Đang tải... (xem toàn văn)
thành ở học sinh tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo, nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện khả năng vận dụng kiến thức vào hoạt động thực tiễn, rèn luyện nếp nghĩ k[r]
(1)Tên đề tài :
MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG ĐẠI SỐ
LỚP 8
I- LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI :
Trong trường phổ thơng mơn Tốn có vị trí quan trọng Các kiến thức phương pháp Tốn học cơng cụ thiết yếu giúp học sinh học tốt mơn học khác, hoạt động có hiệu lĩnh vực Đồng thời mơn Tốn giúp học sinh phát triển lực phẩm chất trí tuệ; rèn luyện cho học sinh khả tư tích cực, độc lập, sáng tạo; giáo dục cho học sinh tư tưởng đạo đức thẩm mỹ người cơng dân
Ở trưịng THCS, dạy học Tốn: với việc hình thành cho học sinh hệ thống vững khái niệm, định lí; việc dạy học giải tốn có tầm quan trọng đặc biệt vấn đề trung tâm phương pháp dạy học Tốn trường phổ thơng Đối với học sinh THCS, coi việc giải tốn hình thức chủ yếu việc học tốn
Cùng với việc hình thành cho học sinh hệ thống vững kiến thức để học sinh vận dụng vào làm tập việc bồi dưỡng học sinh giỏi mục tiêu quan trọng ngành giáo dục nói chung bậc học THCS nói riêng Do việc hướng dẫn học sinh kĩ tìm tịi sáng tạo q trình giải tốn cần thiết khơng thể thiếu
(2)với em học sinh bậc học này.Ở THPT để giải toán cực trị đại số người ta thường dùng đến "cơng cụ cao cấp" tốn học là: đạo hàm hàm số Ở THCS, khơng có (hay nói xác khơng phép dùng) "cơng cụ cao cấp" Tốn học nói trên, nên người ta phải cách giải thông minh nhất, tìm biện pháp hữu hiệu phù hợp với trình độ kiến thức bậc học THCS để giải quết tốn loại Chính vậy, tốn cực trị đại số THCS không theo quy tắc khuôn mẫu cả, địi hỏi người học phải có cách suy nghĩ logic sáng tạo, biết kết hợp kiến thức cũ với kiến thức cách logic có hệ thống
Trên thực tế giảng dạy Toán 8-9 năm qua tơi nhận thấy: phần "Các tốn cực trị đại số" phần trọng tâm việc bồi dưỡng học sinh giỏi trường THCS Thế thực trạng học sinh trường trường dạy là: học sinh khơng có hứng thú với loại tốn này, lẽ toán cực trị đại số trường THCS không theo phương pháp định nên em lúng túng làm toán cực trị, em không theo hướng Hầu hết học sinh ngại gặp toán cực trị vận dụng để giải tập khác
Thực trạng khiến tơi ln băn khoăn suy nghĩ: "Làm để học sinh khơng thấy ngại có hứng thú với loại tốn này" Với trách nhiệm người giáo viên thấy cần giúp em học tốt phần
(3)thành học sinh tư tích cực, độc lập, sáng tạo, nâng cao lực phát giải vấn đề, rèn luyện khả vận dụng kiến thức vào hoạt động thực tiễn, rèn luyện nếp nghĩ khoa học mong muốn làm việc đạt kết cao nhất, tốt
II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU. 1/ Thuận lợi :
- Ln trau giồi học hỏi, dự giờ, góp ý , rút kinh nghiệm từ đồng nghiệp
- Có hỗ trợ động viên BGH nhà trường tổ chun mơn - Mạng thơng tin internet có kho tàng kiến thức khổng lồ
2/ Khó khăn :
- HS hệ bán công yếu nhiều kiến thức, kỹ , ý thức học tập không cao Thiếu niềm tin học tập
- Đa số HS thiếu tảng kiến thức Tư , suy luận không cao 3/ Điều tra bản:
Trước thực trạng điều tra học sinh qua khảo sát chất lượng đầu năm, kết cho thấy
Năm Lớp Sỉ số GiỏiSL % KháSL % TBSl % Yếu- kémSL %
2009-2010
8.3 43 02 4,7 08 19,0 25 58,1 18,6
8.5 40 01 2,5 09 22,5 23 57,5 17,5
2010-2011
8.3 42 01 2,4 08 19,0 26 61,9 16,6
8.5 40 01 2,5 10 25,0 22 55,0 17,5
(4)III- NỘI DUNG ĐỀ TÀI:
A/ Cơ sở lý luận:
1/ Đối với học sinh : nhận chuyên môn phân cơng dạy tốn tiết cảm thấy hụt hẩng trước cách học học sinh
