Cho Δ ABC nhọn.Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C dựng đoạn thẳng AD vuông góc với AB và AD = AB.Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B dựng đoạn thẳng AE vuông góc với AC [r]
(1)ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2018-2019 MƠN TỐN - LỚP 7
(Thời gian làm 120 phút) Bài (4,0 điểm)
Cho biểu thức : 99 100
1 99 100
3 3 3
C
Chứng minh : C <
3 16
Bài (5,0 điểm)
Câu 1: Tìm x, y, z biết : 3x = 4y = 5z – 3x - 4y 2x + y = z - 38 Câu 2: Cho tỉ lệ thức
2
2
a + b ab
=
c + d cd với a, b, c, d ≠ c ≠ - d
Chứng minh :
a c
=
b d
a d
=
b c
Bài (3,0 điểm)
Câu : Chứng minh với n ngun dương ta ln có 4n + 3 + 4n + 2 - 4n + 1 - 4n chia hết cho 300
Câu : Cho
27 - 2x Q =
12 - x Tìm số nguyên x để Q có giá trị ngun ? Bài (3,0 điểm) Tìm giá trị lớn biểu thức sau
2
H = 3x - 2y - 4y - 6x - xy - 24
Bài (5,0 điểm)
Cho Δ ABC nhọn.Trên nửa mặt phẳng bờ AB khơng chứa điểm C dựng đoạn thẳng AD vng góc với AB AD = AB.Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B dựng đoạn thẳng AE vuông góc với AC AE = AC
1) Chứng minh BE = CD
2) Gọi M trung điểm DE, tia MA cắt BC H.Chứng minh MABC 3) Nếu AB = c, AC = b, BC = a Hãy tính độ dài đoạn thẳng HC theo a, b, c ?
(2)-HƯỚNG DẪN CHẤM BÀI THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG MƠN TỐN - LỚP NĂM HỌC 2018-2019
Bài (4,0 điểm) Cho biểu thức : 99 100
1 99 100
3 3 3
C
Chứng minh : C <
3 16
Đáp án Điểm
Biến đổi: 99 100 98 99
1 99 100 99 100
3
3 3 3 3 3 3
C
0,25
Ta có
2 98 99 99 100
2 99 100 99 100
3
3 3 3 3 3 3
C C
98 99 99 100
2 99 100 99 100
4
3 3 3 3 3 3
C
0,25
2 3 99 99 100
2 100 99 100
4
3 3 3 3 3
C
0,25
99 100
1 1 100
4
3 3 3
C 0,25
Đặt 99
1 1
1
3 3
D
Ta có: 99 98
1 1 1 1
3 3
3 3 3 3
D
0,25
Khi đó: 98 99
1 1 1 1
3 1
3 3 3 3
D D
98 99
1 1 1 1
4 1
3 3 3 3
D
0,25
2 98 98 99
1 1 1 1
4 1
3 3 3 3
D
0,25
99
4
3
D 0,25
Suy 99
1
D = -
4
0,25
99
3
D = -
4 4.3 0,25
Nên ta có 99 100
3 100
4
4 4.3
C
0,25
99 100
3 100
4
4 4.3
C
(3)99 100
1 100
4 4.3
C
0,25
99 100
3 25
16 3
C
0,25
99 100
3 25
- +
16 3
C
0,25
Ta có 99 100
1 25
4 3 > nên 99 100
3 25
16 3
<
3
16 Vậy C <
16 0,25
Bài (5,0 điểm) Câu 1: (2,5 điểm)
Tìm x, y, z biết : 3x = 4y = 5z – 3x - 4y 2x + y = z – 38
Đáp án Điểm
Ta có : 2x + y = z – 38 nên 2x + y – z = – 38
+ Vì 3x = 4y = 5z – 3x – 4y nên 3x = 5z – 3x – 3x
0,25 3x = 5z – 6x 9x = 5z
x z
=
5
x z
=
20 36
(1) 0,25
+ Vì 3x = 4y
x y
=
4
x y
=
20 15
(2) 0,25
Từ (1) (2) suy
x y z
=
20 1536 0,25
Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có :
x y z 2x + y - z -38
= = = -
20 15 36 2.20 + 15 - 36 19
0,25
Do : x
= - x = (-2) 20 = - 40
20 0,25
y
= - y = (-2) 15 = - 30
15 0,25
z
= - z = (-2) 36 = - 72
36 0,25
