Vaäy coù taát caû 5.. 8) Coù bao nhieâu soá goàm 7 chöõ soá sao cho toång caùc chöõ soá cuûa moãi soá laø soá chaün 9) Trong voøng loaïi giaûi ñaáu boùng baøn coù 100 ngöôøi tham [r]
(1)§2 HỐN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP TĨM TẮT LÍ THUYẾT
1) Hoán vị :
Kết xếp n phần tử khác theo thứ tự gọi hốn vị n phần tử
Số hoán vị n phần tử : Pn = n! = 1.2.3… n 2) Chỉnh hợp :
Cho tập A gồm n phần tử k số tự nhiên (1 k n) Kết việc lấy k phần tử khác thuộc A xếp theo thứ tự dược gọi chỉnh hợp chập k n phần tử
Số chỉnh hợp chập k n phần tử : A ❑nk =
n !
(n − k)! = n(n - 1)…(n - k + 1) 3) Tổ hợp :
Cho tập A gồm n phần tử (n 1) số tự nhiên k n Mỗi tập gồm k (0 k n) phần tử A gọi tổ hợp chập k n phần tử A
Số tổ hợp chập k n phần tử : C ❑nk =
n ! k !(n − k)!
Để giải tốn tổ hợp có hiệu ta phải phân biệt khái niệm chỉnh hợp tổ hợp
Một chỉnh hợp thứ tự (có tính thứ tự) có nghĩa số phần tử theo thứ tự khác cho ta đối tượng khác
Một tổ hợp tập khơng có tính thứ tự
VD1 : Thầy giáo muốn chọn 10 học sinh học sinh để a) Thành lập ban cán lớp Có cách chọn ?
b) Thành lập ban cán lớp gồm lớp trưởng, lớp phó thư kí Có cách chọn ?
HD
a) Chọn bạn vào ban cán lớp, rõ ràng cách chọn nầy khơng có tính thứ cách chọn tổ hợp chập 10 có C10
3 = 120 cách chọn
(2)VD2 : Từ chữ số 1, 2, 3, ,
a) Ta chọn chữ số khác đôi Có cách chọn ? b) Ta viết số gồm chữ số khác đôi Có số ? HD
a) Mỗi cách chọn tổ hợp chập 9, có C39 = 84 số
b) Với chữ số a, b, c ta viết theo thứ tự khác cho số khác (VD : 123 rõ ràng khác với 321) Vì cách viết số chỉnh hợp chập 9, có A93 = 504 số
Có thể lí luận cách khác sau :
Công việc viết số gồm chữ số tiến hành qua bước sau : Bước : Chọn chữ số từ chữ số : có C ❑39 cách chọn
Bước : Viết chữ số chọn vào vị trí (hàng trăm, hàng chục, hàng đơn vị) : Có P3 cách viết
Theo qui tắc nhân có : C ❑39 P3 = 504 số
Vì ta có : C ❑39 P3 = A93
VD3 : Một chi đồn niên có 50 đồn viên Hỏi có cách phân cơng đồn viên phụ trách ba nhóm thiếu nhi (mỗi đồn viên phụ trách ba nhóm) HD
Mỗi cách chọn chỉnh hợp chập 50 có A503 = 117600 cách phân cơng Có thể lí luận sau : Cơng việc phân cơng thực hiên qua bước :
Bước : Chọn đoàn viên 50 đoàn viên : có C50
3 cách chọn Bước : Phân cơng đồn viên phụ trách ba nhóm thiếu nhi : có P3 cách
Theo qui tắc nhân có : C503 P3 = A503 cách phân công
I NHỮNG BÀI TỐN TỔ HỢP
BT1 : a) Có cách xếp chỗ ngồi cho 10 khách vào 10 ghế ghế xếp thành dãy?
b) Hai dãy ghế đối diện nhau, dãy ghế xếp bên bàn Hỏi có cách xếp chỗ ngồi cho bạn lớp A bạn lớp B cho : i) Khơng có bạn lớp ngồi đối diện ?
ii) Khơng có bạn lớp ngồi đối diện cạnh ?
