De thi HSG cap truong mon toan lop 7

Cho Δ ABC nhọn.Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C dựng đoạn thẳng AD vuông góc với AB và AD = AB.Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B dựng đoạn thẳng AE vuông góc với AC [r]

(1)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2018-2019 MƠN TỐN - LỚP 7

(Thời gian làm 120 phút) Bài (4,0 điểm)

Cho biểu thức : 99 100

1 99 100

3 3 3

C       

Chứng minh : C <

3 16

Bài (5,0 điểm)

Câu 1: Tìm x, y, z biết : 3x = 4y = 5z – 3x - 4y 2x + y = z - 38 Câu 2: Cho tỉ lệ thức

2

a + b ab

=

c + d cd với a, b, c, d ≠ c ≠ - d

Chứng minh :

a c

=

b d

a d

=

b c

Bài (3,0 điểm)

Câu : Chứng minh với n ngun dương ta ln có 4n + 3 + 4n + 2 - 4n + 1 - 4n chia hết cho 300

Câu : Cho

27 - 2x Q =

12 - x Tìm số nguyên x để Q có giá trị ngun ? Bài (3,0 điểm) Tìm giá trị lớn biểu thức sau

   

2

H = 3x - 2y - 4y - 6x - xy - 24

Bài (5,0 điểm)

Cho Δ ABC nhọn.Trên nửa mặt phẳng bờ AB khơng chứa điểm C dựng đoạn thẳng AD vng góc với AB AD = AB.Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B dựng đoạn thẳng AE vuông góc với AC AE = AC

1) Chứng minh BE = CD

2) Gọi M trung điểm DE, tia MA cắt BC H.Chứng minh MABC 3) Nếu AB = c, AC = b, BC = a Hãy tính độ dài đoạn thẳng HC theo a, b, c ?

(2)

-HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG MƠN TỐN - LỚP NĂM HỌC 2018-2019

Bài (4,0 điểm) Cho biểu thức : 99 100

1 99 100

3 3 3

C       

Chứng minh : C <

3 16

Đáp án Điểm

Biến đổi: 99 100 98 99

1 99 100 99 100

3

3 3 3 3 3 3

C               

  0,25

Ta có

2 98 99 99 100

2 99 100 99 100

3

3 3 3 3 3 3

C C               

   

98 99 99 100

2 99 100 99 100

4

3 3 3 3 3 3

C              

0,25

2 3 99 99 100

2 100 99 100

4

3 3 3 3 3

C            

       

0,25

99 100

1 1 100

4

3 3 3

C       0,25

Đặt 99

1 1

1

3 3

D     

Ta có: 99 98

1 1 1 1

3 3

3 3 3 3

D            

 

0,25

Khi đó: 98 99

1 1 1 1

3 1

3 3 3 3

D D             

   

98 99

1 1 1 1

4 1

3 3 3 3

D           

0,25

  2 98 98 99

1 1 1 1

4 1

3 3 3 3

D             

      0,25

99

4

3

D  0,25

Suy 99

1

D = -

4

 

 

  0,25

99

3

D = -

4 4.3 0,25

Nên ta có 99 100

3 100

4

4 4.3

C  

  0,25

99 100

3 100

4

4 4.3

C  

(3)

99 100

1 100

4 4.3

C  

     

  0,25

99 100

3 25

16 3

C  

0,25

99 100

3 25

- +

16 3

C   

  0,25

Ta có 99 100

1 25

4 3 > nên 99 100

3 25

16 3

 

   

  <

3

16 Vậy C <

16 0,25

Bài (5,0 điểm) Câu 1: (2,5 điểm)

Tìm x, y, z biết : 3x = 4y = 5z – 3x - 4y 2x + y = z – 38

Ta có : 2x + y = z – 38 nên 2x + y – z = – 38

+ Vì 3x = 4y = 5z – 3x – 4y nên 3x = 5z – 3x – 3x

0,25  3x = 5z – 6x  9x = 5z

x z

=

5



x z

=

20 36



(1) 0,25

+ Vì 3x = 4y

x y

=

4



x y

=

20 15



(2) 0,25

Từ (1) (2) suy

x y z

=

20 1536 0,25

Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có :

x y z 2x + y - z -38

= = = -

20 15 36 2.20 + 15 - 36 19

0,25

Do : x

= - x = (-2) 20 = - 40

20  0,25

y

= - y = (-2) 15 = - 30

15  0,25

z

= - z = (-2) 36 = - 72

36  0,25

Vậy x = -40 ; y = -30 ; z = - 72 0,25

(4)

