Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)
ĐÊTHI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học :2008 -2009
Câu I/ Tìm tất cặp số nguyên (x; y) thỏa mản đẳng thức: Y(x-1) = x ❑2 +1
Câu II/ Chứng minh tam giác vng có số đo cạnh a;b;7 a,b số nguyên.Chứng minh cạnh đơn vị cạnh huyền
Câu III/ a/ Cho a+b+c =0 , Chứng minh a3+b3+c3=3 abc
b/ Cho 1x+1
y+
1
z=0 , Tính P=
yz
x2+
xz
y2+
xy
z2
Câu IV/ a/Rút gọn biểu thức: 1
+√2+
√2+√3+ +
√n −1+√n
b/Cho A= 1+
√2+
√3+
√4+ +
√2008 Chứng minh: A √20092 −1
¿ )
Câu V/ Cho tam giác ABC, có AB<AC, với I giao điểm đường phân giác tam giác G trọng tâm tam giác AI IG AI cắt BCtại D
a/ Chứng minh rằng: AI > ID b/Chứng minh AB+AC >2BC
Đáp án:
CâuI/ (1,5 điểm)
¿ Y=X
2 −1+2
X −1 =X+1+
X −1; .X ,Y∈
¿
Z ¿⇒X −¿ 1}
¿
(0,75điểm) Giải tìm nghiệm (2;5) ,(0;-1), (3;5) ,(-1;-1) (0,75điểm) CâuII/ (1,5 điểm)
Gỉa sử cạnh huyền a,b <7 a2+b2=72=49⇒a2+b2⋮⋮7 (1)(0,5điểm)
a2, b2 số phương có dạng 4n v 4n+1; 7là số nguyên tố có dạng
4k+3 từ(1) ⇒ a2⋮7∧b2⋮7 ⇔a⋮7∧b⋮7 (2) (0,5đ)
Nhưng 0<a,b<7 ⇒(2) xảy (0,25đ)
(2)a3+b3+c3=(a+b)3−3 ab(a+b)+c3 (1) Mà a+b+c=0 ⇒ a+b=-c thay vào (1) ta có
a3
+b3+c3=(a+b)3−3 ab(a+b)+c3 ¿−c3−3 ab(− c)+c3=3 abc (1đ)
b/ 1điểm P= xyz(
x3+
1
y3+
1
z3) theo câu a ta có
P= xyz( x3+
1 y3+
1
z3) ¿xyz(
3
xyz) = (_1đ) CâuIV/ a/ điểm
: 1+√2+
1
√2+√3+ +
√n −1+√n ¿
1−√2 1−2 +
√2−√3 2−3 + .+
√n −1−√n n −1−n
¿√n−1
b/ điểm Ta có
1
√n=
2 2√n
2
√n+√n+1⇒
(0,25đ) A= 1+
√2+
√3+
√4+ +
√2008 2( 1+√2+
1
√2+√3+ +
1
√2008+√2009) (0,5đ)
Từ câu a ta suy A 2
(√2009−1) (0,25đ)
CâuV/ a/ 1,75 điểm
- Kẻ AG cắt BC M, dựng MN AD Ta có:
ADC = BAD + B (t/c góc ngồi tam giác) - Tượng tự ta có:
ADB = DAC + C mà AB < AC
=> C < B BAD = DAC => ADC > ADB mặt khác ADC + ADB = 2V => góc ADC góc tù nên ADC > 900 D nằm I N=> IN >
ID (1đ)
Mặt khác từ IG // MN ta có: AI
IN= AG
GM=2⇒AI=2 IN>2 ID (0,75đ) b.1,25đ
- Áp dụng tính chất đường phân giác ta có: ABBD=AC
DC= AI
ID>2 (1đ) => AB + AC > 2(BD + DC) > 2BC(đpcm).(0,25đ)
(3)