HD
a) Mỗi cách xếp hoán vị 10 Vậy có P10 = 3628800 cách xếp
b)i) Để xếp thoả mãn khơng có bạn lớp ngồi đối diện ta xếp sau :
(3)- Có P5 cách xếp bạn lớp A ngồi vào dãy thứ
- Có P5 cách xếp bạn lớp B ngồi vào dãy thứ hai
- Mỗi cặp học sinh ngồi đối diện có cách đổi chỗ, có 25 đổi chỗ bạn
ngồi đối diện
Theo qui tắc nhân có P5 P5 25 = 460800 cách xếp
ii) Để xếp thoả khơng có bạn lớp ngồi đối diện cạnh ta xếp bạn lớp vào dãy :
Có P5 cách xếp bạn lớp A vào dãy thứ
Có P5 cách xếp bạn lớp B vào dãy thứ hai
Theo qui tắc nhân có (P5)2 cách
Tương tự xếp bạn lớp A vào dãy thứ bạn lớp B vào dãy thứ hai ta lại có (P5)2 cách
Theo qui tắc cộng ta có : 2(P5)2 = 28800 cách xếp
BL1 : Có cách xếp chỗ ngồi cho khách vào 10 ghế ghế xếp thành dãy?
HD : Mỗi cách xếp chỉnh hợp chập 10
BL2 : Cần xếp lớp học có 20 học sinh nam 20 học sinh nữ đứng thành hàng dọc
a) Hỏi có cách xếp?
b) Hỏi có cách xếp học sinh giới tính khơng đứng kề nhau?
HD : Đánh số hàng dọc từ đến 40 a) P40
b) Số học sinh nam đứng vị trí đánh số chẵn, số học sinh nữ đứng vị trí lẻ P5P5
caùch
Số học sinh nam đứng vị trí đánh số lẻ, số học sinh nữ đứng vị trí chẵn P5P5 cách
Theo qui tắc cộng có 2(P5)2 cách
BT2 : Có số điên thoại gồm chữ số mà chữ số cho a) Các chữ số lặp lại b) Khơng có chữ số lặp lại
HD
a) Sáu chữ số lại chữ số có 10 cách chọn Theo qui tắc nhân có 106 số điện
thoại
b) Sáu chữ số lại chỉnh hợp chập chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, Vậy có A ❑96 = 60480 số điện thoại
BT3 : Một tổ có nam nữ
(4)a) Có tất 10 bạn, chọn bạn để trực nhật, cách chọn tổ hợp chập 10 học sinh
Vậy có C ❑103 = 120 cách phân công b) Các trường hợp xảy :
TH1 : bạn nam bạn nữ
Có cách chọn bạn nam, có C ❑42 cách chọn bạn nữ, theo qui tắc nhân có : C ❑42 cách phân công
TH2 : bạn nam và1 bạn nữ : có 4C ❑6
2 cách phân công TH3 : bạn nam : Có C ❑36 cách phân công
Theo qui tắc cộng có : 6C ❑42 + 4C ❑62 + C ❑36 = 116 cách phân cơng Có thể giải cách khác (thường gọi cách lấy bù) sau :
Theo câu a có C ❑103 cách phân công bạn trực nhật Nếu phân cơng nữ có C ❑34 cách
Vậy có C ❑103 - C ❑34 cách phân cơng bạn trực nhật có bạn nam
BL : Một nhóm học sinh gồm nam, nữ Thầy giáo muốn chọn em nhóm để làm cơng tác xã hội Hỏi có cách chọn :
a) Chọn em tuỳ ý b) Phải có nữ nam c) Phải có nữ
ĐS : a) Có C10
cách chọn
b) Có nữ, chọn 2, số cách chọn C32 Có nam, chọn 3, số cách chọn C73 Theo qui tắc nhân có C32 C73 cách chọn c) Có C32 C73 + C72 cách chọn
BT4 : Gỉa sử có mạng giao thơng hình bên cho nhỏ hình vng
a) Có đường ngắn từ A đến B ?