Câu 2: (2,5 điểm) Cho a

2

+b2

c2

+d2=

ab

cd với a, b, c, d 0; c - d Chứng minh

a

b=

c

d a

b=

d c

Ta có:

2

a + b ab

=

c + d cd nên

2

a + b 2ab

=

c + d 2cd

0,25 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có

2 2 2

a + b 2ab a + b + 2ab a + b - 2ab

= =

c + d 2cd c + d + 2cd c + d - 2cd

   

2 2

a + ab + b + ab a - ab + b - ab

=

c + cd + d + cd c - cd + d - cd

         2 2

a + b a - b

=

c + d c - d

 0,25

Suy

2

a + b a - b

c + d c - d

   



   

    

a + b a - b

c + d c - d

a + b b - a

c + d c - d 0,25

+ Với

a + b a - b

c + d c - d a + b c - d = a - b c + d       0,25  ac - ad +bc – bd = ac + ad –bc - bd 0,25  ad = bc 

a c

=

b d 0,25

+ Với

a + b b - a

c + d c - d a + b c - d = b - a c + d       0,25  ac - ad +bc – bd = bc + bd –ac - ad 0,25  ac = bd 

a d

=

b c 0,25

Vậy

2

a + b ab

=

c + d cd với a, b, c, d 0; c - d

a c

=

b d

a d

=

b c 0,25

Bài (3,0 điểm)

Câu 1: (1,0 điểm) Chứng minh với n ngun dương ta ln có 4n + 3 + 4n + 2 - 4n + 1 - 4n chia hết cho 300

Với n nguyên dương, ta có 4n + 3 + 4n + 2 - 4n + 1 - 4n= (4 + - - 1)n 0,25 = (64 + 16 - - 1) = 75 n n 0,25 = 75 = 300 4n - n - 0,25 Mà 300 4n - chia hết cho 300 ( với n nguyên dương )

0,25 Nên 4n + 3 + 4n + 2 - 4n + 1 - 4n chia hết cho 300 ( với n nguyên dương )

(5)

Câu 2: (2,0 điểm) Cho

27 - 2x Q =

12 - x Tìm số ngun x để Q có giá trị nguyên ?

Điều kiện : x Z ; x ≠ 12

0,25 Biến đổi

27 - 2x Q =

12 - x

2.(12 - x) + 3

= = +

12 - x 12 - x

Ta có 2Z; x Z ; x ≠ 12

nên Q có giá trị nguyên

3

12 x có giá trị nguyên

0,25

Mà

3

12 x có giá trị nguyên 12 x  Ư(3) 0,25 Ư(3) = -3; -1; 1; 3 

+ Nếu 12 - x = - x = 15 (thỏa mãn điều kiện) 0,25

+ Nếu 12 - x = -1 x = 13 (thỏa mãn điều kiện) 0,25

+ Nếu 12 - x = x = 11 (thỏa mãn điều kiện) 0,25

+ Nếu 12 - x = x = (thỏa mãn điều kiện) 0,25

Vậy Q có giá trị nguyên x 9; 11; 13; 15   0,25

Bài (3,0 điểm) Tìm giá trị lớn biểu thức sau :    

2

H = 3x - 2y - 4y - 6x - xy - 24

Ta có    

2

H = 3x - 2y - 4y - 6x - xy - 24

       

2 2

= 3x - 2y - 2y - 3x - xy - 24  3x - 2y - 3x - 2y - xy - 24

0,25

 

2

= - 3x - 2y - xy - 24 = - 3x - 2y + xy - 24  2 

Ta có  

2

3 3x - 2y 0

với giá trị x, y 0,25

xy - 24  với giá trị x, y Do  

2

3x - 2y + xy - 24  0 với giá trị x, y 0,25

Nên  

2

- 3x - 2y + xy - 24  0

  với giá trị x, y 0,25

Hay H ≤ với giá trị x, y Dấu ‘‘ = ’’ xảy 3x - 2y 

0,25 xy - 24 0 (1)

+ Với 3x - 2y = 3x = 2y 

x y

=

2 0,25

Đặt

x y

= = k

2 Khi x = 2k ; y = 3k

(6)

Thay x = 2k y = 3k vào (1) ta

2k 3k - 24 = 0,25

6k2 = 24

k2 =  k = k = -2 0,25

+ Với k = x = 2.2 =

y = 3.2 = 0,25

+ Với k = - x = 2.(-2) = -

y = 3.(-2) = - 0,25

Vậy giá trị lớn biểu thức H x = 4; y =

x = - 4; y = - 0,25

Bài (5,0 điểm).