Để thống kê lực tiếp thu học sinh tơi dùng nhiều hình thức phát vấn trắc nghiệm rút tượng bật học sinh trả lời rõ ràng mạch lạc mang tính chất học vẹt chấp hành nguyên bản, trình dạy để kiểm tra việc thực hành ứng dụng học sinh tơi đưa số ví dụ học sinh lúng túng không biết chứng minh
2/ Đối với giáo viên :
Vấn đề đổ lỗi cho tất học sinh người giáo viên người chủ động, chủ đạo kiến thức, tuân theo SGK mà dạy, tốn địi hỏi học sinh phải tư tốt phải thâu tóm kiến thức học để tận dụng vào làm tập
Đơi giáo viên áp đặt gị bó em phải thê này, phải mà không đưa thực tế để em nhìn nhận vấn đề
Về phía học sinh cảm thấy khó tiếp thu dạng tốn mà em gặp lí mà người thầy phải tìm PP phù hợp để học sinh có hứng học, bước đầu học sinh làm quen với dạng toán “ Toán Cực chỉ” nên cảm thấy mơ hồ phân vân sai lại phải làm Nếu khơng biến đổi có tìm kết khơng Từ băn khoăn học sinh giáo viên khẳng định không biến đổi khơng trả lời u cầu tốn
Sau xin đưa một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải bài toán cực trị đại số 8
B Nội dung
Khái niệm về cực trị biểu thức
Cho biểu thức nhiều biến số P(x, y, ., z) với x, y, ., z thuộc miền S xác định Nếu với giá trị biến (x0, y0,
(5) P(x, y, , z) ta nói P(x, y, , z) lớn nhỏ (x0, y0, z0) miền S
P(x, y, , z) đạt giá trị lớn (x0, y0, z0) S gọi P
đạt cực đại (x0, y0, z0) Pm a x (x0, y0, z0) Tương tự ta có:
P đạt giá trị nhỏ (x0, y0, z0) S gọi P đạt cực tiểu
(x0, y0, z0) Pm i n (x0, y0, z0)
Giá trị lớn nhất, nhỏ P miền xác định S gọi cực trị P miền S
Nguyên tắc chung tìm cực trị biểu thức
Tìm cực trị biểu thức miền xác định vấn đề rộng phức tạp, nguyên tắc chung là:
a) Để tìm giá trị nhỏ biểu thức P(x, y, ., z) miền xác định S, ta cần chứng minh hai bước:
- Chứng tỏ P k ( với k số ) với giá trị các biến miền xác định S
- Chỉ trường hợp xảy dấu đẳng thức
b) Để tìm giá trị lớn biểu thức P(x, y, ., z) miền xác định S, ta cần chứng minh hai bước:
- Chứng tỏ P k ( với k số ) với giá trị các biến miền xác định S
- Chỉ trường hợp xảy dấu đẳng thức
Chú ý không thiếu bước hai bước trên. VÍ DỤ: Cho biểu thức A = x2 + (x - 2)2
Một học sinh tìm giá trị nhỏ biểu thức A sau: Ta có x2 ; (x - 2)2 nên A 0.
Vậy giá trị nhỏ A Lời giải có khơng?
Giải :
Lời giải không Sai lầm lời giải chứng tỏ A chưa trường hợp xảy dấu đẳng thức. Dấu đẳng thức không xảy ra, khơng thể có đồng thời:
(6)Lời giải là:
A = x2 + (x - 2)2 = x2 + x2 - 4x +4 = 2x2 - 4x +
= 2(x2 -2x - +1) + = 2(x - 1)2 + 2
Ta có: (x - 1)2 , x
2(x - 1)2 + x
A x
Do A = x =
Vậy giá trị nhỏ biểu thức A với x = Kiến thức cần nhớ:
Để tìm cực trị biểu thức đại số, ta cần nắm vững:
a) Các tính chất bất đẳng thức, cách chứng minh bất đẳng thức
b) Sử dụng thành thạo số bất đẳng thức quen thuộc: * a2 0, tổng quát: a2 k (k nguyên dương)
Xảy dấu đẳng thức a = 0
* -a2 0, tổng quát: -a2 k (k nguyên dương)
Xảy dấu đẳng thức a = 0
* a 0 (Xảy dấu đẳng thức a = 0) * - a a a (Xảy dấu đẳng thức a = 0) * a b ab (Xảy dấu đẳng thức ab 0) * a b a b
(Xảy dấu đẳng thức a b a b 0)
*
1
a a
, a >0
2 1
a a
, a <0
*
ab b
a b
a
2
2
2 a,b (Xảy dấu đẳng thức a = b)
* a b, ab >0 a b 1 1
(7)C CÁC BIỆN PHÁP THỰC HIỆN
(Một số dạng toán cực trị đại số)
Thơng qua tốn sách giáo khoa (sách tham khảo) tiến hành phân loại thành số dạng toán cực trị đại số THCS hướng dẫn học sinh tìm kiến thức có liên quan cần thiết để giải dạng tốn Sau số dạng thường gặp:
DẠNG : BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC LÀ TAM THỨC BẬC HAI.
Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ biểu thức A(x) = x2 - 4x + 1
Trong x biến số lấy giá trị thực Hướng dẫn giải :
Gợi ý : Để tìm giá trị nhỏ biểu thức A(x) ta cần phải biến đổi dạng A(x)k (k số) với gía trị biến chỉ trường hợp xảy đẳng thức
Lời giải : A(x) = x2- 4x+1
= x2- 2.2x+1
= (x2- 2.2x+4)- 3
= (x- 2)2- 3
Với giá trị x: (x - 2)2 0 nên ta có:
A(x) = (x- 2)2- 3-3
Vậy A(x) đạt giá trị nhỏ -3 x=2 Đáp số : A(x)n h ỏ n h ấ t = - với x=2
(8)Trong x biến số lấy giá trị thực Hướng dẫn giải :
Gợi ý : Để tìm giá trị lớn biểu thức B(x) ta cần phải biến đổi đưa B(x) dạng B(x) k (k số) với giá trị của biến giá trị lớn B(x)= k xảy đẳng thức
Lời giải : B(x) = -5x2 – 4x+1
= -5 (x2+ 5
4 x) +1 = -5 5 2 2 x x = 25 5 x
= -5
4 2 x
= -5
9 2 x
Với giá trị x:
2 x
nên -5
2 x
0
suy ra: B(x)= -5
2 x
+
9
Vậy B(x)đạt giá trị lớn B(x)=
, x = -
Đáp số : B(x)l n n h ấ t =
9
với x = -5
Ví dụ 3: (Tổng quát)
(9)Tìm giá trị nhỏ P a > Tìm giá trị lớn P a < Hướng dẫn giải :
Gợi ý : Để tìm giá trị nhỏ (lớn nhất) P ta cần phải biến đổi cho P = a.A2(x) + k Sau xét với trường hợp a>0 hoặc
a<0 để tìm giá trị nhỏ lớn Lời giải :
P = a.A2(x) + k
= a (x2 + a
b
x) + c
2 2 4 a b c a b a b x x
a
k a b x
a
2 với
2
4a b c k
Do 0 2 a b x nên:
+Nếu a>0
0 2 a b x a
P k
+Nếu a<0
0 2 a b x a
P k
Vậy x = - a b
2 P có giá trị nhỏ k (nếu a>0) giá trị lớn k (nếu a<0)
(10)Ví dụ4 :
Tìm giá trị nhỏ A = (x2 + x + 1)2
Hướng dẫn giải :
(?) Ta nhận thấy A = (x2 + x + 1)2 0, giá trị nhỏ A có phải hay khơng? Vì sao?
Trả lời : Mặc dù A giá trị nhỏ A không phải vì: x2 + x +1 ≠ 0
Do Am i n (x2 + x +1)m i n
(?) Hãy tìm giá trị nhỏ x2 + x +1? tìm giá trị nhỏ nhất của A?
Trả lời: Ta có x2 + x +1 = x2 + 2x. 2
1 +
1 -
1 +
=
2
2
x
+
4
3
Vậy giá trị nhỏ x2 + x +
3
với x = -
Trả lời: Giá trị nhỏ A 16
3
với x = -
Ví dụ :
Tìm giá trị nhỏ
x4 – 6x3 + 10x2 – 6x + 9
Hướng dẫn giải :
Gợi ý: -Hãy viết biểu thức dạng A2(x) + B2(x) 0
-Xét xem xảy dấu đẳng thức nào? Giá trị nhỏ biểu thức bao nhiêu?
