BÀi tập ôn thi vào lớp 10

Với giá trị nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó... 1 Tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghịch biến.. 2 Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có

BAỉI TAÄP PHAÀN RUÙT GOẽN

2 thì P = - 3 – 2 2.

Baứi 3 : Cho biểu thức : A =

1

1 1

x x

a) Rút gọn biểu thức sau A

b) Tính giá trị của biểu thức A khi x =

4 1

c) Tìm x để A < 0

d) Tìm x để A = A

H ớng dẫn : a) ĐKXĐ : x ≥ 0, x ≠ 1 Biểu thức rút gọn : A =

Bài 4 : Cho biĨu thøc : A = 1 1 1 3

H íng dÉn :

Bài 5 : Cho biĨu thøc: A =

2 2

Baứi 8 : Cho biểu thức: P = a 3 a 1 4 a 4

−

−

− +

− +

=

a Rút gọn P

b Tính giá trị của P khi x =7−4 3

c Với giá trị nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó

H ớng dẫn :

a ) ĐKXĐ : x ≥ 0, x ≠1 Biểu thức rút gọn :

3 x

16 x P

P= + c) Pmin=4 khi x=4

+ +

3

2 2 : 9

3 3 3 3

2

x

x x

x x

x x

x P

a ) ĐKXĐ : x ≥ 0, x ≠9 Biểu thức rút gọn :

3 x

3 P

−+ )

c Tìm a Z∈ để A Z∈ ( KQ : A = 1

3

a a

x x

+ )

c Tìm x để A đạt GTNN (KQ: A = 1

1

x x

−+ )

3

a

−+ )

BAỉI TAÄP PHAÀN HAỉM SOÁ BAÄC N Baứi 1 :

1) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4)

2) Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng trên với trục tung và trục hoành

1) Tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghịch biến

2) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3

3) Tìm m để đồ thị của hàm số trên và các đồ thị của các hàm số y = -x + 2 ; y = 2x – 1 đồng quy

3) Giao điểm của hai đồ thị y = -x + 2 ; y = 2x – 1 là nghiệm của hệ pt :

2

x y

x y

1) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1

2) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4)

3) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m

H

ớng dẫn :

1) Để hai đồ thị của hàm số song song với nhau cần : m – 1 = - 2 ⇔ m = -1

Vậy với m = -1 đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1

2) Thay (x;y) = (1 ; -4) vào pt : y = (m – 1)x + m + 3 Ta đợc : m = -3

Vậy với m = -3 thì đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4)

3) Gọi điểm cố định mà đồ thị luôn đi qua là M(x0 ;y0) Ta có

Vậy với mọi m thì đồ thị luôn đi qua điểm cố định (1;2)

Baứi4 : Cho hai điểm A(1 ; 1), B(2 ; -1).

1) Viết phơng trình đờng thẳng AB

2) Tìm các giá trị của m để đờng thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song với đờng thẳng

AB đồng thời đi qua điểm C(0 ; 2)

b

a

2 1

−

−=

−

2 2 2

2 3

2

2

m m

Baứi 5 : Cho hàm số y = (2m – 1)x + m – 3.

1) Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (2; 5)

2) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m Tìm điểm cố định ấy

3) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = 2 1−

0

0

y x

Vậy với mọi m thì đồ thị luôn đi qua điểm cố định (

2

5

; 2

và y = kx + k + 1 cắt nhau tại một điểm

Baứi 7 : Giả sử đờng thẳng (d) có phơng trình y = ax + b Xác định a, b để (d) đi qua hai điểm A(1;

3) và B(-3; -1)

Baứi 8 : Cho hàm số : y = x + m (D).

Tìm các giá trị của m để đờng thẳng (D) :

1) Đi qua điểm A(1; 2003)

2) Song song với đờng thẳng x – y + 3 = 0

=

+

c'

y b'

x a'

c

by

+) Phơng pháp thế : Từ một trong hai phơng trình rút ra một ẩn theo ẩn kia , thế vào phơng trình thứ 2 ta đợc phơng trình bậc nhất 1 ẩn.