b) Có đường ngắn từ A qua C đến B ? HD
a) Mọi đường ngắn từ A đến B B đường gấp khúc nối A với B cho
trên đoạn nhỏ ta phải từ trái sang phải C từ lên Như ta phải
sang phải qua đoạn, lên đoạn số đoạn Vì số đường ngắn
từ A đến B C ❑74 = C ❑73 = 35 A
b) Tương tự số đường ngắn từ A đến C C ❑4
2 , số đường ngắn từ C đến B C ❑3
(5)BT5 : Cho tập hợp A = a1, a2, …, a10
1) Tính tập gồm phần tử A cho tập a) Chứa a1 a2 b) Chứa a1 không chứa a2
c) Chứa a2 không chứa a1 d) không chứa a1 lẫn a2
2) Dựa vào câu chứng minh
C ❑105 = C ❑38 + 2C ❑84 + C ❑58 3) Chứng minh với k n - : C ❑n
k = C
❑n−2
k −2 + 2C ❑n−2
k=1 + C ❑n−2
k
HD 1)
a) Đểâ có tập chứa phần tử A chứa a1 a2, ta chọn phần tử
bất kì phần tử lại A (trừ a1 a2), tập tổ
hợp chập Có C ❑38 = 56 tập gồm phần tử ln có a1 a2
b) Đểâ có tập chứa phần tử A chứa a1 không chứa a2 ta chọn
phần tử phần tử A (trừ a1 a2), có C ❑8
4 = 70 tập c) Tương tự câu b có C ❑84 = 70 tập
d) Để có tập phần tử A không chứa a1 lẫn a2, ta chọn phần tử
A (trừ a1 a2) có C ❑58 = 56 tập
2) Gọi B số tập gồm phần tử A C, D, E, F số tập câu a, b, c, d
Ta có : B = C D E F C, D, E, F đôi không giao nhau, N(B) = C ❑105
Theo qui taéc cộng ta có :
N(B) = N(C) + N(D) + N(E) + N(F) Hay
C ❑10 = C
❑8
3 + 2C ❑8
4 + C ❑8
5 (đpcm) 3) Giải tương tự câu
Cho tập A gồm n phần tử a1, a2, , an
Tính tập gồm k phần tử A cho tập
a) Chứa a1 a2 b) Chứa a1 không chứa a2
c) Chứa a2 không chứa a1 d) Không chứa a1 lẫn a2
Goïi B A : a1, a2 B vaø N(B) = k; C A : a1 C, a2 C vaø N(C) = k; D A :
a2 D, a1 D vaø N(D) = k; E A : a1, a2 E vaø N(E) = k
Số tập B C ❑n−k −22 , số tập C C ❑k −n−21 , số tập D C ❑n−k −21 , số tập E làC ❑n−k
Gọi T tập gồm k phần tử A, số tập hợp T C ❑nk
Vì T = B C D E B, C, D, E đôi không giao nhau, theo qui tắc cộng
C ❑nk = C ❑n−k −22 + 2C ❑n−k=21 + C ❑n−k
(6)C ❑nk =
n ! k !(n − k)! BL : Cho taäp A =a1; a2; … ; a20
1) Tính tập gồm 10 phần tử A cho tập đó: a) Chứa a1, a2, a3 b) Chứa a1, a2 không chứa a3
c) Chứa a1 không chứa a2 lẫn a3 d) Không chứa a1 lẫn a2 lẫn a3
2) Chứng minh
C2010 = C177 + C178 + 3C ❑179 + C ❑1710 3) Tổng quát câu theo hướng toán
BT6 : Một tổ hợp có 50 xe tơ chất lượng khác nhau, ngày cần phân 10 xe đến thành phố A, 20 xe đến thành phố B, xe đến thành phố C Hỏi có cách phân công ?