Lời giải : x4 - 6x3 + 10x2 - 6x +9
(11)= (x2 - 3x)2 + (x - 3)2 0
Xảy đẳng thức khi:
2 x x 3 0 x x 0
x 3x
x
x
x x
x
Vậy giá trị nhỏ biểu thức với x = Đáp số : Giá trị nhỏ biểu thức với x =
DẠNG : BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA ĐA THỨC
CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TỤT ĐỚI Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ A = x 1 x 3
Hướng dẫn giải :
Gợi ý: Bài toán đề cập tới dấu giá trị tuyệt đối phải nghỉ tới khoảng nghiệm định nghĩa giá trị tuyệt đối biểu thức
A nêu A
A
A nêu A <
Cách : Để tìm giá trị nhỏ A, ta tính giá trị A khoảng nghiệm So sánh giá trị A khoảng nghiệm để tìm giá trị nhỏ A
Lời giải
+ Trong khoảng x <
x x 2 x
x x 5 x
A x x 2x
(12)+ Trong khoảng x
x x
x x 5 x
A = x - + - x = 3 + Trong khoảng x >
x x
x x
A = x - + x - = 2x - 7
Do x > nên 2x > 10 A = 2x – >
So sánh giá trị A khoảng trên, ta thấy giá trị nhỏ A x 5
Đáp số: Am i n = x
Cách : Ta sử dụng tính chất: giá trị tuyệt đối tổng nhỏ tổng giá trị tuyệt đối.Từ tìm giá trị nhỏ biểu thức A
Lời giải:
A x x 5 x 5 x
Ta có: x 2 5 x x x 3
x
A
5 x
x x x
Vậy giá trị nhỏ A x 5
(13)Ví dụ : Tìm giá trị lớn M = 4x - 4x
2
Hướng dẫn giải :
Gợi ý : Sử dụng tính chất a b, ab >0 a b 1 1
hoặc theo quy tắc so sánh hai phân số tử, tử mẫu dương
Lời giải:
Xét M = 4x - 4x
2
= (2 ) 4
3
2
x
x = (2x -1)
2
Ta thấy (2x - 1)2 nên (2x - 1)2 + 4
Do đó: (2x -1)
2
4
3
Trả lời: Vậy M lớn
2x – = => x =
Đáp số : Ml n n h ấ t=
3
với x =
Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ B = 2x - x -
2
Hướng dẫn giải :
Ta có: B = 2x - x -
2
= - x -2x
2
= - (x -1)
1
2
Vì (x - 1)2 => (x + 1)2 + 3
=> (x -1)
2
3
1
=> - (x -1)
2
- 3
1
Vậy B nhỏ -
x – 1= => x =1 Đáp số : Mn h ỏ n h ấ t = -
1
(14)Chú ý: Khi gặp dạng tập em thường xuyên lập luận M (hoặc B) có tử số nên M (hoặc B) lớn (nhỏ nhất) mẫu nhỏ (lớn nhất)
Lập luận dẫn đến sai lầm, chẳng hạn với phân thức
1
2
x
Mẫu thức x2 - có giá trị nhỏ -3 x = 0
Nhưng với x =
2
x = - 3
giá trị lớn phân thức
Chẳng hạn với x =
2
x = > -
Như từ -3 < suy -
> 1
Vậy từ a < b suy a
1 > b
1
a b dấu
DẠNG : BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT CỦA PHÂN THỨC CÓ MẪU LÀ BÌNH PHƯƠNG CỦA NHỊ THỨC
Ví dụ Tìm giá trị nhỏ A =
2
) (
1
x
x x
Cách1 :
Gợi ý: Hãy viết tử thức dạng lũy thừa x + 1, đổi biến cách viết A dạng tổng biểu thức lũy thừa
1
x Từ tìm giá trị nhỏ A.
Lời giải : Ta có: x2 + x + = (x2 + 2x + 1) - (x +1) + 1
(15)Do A = 2 ) ( ) ( x x ) ( ) ( x x ) (
x = - 1
1
x + ( 1)2
1
x
Đặt y= 1
x biểu thức A trở thành: A = - y + y2
Ta có: A = - y + y2 = y2 – 2.y 2
1
+ (2
)2 + 4
3 = 2 y
+
3
Vậy giá trị nhỏ A
khi: 1 2 x y y
x + = 2 x = 1
Đáp số : An h ỏ n h ấ t =
3
x = Cách :
Gợi ý : Ta viết A dạng tổng số với biểu thức khơng âm Từ tìm giá trị nhỏ A
Lời giải:
2
(16)A= + ) ( x x
2 4
3
Vậy giá trị nhỏ A
x-1=0 x=1
Đáp số : An h ỏ n h ấ t=
3
x=1
DẠNG : BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT CỦA MỘT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ BẰNG CÁCH ĐƯA VỀ
DẠNG ) (
k x A
( hoặc
) (
k x A
0) Ví dụ 10 :
Tìm giá trị lớn biểu thức: M( x ) =
10 2 x x x x
(Với x thuộc tập hợp số thực) Hướng dẫn giải :
Gợi ý : Từ M( x ) =
10 2 x x x x ta có:
M( x ) =
1 2 x x x x
=
1 ) ( 2 x x x x
(?) Ta chia tử thức mẫu thức biểu thức cho x2 + 2x + khơng? Vì sao?