+) Phơng pháp cộng đại số :

- Quy đồng hệ số một ẩn nào đó (làm cho một ẩn nào đó của hệ có hệ số bằng nhau hoặc đối nhau)

- Trừ hoặc cộng vế với vế để khử ẩn đó

- Giải ra một ẩn, suy ra ẩn thứ hai

B Ví dụ minh họa :

Ví dụ 1 : Giải các phơng trình sau đây :

1-2x

3

3

++ = 2 ⇔ 2x = - 3 ⇔ x =

3

−

+ 1 ≠ 0Vậy x =

4

2) Gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x, y) Tìm các giá trị của m để x + y = -1.

3) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m

H ớng dẫn :

1) Giải hệ phơng trình khi thay m = -1

2) Gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x, y) Tìm m để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất

 có nghiệm duy nhất là (x; y).

1) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào a

2) Tìm các giá trị của a thoả mãn 6x2 – 17y = 5

3) Tìm các giá trị nguyên của a để biểu thức 2x 5y

x y

−+ nhận giá trị nguyên.

2) Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm duy nhất

1) Giải hệ khi a = 1

2) Chứng minh rằng với mọi a hệ luôn có nghiệm duy nhất (x ; y) thoả mãn x + y ≥ 2

Baứi 8 (trang 22): Cho hệ phơng trình :







= +

=

+

1

- m 4y 2)x

- (m

0 3)y (m -

Bài 9 : (trang 24): Cho hƯ ph¬ng tr×nh :

mx

0

y m -

x

(m lµ tham sè)

a) Gi¶i hƯ khi m = -1

b) Tìm giá trị nguyên của m để hệ có hai nghiệm nguyên

c) Xác định mọi hệ có nghiệm x > 0, y > 0

Bài 10 (trang 23): Một ôtô và một xe đạp chuyển động đi từ 2 đầu một đoạn đường sau 3 giờ

thì gặp nhau Nếu đi cùng chiều và xuất phát tại một điểm thì sau 1 giờ hai xe cách nhau 28 km Tính vận tốc của mỗi xe

HD : Vận tốc xe đạp : 12 km/h Vận tốc ôtô : 40 km/h.

Bài 11 : (trang 24): Một ôtô đi từ A dự định đến B lúc 12 giờ trưa Nếu xe chạy với vận tốc

35 km/h thì sẽ đến B lúc 2 giờ chiều Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì sẽ đến B lúc 11 giờ trưa Tính độ quảng đường AB và thời diểm xuất phát tại A

Đáp số : AB = 350 km, xuất phát tại A lúc 4giờ sáng.

Bài 12 : (trang 24): Hai vòi nước cùng chảy vào một cài bể nước cạn, sau 454 giờ thì đầy bể Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất, sau 9 giờ mở vòi thứ hai thì sau 56 giờ nữa mới nay bể Nếu một mình vòi thứ hai chảy bao lâu sẽ nay bể

Đáp số : 8 giờ.

Bài 13 : (trang 24): Biết rằng m gam kg nước giảm t0C thì tỏa nhiệt lượng Q = mt (kcal) Hỏi phải dùng bao nhiêu lít 1000C và bao nhiêu lít 200C để được hỗn hợp 10 lít 400C

=

+

400 20y 100x

Vậy cần 2,5 lít nước sôi và 75 lít nước 200C

Bài 14 : Khi thêm 200g axít vào dung dịch axít thì dung dịch mới có nồng độ 50% Lại thêm

300g nước vào dung dịch mới được dung dịch axít có nồng độ 40% Tính nồng độ axít trong dung dịch ban đầu

Hường dãn :Gọi x khối axit ban đầu, y là khối lượng dung dịch ban đầu

Theo bài ra ta có hệ pt :

+

= +

+

% 40

% 100 500

y

200) (

% 50

% 100 200

y

200) (

1 Để biện luận sự có nghiệm của phương trình : ax2 + bx + c = 0 (1) trong đó a,b ,c phụ thuộc tham số m,ta xét 2 trường hợp

a) Nếu a= 0 khi đó ta tìm được một vài giá trị nào đó của m ,thay giá trị đó vào

(1).Phương trình (1) trở thành phương trình bậc nhất nên có thể : - Có một nghiệm duy nhất

- hoặc vô nghiệm

- hoặc vô số nghiệm

b)Nếu a ≠0

Lập biệt số ∆= b2 – 4ac hoặc ∆/ = b/2 – ac

* ∆ < 0 (∆/ < 0 ) thì phương trình (1) vô nghiệm

* ∆ = 0 (∆/ = 0 ) : phương trình (1) có nghiệm kép x1,2 = -

a

b

2 (hoặc x1,2 = -

p = x1x2 =

a c

Đảo l¹i: Nếu có hai số x1,x2 mà x1 + x2 = S và x1x2 = p thì hai số đó là nghiệm (nếu cã ) cña ph¬ng tr×nh bËc 2:

x2 – S x + p = 0

3.DÊu cña nghiÖm sè cña ph¬ng tr×nh bËc hai.

