Chứng minh rằng với mọi số thực m, hàm số đã cho luôn có cực đại,cực tiểu; đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số luôn nằm trên hai đường thẳng cố định2. Câu II (2 điể[r]
(1)SỞ GD& ĐT HÀ NỘI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC ĐỢT I NĂM HỌC 2009 – 2010
TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN MƠN TỐN – KHỐI A
- Thời gian làm bài: 180 phút ( không kể thời gian phát đề ) ===========================================
Ngày thi: 11 – – 2010. A PHẦN CHUNG ( Dành cho tất thí sinh)
Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x3 – 3x + (C)
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số
2 Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng (d) có phương trình y = - 3x + cho từ M kẻ hai tiếp tuyến đến đồ thị (C) hai tiếp tuyến vng góc với
Câu II (2 điểm)
Giải hệ phương trình:
¿
√
x2+2+√
y2+3+x+y=5√
x2+2+
√
y2+3− x − y=2¿{
¿
Giải phương trình + sin x – cos x – sin 2x + cos 2x = Câu III (1 điểm) Tính tích phân:
∫
0
dx
1+
√
1− x2Câu IV (1 điểm) Cho khối chóp S.ABC có SA = a, SB = b, SC = c, ∠ ASB = 600 , ∠ BSC = 900 , ∠ CSA = 1200 Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Câu V (1 điểm) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện : ab + bc + ca = 2abc
Chứng minh rằng:
2a −1¿2 ¿
2b −1¿2 ¿
2c −1¿2
c¿
b¿
a¿
1
¿
1
B PHẦN TỰ CHỌN ( Mỗi thí sinh chọn hai phần: Phần Phần 2) Phần 1:
Câu VI a (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng ( Δ ): x + y – = 0, điểm A( 0; - 1), B(2;1) Tứ giác ABCD hình thoi có tâm nằm ( Δ ) Tịm tọa độ điểm C, D
2 Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A(0;0;2) đường thẳng ( Δ ) có phương trình tham số: x = 0; y = t; z = Điểm M di động trục hoành, điểm N di động ( Δ ) cho: OM + AN = MN Chứng minh đường thẳng MN tiếp xúc với mặt cầu cố định
Câu VII a (1 điểm) Tìm giá trị a thỏa mãn: 3x + (a – 1).2x + (a – 1) > 0, ∀x∈R Phần 2:
Câu VI b (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC trọng tâm G(
3;−
3 ), đường tròn qua
trung điểm cạnh có phương trình x2 + y2 – 2x + 4y = Hãy tìm phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
2 Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai điểm A(1; - 2; 3), B(2; - 1;2) đường thẳng ( Δ ):
x 1=
y −1
2 =
z −6
(2)Câu VII b (1 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
|
z −1z −3
|
= 1,|
z −2iz+i
|
=-Hết -Hướng dẫn giải:
Câu I:
1. Tự làm
2. Gọi M(a;b) điểm cần tìm M thuộc (d) nên b = -3a +
Tiếp tuyến đồ thị ( C) điểm (x0;y0) là: y = (3x02 – 3)(x – x0) + x03 – 3x0 +2.
Tiếp tuyến qua M(a;b) ⇔ - 3a + = (3x02 – 3)( a – x0) + x03 – 3x0 + ⇔ 2x03 – 3ax02 = ⇔ x0 = x0 = 3a/2
Có hai tiếp tuyến qua M với hệ số góc k1 = f ’(0) = -3 k2 =f ‘(3a/2) = 27a2
4 -
Hai tiếp tuyến vng góc với ⇔ k1.k2 = - ⇔ a2 = 40/81 ⇔ a = ±2
√
109
Vậy có hai điểm thỏa mãn đề là: M( ±2
√
109 ; ∓
2
√
103 +2 )
Câu II:
1. Cộng trừ vế hai phương trình hệ ta hệ tương đương: ¿
√
x2+2+√
y2+3=7 x+y=32
¿{
¿
⇔
y=3 2− x
2− x¿
2 +3 ¿ ¿7 ¿ ¿ ¿
√
x2+2+√¿⇔ … ⇔
(x ; y)=(1 2;1)
¿
(x ; y)=(17 20; 13 20) ¿ ¿ ¿ ¿ 2. Phương trình ⇔ ( – sin2x) + ( sinx – cosx) + ( cos2x – sin2x) =
⇔ ( sinx – cosx).[(sinx – cosx) + – (sinx + cosx)] = ⇔ ( sinx – cosx).( – 2cosx) =
⇔
tanx=1
¿
cosx=1 ¿ ¿ ¿ ¿ ⇔ x=π
4+k.π
¿
x=±π
3+l.π
¿ ¿ ¿ ¿
( k,l Z)
Câu III: Đặt x = sint với t [−π 2;
π
2] Ta có:dx = costdt
√
1− x2=√
1−sin2t=√
cos2t =|cost| = costĐổi cận: Với x =0 t = 0; Với x = t = π2 Từ đó:
∫
0
dx
1+
√
1− x2=∫
0π2
cos tdt
1+cost =
∫
0π2
2 coss2(t/2)−1
2 coss2(t/2) dt =
∫
0π2
dt−
∫
0
π2
d(t/2)
cos2(t/2) =( t – tan (t/2) ) | ❑0
π2 = π2 -1
Câu IV: Tự vẽ hình.
