TRNG I HC VINH TRNG THPT CHUYấN KHO ST CHT LNG LP 12 LN CUI - NM 2013 Mụn: TON; Thi gian lm bi: 180 phỳt I. PHN CHUNG CHO TT C TH SINH (7,0 im) Cõu 1 (2,0 im). Cho hm s . 2 1 x x y a) Kho sỏt s bin thiờn v v th (H) ca hm s ó cho. b) Gi I l giao im hai ng tim cn ca (H). Vit phng trỡnh tip tuyn d ca (H) ti im M tha món IM vuụng gúc vi d. Cõu 2 (1,0 im). Gii phng trỡnh . 2 cos 2 sin)cos23( 2 cos)2cos3( xx x x x Cõu 3 (1,0 im). Gii h phng trỡnh ).,( 1233 )2(84 22 yx yyx xxyxy Cõu 4 (1,0 im). Tớnh tớch phõn .d 4 1 0 2 3 x x x I Cõu 5 (1,0 im). Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy l hỡnh ch nht, 5.AD a Tam giỏc SAB nm trong mt phng vuụng gúc vi ỏy, ,SA a , 2 a SB 0 120 .ASB Gi E l trung im ca AD. Tớnh th tớch khi chúp S.ABCD v tớnh bỏn kớnh mt cu ngoi tip t din SBCE theo a. Cõu 6 (1,0 im). Cho cỏc s dng a, b phõn bit tha món .122 2 ba Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc . )(8 544 244 baba P II. PHN RIấNG (3,0 im) Thớ sinh ch c lm mt trong hai phn (phn a hoc phn b) a. Theo chng trỡnh Chun Cõu 7.a (1,0 im). Trong mt phng vi h ta Oxy, cho tam giỏc ABC cú 1; 3 ,A 5;1 .B im M nm trờn on thng BC sao cho 2 .MC MB Tỡm ta im C bit rng 5MA AC v ng thng BC cú h s gúc l mt s nguyờn. Cõu 8.a (1,0 im). Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai mt phng : 0,x y z : 2 2 0.x y z Vit phng trỡnh mt cu S cú tõm thuc , cú bỏn kớnh bng 3, tip xỳc vi ti M, bit rng im M thuc .Oxz Cõu 9.a (1,0 im). Tỡm s phc z tha món .||)1( )1( 1 zi zi i z b. Theo chng trỡnh Nõng cao Cõu 7.b (1,0 im). Trong mt phng vi h ta Oxy, cho tam giỏc ABC cõn ti A, cú trc tõm 3;2 .H Gi D, E l chõn ng cao k t B v C. Bit rng im A thuc ng thng : 3 3 0,d x y im 2;3F thuc ng thng DE v 2.HD Tỡm ta im A. Cõu 8.b (1,0 im). Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai im 1;3;2 ,A 3;2;1B v mt phng : 2 2 11 0.P x y z Tỡm im M trờn P sao cho 2 2MB v 0 30 .MBA Cõu 9.b (1,0 im). Tỡm s nguyờn dng n tha món . 2013 1 12 2 5 4 4 3 3 2 2 1 2 2 4 2 3 2 2 2 1 2 n nnnnn C n n CCCC Ht Ghi chỳ: BTC s tr bi vo cỏc ngy 22, 23/6/2013. Khi nhn bi thi, thớ sinh phi np li Phiu d thi. Chúc các em học sinh đạt kết quả cao trong Kỳ thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng năm 2013! WWW.VNMATH.COM 1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐÁP ÁN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12 LẦN CUỐI - NĂM 2013 Môn: TOÁN; Thời gian làm bài: 180 phút Câu Đáp án Điểm a) (1,0 điểm) 1 0 . Tập xác định: }.2{\ 2 0 . Sự biến thiên: * Giới hạn tại vô cực: Ta có 1lim y x và .1lim y x Giới hạn vô cực: y x )2( lim và .lim )2( y x Suy ra đồ thị (H) có tiệm cận ngang là đường thẳng ,1 y tiệm cận đứng là đường thẳng .2 x * Chiều biến thiên: Ta có .2,0 )2( 1 ' 2 x x y Suy ra hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng 2; và .;2 0,5 * Bảng biến thiên: 3 0 . Đồ thị: Đồ thị cắt Ox tại ,0;1 cắt Oy tại ); 2 1 ;0( nhận giao điểm )1;2(I của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng. 0,5 b) (1,0 điểm) Gọi 2, 2 1 ; 0 0 0 0 x x x xM là tiếp điểm. Khi đó phương trình tiếp tuyến tại M là 2 1 )( )2( 1 : 0 0 0 2 0 x x xx x yd , hay .0)22()2(: 0 2 0 2 0 xxyxxd Suy ra VTCP của d là 1;)2( 2 0 xu d . Ta có )1;2(I nên 2 1 ;2 0 0 x xIM . 