ấ y v à m ột đ ờ n g t h ẳ n g d v u ô n g g ó c v ới
A C t ạ i A V è đ ờ n g t r ò n đ ờ n g k í n h B C v à t r ê n đ ó l ấ y m ộ t đ i ể m M b ấ t k ì T i a C M c ắ t đ ờ n g t h ẳ n g d t ạ i D ;
T i a A M c ắ t đ ờ n g t r ò n t ạ i đ i ể m t h ứ h a i t ạ i N ; t i a D B c ắ t đ ờ n g t r ò n t ạ i đ i ể m t h ứ h a i P
a ) C h ứ n g m i n h A B M D n ội t i ế p
b ) C h ứ n g m i n h t í c h C M C D k h ô n g p h ụ t h u ộ c v à o v ị t r í đ i ể m M
c ) T ứ g i á c A P N D l à hì n h g ì ? t ạ i s a o ?
d ) C h ứ n g m i n h t r ọ n g t â m G c ủ a t a m g i á c M A C c h ạ y t r ê n m ộ t đ ờ n g t r ò n c ố đ ị n h k h i M di đ ộ n g
B à i 4 8 : C h o t a m g i á c v u ô n g c â n A B C ( g ó c C = 9 0 ) , E l à m ộ t đi ể m t u ỳ ý t r ê n c ạ n h B C Q u a B k ẻ m ộ t t i a
v ơ n g g ó c v ớ i t i a A E t ạ i H v à c ắ t t i a A C t ạ i K C h ứ n g m i n h r ằ n g :
a ) T ứ g i á c B H C A n ội t i ế p
b ) K C K A = K H K B
c ) Đ ộ l ớ n c ủ a g ó c C H K k h ô n g p h ụ t h u ộ c v à o v ị t r í đi ể m E
d ) K h i E d i c h u y ể n t r ê n c ạ n h B C t hì B E B C + A E A H k h ô n g đ ổ i
B à i 4 9 : c h o đ ờ n g t r ò n t â m O v à d â y A B G ọ i M l à đ i ể m c h í n h g i ữ a c ả u c u n g n h ỏ A B v à C l à m ộ t đi ể m
n ằ m g i ữ a đ o ạ n A B T i a M C c ắ t đ ờ n g t r ò n t ạ i đ i ể m t h h a i D C h ứ n g m i n h :
a ) M A2 = M C MD
b ) M B B D = B C M D
c ) Đ ờ n g t r ò n n g o ạ i t i ế p B C D t i ế p x ú c v ớ i M B t ạ i B
d ) T ổ n g b á n k í n h c ủ a h a i đ ờ n g t r ò n n g o ạ i t i ế p B C D v à A C D k h ô n g đ ổi k h i C d i đ ộ n g t r ê n đ o ạ n
A B
B à i 5 0 : C h o A B C c ó g ó c A > 9 0o Đ ờ n g t r ò n ( O ) , đ ờ n g k í n h A B c ắ t đ ờ n g t r ò n ( O/) đ ờ n g k í n h A C t ạ i
g i a o đi ể m t h ứ h a i l à H M ộ t đ ờ n g t h ẳ n g ( d ) q u a y q u a n h A c ắ t Đ ờ n g t r ò n ( O ) , đ ờ n g t r ò n ( O/) l ầ n l ợ t t ạ i
M , N s a o c h o A n ằ m g i ữ a M v à N
a ) C h ứ n g m i n h H t h u ộ c c ạ n h B C v à t ứ g i á c B C N M l à h ì n h t h a n g v u ô n g
b ) C h ứ n g m i n h t ỷ s ố
HN
HM k h ô n g đ ổ i
c ) G ọ i I l à t r u n g đ i ể m c ủ a M N , K l à t r u n g đ i ể m c ủ a B C C h ứ n g m i n h b ố n đ i ể m A , H , K , I t h u ộ c
m ộ t đ ờ n g t r ò n v à I d i c h u y ể n t r ê n m ộ t c u n g t r ò n c ố đị n h
d ) X á c đ ị n h v ị t r í c ủ a đ ờ n g t h ẳ n g ( d ) đ ể d i ệ n t í c h H M N l ớ n n h ấ t
B à i 5 1 : C h o đ o ạ n t h ẳ n g A B v à m ột đ i ể m P n ằ m gi ữ a A v à B T r ê n n ử a m ặt p h ẳ n g b ờ A B k ẻ c á c t i a Ax , B y
v u ô n g g ó c v ớ i A B v à l ầ n l ợ t t r ê n h a i t i a d ó l ấ y h a i đ i ể m C v à D s a o c h o : A C B D = A P P B ( 1 )
a ) C h ứ n g m i n h t a m g i á c A C P đ ồ n g d ạ n g v ớ i t a m gi á c B P D