(3)Tam giác SAB’ cạnh a nên AB’ = a Tam giác SBC’ vuông cân S nên B’C’ = a
√
2 Tam giác SC’A cân S có ∠ C’SA = 1200 nên C’A = a√
3 Suy AB’2 + B’C’2 = C’A2 hay tam giác AB’C’ vuông B’ ⇒ diện tích tam giác AB’C’ = a2√
22
Hạ SH mp(AB’C’) ⇒ HA = HB’ =HC’ ⇒ H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AB’C’ ⇒ H trung điểm C’A ⇒ SH = SA Sin 300 = a/2.
Thể tích khối chóp S.AB’C’ là: V’ =
3 a2
√
22
a 2=
a3
√
212 Áp dụng công thức: VS ABC
VS AB'
C '
=SB
SB' SC SC'
Tính được: VS.ABC = abc
√
212
Câu V Đặt x = 1a , y = 1b , z = 1c ta có x,y,z số dương thỏa mãn x + y + z =
Ta có: a(2a – 1)2 =
2 x−1¿
2
1 x¿
=
y+z¿2 ¿ ¿ ¿
Từ đó:
: P =
2a −1¿2 ¿
2b −1¿2 ¿
2c −1¿2
c¿
b¿
a¿
1
¿
=
y+z¿2 ¿
z+x¿2 ¿
x+y¿2 ¿ ¿ ¿
x3
¿
Áp dụng bất đẳng thức Cô si có:
y+z¿2 ¿ ¿
x3 ¿
(1)
Tương tự:
z+x¿2 ¿ ¿
y3
¿
(2)
x+y¿2 ¿ ¿
z3
¿
(3)
Cộng vế (1), (2), (3) ước lược được: P
4 (x + y + z) =
2
Đẳng thức xảy ⇔ x = y = z = 2/3 ⇔ a = b = c = 3/2 Câu VIa:
1. Gọi I(a;b) tâm hình thoi.Vì I Δ nên a + b – = hay b = – a (1)
Ta có: ⃗AI (a;b+1) ⃗BI (a – 2;b – 1) mà ABCD hình thoi nên AI BI suy :
(4)TH1: Với a = I(0;1) Do I trung điểm AC BD nên áp dụng công thức tọa độ trung điểm, ta có:
¿
xC=2xI− xA=0
yC=2yI− yA=2
¿{
¿
¿
xD=2xI− xB=−2
yD=2yI− yB=1
¿{
¿
; C(0;2) D(-2;1) TH2: Với a = I(2;-1) Tương tự ta được: C(4;-1) D(2;-3)
Vậy có hai cặp điểm thỏa mãn: C(0;2) D(-2;1) C(4;-1) D(2;-3)
2. Dễ dàng chứng minh OA đoạn đường vng góc chung hai đường thẳng Δ Ox (là hai đường thẳng chéo vng góc với nhau) Từ MN tiếp xúc với mặt cầu đường kính OA OM + AN = MN
Vậy OM + AN = MN MN tiếp xúc với mặt cầu đường kính OA cố định (Phương trình mặt cầu là: x2 + y2 + ( z – 1)2 = 1).
Câu VIIa: 3x + (a – 1).2x + (a – 1) > ⇔ 3x > (1 –a).( 2x +1) ⇔
x
2x
+1 > – a (*)
Xét hàm số: f(x) =
x
2x
+1 với x R Ta có: f ‘ (x) =
2x+1¿2 ¿
3x.(2x+1) ln 3−2x.3x ln 2
¿
> với x
Hàm số đồng biến., mà: x →− ∞lim f(x) = Bất đẳng thức (*) với x ⇔ – a
⇔ a
Vậy đáp số: a
SỞ GD& ĐT HÀ NỘI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC ĐỢT I NĂM HỌC 2009 – 2010
TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN MƠN TỐN – KHỐI D
- Thời gian làm bài: 180 phút ( không kể thời gian phát đề ) ===========================================
Ngày thi: 18 – – 2010. A PHẦN CHUNG (Dành cho tất thí sinh).