Cho ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) Gäi x1 ,x2 lµ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh Ta cã c¸c kÕt qu¶ sau:

S p

S p

S p

S p

4.Vài bài toán ứng dụng định lý Viét

a)Tính nhẩm nghiệm.

Xét phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

• Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm x1 = 1 , x2 =

a c

• Nếu a – b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm x1 = -1 , x2 = -

a c

c)Tìm điều kiện của tham số để phơng trình bậc 2 có nghệm x 1 , x 2 thoả mãn điều kiện cho

trớc.(Các điều kiện cho trớc thờng gặp và cách biến đổi):

2 1 2 1

11

x x

x x x x

2 2

2 1 1

2 2

1

x x

x x x

x x

2 1 2

1

2)

)(

(

21

1

a aS p

a S a

x a x

a x x a x a

Cách giải:

• Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm x= x1 cho trớc có hai cách làm

+) Cách 1:- Lập điều kiện để phơng trình bậc 2 đã cho có 2 nghiệm:

để kết luận

+) Cách 2: - Không cần lập điều kiện∆ ≥ 0 (hoặc ∆ / ≥ 0) mà ta thay luôn

x = x1 vào phơng trình đã cho, tìm đợc giá trị của tham số

- Sau đó thay giá trị tìm đợc của tham số vào phơng trình và

giải phơng trình

Chú ý : Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào phơng trình đã cho mà phơng trình bậc hai này

có ∆ < 0 thì kết luận không có giá trị nào của tham số để phơng trình có nghiệm x1 cho trớc

* Nếu m – 3 ≠ 0 ⇔ m ≠ 3 Phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có biệt số ∆ / = m2

– (m – 3)(m – 6) = 9m – 18

- Nếu ∆ / = 0 ⇔ 9m – 18 = 0 ⇔m = 2 phơng trình có nghiệm kép

x1 = x2 = -

3 2

−

−

±

m m m

- Nếu ∆ / < 0 ⇔ m < 2 Phơng trình vô nghiệm

Kết luận:

Với m = 3 phơng trình có nghiệm x = -

2 1Với m = 2 phơng trình có nghiệm x1 = x2 = -2

Với m > 2 và m ≠ 3 phơng trình có nghiệm x1,2 =

3

2 3

Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 áp dụng hệ thức Viet ta có :

6

- x x

7

2

-

3 x x

2 1

2 1

2 1

m

m x

S p

S x

x

x x

+ D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) = 9x1x2 + 3(x1 + x2) + x1x2

−

= +

1 = 0 ⇔9X2 + X - 1 = 0

Bài 6 : Cho phơng trình :

x2 – ( k – 1)x - k2 + k – 2 = 0 (1) (k là tham số)

1 Chứng minh phơng trình (1 ) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k

2 Tìm những giá trị của k để phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu

9) = 5(k2 – 2

5

3

k + 25

9 + 25

36) = 5(k -

5

3) + 5

36 > 0 với mọi giá trị của k Vậy phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt

2 Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu ⇔p < 0

⇔- k2 + k – 2 < 0 ⇔ - ( k2 – 2

2

1

k + 4

1 + 4

7) < 0

87]

Do đó x1 + x2 > 0 ⇔ (k – 1)[(2k -

4

5)2 + 16

87] > 0 ⇔ k – 1 > 0 ( vì (2k -

4

5)2 + 16

87 > 0 với mọi k) ⇔ k > 1

Vậy k > 1 là giá trị cần tìm

Bài 7:

Cho phơng trình : x2 – 2( m + 1) x + m – 4 = 0 (1) (m là tham số)

1 Giải phơng trình (1) với m = -5

2 Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt với mọi m

3 Tìm m để x1 −x2 đạt giá trị nhỏ nhất (x1 , x2 là hao nghiệm của phơng trình (1) nói trong phần 2.)

1 + 4

19 = (m +

2

1)2 + 4

19 > 0 với mọi m Vậy phơng trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2