HD
Có tất 50 xe tơ, chọn 10 xe đến thành phố A, có C5010 cách phân cơng Cịn 40 xe, chọn 20 xe đến thành phố B, có C40
20 cách phân cơng Cịn 20 xe, chọn xe đến thành phố C, có C20
5 cách phân công Theo qui tắc nhân có C5010 C2040 C205 cách phân công
BT7 : Trong kì thi học sinh giỏi, có 20 học sinh đạt học sinh giỏi, gồm học sinh giỏi toán, học sinh giỏi lý, học sinh giỏi hoá, khơng có học sinh giỏi q mơn
a) Có cách xếp 20 học sinh đứng vào hàng dọc ?
b) Có cách xếp 20 học sinh đứng vào hàng dọc cho học sinh giỏi môn phải đứng cạnh ?
HD
a) Mỗi cách xếp hoán vị 20 có P20 cách xếp
b) Có P3 cách phân chia hàng dọc thành phần (mỗi phần xếp loại học sinh
gioûi)
Trong phần chia :
Có P5 cách xếp học sinh giỏi toán đứng kề
Có P8 cách xếp học sinh giỏi lí đứng kề
Có P7 cách xếp học sinh giỏi hoá đứng kề
Theo qui tắc nhân có: P3 P5 P8 P7 cách xếp
BL : Có sách văn, sách toán, sách tiếng anh khác đơi Có cách xếp sách văn, sách toán, sách tiếng anh vào
a) Moät kệ dài
(7)a) C5
C7
C8
P6
b) Có C52 cách chọn sách văn, C72 cách chọn sách toán, C82 cách chọn sách tiếng Anh
Có P3 cách chia kệ dài thành phần để xếp loại sách khác
Trong phần chia kệ dài :
Có P2 cach xếp văn đứng kề , Có P2 cach xếp tốn đứng kề nhau Có P2 cach xếp tiếng Anh đứng kề nhau
Theo qui tắc nhân có C52 C72 C28 P2 P2 P2 P3 = 282240 cách xếp BT8 : Trong hộp đựng 2n viên bi gồm n bi đỏ giống hệt n bi xanh khác đơi Hỏi có cách khác lấy n viên bi từ hộp ?
HD
Các trường hợp xảy :
TH1 : n bi xanh : coù Cnn caùch
TH2 : bi đỏ, n - bi xanh : có Cnn −1 cách
…
THn : n bi đỏ : có C ❑n
0 caùch
Theo qui tắc cộng ta có Cnn + Cnn −1 +…+ C ❑n0 = 2n cách
CHÚ Ý :
Vì n viên bi đỏ giống hệt nhau, nên có cách chọn k viên bi n viên bi
Cn n +
Cn
n −1 + … + C
❑n0 = (1 + 1)n = 2n
BT9 : Có cách phân phối đồ vật khác cho ngưới, cho a) Một người nhận đồ vật, người người nhận đồ vật b) Mỗi người nhận đồ vật
HD
a) Người thứ nhận đồ vật : số cách nhận C ❑51 Người thứ nhận đồ vật số đồ vật lại : số cách nhận C ❑4
2 Người thứ nhận đồ vật lại : số cách nhận C ❑2
2
Theo qui tắc nhân có C ❑51 C ❑42 C ❑22 = 30 cách phân phối Người thứ thứ nhận đồ vật người thứ Theo qui tacé cộng có 30 + 30 + 30 = 90 cách phân phối
b) Có trường hợp xảy :
TH1 : Một người nhận đồ vật, hai người lại mõi người nhận đồ vật : theo câu a có 90 cách
(8)Người thứ nhận đồ vật : số cách nhận C ❑53 Người thứ hai nhận đồ vật số đồ vật lại, số cách nhận C ❑12 Người thứ nhận đồ vật lại : số cách nhận C ❑11