0,5 Câu 1. (2,0 điểm) Do đó IM vuông góc với d 0. d uIM 1)2(0 2 1 )2( 4 0 0 3 0 x x x .1 3 0 0 x x Với ,3 0 x phương trình tiếp tuyến là 2)3( xy hay .5 x y Với ,1 0 x phương trình tiếp tuyến là )1( xy hay .1 x y Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn bài toán là 5 x y và .1 x y 0,5 Câu 2. (1,0 điểm) Phương trình đã cho tương đương với 2 sin 2 sin)cos23( 2 cos)2cos3( xx x x x 02sinsin. 2 cos 0 2 sin 2 cos2 2 cos)sin2( 0 2 sin)cos22( 2 cos)sin24( 2 22 2 xx x xxx x x x x x 0,5 x 'y y 2 1 1 x O y I 1 2 1 2 1 WWW.VNMATH.COM 2 .2 2 2 2 2 22 1sin 0 2 cos kx kx kx k x x x Vậy nghiệm của phương trình là .,2 2 ,2 kkxkx 0,5 Điều kiện: . 2 1 012 yy Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với .2 4 0)2)(4( 2 2 yx x xyx Với ,4 x thế vào phương trình thứ hai ta được )12(9)1( 1 1231 2 yy y yy )12(9)1( 1 2 yy y .10310 10310 1 01020 1 2 y y y yy y 0,5 Câu 3. (1,0 điểm) Với ,2 2 yx thế vào phương trình thứ hai ta được .1235 2 yyy (*) Áp dụng BĐT Côsi ta có (*).123)12(525)12(5)12()1((*) 2 VPyyyyyyVT Do đó phương trình (*) vô nghiệm. Vậy nghiệm của hệ là .10310,4 yx 0,5 Đặt .dd44 222 ttxxtxxt Khi ,20 t x khi .31 tx Suy ra 3 2 2 )d( 4 tt t t I 0,5 Câu 4. (1,0 điểm) .33 3 16 3 4)d4( 3 2 3 2 3 2 t ttt 0,5 Áp dụng định lý côsin trong tam giác SAB 2 2 2 2 0 7 2 120 4 2 4 2 7 . . .cos . a a a a AB a a AB Kẻ SH AB tại H. Vì SAB ABCD nên .SH ABCD Ta có 0 2 . .sin120 21 . 14 SAB S SA SB a SH AB AB Suy ra 3 1 21 7 15 . . . 5 . 3 14 2 12 SABCD a a a V a 0,5 Câu 5. (1,0 điểm) Vì ,BC AB BC SH nên .BC SAB Do đó 0 90CBS (1) Áp dụng định lý Pitago trong các tam giác vuông CED, SAE, SBC ta có 2 2 2 2 2 2 7 5 12 4 4 4 a a a CE CD DE , 2 2 2 2 2 2 5 9 4 4 a a SE SA AE a , 2 2 2 2 2 2 21 5 4 4 a a SC SB BC a . Từ đó suy ra 2 2 2 .SC SE CE Do đó 0 90CES (2) Từ (1) và (2) suy ra tứ diện SBCE nội tiếp mặt cầu đường kính SC. Do đó mặt cầu này có tâm là trung điểm của SC, có bán kính bằng 21 . 2 4 SC a R 0,5 S A B C D E a 5a 2 a H 120 0 WWW.VNMATH.COM 3 Từ giả thiết và áp dụng BĐT Côsi ta có .2.42242)4(16 2 bababa Suy ra 80 ab . Do đó 244 22 244 )(8 5 . 8 44 64 )(8 544 ba ab ba ba baba P . 2 1 . 64 5 16 1 2 2 2 2 a b b a a b b a Đặt . a b b a t Khi đó 2 t và . 8 1 2 1 . 64 5 16 1 2 1 . 64 5 )2( 16 1 22 t t t tP 0,5 Câu 6. (1,0 điểm) Xét hàm 8 1 2 1 . 64 5 16 1 )( 2 t ttf trên ).;2( Ta có , 2 5 8 5 )2(0)('; )2( 1 . 64 5 8 1 )(' 2 2 ttttf t ttf vì .2t Vì )(lim)(lim 2 tftf t t nên . 