Vậy x = -40 ; y = -30 ; z = - 72 0,25
(4)Câu 2: (2,5 điểm) Cho a
2
+b2
c2
+d2=
ab
cd với a, b, c, d 0; c - d Chứng minh
a
b=
c
d a
b=
d c
Đáp án Điểm
Ta có:
2
2
a + b ab
=
c + d cd nên
2
2
a + b 2ab
=
c + d 2cd
0,25 Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có
2 2 2
2 2 2
a + b 2ab a + b + 2ab a + b - 2ab
= =
c + d 2cd c + d + 2cd c + d - 2cd
2 2
2 2
a + ab + b + ab a - ab + b - ab
=
c + cd + d + cd c - cd + d - cd
2 2
a + b a - b
=
c + d c - d
0,25
Suy
2
a + b a - b
c + d c - d
a + b a - b
c + d c - d
a + b b - a
c + d c - d 0,25
+ Với
a + b a - b
c + d c - d a + b c - d = a - b c + d 0,25 ac - ad +bc – bd = ac + ad –bc - bd 0,25 ad = bc
a c
=
b d 0,25
+ Với
a + b b - a
c + d c - d a + b c - d = b - a c + d 0,25 ac - ad +bc – bd = bc + bd –ac - ad 0,25 ac = bd
a d
=
b c 0,25
Vậy
2
2
a + b ab
=
c + d cd với a, b, c, d 0; c - d
a c
=
b d
a d
=
b c 0,25
Bài (3,0 điểm)
Câu 1: (1,0 điểm) Chứng minh với n ngun dương ta ln có 4n + 3 + 4n + 2 - 4n + 1 - 4n chia hết cho 300
Đáp án Điểm
Với n nguyên dương, ta có 4n + 3 + 4n + 2 - 4n + 1 - 4n= (4 + - - 1)n 0,25 = (64 + 16 - - 1) = 75 n n 0,25 = 75 = 300 4n - n - 0,25 Mà 300 4n - chia hết cho 300 ( với n nguyên dương )
0,25 Nên 4n + 3 + 4n + 2 - 4n + 1 - 4n chia hết cho 300 ( với n nguyên dương )
(5)Câu 2: (2,0 điểm) Cho
27 - 2x Q =
12 - x Tìm số ngun x để Q có giá trị nguyên ?
Đáp án Điểm
Điều kiện : x Z ; x ≠ 12
0,25 Biến đổi
27 - 2x Q =
12 - x
2.(12 - x) + 3
= = +
12 - x 12 - x
Ta có 2Z; x Z ; x ≠ 12
nên Q có giá trị nguyên
3
12 x có giá trị nguyên
0,25
Mà
3
12 x có giá trị nguyên 12 x Ư(3) 0,25 Ư(3) = -3; -1; 1; 3
+ Nếu 12 - x = - x = 15 (thỏa mãn điều kiện) 0,25
+ Nếu 12 - x = -1 x = 13 (thỏa mãn điều kiện) 0,25
+ Nếu 12 - x = x = 11 (thỏa mãn điều kiện) 0,25
+ Nếu 12 - x = x = (thỏa mãn điều kiện) 0,25
Vậy Q có giá trị nguyên x 9; 11; 13; 15 0,25
Bài (3,0 điểm) Tìm giá trị lớn biểu thức sau :
2
H = 3x - 2y - 4y - 6x - xy - 24
Đáp án Điểm
Ta có
2
H = 3x - 2y - 4y - 6x - xy - 24
2 2
= 3x - 2y - 2y - 3x - xy - 24 3x - 2y - 3x - 2y - xy - 24
0,25
2
= - 3x - 2y - xy - 24 = - 3x - 2y + xy - 24 2
Ta có
2
3 3x - 2y 0
với giá trị x, y 0,25
xy - 24 với giá trị x, y Do
2
3x - 2y + xy - 24 0 với giá trị x, y 0,25
Nên
2
- 3x - 2y + xy - 24 0
với giá trị x, y 0,25
Hay H ≤ với giá trị x, y Dấu ‘‘ = ’’ xảy 3x - 2y
0,25 xy - 24 0 (1)
+ Với 3x - 2y = 3x = 2y
x y
=
2 0,25
Đặt
x y
= = k
2 Khi x = 2k ; y = 3k
(6)Thay x = 2k y = 3k vào (1) ta
2k 3k - 24 = 0,25
6k2 = 24
k2 = k = k = -2 0,25
+ Với k = x = 2.2 =
y = 3.2 = 0,25
+ Với k = - x = 2.(-2) = -
y = 3.(-2) = - 0,25
Vậy giá trị lớn biểu thức H x = 4; y =
x = - 4; y = - 0,25
Bài (5,0 điểm).