Theo qui taéc nhân có C ❑53 C ❑12 C ❑11 = 20 caùch
Người thứ thứ nhận đồ vật người thứ Theo qui tacé cộng có 20 + 20 + 20 = 60 cách phân phối
Kết hợp trường hợp, theo qui tắc cộng có 90 + 60 = 150 cách
II NHỮNG BÀI TỐN TẠO SỐ
Để giải tốn tạo số có hiệu quả, ta ghi nhớ số mệnh đề sau : Số cách viết m chữ số khác vào n vị trí định trước An
m n m (ở
n - m vị trí cịn lại không thay đổi chữ số ) Am
n n m ( vị trí phải có chữ
số
khác nhau)
BT1 : (Bài tốn tạo số khơng có chữ số 0) Từ chữ số 1, 2, 3, , viết số gồm chữ số khác đôi :
1) Chia hết cho 2) Ln có mặt chữ số 1, 2, 3) Gồm chữ số chẵn chữ số lẻ 4) Gồm chữ số lẻ
5) Gồm chữ số chẵn chữ số lẻ cho chữ số chẵn đứng kề
6) Gồm chữ số khác đôi cho ln có mặt hai chữ số 1, không đứng kề
HD
Gọi số cần viết x = a1a2a3a4a5
1) x chia heát cho a5 {2;4;6;8} có cách chọn a5
Cịn vị trí chữ số, nên có A8
4 cách viết chữ số vào vị trí cịn lại (a
2, a3, a4,
a5)
Theo qui tắc nhân có : A84 = 6720 số chia hết cho
2) Để bảo đảm ln có mặt chữ số 1, 2, 3, trước hết ta viết chữ số 1, 2, vào vị trí a1, a2, a3, a4, a5 số cách viết A53
Còn lại chữ số vị trí, số cách viết A6
Theo qui tắc nhân có A5
A6
2 = 1800 soá
3) Ta chọn chữ số chẵn chữ số lẻ, sau viết chữ số chọn nầy vào vị trí a1, a2, a3, a4, a5
Có chữ số chẵn, chọn chữ số chẵn, số cách chọn C4
Có chữ số lẻ, chọn chữ số lẻ, số cách chọn C53
Ta viết chữ số chọn vào vị trí a1, a2, a3, a4, a5 : số cách viết P5
Theo qui tắc nhân có C24 C53 P5 = 7200 soá
4) Các trường hợp xảy :
TH1 : Số số gồm chữ số lẻ, chữ số chẵn : có C4
C5 P
(9)TH2 : Số số gồm chữ số lẻ chữ số chẵn Giải tương tự câu ta có C54 C14 P5 số
TH3 : Số số gồm chữ số lẻ : có P5 số
Theo qui tắc cộng có C24 C53 P5 + C54 C14 P5 + P5 = 9720 số
5) Có C24 cách chọn chữ số chẵn
Có 4.2 = cách viết chữ số chẵn đứng kề vào vị trí kề (a1a2, a2a3, a3a4,
a4a5)
Có A53 cách viết chữ số lẻ vào vị trí cịn lại Theo qui tắc nhân có C24 A53 = 2880 số 6)
Bước : Tìm số gồm chữ số khác đơi ln có mặt chữ số 1, Có A5
2 cách viết chữ số 1, vào vị trí, cịn chữ số vị trí nên có A7
3 cách viết chữ số vào vị trí cịn lại
Theo qui tắc nhân có A52 A73 số
Bước : Tìm số gồm chữ số khác đơi ln có mặt chữ số 1, đứng kề
Coù 4.2 = cách viết 1, vào vị trí kề (a1a2, a2a3, a3a4, a4a5)
Còn chữ số vị trí nên có A7
3 cách viết Theo qui tắc nhân có A7
3 số Vậy có A5
2 A7
3 - A7
3 = 2520 số thỏa yêu cầu toán
BT2 : Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, lập số gồm chữ số khác a) Có số thảy ?