3 Vì phơng trình có nghiệm với mọi m ,theo hệ thức Viét ta có:

19]

=> x1 −x2 = 2

4

19 ) 2

1 (m+ 2 +

4

19 2

≥ = 19 khi m +

2

1 = 0 ⇔m = -

2 1

Vậy x1 −x2 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 19 khi m = -

2 1

Bài 8 : Cho phơng trình (m + 2) x2 + (1 – 2m)x + m – 3 = 0 (m là tham số)

1) Giải phơng trình khi m = -

2 9

2) Chứng minh rằng phơng trình đã cho có nghiệm với mọi m

3) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt và nghiệm này gấp ba lần nghiệm kia

Giải:

1) Thay m = -

2

9 vào phơng trình đã cho và thu gọn ta đợc 5x2 - 20 x + 15 = 0

2

5 1

2 ( 2

) 3 ( 2 ) 2 ( 2

5 1 2

+

−

= +

−

= +

−

−

m

m m

m m

m

Tóm lại phơng trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m

3)Theo câu 2 ta có m ≠ - 2 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.Để nghiệm này gấp

3 lần nghiệm kia ta sét 2 trờng hợp

Kiểm tra lại: Thay m =

2

11 vào phơng trình đã cho ta đợc phơng trình : 15x2 – 20x + 5 = 0 phơng trình này có hai nghiệm

x1 = 1 , x2 =

15

5 = 3

1 (thoả mãn đầu bài)

Bài 9: Cho phơng trình : mx2 – 2(m-2)x + m – 3 = 0 (1) với m là tham số

1 Biện luận theo m sự có nghiệm của phơng trình (1)

2 Tìm m để (1) có 2 nghiệm trái dấu

3 Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 3 Tìm nghiệm thứ hai

Giải

1.+ Nếu m = 0 thay vào (1) ta có : 4x – 3 = 0 ⇔ x =

4 3

2 4 2

0 ≠ m < 4 : phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt:

m− 2 + − + 4

m = 0 : Phơng trình (1) có nghiệm đơn x =

4 3

2 (1) có nghiệm trái dấu ⇔ a c < 0 ⇔ m m−3 < 0

0 3

m m m

m m m m

Đối chiếu với điều kiện (*), giá trị m =

-4

9 thoả mãn

*) Cách 2: Không cần lập điều kiện ∆ / ≥ 0 mà thay x = 3 vào (1) để tìm đợc m =

-4

9.Sau

đó thay m =

-4

9 vào phơng trình (1) : -

2

1

x x

Vậy với m =

-4

9 thì phơng trình (1) có một nghiệm x= 3

*)Để tìm nghiệm thứ 2 ,ta có 3 cách làm

Cách 1: Thay m = -

4

9 vào phơng trình đã cho rồi giải phơng trình để tìm đợc x2 =

9

7 (Nh phần trên đã làm)

Cách 2: Thay m =

-4

9 vào công thức tính tổng 2 nghiệm:

x1 + x2 =

9344

9

)24

9(2)2(2

Cách 3: Thay m = -

4

9 vào công trức tính tích hai nghiệm

x1x2 =

9214

9

34

93

9

21 : 3 = 9 7

Bài 10: Cho phơng trình : x2 + 2kx + 2 – 5k = 0 (1) với k là tham số

Cách 1: Lập điều kiện để phơng trình (1) có nghiệm:

(Có a + b + c = 2+ 5 – 7 = 0 ) => k1 = 1 , k2 = -

2 7

Để đối chiếu với điều kiện (*) ta thay lần lợt k1 , k2 vào ∆ / = k2 + 5k – 2

+ k1 = 1 => ∆ / = 1 + 5 – 2 = 4 > 0 ; thoả mãn

+ k2 = -

2

7 => ∆ /=

8

29 4

8 70 49 2 2

35 4

49 − − = − − = − không thoả mãnVậy k = 1 là giá trị cần tìm

Cách 2 : Không cần lập điều kiện ∆ / ≥ 0 Cách giải là:

Từ điều kiện x1 + x2 = 10 ta tìm đợc k1 = 1 ; k2 = -

2

7 (cách tìm nh trên)Thay lần lợt k1 , k2 vào phơng trình (1)