- Nếu hình vẽ sai khơng chấm hình - Nếu câu trước làm sai HS sử dụng kết câu trước để làm câu sau.
1) (1,5 điểm ). Chứng minh : BE = CD
+ Ta có DAC DAB BAC ( Vì tia AB nằm tia AD AC ) 0,25 Mà BAD 90 0 (Vì ABAD A )
Nên DAC 90 BAC (1)
+ Ta có BAE CAE BAC ( Vì tia AC nằm tia AB AE )
0,25 Mà CAE 90 0 (Vì AEAC A )
Nên BAE 90 BAC (2)
Từ (1) (2) suy BAE DAC 0,25
Xét ∆ ABE ∆ ADC có : AB = AD (GT)
BAE DAC (chứng minh trên) AE = AC (GT)
Do ∆ABE = ∆ ADC (c – g - c)
0,50
BE = CD ( hai cạnh tương ứng) 0,25
(7)+ Trên tia đối tia MA lấy điểm N cho M trung điểm AN Từ D kẻ DF vng góc với MA F
Xét ∆ MAE ∆ MDN có :
MN = MA (Vì M trung điểm AN ) AME DMN (chứng minh trên)
ME = MD (Vì M trung điểm DE ) Do ∆ MAE = ∆ MND (c – g - c)
0,25
Suy AE = DN ( hai cạnh tương ứng )
NDM MEA ( hai góc tương ứng )
0,25 Mà NDM MEA ở vị trí so le hai đường thẳng AE DN
Nên AE // DN ( dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song ) 0,25 Suy ADN DAE 180 0 (Vì hai góc phía ) (3)
+ Ta lại có DAE +DAB + BAC + EAC = 360
0,25 Hay DAE + BAC = 1800 (Vì DAB EAC 90 0 ) (4)
Từ (3) (4) ADN = BAC
+ Ta có AE = DN (chứng minh trên) AE = AC (GT)
Nên AC = DN 0,25 Xét ∆ ABC ∆ DAN có :
AB = AD (GT )
ADN = BAC (chứng minh trên) AC = DN (chứng minh trên) Do ∆ ABC = ∆ DAN (c – g - c)
0,25 Suy DNA = ACB ( hai góc tương ứng ) hay DNF = ACB
Ta có DAF + BAD + BAH = 180 (Vì ba điểm F, A, H thẳng hàng)
Hay DAF + BAH = 90 ( Vì BAD 90 0) (5) 0,25 Trong ∆ ADF vuông F có :
FDA + DAF = 90 ( Vì hai góc phụ ) (6) Từ (5) (6) FDA = BAH
+ Ta có ADN = NDF + FDA ( Vì tia DF nằm tia DA DN )
BAC = HAC + BAH ( Vì tia AH nằm tia AB AC ) 0,25 Mà ADN = BAC FDA = BAH (chứng minh trên)
Nên NDF = HAC
Xét ∆ AHC ∆ DFN có :
NDF = HAC (chứng minh trên) AC = DN (chứng minh trên) DNF = ACB (chứng minh trên) Do ∆ AHC = ∆ DFN (g - c - g)
0,25
Suy DFN = AHC ( hai góc tương ứng )
0,25 Mà DFN = 90 (Vì DEMA F ) nên AHC 90
Suy MABC H (đpcm)
(8)+ MABC H (chứng minh trên) nên ∆ AHB vuông H ∆ AHC vuông H Đặt HC = x HB = a - x ( Vì H nằm B C )
0,25 + Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vng AHB AHC ta có:
AH2 = AB2 - BH2
AH2 = AC2 - CH2
0,25 AB2 - BH2 = AC2 - CH2 c2 - (a - x)2 = b2 - x2
0,25 Từ tìm HC = x =
2 2
2
a b c
a
0,25
Chú ý: Học sinh giải theo cách khác mà cho điểm tương ứng với câu, theo hướng dẫn trên./.