- Nếu hình vẽ sai khơng chấm hình - Nếu câu trước làm sai HS sử dụng kết câu trước để làm câu sau.

1) (1,5 điểm ). Chứng minh : BE = CD

+ Ta có DAC DAB BAC   ( Vì tia AB nằm tia AD AC ) 0,25 Mà BAD 90  0 (Vì ABAD A )

Nên DAC 90  BAC (1)

+ Ta có BAE CAE BAC   ( Vì tia AC nằm tia AB AE )

0,25 Mà CAE 90  0 (Vì AEAC A )

Nên BAE 90  BAC (2)

Từ (1) (2) suy BAE DAC  0,25

Xét ∆ ABE ∆ ADC có : AB = AD (GT)

BAE DAC  (chứng minh trên) AE = AC (GT)

Do ∆ABE = ∆ ADC (c – g - c)

0,50

 BE = CD ( hai cạnh tương ứng) 0,25

(7)

+ Trên tia đối tia MA lấy điểm N cho M trung điểm AN Từ D kẻ DF vng góc với MA F

Xét ∆ MAE ∆ MDN có :

MN = MA (Vì M trung điểm AN ) AME DMN  (chứng minh trên)

ME = MD (Vì M trung điểm DE ) Do ∆ MAE = ∆ MND (c – g - c)

0,25

Suy AE = DN ( hai cạnh tương ứng )

NDM MEA ( hai góc tương ứng )

0,25 Mà NDM MEA ở vị trí so le hai đường thẳng AE DN

Nên AE // DN ( dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song ) 0,25 Suy ADN DAE 180   0 (Vì hai góc phía ) (3)

+ Ta lại có DAE +DAB + BAC + EAC = 360   

0,25 Hay DAE + BAC = 1800 (Vì DAB EAC 90   0 ) (4)

Từ (3) (4)  ADN = BAC

+ Ta có AE = DN (chứng minh trên) AE = AC (GT)

Nên AC = DN 0,25 Xét ∆ ABC ∆ DAN có :

AB = AD (GT )

ADN = BAC (chứng minh trên) AC = DN (chứng minh trên) Do ∆ ABC = ∆ DAN (c – g - c)

0,25 Suy DNA = ACB  ( hai góc tương ứng ) hay DNF = ACB 

Ta có DAF + BAD + BAH = 180   (Vì ba điểm F, A, H thẳng hàng)

Hay DAF + BAH = 90  ( Vì BAD 90  0) (5) 0,25 Trong ∆ ADF vuông F có :

FDA + DAF = 90  ( Vì hai góc phụ ) (6) Từ (5) (6)  FDA = BAH

+ Ta có ADN = NDF + FDA   ( Vì tia DF nằm tia DA DN )

BAC = HAC + BAH   ( Vì tia AH nằm tia AB AC ) 0,25 Mà ADN = BAC  FDA =  BAH (chứng minh trên)

Nên NDF = HAC

Xét ∆ AHC ∆ DFN có :

NDF = HAC (chứng minh trên) AC = DN (chứng minh trên) DNF = ACB  (chứng minh trên) Do ∆ AHC = ∆ DFN (g - c - g)

0,25

Suy DFN = AHC  ( hai góc tương ứng )

0,25 Mà DFN = 90 (Vì DEMA F ) nên AHC 90 

Suy MABC H (đpcm)

(8)

+ MABC H (chứng minh trên) nên ∆ AHB vuông H ∆ AHC vuông H Đặt HC = x  HB = a - x ( Vì H nằm B C )

0,25 + Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vng AHB AHC ta có:

AH2 = AB2 - BH2

AH2 = AC2 - CH2

0,25  AB2 - BH2 = AC2 - CH2  c2 - (a - x)2 = b2 - x2

0,25 Từ tìm HC = x =

2 2

2

a b c

a

 

0,25

Chú ý: Học sinh giải theo cách khác mà cho điểm tương ứng với câu, theo hướng dẫn trên./.