Vậy k = 1 là giá trị cần tìm

BAỉI TAÄP PHAÀN PHệễNG TRèNH BAÄC HAI

Baứi 1 : Cho phơng trình : x2 – 6x + 1 = 0, gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phơng trình Không giải phơng trình, hãy tính:

Tính x x1 2 +x2 x1 (với x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình)

Baứi 3 : Cho phơng trình bậc hai:

x2 – 2(m + 1)x + m2 + 3m + 2 = 0

1) Tìm các giá trị của m để phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt

2) Tìm giá trị của m thoả mãn x1 + x2 = 12 (trong đó x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình)

Baứi 4 : Cho phơng trình:

x2 – 2mx + 2m – 5 = 0

1) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

2) Tìm điều kiện của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu

3) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x1 và x2, tìm các giá trị của m để:

2) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình (1) Tính B = x1 + x2

Baứi 7 : Cho phơng trình : x2 - (m + 4)x + 3m + 3 = 0 (m là tham số)

a) Xác định m để phơng trình có một nghiệm là bằng 2 Tìm nghiệm còn lại

b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 + x2 ≥ 0

∆= m2-2m+1= (m-1)2≥0 mọi m=> pt có nghiệm với mọi m

ta thấy nghiệm x=1 không thuộc (-1,0)

với m≠ 1/2 pt còn có nghiệm x=m2−m m−+11=

1 2

1

−

m <0

1 1 2

0 1 2

2

m m

m

=>m<0

Vậy Pt có nghiệm trong khoảng (-1,0) khi và chỉ khi m<0

GIAÛI BAỉI TOAÙN BAẩNG CAÙCH LAÄP PHệễNG TRèNH Baứi 1 : Hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B cách nhau 300 km Ô tô thứ nhất mỗi giờ

chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 10 km nên đến B sớm hơn ô tô thứ hai 1 giờ Tính vận tốc mỗi xe ô tô

Hửụựng daón : Goùi vaọn toỏc cuỷa oõtoõ thửự nhaỏt laứ x (km/h ẹK x > 0) Ta coự :

Vaọn toỏc cuỷa oõ toõ thửự hai laứ : x – 10 (km/h)

Do oõtoõ thửự nhaỏt ủeỏn B sụựm hụn oõtoõ thửự hai 1 giụứ ta coự phửụng trỡnh : 1

x

300 - 10 -

x

Giaỷi ra ta ủửụùc: x = - 50 (loaùi) ; x = 60

ẹaựp soỏ : Vaọn toỏc oõtoõ thửự nhaỏt : 60 km/h

Vaọn toỏc oõtoõ thửự hai: 50 km/h

Baứi 2 : Một ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc 50 km/h Sau khi đi đợc 2/3 quãng đờng với

vận tốc đó, vì đờng khó đi nên ngời lái xe phải giảm vận tốc mỗi giờ 10 km trên quãng đờng còn lại Do đó ô tô đến B chậm 30 phút so với dự định Tính quãng đờng AB

Hửụựng daón : Goùi x laứ quaỷng ủửụứng AB (Km ẹK x > 0)

Theo giaỷ thieỏt cuỷa baứi toaựn ta coự phửụng trỡnh : 3.x40 50 21

50 3

2x + = x + Giaỷi ra ta ủửụùc: x = 300 (tmủk)

Vaọy quaỷng ủửụứng AB laứ : 300km

Baứi 3 : Hai vòi nớc cùng chảy vào bể thì sau 4 giờ 48 phút thì đầy Neỏu chảy cùng một thời gian

nh nhau thì lợng nớc của vòi II bằng 2/3 lợng nớc của vòi I chảy đợc Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì sau bao lâu đầy bể

2y

3 x 1

24

5 y

Đáp số : Vòi 1 chảy một mình đầy bể 8 giờ

Vòi 2 giờ chảy một mình đầy bể mất 12 giờ

Baứi 4 : Một ô tô dự định đi từ A đền B trong một thời gian nhất định Nếu xe chạy với vận tốc 35

km/h thì đến chậm mất 2 giờ Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ Tính quãng

đờng AB và thời gian dự định đi lúc đầu

H

ớng dẫn : Gọi quaỷng ủửụứng AB laứ x (km), thụứi gian dửù ủũnh laứ y(giụứ) ẹK : x > 0, y > 0.