Trả lời : Vì x2 + 2x + = x2 + 2x + + = (x+1)2 > với giá
trị x nên sau chia tử mẫu cho x2 + 2x + ta được
M(x) = + ( 1)
2
x
(?) Bài toán xuất điều mới?
(17)2 ) (
1
2
x
(?) Hãy tìm giá trị lớn ( )
1
2
x từ suy giá trị
lớn M(x)
Trả lời: Vì (x+1)2 Với x
Nên (x+1)2 + với x
Do ( 1)
2
x 2
1
Từ ta có:
M(x) = + ( 1)
2
x + 2
1
=
Dấu “=” xảy x+1=0 hay x=-1 Vậy giá trị lớn M(x) =
1
x=-1 Đáp số : M(x)L n n h ấ t =3
1
với x = -1 IV- KẾT QUẢ
Để giải toán cực trị đại số lớp em phải biến đổi đồng biểu thức đaị số, phải biến đổi sử dụng nhiều đẳng thức đáng nhớ từ dạy đơn giản đến phức tạp Ngồi cịn liên quan mật thiết đến kiến thức chứng minh đẳng thức nói tốn cực trị đại số tạo khả giúp học sinh có điều kiện để rèn luyện kĩ biến đổi đồng biểu thức đại số, kĩ tính tốn, khả tư
(18)Yêu cầu phát huy tính tự giác rèn luyện khả tư tích cực độc lập, sáng tạo học sinh thơng qua hoạt động giải tốn học
Về mặt tư tưởng toán cực trị giúp học sinh thêm gần gũi với kíên thức thực tế đời sống, rèn luyện nếp nghỉ khoa học mong muốn làm công việc đạt hiệu cao nhât, tốt Sau áp dụng cách giải toán cực trị đại số thực tế học sinh trọng giải tốn khơng lúng túng trước Khảo sát kết cuối mỗi năm học thu sau:
Năm Lớp Sỉ số GiỏiSL % KháSL % TBSl % Yếu- kémSL %
2009-2010
8.3 43 04 9,3 09 20,9 27 62,8 7,0
8.5 40 03 7,5 10 25,0 23 57,5 10,0
2010-2011
8.3 42 02 4,8 10 23,8 26 61,9 9,5
8.5 40 04 10,0 12 30,0 22 55,0 5,0
V- KẾT LUẬN - BÀI HỌC KINH NGHIỆM:
Với đề tài “ Hướng dẫn học sinh lớp giải tốn cực trị đại số” Tơi cố gắng hệ thống số dạng tốn cực trị đại số Trong mỡi dạy tơi có đưa sở lí thuyết ví dụ mỡi ví dụ có gợi ý hướng dẫn học sinh cách giải ý cần thiết để gặp ví dụ khác em giải
(19)cấp học này, qua làm cho em say mê hứng thú học tập mơn Tốn
Tuy nhiên q trình giảng dạy có nhiều học sinh cịn bỡ ngỡ qúa trình giải tốn cực trị, lập luận chưa có cứ, suy diễn chưa hợp logic đặc biệt số dạng chưa phù hợp với học sinh trung bình, yếu
Mặc dù có nhiều cố gắng thời gian khơng nhiều, trình độ lực thân tài liệu tham khảo cịn hạn chế lại chưa có kinh nghiệm lĩnh vực nghiên cứu khoa học nên cách trình bày khơng tránh khỏi sơ xuất thiếu sót Rất mong nhận giúp đỡ, góp ý thầy , cô và bạn đồng nghiệp để tơi rút kinh nghiệm q trình giảng dạy thời gian sau
Xét duyệt Hiệu Trưởng Tam Hiệp , ngày 08 tháng năm 2011
Người viết
PHẠM VĂN ĐỨC
TÀI LIỆU THAM KHẢO:
SGK Toán 8- NXB Giáo dục- Phan Đức Chính, Tơn Thân SBT Tốn – NXB Giáo dục- Tơn Thân chủ biên
Toán nâng cao tự luận trắc nghiệm Đại số 8- NXB Giáo dục-Nguyễn Văn Lộc
(20)