Câu I ( điểm) Cho hàm số y = x3 + 3mx2 + 3(m2 – 1)x + m3 – 3m Khảo sát hàm số với m =
2 Chứng minh với số thực m, hàm số cho ln có cực đại,cực tiểu; đồng thời điểm cực đại cực tiểu đồ thị hàm số nằm hai đường thẳng cố định
Câu II (2 điểm)
1 Giải phương trình: cosx −2 sinxcosx
2 cos2x+sinx −1 =
√
3 Giải hệ phương trình:¿
x(y3−2)=3 x3(3y+2)=1
¿{
¿
Câu III (2 điểm) Cho đường trịn tâm O, bán kính R Xét hình chóp S.ABCD có đáy ABCD tứ giác tùy ý nội tiếp đường tròn (O) mà AC BD vng góc với nhau; đỉnh A S cố định,SA = h; SA (ABCD)
1 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
2 Đáy ABCD hình thể tích hình chóp đạt giá trị lớn nhất? Câu IV (1 điểm) Tìm giới hạn: lim
x→0
2
√
x+1−√
38− xx
Câu V ( điểm) Tính góc tam giác ABC nếu: ( cos2A + cos2B – cos2 C) = 5.
B PHẦN TỰ CHỌN ( Mỗi thí sinh chọn hai phần: Phần hoặc Phần 2).
(5)Câu VIa (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường tròn: (C1): x2 + y2 – 4y – = 0; (C2): x2 + y2 – 6x + 8y + 16 = Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường trịn (C1); (C2) Câu VIIa (1 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn: z2 – 2(2 + i)z + (7 + 4i) = 0. Phần 2:
Câu VIb (1 điểm) Cho tứ diện OABC có cạnh OA, OB, OC đơi vng góc Gọi α , β , γ
góc mặt phẳng (ABC) mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) Chứng minh : cos α + cos β + cos γ
√
3Câu VIIb (1 điểm) Tìm tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z biết: | z – i| + | z + i| =
SỞ GD& ĐT HÀ NỘI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC ĐỢT II NĂM HỌC 2009 – 2010
TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN MƠN TỐN – KHỐI A
- Thời gian làm bài: 180 phút ( không kể thời gian phát đề ) ===========================================
Ngày thi: – – 2010. A PHẦN CHUNG ( Dành cho tất thí sinh)
Câu I (2 điểm)
Cho hàm số y = f(x) = (m+2)x −(m+1)
x −1 ( với m tham số)
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m =
2 Tìm m để đồ thị hàm số cho khơng có tiếp tuyến qua gốc tọa độ O Câu II (2 điểm)
Giải phương trình tập hợp số thực:
√
x2+3x −3 +√
x2+8=4Tìm nghiệm đoạn [0; π ] phương trình: 2cos3x + sinx.cosx + = 2( sinx + cosx). Câu III (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét tam giác ABC có A(1;5), đường thẳng BC có phương trình x – 2y – = 0, điểm I(1;0) tâm đường tròn nội tiếp Hãy tìm tọa độ đỉnh B,C
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + 2y – z = Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua gốc tọa độ điểm A(2;2;2) đồng thời tạo với mặt phẳng (P) góc 450. Câu IV (1 điểm)
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có AB = a, AA’ = a
√
2 Gọi M, N trung điểm cạnh AB, A’C’; mặt phẳng (P) qua M, N vng góc với mặt phẳng (BCC’B’) Tính diện tích thiết diện lăng trụ cắt mặt phẳng (P)B PHẦN TỰ CHỌN ( Mỗi thí sinh chọn hai phần: Phần Phần 2) Phần 1:
Câu V a (2 điểm)
1 Tính tích phân: I =
∫
−1
(6)2 Giải hệ:
¿
√
log22x −2=log2 y −1log22x −log 2y ≥1 ¿{
¿ Câu VI a (1 điểm)
Từ chữ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số tự nhiên gồm chữ số khác cho hai chữ số chẵn đứng cạnh khơng có hai chữ số lẻ đứng cạnh nhau?
Phần 2:
Câu V b (2 điểm)
1 Biết
√
x −1+√
y −2=x+y3 Tịm giá trị nhỏ biểu thức M = x+2+
1 y+1
2 Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo thành quay quanh trục tung hình phẳng giới hạn bới đường: y = x; y = x2.
Câu VI b (1 điểm)