b ) C h ứ n g m i n h g ó c C P D b ằ n g 9 00 T ừ đ ó s u y t a c á c h d ự n g h a i đi ể m C ; D t h o ả m ã n ( 1 )
c ) G ọ i M l à hì n h c h i ế u c ủ a P t r ê n CD , c h ứ n g m i n h g ó c A M B b ằ n g 9 00
d ) G ọ i A M c ắ t C P t ạ i I , B M c ắ t P D t ạ i K C h ứ n g m i n h I K / / A B
e ) C h ứ n g m i n h đ i ể m M c h ạ y t r ê n n ử a đ ờ n g t r ò n c ố đ ị n h k h i C ; D l ầ n l ợ t d i đ ộ n g t r ê n A x , B y n h n g
v ẫ n t h o ả m ã n ( 1 )
B à i 5 2 : C h o t am g i á c A B C v u ô n g t ạ i A v à m ộ t đ i ể m D n ằ m g i ữ a A v à B Đ ờ n g t r ò n đ ờ n g k í n h BD c ắ t
B C t ạ i E C á c đ ờ n g t h ẳ n g C D , A E l ầ n l ợ t c ắ t đ ờ n g t r ò n t ạ i c á c đ i ể m t h ứ h a i F , G C h ứ n g m i n h:
a ) t a m g i á c A B C đ ồ n g d ạ n g v ớ i t a m gi á c E B D
b ) T ứ g i á c A D E C v à A F B C n ộ i t i ế p đ ợ c
c ) C h ứ n g m i n h A D A B = A G A E
d ) A C / / F G
e ) C á c đ ờ n g t h ẳ n g A C , D E , B F đ ồ n g q u y
6
Trang 7Bài 53 : Cho đường trũn (O), một đường kớnh AB cố định, một điểm I nằm giữa A và O sao cho AI =
2/3AO Kẻ dõy MN vuụng gúc với AB tại I Gọi C là điểm tựy ý thuộc cung lớn MN, sao cho C khụng trựng với M, N và B Nối AC cắt MN tại E
a) Chứng minh tứ giỏc IECB nội tiếp được trong đường trũn
b) Chứng minh ΔMNK cõn AME đồng dạng với ΔMNK cõn ACM và AM2 = AE.AC
d) Hóy xỏc định vị trớ của điểm C sao cho khoảng cỏch từ N đến tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc CME là nhỏ nhất
Bài 54 : Cho tam giỏc ABC vuụng tại A (AB > AC), đường cao AH Trờn nửa mặt phẳng bờ BC chứa A
vẽ nửa đường trũn đường kớnh BH cắt AB tại E và nửa đường trũn đường kớnh CH cắt AC tại F Chứng minh rằng :
a) Tứ giỏc AEHF là hỡnh chữ nhật
b) EF là tiếp tuyến chung của hai đường trũn đường kớnh BH và CH
c) Tứ giỏc BCFE nội tiếp
Bài 55 Cho đường trũn tõm O bỏn kớnh R, hai điểm C và D thuộc đường trũn, B là trung điểm của cung
nhỏ CD Kẻ đường kớnh BA ; trờn tia đối của tia AB lấy điểm S, nối S với C cắt (O) tại M ; MD cắt AB tại K ; MB cắt AC tại H
a) Chứng minh Đ BMD = Đ BAC, từ đú => tứ giỏc AMHK nội tiếp
b) Chứng minh : HK // CD
Bài 56 : Cho đường trũn (O) bỏn kớnh R, đường thẳng d khụng qua O và cắt đường trũn tại hai điểm A,
B Từ một điểm C trờn d (C nằm ngoài đường trũn), kẻ hai tiếp tuyến CM, CN với đường trũn (M, N thuộc (O)) Gọi H là trung điểm của AB, đường thẳng OH cắt tia CN tại K
a) Chứng minh bốn điểm C, O, H, N cựng nằm trờn một đường trũn
b) Chứng minh KN.KC = KH.KO
c) Đoạn thẳng CO cắt đường trũn (O) tại I, chứng minh I cỏch đều CM, CN và MN
d) Một đường thẳng đi qua O và song song với MN cắt cỏc tia CM, CN lần lượt tại E và F
Xỏc định vị trớ của C trờn d sao cho diện tớch tam giỏc CEF là nhỏ nhất
Học vấn luôn đem đến cho cỏc em niềm vui thực sự
Chỉ có sự nỗ lực của chính mình mới đem lại thành công
7