b) Có số chẵn, số lẻ? c) Có số nhỏ 432000? HD
a) Mỗi số hốn vị Vậy có P6 = 6! = 720 số
b) Gọi số phải tìm có dạng x = abcdfg
Vì x số tự nhiên chẵn nên g2; 4; 6 có cách chọn g Cịn vị trí chữ số nên có P5 cách viết
Theo qui tắc nhân có 3P5 = 360 số tự nhiên chẵn
Tương tự có 3P5 = 360 số tự nhiên lẻ
c) Các trường hợp xảy
TH1 : Nếu chữ số a 1; 2; (3 cách chọn a) chữ số cịn lại chọn tuỳ ý cho chúng khác khác với chữ số a nên có P5 cacùh chọn Theo
qui tắc nhân có : 3P5 = 360 soá
TH2 : Nếu chữ số a (1 cách chọn a), chữ số thứ hai b là1 (2 cách chọn b) có P4 cách viết chữ số cịn lại theo qui tacé nhân có : 2P4 = 48 số
(10)Theo qui tắc cộng số số cần tìm là: 360 + 48 + = 414 soá
BT3 : (Bài toán thành lập số từ chữ số chứa chữ số 0) : Từ chữ số 0, 1, 2, 3, , viết số gồm chữ số khác đôi :
1) Chia hết cho
2) Ln có mặt chữ số 1, 2, 3) Gồm chữ số chẵn chữ số lẻ
4) Gồm chữ số chẵn chữ số lẻ cho chữ số chẵn đứng kề
5) Gồm chữ số khác đơi cho ln có mặt ba chữ số 1, 2, đứng kề
HD
Gọi số cần viết x = a1a2a3a4a5
1)Cách 1 : x chia hết cho a5 {0;2;4;6;8}
TH1 : a5 = :
Còn chữ số vị trí nên có A94 cách viết Vậy có A94 số
TH2 : a5 {2;4;6;8} : coù cách chọn a5
Vì a1 0, nên có cách chọn a1
Cịn vị trí chữ số nên có A83 cách viết Theo qui tắc nhân có 4.8 A83 = 32 A83 số TH1 TH2 theo qui tắc cộng có A9
4 + 32 A8
3 = 13776 số Có thể giải cách khác sau :
Caùch :
Xét số x kể a1 =
Có cách chọn a5 (0; 2; 4; 6; 8) A ❑9
4 cách chọn a
1a2a3a4, theo qui tắc nhân có 5A
❑94 số x kể a1 =
Xét số x với a1 =
Coù cách chọn a5 (2; 4; 6; 8) A ❑38 cách chọn a2a3a4, theo qui tắc nhân có 4A
❑38 số x với a1 =
Vaäy số số phải tìm : 5A ❑9 - 4A
❑8
3 = 13776 2)
Caùch 1 :
Bước :Ta tính số số tạo thành chứa chữ số
Có cách chọn vị trí để viết chữ số ( a2 a3a4 a5 ), cịn vị trí nên có A4
3 cách viết 3 chữ số 1, 2, Còn vị trí chữ số nên có cách viết vị trí cịn lại
Theo qui tắc nhân có A43 = 24 A43 số
Bước : Ta tính số số tạo thành khơng chứa chữ số
Có A53 cách viết chữ số 1, 2, vào vị trí (a1a2a3a4a5); cịn chữ số vị trí nên
có A6
2 cách viết cách viết chữ số vào vị trí cịn lại Theo qui tắc nhân có A53 A62 số
(11)Caùch 2 :
Xét số x kể a1 =
Coù A5
3 cách viết chữ số 1, 2, vào vị trí a
1 a2 a3 a4 a5 Còn chữ số vị trí
nên có A7
2 số Theo qui tắc nhân có A5
3 A7
2 số x kể a
1 =
Xét số x với a1 =
Có A43 cách viết chữ số 1, 2,
Có cách viết chữ số cịn lại vào vị trí cịn lại Theo qui tắc nhân có A4
3 số x với a
1 =
Vậy có A53 A72 - A43 = 2376 số
3) Có nhiều cách giải toán trên, xin nêu cách giải : Cách 1 : Xét trường hợp
TH1 : a1 chẵn : có cách chọn a1 (vì a1 0)
Còn chữ số chẵn số lẻ, nên có cách chọn chữ số chẵn C53 cách chọn chữ số lẻ, ta viết chữ số chọn vào vị trí a2a3a4a5 có P4 cách viết Theo
qui tắc nhân có 4.4 C53 P4 = 16 C53 P4 số