64 27 2 5 )(min );2( ftf Suy ra , 64 27 P dấu đẳng thức xảy ra khi .4,2 ba Vậy giá trị nhỏ nhất của P là , 64 27 đạt được khi .4,2 ba 0,5 Gọi H là trung điểm MC. Khi đó AH BC và .BM MH HC x Áp dụng định lý Pitago trong các tam giác vuông ABH, AMH ta có 2 2 2 2 2 2 4 2 52 3 25 AH AH x AB x AH x AM Gọi phương trình đường thẳng BC là 2 2 5 1 0 0 .a x b y a b Ta có 2 2 06 4 ; 4 4 5 12 0 5 12 0 aa b d A BC a a b a b a b 0,5 Câu 7.a (1,0 điểm) Với 0,a đường thẳng BC có hệ số góc 0k (thỏa mãn). Khi đó : 1.BC y Với 5 12 0,a b đường thẳng BC có hệ số góc 5 12 k (không thỏa mãn). Ta có 2 2 ; 5 : 1 3 25.A R x y Khi đó tọa độ của C và M là nghiệm của hệ phương trình 2 2 1 2;1 , 4;1 4;1 , 2;1 1 3 25 y C M C M x y Vì M nằm trên đoạn thẳng BC nên 4;1 .C 0,5 Vì ;0; .M Oxz M a b Mặt khác 2 2 ;0; .M a b M b b Gọi I là tâm của .S Khi đó 2 : 2 ; 2 ; 2 . 1 2 2 x b y z b IM I b t t b t 0,5 Câu 8.a (1,0 điểm) Vì ;2 ;3 .I t b I b b b Ta có 9 ; 3 1. 3 b R d I b Với 2 2 2 1 : 1 2 3 9.b S x y z Với 2 2 2 1 : 1 2 3 9.b S x y z 0,5 1; 3A A 5;1B C H M x x x 5 5 WWW.VNMATH.COM 4 Đặt .0,,, 22 yxyxyixz Ta có ziz i i zzzi zi i z )1(|| 1 1 ||)1( )1( 1 )2(.1 0 )1(0 11 )( 22 22 22 22 2222 2222 yxyx xy yx yxyx yxyx yxyx yxyxyx iyxyxyxiyx 0,5 Câu 9.a (1,0 điểm) Với ,0 x ta có ,11)2( 2 yyy thỏa mãn (1). Suy ra .i z Với ,0 y ta có ,11)2( 2 xxx không thỏa mãn (1). Vậy .i z 0,5 Ta có 2 2 2 3 2 4 D D HD x y 2 2 6 4 9 0 D D D D x y x y (1) Vì 3 3; .A d A m m Ta có . 0AD HD AD HD 3 3 . 3 . 2 0 D D D D x m x y m y 2 2 3 2 7 9 0 D D D D x y mx m y m (2) 0,5 Câu 7.b (1,0 điểm) Lấy (1) trừ (2) vế theo vế ta được 6 3 2 7 18 0 D D m x m y m (3) Hoàn toàn tương tự ta có 6 3 2 7 18 0 E E m x m y m (4) Từ (3) và (4) suy ra đường thẳng DE có phương trình 6 3 2 7 18 0.m x m y m Vì 2;3 0.F DE m Do đó 3;0 .A 0,5 Nhận thấy , , 6.A P B P AB Áp dụng định lý côsin trong tam giác MAB ta có 2 2 2 0 2. . .cos30 2.MA MB BA MB MA Suy ra 2 2 2 .MB MA AB Do đó tam giác MAB vuông tại A. 0,5 Câu 8.b (1,0 điểm) Ta có , 0; 5;5 . AM P u AB n Do đó 1 : 3 1;3 ;2 . 2 x AM y t M t t z t Ta có 2 2 2 2 2 1.MA t t t Với 1 1;2;3 .t M Với 1 1;4;1 .t M 0,5 Áp dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn ta có ., 11 22 2 22 2 1 2 2 xxCxCxCx nn nnn n Lấy đạo hàm hai vế ta được .,2 3212 122 2 23 2 2 2 1 2 12 xxnCxCxCCxn nn nnnn n Suy ra .,2 3212 22 2 33 2 22 2 1 2 12 xxnCxCxCxCxnx nn nnnn n Lấy tích phân trên 0;1 hai vế của đẳng thức ta được 0 1 22 2 33 2 22 2 1 2 0 1 12 d2 32d12 xxnCxCxCxCxxnx nn nnnn n 0,5 Câu 9.b (1,0 điểm) . 12 2 4 3 3 2 2 1 )1( 12 )1(2 1 0 122 2 43 2 32 2 21 2 1 0 2 12 nn nnnn n n xC n n xCxCxCx n xn Suy ra . 12 1 12 2 5 4 4 3 3 2 2 1 2 2 4 2 3 2 2 2 1 2 n C n n CCCC n nnnnn Theo bài ra ta có .1006 2013 1 12 1 n n 0,5 A C : 3 3 0d x y B 2;3F D E H 2 WWW.VNMATH.COM . 21 . 2 4 SC a R 0,5 S A B C D E a 5a 2 a H 120 0 WWW.VNMATH.COM 3 Từ giả thi t và áp dụng BĐT Côsi ta có .2 .42 242 )4( 16 2 bababa Suy ra 80 ab . Do đó 244 22 244 )(8 5 . 8 44 64 )(8 544 ba ab ba ba baba P . trong Kỳ thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng năm 2013! WWW.VNMATH.COM 1 TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐÁP ÁN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12 LẦN CUỐI - NĂM 2013 Môn: TOÁN; Thời. vuông CED, SAE, SBC ta có 2 2 2 2 2 2 7 5 12 4 4 4 a a a CE CD DE , 2 2 2 2 2 2 5 9 4 4 a a SE SA AE a , 2 2 2 2 2 2 21 5 4 4 a a SC SB BC a . Từ đó suy ra 2