TH2 : a1 lẻ : có cách chọn a1
Cịn chữ số lẻ số chẵn, nên có C24 cách chọn chữ số lẻ C52 cách chọn chữ số chẵn, ta viết chữ số chọn vào vị trí a2a3a4a5 có P4 cách viết
Theo qui tắc nhân có C24 C52 P4
Kết hợp TH ,theo qui tắc cộng có 16 C53 P4 + C24 C52 P4 = 11040 số
Caùch 2 : Xét số x kể a1 =
Coù C5
2 cách chọn chữ số chẵn Có C5
3 cách chọn chữ số lẻ
Có P5 cách viết chữ số chọn vào vị trí a1a2a3a4a5
Theo qui tắc nhân có C52 C53 P5 số x kể a1 =
Xét số x với a1 =
Còn chữ số chẵn số lẻ, nên có cách chọn chữ số chẵn C5
3 cách chọn chữ số lẻ, ta viết chữ số chọn vào vị trí a2a3a4a5 có P4 cách viết Theo
qui tắc nhân có C53 P4 số x với a1 =
Vì có C5
C5 P
5 - C5 P
4 soá
4) Xét trường hợp :
TH1 : a1 chẵn có cách chọn a1
Vì a2 chẵn nên có cách chọn a2
Có chữ số lẻ vị trí a3a4a5 nên có A53 cách viết Theo qui tắc nhân có : 4.4 A53 = 16 A53 số
TH2 : a1 lẻ : có cách chọn a1
Còn số lẻ số chẵn
Có C52 cach chọn chữ số chẵn
Có 3.2 = cách viết chữ số chẵn đứng kề vào vị trí a2a3, a3a4, a4a5
Cịn vị trí chữ số lẻ nên có A4
(12)Kết hợp TH theo qui tắc cộng ta có : 16 A5
3 + 30 C5
2 A4
2 = 4560 số
5) Ta tính số số gồm chữ số khác đơi, ln có mặt ba chữ số 1, 2, đứng kề
Có trường hợp viết 1, 2, TH1 : 1, 2, vị trí a1a2a3
Có P3 cách viết 1, 2, Còn chữ số vị trí, nên có A ❑7
2 cách viết Theo qui tắc nhân có P3A ❑7
2 soá
TH2 : 1, 2, vị trí a2a3a4 a3a4a5
Có 2.P3 cách viết chữ số 1, 2,
Có cách viết a1 Cịn chữ số vị trí cịn lại, nên có cách viết
Theo qui tắc nhân có 2.P3 36 soá
Kết hợp trường hợp, theo qui tắc cộng , số số phải tìm : P3A ❑72 + 72.P3 = 684 số
Có thể giải cách khác sau : Xét số x kể a1 =
Có vị trí để viết 1, 2, 3; vị trí có P3 cách viết
Cịn chữ số vị trí nên có A ❑72 cách viết Theo qui tắc nhân có P3 A ❑72 số x kể a1 =
Xét số x với a1 =
Có 2.P3 cách viết 1, 2, Có cách viết chữ số cịn lại
Theo qui tắc nhân có 12P3 dãy (*)
Vậy có 3P3 A ❑72 - 12P3 = 684
BL : 1) Có số gồm chữ số khác đơi cho số a) Ln có mặt chữ số 1, 2, 3,
b) Ln có mặt chữ số 1, 2, 3,
2) Từ chữ số 1, 2, 3, 4, viết số gồm chữ số khác đôi chia hết cho
a) b)
3) Có 20 học sinh gồm 6học sinh giỏi toán , học sinh giỏi lý, học sinh giỏi hoá Người ta muốn xếp 20 học sinh đứng vào hàng dọc cho học sinh giỏi mơn phải đừng cạnh Có cách xếp :
4) Có sách văn, sách tốn, 10 sách tiếng anh khác đơi Có cách xếp sách văn, sách toán, sách tiếng anh vào kệ dài cho sách loại mằm kề
5) Từ chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; viết số gồm chữ số khác đôi gồm chữ số chẵn lẻ cho chử số lẻ đứng kề 6) Có dãy số gồm chữ số mà tổng chữ số số chẵn
HD : Có tất 106 dãy số gồm chữ số
Xét 10 dãy số liên tiếp có hàng đơn vị từ đến Dễ thấy số lượng dãy số có tổng chữ số lẻ số dãy số có tổng chữ số số chẵn
Vậy có tất 106 dãy số cần tìm
(13)